ĐỀ THI THỬ VÀO 10 CHUYÊN TOÁN

SỞ GD&ĐT TRƯƠNG QUANG AN ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH TUYỂN VÀO THPT CHUYÊN MÔN TOÁN NĂM HỌC 2017– 2018 Lưu ý: Thí sinh làm theo các khác đúng vẫn cho điểm tối đa... CHUY

SỞ GD&ĐT TRƯƠNG

QUANG AN

KÌ THI CHỌN HỌC SINH VÀO LỚP THPT CHUYÊN

TOÁN

NĂM HỌC 2017 – 2018 MÔN THI: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày thi: 06/05/2017 ( Đề thi gồm có 01 trang ) Câu 1 (2,0 điểm):

a) Cho a, b, c, d , m là các số tự nhiên và a + d , (b1)c , ab – a + c chia hết cho m

Chứng minh rằng 2017(abn

+ cn + d ) chia hết cho m với mọi số tự nhiên n

b) Cho x, y thỏa mãn:

x 2016  2017  x 2016  x y 2016  2017  y 2016 y

Chứng minh: x y

Câu 2 (2,0 điểm):

3

x  x x   x x 

b) Gi¶i hÖ ph-¬ng tr×nh sau:

   

2

x xy x y

x x y y







Câu 3 (2,0 điểm):

a) Tìm số nguyên tố p sao cho các số 2p2 1; 2p2 3; 3p2 4 đều là số nguyên tố

b) Tìm các số nguyên dương x, y, z thỏa mãn: 2 2 2 2 2

3x  18y  2z  3y z  18x 27

Câu 4 (3,0 điểm):

Cho đường tròn (O;R) đường kính BC Gọi A là điểm thỏa mãn tam giác ABC nhọn AB,

AC cắt đường tròn trên tại điểm thứ hai tương ứng là E và D Trên cung BC không chứa D lấy

F(F  B, C) AF cắt BC tại M, cắt đường tròn (O;R) tại N(N  F) và cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE tại P(P  A)

a) Giả sử 0

60

BAC , tính DE theo R

b) Chứng minh AN.AF = AP.AM

c) Gọi I, H thứ tự là hình chiếu vuông góc của F trên các đường thẳng BD, BC Các đường thẳng IH và CD cắt nhau ở K Tìm vị trí của F trên cung BC để biểu thức

BC BD CD

FH  FI FK đạt giá trị nhỏ nhất

Câu 5 (1,0 điểm):Cho các số nguyên dương a, b, c, d thoả mãn:

a  b c d adbc d  a 

Chứng minh rằng a là số chính phương

- HẾT -

Họ và tên thí sinh: ………Số báo danh ………

Chữ kí giám thị 1 ……… Chữ kí giám thị 2 ………

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

SỞ GD&ĐT TRƯƠNG

QUANG AN

ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM

ĐỀ THI HỌC SINH TUYỂN VÀO THPT CHUYÊN

MÔN TOÁN NĂM HỌC 2017– 2018

Lưu ý: Thí sinh làm theo các khác đúng vẫn cho điểm tối đa Điểm bài thi làm tròn đến 0,25 điểm

Câu1

2,0

điểm

a)

1,0điểm

Đặt Tn = a.bn + c.n + d,nN

Ta chứng minh ―T n chia hết cho m‖ (*) bằng qui nạp theo n

Với n = 0 ta có: T0 = (a +d) m ( theo gt) do đó (*) đúng với n = 0

Giả sử (*) đúng với n = k, nghĩa là Tk m

Ta chứng minh (*) đúng với n = k+1

0,25

Thật vậy, ta có Tk+1 – Tk =

= a.bk+1 – a.bk + c

= bk.(a.b – a + c) – bk.c + c

= bk.(a.b – a + c) – c.(bk –1)

= bk(ab – a + c) – c(b -1)(bk-1 + + b + 1)

0,25

Do đó: (Tk+1 – Tk ) m ( vì theo giả thiết ta có ab – a + c và (b–1)c m) Mà Tk m (theo giả thiết qui nạp), nên Tk+1 m

Vậy Tn m  n  N

0,25

Kết luận 2017(abn

+ cn + d ) chia hết cho m với mọi số tự nhiên 0,25

b)

1,0điểm

x   x  x y   y y(1) ĐKXĐ: 2016x y; 2016

(1)  x 2016  y 2016  2017  x 2017  y 2016  y 2016  x 0

Nếu x khác y và 2016x y; 2016 thì x2016 y2016>0;

2017 x 2017y>0; 2016 x 2016y>0 , do đó (1)

0,25

0

x y

Khi đó dễ chứng tỏ

0

Mà x y 0 nên (2) vô lý vì VT(2) luôn khác 0

Câu 2

2,0

điểm

a)

1,0 điểm

3

x  x x   x x  (1) ĐKXĐ:x 1

Đặt: y x1;z 2 Khi đó (1) có dạng : x 3 + y 3 + z 3 = (x + y +z) 3 (2)

Chứng minh được (2)  (x+y)(x+z)(z+x) = 0

0,25

Với: x + y = 0  x x  1 0 x  1 x 1 5

2

x 

  ( Thỏa mãn)

0,25

Với: x + z = 0  x 2    0 x 2 ( không thỏa mãn) 0,25 Với: y + z = 0  x 1 2 0 - vô nghiệm

Vậy phương trình có nghiệm: 1 5

2

0,25

b)

1,0 ®iÓm

   

2

x xy x y





0.25

2x xyy  5x   y 2 0 y x 2 y 2x  1 0

2

   hoặc y 2x 1

0.25

Với y  2 x thay vào (2) ta được: x2 – 2x +1 = 0 suy ra x = 1

Ta được nghiệm (1;1)

0.25

2 1

y x thay vào (2) ta được: 5x2 – x – 4 = 0 , suy ra x = 1; 4

5

x

Ta được nghiệm (1;1) và ( 4; 13

 

)

Vậy hệ có nghiệm (1;1) và ( 4; 13

 

)

0.25

Câu 3

2,0

điểm

a)

1.0 điểm

Tìm số nguyên tố p sao cho các số 2 2 2

2p  1; 2p  3; 3p  4 đều là số nguyên tố

+) Nếu p=7k+i; k,i nguyên, i thuộc tập   1; 2; 3 Khi đó 2

p chia cho 7

có thể dư: 1;4;2

0.25

Xét p  2 2p2 1; 2p2 3 & 3p2  4 7 Nếu p chia cho 7 dư 1 thì 2 3p2 4 chia hết cho 7 nên trái GT Nếu p chia cho 7 dư 4 thì 2 2p2 1 chia hết cho 7 nên trái GT Nếu p chia cho 7 dư 2 thì 2 2p2 3 chia hết cho 7 nên trái GT

0.25

+) Xét p=7k, vì p nguyên tố nên p=7 là nguyên tố, có:

2p   1 97; 2p   3 101; 3p   4 151 đều là các số nguyên tố Vậy p =7

0.25

b)

1,0 ®iÓm

3 x 3 18y 2z 3y z 54

(1)  3(x 3)2 2z2 3y z2( 2  6) 54(2) (2)  54  3(x 3)2 2z2 3y z2( 2  6) 3(x 3)2 2.9 3  y2.3

(x 3)  3y  12

0,25

2 2 2

Nếu 2

y   y thì (1) có dạng:

5

x  z   z  z  z   z (vì có(*))

3 x 3  27  x 3  9 , x nguyên dương nên tìm được x=6

0,25

Nếu 2

y   y (vì y nguyên dương) thì (1) có dạng:

3 x 3  14z  126  14z  126      z 9 z 9 z 3 (vì z nguyên dương) Suy ra (x 3)2    0 x 3 (vì x nguyên dương)

Đáp số

0,25

Câu 4

3,0

điểm

a)

1,0 ®iÓm

Vẽ hình (1 trường hợp)

M

P

N E

O B

D

C A

F

I

H

K

0,25

2

s DE BAC  s DE

0,25

Suy ra EOD 600 nên tam giác OED đều 0,25

b)

1,0 ®iÓm

APE ADE (2 góc nội tiếp chắn cung AE) ABM  ADE (Cùng bù với góc EDC) Suy ra: ABM  APE nên tam giác APE đồng dạng với tam giác ABM

0,25

Nên AE AM AE AB. AM AP.

Tương tự chứng minh tam giác ANE đồng dạng với tam giác ABF

AE AF

AE AB AN AF

Từ (1) và (2) suy ra: AN.AF = AP.AM

0,25

c)

1,0 ®iÓm

Xét I nằm giữa B, D( Nếu I nằm ngoài B,D thì vai trò K với DC sẽ như I với BD)

Tứ giác BIHF, BDCF nội tiếp nên FHK FCK( cùng bằng FBD), suy ra tứ giác CKFH nội tiếp nên 0

90

FKC

0,25

Lý luận tam giác DFK đồng dạng tam giác BFH nên:DK BH

FK  FH

Tương tự tam giác CFK đồng dạng tam giác BFI nên:CK BI

FK  FI

Suy ra: DC BH BI

FK  FH FI

0,25

DC BD BH BD BI BH ID

FK  FI  FH  FI  FI  FH  FI

MàID HC

FI  FH suy ra: DC BD BH HC BC

FK  FI  FH  FH  FH

0,25

FH  FI FK  FH nên BC BD CD

FH  FI FK nhỏ nhất khi FH lớn nhất khi F là trung điểm cung BC

0,25

Câu 5

1,0

điểm

Đặt ad bct Ta có:

1

a d b c

Khi đó:

d  a   d a ad    b c bc  c b   (*)

0,25

Kết hợp với giả thiết d  a  1 suy ra: d  a  1

Dấu bằng ở (*) xảy ra khi và chỉ khi: 2 1

1

b c

a b d

a d b c





    

0,25

Ta có:

2

bc b

ad bc a

d d

    Suy ra:

2

2

b

0,25

d  a   a  d      d b a d b Vậy a là số chính phương

0,25

Hết—

CHUYÊN GIA VỀ TOÁN HÀNG ĐẦU TẠI QUẢNG NGÃI

,NHƢNG MÀ GIÁO DỤC XÃ HỘI KHÔNG CẦN

TOÁN CAO CẤP ,TOÁN NÂNG CAO ,BỒI DƢỠNG HSG TỈNH HUYỆN ,CASIO SỐ MỘT TẢI QUẢNG NGÃI –VÙNG

ĐẤT NGHÈO NHẤT VIỆT NAM

Kính chào tạp chí toán tuổi thơ !

Ngày 15-11-2016 tạp chí toán tuổi thơ mời mình ra Hà Nội ,Lại một lần nữa mình không ra dược vì không có tiền mua vé tàu Tại sao cuộc đời lại bất công với tôi như thế Mình sống trên núi cao quá ,mọi thứ đều khó khăn Trên chuyến tàu của toán học luôn thiếu mình Một lời giải mà mình giải không ra Đó là Tiền ,tại sau toi lại bần cùng đến như vậy hả trời Buồn cho

xã hội không tận dụng nhân tài Tuyển dụng công chức là để tìm người nhà

và tiền Kẻ như tôi thì không có : THÂN THẾ TIỀN và như thế bị vứt ra đường trong chuyến tàu tốc hành của giáo dục Việt Nam Tại sao người ta

có thể mua một kg nho Nhật Bản với giá 1,3 triệu -1,5 triệu để ăn mà mình lại mua một vé tàu đi về Quảng Ngãi –Hà Nội giá 700 trăm nghìn không được ,bài toán giải mãi mà chẳng xong Người bần cùng ,kẻ thì mua kg nho Nhật Bản 2 triệu cho đứa con 4 tuổi để ăn ,mua hàng mà phải đặt tiền cọc trước Nho này hiếm mà có kg nào nhập về là dân Việt Nam giới thượng lưu mua hết trong một giời đồng hồ Thật sự sốc ,trái cây Việt Nam rẻ như bèo mà ― cho không lấy ,thấy không xin nói gì tới việc mua bán nữa ―

Kính chào tạp chí toán tuổi thơ !

Tôi tên là :Trương Quang An

Vừa rồi ngày 4-1-2016 tôi có nhận được 1 giấy mời ra Hà Nội nhân diệp tạp chí toán tuổi thơ 15 năm tuổi Bản thân tôi và gia đình rất vui và thấy đây là một vinh dự

nhưng hoàn cảnh gia đình quá khó khăn Tôi đi làm lương quá thấp ,dạy hợp đồng ,vợ tôi đi làm công nhân ở xa sáng đi 5h sáng ,chiều 8h mới về nhà Vợ tôi làm thì tháng nào có sản phẩm thì có lương ,không có sản phẩm làm thì tháng đó không có lương ,một tháng được 2 triệu /tháng Hai vợ chồng làm không đủ trang trải cho cuộc sống hằng ngày Tôi học toán-tin và chỉ dạy tin học Thời gian làm thêm phụ gia đình nhiều

để có tiền trang trải cuộc sống Cha tôi ngày xưa làm phụ hồ ,làm thuê làm mướn cho người ta ,mẹ tôi đi rửa chén thuê cho các nhà quán ăn Tôi đam mê toán học khi là học sinh cấp 1 Tôi rất nghèo nhưng niềm đam mê toán học trong tôi rất lớn dù tôi có hoạt đông bên lĩnh vực khác Tôi xin chân thành cảm ơn tạp chí đã có thư mời tôi ra

Hà Nội nhé Tiền tàu xe đi và về ,ăn ở bản thân tôi lo không nổi nên không thể ra dự với tạp chí Năm ngoái tôi không ra Đà Nẵng dự hội thảo được ,năm nay lại thất hứa .Xin lỗi tạp chí TOÁN TUỔI THƠ ,tuy nhiên tôi xin chúc tạp chí luôn phát triển mạnh mẽ và có nhiều người đam mê toán học nhé Tôi xin hứa là sẽ thường xuyên viết bài và gởi bài cho tạp chí toán tuổi thơ và tạp chí toán học& tuổi trẻ

Tôi rất buồn Xin chân thành ghi nhận tấm lòng của tạp chí

Tên : Trương Quang An

Ngày sinh :20-5-1987

Tốt nghiệp cao đẳng sư phạm toán quảng Ngãi năm 2009

Ra trường đi xin việc khắp mọi nơi vào cuối năm 2011 mới xin hợp đồng làm việc giảng dạy toán cho 1 trường cấp 2

Nhà hiện nay ở Thành Phố Quảng Ngãi

Thành tích lúc đi học :

Lớp 8 : Học sinh đạt giải nhì học sinh giỏi toán cấp thị xã Quảng Ngãi

Lớp 9 : Học sinh đạt giải ba học sinh giỏi toán cấp thị xã Quảng Ngãi

Lên cấp 3 học Trường Cấp 3 Chuyên Lê Khiết

Năm 2005 thi đại học sư phạm Quy Nhơn đạt 28 điểm , tôi phải xa giảng đường đại học vì mẹ tôi đau quá nặng ,gánh nặng cơm áo gạo tiền mà tôi phai chia tay đại học Sau đó tôi về quê nhà học cao đẳng sư phạm Quảng Ngãi

3 năm học tại đây tôi là sinh viên giỏi nhất khoa về Toán học Các Thành tích :

- Giải nhất toán lý sơ cấp 3 năm học 2006,2007,2008

-Ba năm giải nhất môn giải tích trong kỳ thi ÔLIMPIC TOÁN SINH VIÊN cấp trường Cao Đẳng Sư Phạm Quảng Ngãi năm học 2006 ,2007,2008

-Trong 3 lần đại diện cho trường thi ÔLIMPIC TOÁN SINH VIÊN Toàn quốc thì 1 lần đạt giải ba ,1 lần giải khuyến khích

-Ba năm liền đạt giải nhất trong kỳ thi sinh viên giải toán trên máy tính casio cấp trường

-Sinh viên đầu tiên của trường cao đẳng sư phạm được đăng đề trong mục đề ra

kỳ này của tạp chí toán học tuổi trẻ

-Sinh viên đầu tiên của trường cao đẳng sư phạm được đăng bài trong mục chuyên đề của đặc san tạp chí toán học tuổi trẻ

-Giáo viên đầu tiên của tỉnh Quảng Ngãi được đăng bài trên đặc san tạp chí toán học và tuổi trẻ

-Hiện nay sáng dạy ở trường vì đồng lương quá thấp nên đi dạy kém khắp nơi

đề kiếm thêm tiền để trang trải cuộc sống hằng ngày và phụ giúp cha mẹ nghèo ở quê Quảng Ngãi

-Bản thân là người rất đam mê môn toán từ khi tôi còn là học sinh lớp 7 , hiện nay tôi thường giải các bài tập khó và dạy kèm cho các học sinh có nhu cầu vào

chuyên toán

-Hiện nay bản thân muốn học lên đại học nhưng có lẻ ước mơ đó của tôi không thành hiện thức vì chuyện tiền bạc va gia đình hoàn cảnh

-Những giáo viên yêu toán nếu có nhu cầu giải các bài toán khó và giao lưu học hỏi

-Xóm tôi bình thường lắm ,bọn nhỏ ngây thơ ,ngộ nghĩnh đáng yêu Hằng ngày bọn trẻ xóm tôi thường nhờ tôi giúp các bài toán khó Tôi đến với tạp chí toán học tuổi trẻ khi tôi còn là một học sinh lớp 7 Mười sáu năm qua tôi đã coi tạp chí như một người bạn quen thuộc mà tôi mong đợi vào ngày 15 hằng tháng Ban đầu tôi thích thú tò mò tìm thêm tài liệu ,sau nay cố gắng giải các bài tập trong chuyên mục đề ra

kỳ này Trong 16 năm qua tạp chí đã cho tôi được tiếp xúc với các bài toán rất hay ,chuyên đề hay Ba năm học cao đẳng là thời gian đẹp nhất cuộc đời tôi Tôi bước vào

sư phạm toán với nền tảng kiến thức vô cùng tốt Ngay tôi được tạp chí đăng 1 bài trên chuyên mục đề ra kỳ này tôi rất vui sướng ,không tả nỗi Đó là thời điểm năm

2008 ,khi đó tôi chỉ là 1 sinh viên nghèo của trường ,điều kiện học tập không có ,sinh viên cao đẳng như tôi viết bài cho 1 tạp chí toán học là điều viễn vông ,đó là sư thật .Nhưng tôi không nản lòng và cuối cùng tôi cũng đạt được ước mơ của tôi Những ngày đó thật khó khăn ,tôi chỉ ghi bài giải trên giấy A4 rồi đem thư ra bưu điện gởi .Cách đây 1 năm thì có chị họ làm quán PHÔ T Ô COPPY bán lại một chiếc máy tính

đề bàn cũ ,tôi mua với giá 500 ngàn ,vui lắm các bạn ,thế là từ nay có thể đánh vi tinh các bài toán mà minh suy nghĩ và sưu tầm ,sau khi hoàn thiện tôi chạy ra quán PHÔ

T Ô COPPY để gởi vì nhà không có mạng INTERNET Có lẽ tôi sẽ gục ngã trước cuộc sống nghèo khổ và thiếu tiền bạc nếu như tôi không có niềm đam mê toán học .Tôi nhớ mãi năm 2008khi cầm trên tay tờ báo có đăng bài của minh tôi đã vui run luôn ,tôi ra bưu điện mua báo toán ,trên kệ báo còn đúng 1 tờ ,đọc và thấy tên mình và tôi đã lên xe đạp cà tàng của sinh viên đạp nhanh nhanh về nhà ,thật nhanh ,tôi không biết tôi đã qua mấy ngã tư nữa ,chỉ biết đạp thật nhanh Mấy tháng sau có thư nhận tiên nhuận bút 120.000 ,đối với 1 đứa sinh viên nghèo như tôi đó là số tiền 1 tháng đề

ăn sáng đi học ,vui lắm các bạn ak Sinh viên qua nhanh ,ra trương vì hoàn cảnh cha

mẹ đau và không có tiền,không nơi nào nhận mình vào dạy học ,mình đã đi chạy bàn

cà phê,chạy bàn đám cưới cho nhà hàng ,mình đi dạy kèm khắp nơi ,có khi phải đi chạy xe ôm nhưng khi rảnh mình thường lấy tạp chí toán học ra xem Tạp chí như một

phần trong cơ thể mình ,rồi sau 4 năm chạy việc khắp nơi tôi cũng xin được hợp đồng cho 1 trường cấp 2 để dạy toán Nhà tôi hiện nay sách toán rất nhiều ,16 năm qua tôi

đã có trong tay khoảng 451 số báo toán học ,mua có ,tôi mượn báo để phô tô cũng có .Hồi xưa khi tới ngày 15 hằng tháng tôi thường ra bưu điện đề mua ,từ nhà đạp xe đạp

ra ,tới nơi mệt nhưng khi mua được báo là tôi vui lắm Vào năm 2014 thì đi làm cuộc sống cũng đỡ khó khăn thì tôi mạnh dạn dành tiên lên bưu điện đặt báo để nhân viên giao tận nhà luôn Qua thời gian tôi cung mua được chiếc xe máy cũ đề đi làm Qua nhũng tâm sự này tôi muốn các bạn yêu toán mà có điều kiện hơn tôi hãy cố gắng lên nhé ,hãy đặt mua tạp chí toán học ,hãy viết bài cho tạp chí Tiền trong cuộc sống không là gì ,nếu chúng ta cố gắng và có ý chí thì chúng ta sẽ thành công Tôi hiện nay

có 2 ước mơ ,thứ nhất được ra thăm toán chí toán học tuổi trẻ 1 lần cho biết ,năm ngoái được tạp chí toán học tuổi thơ mời ra dự buổi hội thảo toán học ở Đà Nẵng nhưng do công việc và cha mẹ đau nặng tôi đã không ra Thứ 2 mong được học lên đại học hệ chính quy Mặc dù ở quê tôi có dạy hệ tại chức ,nhưng tôi thích học chính quy hơn ,ước mơ đó có thể với mọi người rất đơn giản nhung với mình khó vì gia đình ,cha mẹ ,tiền bạc phải mưu sinh vì cuộc sống hằng ngày Trên toàn quốc ,nếu trường nào cần giáo viên như tôi thì liên hệ số điện thoại 01208127776 Không biết tạp chí toán học có tuyển một cộng tác viên trình độ cao đẳng như tôi không Lương hợp đồng 15.000đ/tiết quá thấp ,tôi không sống được bằng nghề sư phạm ,

Một người đam mê Toán và tạp chí toán học và tuổi trẻ ,

tạp chí toán tuổi thơ

Nghĩa Thắng ,Tư Nghĩa ,Quảng Ngãi

Trương Quang An