ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2011 – 2012
I 1 CM tam giác IAB có diện tích không phụ thuộc vị trí điểm M 1,00
2
1
a
a
Tiếp tuyến của (C) tại M có pt 3 2( ) 2
a
( ) Tiệm cận đứng 1 có phương trình x 1
Tiệm cận ngang 2 có phương trình y 1 I ( 1;1) 0,25
1
5 1;
1
a
a
, 2 B B 2 a 1;1 0,25
IAB
a
thuộc vào a, đpcm)
0,25
y x m x có cực đại 1,00 TXĐ: ,
9 ' 9 , ''
81( 9) ( 81) 81.9
TH 1 m2 81 9 m 9 m x 9 x 9 x2 9( x )nên
2 2
9
x
suy ra hàm số đồng biến trên , không có cực trị
0,25
2
27
9 ( )
81
m
9
( 9) 9
m
là điểm cực tiểu m 9 loại 0,25
2
27
9 ( )
81
m
Trang 22 2 2 2
9
( 9) 9
m
là điểm cực đại
Vậy hàm số có cực đại m 9
0,25
II 1 Giải phương trình 2012 2012
1005
1 sin x cos x
2
sin , 0;1
t x t (1) có dạng: 1006 1006
1005
1 (1 )
2
Xét hàm số 1006 1006
( ) (1 ) , 0;1
f t t t t
1005 1005 '( ) 1006[ (1 ) ]
'( ) 0
2
1005 0;1 1005
(0) (1) 1, min ( )
1 (2)
2
t
0,25
hay (1) 2 1
sin cos 2 0
(k Z ) 0,25
2 Giải hệ phương trình
2 2
ĐK: y 1 (1) x y y2 1 x2 1
Kết hợp với (2) ta được
2 2
2
2 2
2 1
x xy
2
0 & (2) 1 1
x y y
2 & (2) 3 1
y x x x x y 0,25 Thử lại ta có x 0, y 1 và 1 2
,
x y thỏa mãn hệ pt
III 1 Chứng minh tan sin 9 3 ( 3 ), 0;
Xét hàm số ( ) tan sin 9
2
f x x x x trên 0;
2
0,25
Trang 33 2 2
1 9 2cos 9cos 2 (2cos 1)(cos x 4cos 2)
'( ) cos
Vì 0; 0 cosx<1 (cos2 2) 4cos 0 '( )
2
dấu với 1 2cos x Bảng biến thiên của f x ( )
x 0
3
2
'( )
( )
f x
3 ( 3 )
2 Vậy ( ) tan sin 9 3 ( 3 ), 0;
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
3
x
Áp dụng: Tam giác ABC nhọn nên , , 0;
2
A B C
9 3 tan sin ( 3 )
2 2
A A A Tương tự, cộng lại ta được
tan tan tan sin sin sin ( ) ( 3 )
Kết hợp với A B C ta có đpcm
0,25
0,25
0,25
TXĐ: D 4;4 Đặt t x 4 4 x t , 0 Bình phương ta được
2
8 2 ( 4)(4 ) 8
t x x Dấu bằng có khi x= 4
Mặt khác theo BĐT Cô-si ta có
2
8 2 ( 4)(4 ) 8 ( 4) (4 ) 16
Do t 0 2 2 t 4
Khi đó
2
2
8 1
t
y f t t t t t
'( ) 1, '( ) 0 1
(2 2) 2 2, (4) 0
0,25
0,25
0,25
0,25
Trang 4Vậy
4;4 2 2;4
min y min f t ( ) 0
khi x=0,
4;4 2 2 ;4
max y max f t ( ) 2 2
khi x= 4
IV 1 Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’ theo a 1,50
Tương tự AD ' SD
0,25 0,25
' ' ' ' ' ' '
S AB C D S AB C S AD C
2 2 ' '
.
4 5 20
S AB C
S ABC
2 2 ' '
.
4 5 20
S AD C
S ADC
0,25
0,25
Do
3 2
3
a
Cộng (1) và (2) theo vế ta được
' ' ' '
' ' '
.
S AB C D
V
2 Tìm max và min của thể tích khối chóp S.AMN 1,50
( Hình vẽ bến dưới)
.
1 3 3
V S a Đặt BM x DN , y; x y , 0; a
Trên tia đối của tia DC lấy điểm P sao cho DP BM x 0,25
C'
D'
B'
C
A
B D
S
Trang 5MAN BAM DAN NAP DAP DAN
Áp dụng định lí Pitago trong tam giác vuông CMN ta được
x y xy a x ax a y ay xy a x y a
2
y
0,25
Thế vào (*) ta được
2 1
2
MAN
Đặt
2
2
'( ) 0 ( 2 1)
f x x a
0,25
2 (0) ( )
2
a
f f a , f (( 2 1) ) a a2( 2 1)
2 0;
max ( )
2
a
a
f x
2 0;
min ( ) ( 2 1)
Vậy
3
3 max
6
S AMN
a
,
3
3( 2 1) min
3
S AMN
a
khi MB ND a ( 2 1) 0,25
V
, 0
x y
ta có
2
y
3 3
2 2
2
Trang 62 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
a b c a a a a a b b b c c
2
a a a a a b b b c c a b c
Tương tự, cộng lại ta được
Đẳng thức xảy ra 1
3
x
y x
450 A
D
B
C
M
N P