chuyen de bat dang thuc ltdh bat dang thuc

Phương pháp giải: Xuất phát từ bất đẳng thức cần chứng minh ta biến đổi nó tương đương với một bất đẳng thức khác mà ta đã biết là đúng từ đó suy ra bất đẳng thức cần chứng minh là đúng.

A Kiến thức cần nắm về bất đẳng thức:

1 Định nghĩa bất đẳng thức:

Ta gọi hệ thức dạng a < b (hay a > b; a  b; a  b) là bất đẳng thức và gọi a là vế trái, b là vế phải của bất đẳng thức

1) a 2  0 với  aR Dấu bằng xẩy ra khi a = 0

2) a  0 với  aR Dấu bằng xẩy ra khi a = 0

3) a  a với  aR Dấu bằng xẩy ra khi a  0

4) a b a + b với  a, b R Dấu bằng xẩy ra khi ab  0

5) a b a - b với  a, b R Dấu bằng xẩy ra khi ab>0 và

a  b

B Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức

1 Phương pháp sử dụng định nghĩa:

1.1 Phương pháp giải: Muốn chứng minh A > B hãy xét hiện A - B Nếu hiện

A - B dương thì khẳng định được A > B là bất đẳng thức cần chứng minh

1 (x y)2 (xz)2 (yz)2 0đúng với mọi x;y;zR

Vì (x-y)2 0 với x ; y Dấu bằng xảy ra khi x=y

(x-z)2 0 với x ; z Dấu bằng xảy ra khi x=z

(y-z)2 0 với  z; y Dấu bằng xảy ra khi z=y

Vậy x2

+ y2

+ z2  xy+ yz + zx Dấu bằng xảy ra khi x = y =z

+ z2  2xy – 2xz + 2yz đúng với mọi x;y;zR

Dấu bằng xảy ra khi x+y=z

1.3 Bài tập tương tự:

Bài 1: Chứng minh: x2 + y2 + z2  2xy + 2yz - 2x

Bài 2: Cho a, b, c > 0 chứng minh:

bc+a +

ca+b

 4yz (2) (x+z)2  4xz (3) Nhân từng vế của (1), (2), (3) [(x+y)(y+z)(x+z)]2  (8xyz )2 (Tính chất 6)

 (x+y)(y+z)(x+z)  8xyz (Tính chất 8)

2b c 

abc c b a

1 1 1

1 1 1

a

b +

2 2

b

c +

2 2

Bài 2: Cho x + y = 2 Chứng minh : x2 + y2  2

3 Phương pháp biến đổi tương đương: ( phương pháp phân tích)

3.1 Phương pháp giải: Xuất phát từ bất đẳng thức cần chứng minh ta biến đổi nó tương đương với một bất đẳng thức khác mà ta đã biết là đúng từ đó suy ra bất đẳng thức cần chứng minh là đúng

 4 (x-  0

2

1 2

 (2) Bất đẳng thức (2) luôn đúng mà các phép biến đổi trên là tương đương  ( 1 )

Giải:

 10 10 2 2  8 8 4 4

b a b a b

Phương pháp giải này làm cho học sinh thấy khó ở chỗ là không biết nên bắt đầu từ bất đẳng thức nào nhưng nếu biết phương pháp giải này ngược với phương pháp phân tích thì cũng rất dễ tìm ra bất đẳng thức xuất phát

a +b c +d )2  (a + c)2 + (b + d)2  2 2 2 2   2 2

4.3 Bài tập tương tự: Chứng minh các bất đẳng thức

Bài 1: a2 + b2 + c2  ab + bc + ca với mọi a, b

5.1 Phương pháp giải: Nếu bài toán yêu cầu chứng minh bất đẳng thức A 

B ( hoặc A < B) thì ta giả sử A < B (hoặc A  B) Từ điều mà ta vừa giả sử cùng với giả thiết của bài toán ta suy ra một điều mâu thuẫn với giả thiết với các kiến thức đã học Cuối cùng ta khẳng định kết luận của bài toán A  B ( hoặc A < B) là đúng

Phương pháp giải như trên gọi là phương pháp phản chứng

5.2 Ví dụ áp dụng

Ví dụ 1: Chứng minh rằng:

Nếu a + b + c > 0; abc >0 , ab + bc + ac > 0 thì a > 0, b > 0, c > 0

Hay ab + ac + bc < 0 trái với giả thiết ab + ac + bc > 0

Vậy a > 0 Tương tự ta chứng minh được b > 0, c > 0

Ví dụ 2:

Cho 4 số a , b , c ,d thỏa mãn điều kiện ac  2.(b+d) Chứng minh rằng có

ít nhất một trong các bất đẳng thức sau là sai: a2  4b , c2 4d

5.3 Bài tập tương tự:

Bài 1: Chứng minh rằng: 4(a3+b3) - (a+b)30 với a, b > 0

Bài 2: Cho x3 + y3 = 2 Chứng minh x+ y  2

6 Phương pháp quy nạp toán học:

6.1 Phương pháp giải: Nếu bất đẳng thức phải chứng minh phụ thuộc vào đối số tự nhiên n thì ta có thể dùng phương pháp quy nạp toán học Ta cần thực hiện 3 bước sau:

+ Chứng minh bất đẳng thức đúng với n = 1 (hoặc đúng với n = n 0 là giá trị

tự nhiên bé nhất của n theo yêu cầu của đề bài)

+ Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k (k > 1 hoặc k > n 0 ) rồi chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1

+ Kết luận bất đẳng thức đúng với mọi n N

1 2

1

2

1 1

1

2 2

1

1    (đúng) Vậy BĐT (1) đúng với n =2

Giả sử BĐT (1) đúng với n =k ta phải chứng minh

1 1

2

1 1

1

2 2

2

2   k  k  k

Theo giả thiết quy nạp



  1

1 2 1

1 1 2 ) 1 (

1 1

2

1 1

1

2 2

2 2

2   k  k  k  k  k



k  k k

k

1 1

1 1

1 )

1 (

1

1

1

2 2

1 (

k k k

bất đẳng thức (1)được chứng minh

6.3 Bài tập tương tự

Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n 3 thì: n2 > n + 5

Bài 2: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì:

+ + + >1

7 Phương pháp xét các khoảng giá trị của biến:

7.1 Phương pháp giải: Có những bài toán yêu cầu chứng minh bất đẳng thức A(x) > 0 mà không cho thêm giả thiết nào nữa ta có thể suy nghĩ theo cách giải sau: Nếu biểu thức A(x) viết được về dạng tổng các hạng tử nx(x-a) thì ta xét các khoảng giá trị của biến x chẳng hạn như x  a và x < a để sử dụng định nghĩa bất đẳng thức x  a x-a0 hay x < a x -a < 0

Trong trường hợp bất đẳng thức cần chứng minh chưa có dạng A(x) > 0 hay A(x) < 0 trước hết ta chuyển vế để đưa về dạng đó

Vậy B > 0

7.3 Bài tập tương tự

Bài 1: Chứng minh x6 - x5 + x4- x3+x2 - x +

4 3

> 0

Bài 2: Chứng minh x8 +x4 +1 > x7 + x

8 Phương pháp làm trội: ( hoặc làm giảm)

8.1 Phương pháp giải: Để chứng minh A < B ta làm trội A thành C (A < C) rồi chứng minh C  B (biểu thức C đóng vai trò trung gian để so sánh A và B) Tương tự đối với phương pháp làm giảm

L-u ý:

Dùng các tính bất đẳng thức để đưa một vế của bất đẳng thức về dạng tính được tổng hữu hạn hoặc tích hữu hạn

(*) Phương pháp chung để tính tổng hữu hạn :

2 2

n

a

a a

a a

a a a

2

1 1

1 2

n

Giải:

Ta có

n n n k

1 1 1

1

2

1 2

1

2

1 1

n n

n

Ví dụ 2 : Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n  2 ta có:

n+1 n+2 n+3 3n+1 Với n nguyên dương

9 Phương pháp sử dụng các bất đẳng thức kinh điển: ( Bất đẳng Côsi

và bất đẳng thức Bunhiacốpxki)

9.1 Phương pháp giải: Để chứng minh một bất đẳng thức nào đó ngoài các cách đã giới thiệu ta có thể sử dụng các bất đẳng thức kinh điển Trong phạm vi chương trình THCS , tôi xin giới thiệu và hướng dẫn học sinh vận dụng bất đẳng thức Côsi (Cauchy) , bất đẳng thức Bunhiacốpxki và Bất đẳng thức Trê- bư-sép để chứng minh các bất đẳng thức khác

a Bất đẳng thức Côsi: Cho a1, a2,…,an là các số không âm Khi đó ta có:

Dấu bằng xảy ra khi a1= a2 = …= an

b Bất đẳng thức Bunhiacôpxki: Cho hai dãy số a1, a2,…,an và b1, b2,…,bn khi

đó ta có:

(a1b1+ a2b2 + …+ anbn)2  (a1

2 +a2 2 + …+ an

2)(b1 2 +b2 2 + …+bn

2) Dấu bằng xẩy ra khi 1 2 n

c b a



3

.33

C B A c b a cC bB

c b a



3

3 3

C B A c b a cC bB

c b a

ab c

ac ab

ab

Vậya2 b2 c2 d2 abc b cd d ca10

Ví dụ 3: Cho a > b > c > 0 và a2 b2 c2  1chứng minh rằng

3 3 3

12

c c a

b c b a

c b

b c b

a c b a b a

c c c a

b b c b

a

3

.

2 2 2 2

2

2

3 3

1

=

2 1

Vậy

2

1

3 3

b c b

a

Dấu bằng xảy ra khi a = b = c =

3 1

* Lưu ý: + Việc chứng minh các bất đẳng thức Côsi và bất đẳng thức Bunhiacôpxki ở đây không đề cập mà chỉ hướng dẫn các em chứng minh bất đẳng thức bằng cách sử dụng một hoặc nhiều bất đẳng thức đã biết khác

+ Khi sử dụng bất đẳng thức Côsi thì cần chú ý các số áp dụng phải

có điều kiện  0 còn bất đẳng thức Bunhiacôpxki thì không cần điều kiện các

số 0 nhưng phải áp dụng cho 2 bộ số

+ Ngoài 2 bất đẳng thức hay sử dụng cho học sinh THCS đã nêu ở trên thì các em có thể sử dụng một số bất đẳng thức đã biết để chứng minh một bất đẳng thức khác

- Nếu Δ < 0 thì f(x) luôn cùng dấu với a với mọi giá trị của x (nghĩa là a.f(x)

- Nếu Δ> 0 thì f(x) cùng dấu với a khi x nằm ngoài khoảng hai nghiệm (x 1 ,

x 2 ) và khác dấu với a khi x nằm trong khoảng hai nghiệm

2 2

Ta có   4y21 y22 4y2y2 12   16y2  0

Vì a = y2 12  0 vậy f x,y  0 (điều phải chứng minh)

* Nhận xét: khi sử dụng phương pháp tam thức bậc hai để chứng minh bất đẳng thức như ví dụ của (10) đã nêu ở trên thì học sinh cần biết định lí về dấu của tam thức bậc hai nhưng kiến thức đó chưa được chính thức giới thiệu ở bậc THCS nên hơi khó đối với các em Do đó tôi chỉ giới thiệu ví dụ trên để

Ta có từ (1)  Dấu bằng xảy ra khi 1  x 4

(2)  Dấu bằng xảy ra khi 2  x 3

Vậy T có giá trị nhỏ nhất là 4 khi 2  x 3

12 Phương pháp đồ thị và hình học:

11.1 Phương pháp giải: Vận dụng các kiến thức hình học để chứng minh

các bài toán về bất đẳng thức đại số

Trên trục hoành Ox đặt liên tiếp hai đoạn OA = a, AB = c, còn trên trục Oy đặt

liên tiếp OC = b, CD = d Xét hình chữ nhật COAE và DOBF Theo định lý

C

O

G

B A

Gọi I(x;y) là điểm trên

mặt phẳng Oxy trong đó x, y thoả mãn

đề bài Tập hợp các điểm I(x,y) là miền

mặt phẳng giới hạn bởi tam giác ABC

Như vậy muốn chứng minh x2

+ Kiểm tra, đánh giá hiệu quả của đề tài nghiên cứu

+ Xác định được những nhược điểm của đề tài từ đó đưa ra những biện pháp điều chỉnh khắc phục để đề tài hoàn thiện hơn

+ Giúp học sinh học tốt về bất đẳng thức nói riêng và học tốt môn toán nói chung

+ Qua việc theo dõi qua trình triển khai, đánh giá hiệu quả của đề tài này các đồng nghiệp có thể trao đổi, góp ý xây dựng cho đề tài cũng như tham khảo đề tài góp phần nâng cao chất lượng dạy học tốt nội dung bất đẳng thức trong công tác giảng dạy

2 Nội dung thực nghiệm:

Sau đây tôi xin trình bày ba bài giáo án đại số 8 mà trong đó tôi đã áp dụng một số biện pháp của đề tài này trong học kỳ I năm học 2011 - 2012

* Kiến thức: HS có khái niệm về biểu thức hữu tỉ, biết rằng mỗi phân

thức và mỗi đa thức đều là những biểu thức hữu tỉ HS biết cách biểu diễn một biểu thức hữu tỉ dưới dạng một dãy các phép toán trên những phân thức và hiểu rằng biến đổi một biểu thức hữu tỉ là thực hiện các phép toán trong biểu thức để biến nó thành một phân thức đại số

* Kĩ năng: HS có kĩ năng thực hiện thành thạo các phép toán trên các

phân thức đại số HS biết cách tìm điều kiện của biến để giá trị của phân thức được xác định

II: Kiểm tra

- Phát biểu quy tắc chia phân thức Viết công thức tổng quát

- Chữa bài 37 b SBT

- GV nhận xét cho điểm

- GV nhấn mạnh:

+ Khi biến chia thành nhân phải nghịch đảo phân thức chia

III: Bài mới

Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh

- Cho các biểu thức sau:

Hãy cho biết các biểu thức trên,

biểu thức nào là phân thức ? Biểu

thức nào biểu thị phép toán gì trên

các phân thức?

- Giới thiệu: Mỗi biểu thức là một

phân thức hoặc biểu thị một dãy các

phép toán: cộng, trừ, nhân, chia trên

1 :

3

2 

x là các phân thức Biểu thức: 4x +

3

1



x là phép cộng hai phân thức

Biểu thức:

1 3

2 1 2

2 





x x

x

là dãy tính gồm phép

cộng và phép chia thực hiện trên các phân thức

HS lấy 2 VD về biểu thức hữu tỉ

2 Biến đổi một biểu thức hữu tỉ thành một phân thức

1 :

1 1

=

x

x x

:

1 2



- Gọi một HS lên bảng làm tiếp

1 (

x

x x

2

x

x x

=

1

2 1 : 1

2 1

2 2

x x

=

1

1 )

1 (

1 1

1

2 1 2

x x x

IV: Củng cố - luyện tập

Bài số 46 SGK/57: Biến đổi mỗi

biểu thức sau thành một phân thức

x x

1

x x x

***************************

Ngày giảng: 20/12/2011

GIÁ TRỊ CỦA PHÂN THỨC

A Mục tiêu:

* Kiến thức: HS có khái niệm về biểu thức hữu tỉ, biết rằng mỗi phân

thức và mỗi đa thức đều là những biểu thức hữu tỉ HS biết cách biểu diễn một

biểu thức hữu tỉ dưới dạng một dãy các phép toán trên những phân thức và hiểu

rằng biến đổi một biểu thức hữu tỉ là thực hiện các phép toán trong biểu thức để

biến nó thành một phân thức đại số

* Kĩ năng: HS có kĩ năng thực hiện thành thạo các phép toán trên các

phân thức đại số HS biết cách tìm điều kiện của biến để giá trị của phân thức

được xác định

* Thái độ: Rèn tính cẩn thận cho HS

B Chuẩn bị của GV và HS:

- GV: Bảng phụ

- HS: Học và làm bài đầy đủ ở nhà Ôn tập các phép toán cộng, trừ, nhân, chia,

rút gọn phân thức, tìm điều kiện để một tích khác 0

C Tiến trình dạy học:

I: Tổ chức :SS:Lớp 8A: II: Kiểm tra

III: Bài mới

Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh



x phép chia

- Vậy điều kiện để giá trị của phân thức

được xác định là gì ?

- Yêu cầu HS đọc SGK

- Khi nào phải tìm điều kiện xác định của

phân thức ?

- Điều kiện xác định của phân thức là gì?

- GV đưa VD 2 SGK lên bảng phụ Hỏi:

+ Phân thức

) 3 (

9 3





x x

x

được xác định khi nào ?

- Yêu cầu HS làm ?2

không thực hiện được nên giá trị của phân thức không xác định

- Một HS đọc to SGK đoạn: "giá trị của phân thức" SGK

- Điểu kiện xác định của phân thức

là điều kiện của biến để mẫu thức khác 0

VD2: SGK

?2

a) Phân thức

x x

x



 2

x



 2

1

=

x x

x

) 1 (

bằng:

1000000000

1 1



x

+ x = -1 không thoả mãn điều kiện xác định, vậy với x = -1 giá trị của phân thức không xác định

IV: Luyện tập - củng cố

xác định  x + 2  0  x  - 2

b)

2

4 4

2

) 2





x x

- Cần nhớ: Khi làm tính trên các phân thức không cần tìm điều kiện của biến,

mà cần hiểu rằng: Các phân thức luôn xác định Nhưng khi là những bài toán liên quan đến giá trị phân thức, thì trước hết phải tìm ĐK của biến để giá trị phân thức xác định; đối chiếu giá trị của biến để bài cho hoặc tìm được; xem giá trị đó có thoả mãn hay không, nếu thoả mãn thì nhận được, nếu không thoả mãn thì loại

- Làm bài 50 , 51, 53, 54, 55 SGK

- Ôn lại các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, ước của số nguyên

***************************

Ngày soạn: 17/12/2011

Ngày giảng: 23/12/2011

A Mục tiêu:

* Kiến thức: Củng cố cách thực hiện các phép toán trên các phân thức đại

số Phân biệt được khi nào cần tìm điều kiện của biến, khi nào không cần tìm

điều kiện của biến Nắm được tính chất: a > b 1

a

 <1

b với a, b >0

*Kĩ năng: Rèn luyện cho HS kĩ năng thực hiện các phép toán trên các

phân thức đại số HS có kĩ năng tìm điều kiện của biến Vận dụng được tính chất bất đẳng thức trên vào việc chứng minh một số bất đẳng thức cũng như tìm giá trị lớn nhất (GTLN) hoặc giá trị nhỏ nhất (GTNN) của một phân thức

II: Kiểm tra

Yêu cầu 1 HS lên bảng kiểm tra:

- HS1: Chữa bài tập 50a SGK

x x

2 2

1

3 1

=

x

x x

x

x x x

x

2 1

1 ) 2 1 )(

2 1

(

) 1 )(

x

6 2

2 3

III: Bài mới

Hoạt động củaGiáo viên Hoạt động của học sinh

- Yêu cầu 1 HS lên bảng kiểm tra

Giáo viên yêu cầu học sinh nhận

xét, kết luận chốt lại vấn đề cơ bản

a x a

2 2

a x

2

=

) (

4 2 2

2 2

2 2

a x x

ax a

ax a

x

a x a ax

2 2

2 2

a x x

ax a

a x

x ax

a x a a

x x

x a a a

x

x a x

2 2 ).

( ) (

) ( 2 ) (

Giáo viên yêu cầu học sinh nhận

xét, kết luận chốt lại vấn đề cơ bản

Bài 55 SGK

- Yêu cầu hai HS lên bảng

c) GV cho HS thảo luận tại lớp,

hướng dẫn HS đối chiếu với ĐKXĐ

- GV bổ sung câu hỏi:

d) Tìm giá trị của x để giá trị của

biểu thức bằng 5

a) Giá trị phân thức

20

2 4

5x2 x

xđ với mọi x

b) Giá trị phân thức

7 3

x



2 xác định với x  z

Bài 55 SGK

a)

1

1 2

=

1

1 )

1 )(

1 (

) 1

x x

c) Với x = 2, giá trị của phân thức được xác

định, do đó phân thức có giá trị: 3

1 2

1 2

Chỉ có thể tính được giá trị của phân thức

đã cho nhờ phân thức rút gọn với những giá trị của biến thoả mãn điều kiện