Tai lieu Thuy Luc _ Chuong 2

CHƯƠNG 2 THỦY TĨNH HYDROSTATICS Thủy tĩnh học nghiên cứu các vấn đề về chất lỏng ở trạng thái cân bằng, tức là không có sự chuyển động tương đối giữa các phần tử chất lỏng  không có s

CHƯƠNG 2

THỦY TĨNH

***

I Khái niệm áp suất thuỷ tĩnh - áp lực

II Các tính chất của áp suất thuỷ tĩnh

 Tính chất 1

 Tính chất 2

III Phương trình vi phân cơ bản của chất lỏng đứng cân bằng.

IV Sự cân bằng của chất lỏng trọng lực

1 Định luật bình thông nhau:

2 Định luật Pascal

3 Áp suất tuyệt đối, áp suất dư, áp suất chân không

V Ý nghĩa hình học và năng lượng của phương trình cơ bản của thủy tĩnh

1 Ý nghĩa hình học

2 Ý nghĩa năng lượng

VI Biểu đồ áp lực

VII Aïp lực chất lỏng lên thành phẳng có hình dạng bất kỳ

1 Trị số của áp lực

2 Vị trí tâm áp lực

VIII Aïp lưc chất lỏng lên thành phẳng hình chữ nhật có đáy đặt nằm ngang

1 Xác định trị số của P

2 Điểm đặt của áp lực

IX Aïp lực của chất lỏng lên thàng cong

1 Xác định trị số

2 Điểm đặt của lực

3 Một số trường hợp cần lưu ý

BÀI TẬP THỦY TĨNH HỌC

CHƯƠNG 2 THỦY TĨNH

(HYDROSTATICS )

Thủy tĩnh học nghiên cứu các vấn đề về chất lỏng ở trạng thái cân bằng, tức là không có sự chuyển động tương đối giữa các phần tử chất lỏng  không có sự xuất hiện của ma sát nhớt Do đó những kết luận về chất lỏng lý tưởng cũng đúng cho chất lỏng thực

I.Khái niệm áp suất thuỷ tĩnh - áp lực

- Khối chất lỏng W đang cân bằng

- Giả sử cắt bỏ phần trên, ta phải tác dụng vào mặt cắt đó bằng một hệ lực tương đương thì phần dưới mới cân bằng như cũ

- Trên tiết diện cắt quanh điểm 0 ta lấy một diện tích , gọi P là lực của phần trên tác dụng lên 

 Ta có các khái niệm sau:

- P : là áp lực thuỷ tĩnh (hoặc tổng áp lực) tác dụng lên diện tích  (N, KN )

- Tỷ số : P/ = ptb : là áp suất thủy tĩnh trung bình trên diện tích 

-







P

lim

0 : áp suất thủy tĩnh tại 1 điểm (hay còn gọi là áp suất thủy tĩnh)

- Đơn vị của áp suất: N/m2; m s2

kg

, atmosphere + Trong kỹ thuật, áp suất còn đo bằng atmosphere:1at

=9,81.104 N/m2=1KG/cm2

+ Trong thuỷ lực, áp suất còn đo bằng chiều cao cột chất lỏng:1at =10m H2O

II Các tính chất của áp suất thuỷ tĩnh

 Tính chất 1 (phương và chiều):

Aïp suất thủy tĩnh tác dụng thẳng góc với diện tích chịu lực và hướng vào diện tích ấy.

P t

Chứng minh: Bằng phản chứng.

Ta có: , nhưng có (do chất lỏng cđn bằng)

p n

W W



Nín: , hướng vào trong vì chất lỏng chỉ chịu được sức nén, không chịu kéo

 Tính chất 2 (trị số):

nghĩa là p = f (x, y, z).

Chứng minh:

- Lấy một phân tố hình trụ , một đầu hình trụ có diện tích dw và có tâm I; đáy kia của hình trụ có diện tích dw’ và có tâm I’, đáy này có hướng bất kỳ xác định bởi góc 

- Gọi p, p’ là những áp suất, chúng vuông góc với những mặt tương ứng

Theo định nghĩa: Mặt dw chịu lực là dp = pdw

Mặt dw’ chịu lực là dp’ = p’dw’ Chiếu lực mặt theo phương nằm ngang (bỏ qua lực khối-vi phân bậc cao)

dP’cos - dP=0  p’ dw’cos-pdw=0 p ' = p

 Ví dụ:

Xác định phương, chiều của áp suất thủy tĩnh tại điểm A trong hình vẽ sau đây:

+ Hướng của lực:

 

 : Hướng vào mặt

p

vào Hướng :

mặt p

A

A

2

1

2

1





+ Trị số: p1A  p2A

III Phương trình vi phân

cơ bản của chất lỏng

đứng cân bằng

Xét một khối hình

hộp chất lỏng vô cùng

bé đứng cân bằng có

các cạnh x, y, z Tâm

M(x, y, z) chịu tác động

áp suất p(x, y, z) Hệ

tọa độ như hình vẽ

y

2

x x

p





 2

x x

p







x

z

y

M

 p

z

dP'=p'.d

w'

dw '

dP=p.d w

d w

‘I



(1 )

A

(2 )

p 1

A (2)

pA (1)

Điều kiện cân bằng: Tổng hình chiếu lên các trục của lực

mặt và lực thể tích tác dụng lên khối phải bằng không.

Bằng khai triển Taylor, bỏ qua vi phân bậc cao, lấy số hạng thứ nhất:

Khi đó: Aúp suất tại trọng tâm mặt trái là :

2

. x

x

p







Aúp suất tại trọng tâm mặt phải là: . 2x

x

p







Lực thể tích tác dụng lên một đơn vị khối lượng chất lỏng theo phương Ox là Fx

Theo điều kiện cân bằng ta có :

- Xét theo phương x :

0

1 :

0

0

2 2

0

) 2 (

).

2 (



















































x

p F

Hay

F x p

z y x F z y

x x p

z y x F z y

x x

p p z y

x x

p p

x x

x

x







































- Tương tự theo phương y và z ta có hệ sau:

0 1

: F gradp

Hay





(2.1)

Phương trình này biểu thị sự phụ thuộc của áp suất thủy

tĩnh theo tọa độ: p= p(x,y,z)

 Áp dụng đối với trường hợp  

g

Khi lực thể tích tác dụng vào chất lỏng chỉ là trọng lực thì chất lỏng được gọi là chất lỏng trọng lực Trong hệ tọa độ vuông góc mà trục Oz đặt theo phương thẳng đứng hướng lên trên, thì đối với lực thể tích F tâc dụng lín một đơn vị khối lượng của chất lỏng trọng lực, ta có: Fx = 0; Fy = 0; Fz = - g

 Đối với Fx = 0







x

p

F x







x

p



 x

p

tức p không phụ thuộc vào x

 Đối với Fy = 0

Tương tự như Fx ta được:  0



 y p

 Đối với Fz = -g







































0

1

0

1

0

1

z p F

y p F

x p F

z y x







Đây là hệ phương trình vi phân

cơ bản của chất lỏng đứng cân bằng hay hệ phương trình Euler

A B

C

p

o

p

o

p

o







z

p

F z









z

p g

 =>  p    g  z

 Cần xác định hằng số C

Tại mặt thoáng z = zo, thì p= po

 po = -.g.zo + C => C= po + .g.zo

Thay vào (2.2) ta được:

p = po + .g (zo-z)

Mà h = zo-z

 p = p o + h (2.4):

(2.4) là phương trình cơ bản của thuỷ

tĩnh học

Kết luận: Áp suất thuỷ tĩnh tại một điểm có độ sâu h bất

kỳì trong chất lỏng sẽ bằng áp suất tại mặt thoáng cộng với tích của trọng lượng đơn vị của chất lỏng đó với độ sâu h.

(2.5) là phương trình cơ bản thuỷ tĩnh dạng 2

Từ (2.4) ta thấy : Ứng với một giá trị h ta có một giá trị p, tức áp suất tại những điểm cùng nằm trên mặt phẳng vuông

góc với z sẽ bằng nhau hay chúng đều nằm trên mặt đẳng

áp.

Tính chất của mặt đẳng áp

- Mặt đẳng áp là mặt có áp suất bằng nhau

- Mặt đẳng áp của chất lỏng trọng lực là những mặt song song và thẳng góc với trục oz Nói cách khác chúng là những mặt phẳng nằm ngang

 Nhận xét:

- Những điểm cùng độ sâu thì áp suất sẽ bằng nhau đối với cùng một loại chất lỏng

- Những điểm ở sâu hơn thì áp suất thuỷ tĩnh sẽ lớn hơn và ngược lại

Ví dụ 1:

- Trong hình vẽ sau ba điểm A, B, C

có cùng độ sâu h cùng áp suất mặt

thoáng như nhau thuộc ba hình thì có

áp suất bằng nhau (trong trường hợp

lộ ra khí trời áp suất mặt thoáng p0

bằng pa = 98100N/m2 - áp suất khí trời)

 Ví dụ 2:

Tìm áp suất tại một điểm ở đáy bể đựng nước sâu 4m Biết trọng lượng đơn vị của nước  = 9810N/m3, áp suất tại mặt thoáng p0 = pa = 98100N/m2

Giải:

Aïp suất tại điểm ở đáy bể có chiều sâu 4m là:

p = p0 + h = 98100 + 9810x4 = 137340N/m2 = 14000KG/m2

z

O z

z

0

p

0

h

z

x

0

p

0

p0 +

p

h

IV Sự cân bằng chất lỏng trọng

lực

1 Định luật bình thông nhau:

Nếu hai bình thông nhau đựng chất

lỏng khác nhau có áp suất mặt thoáng

bằng nhau, độ cao của chất lỏng mỗi

bình tính từ mặt phân chia hai chất lỏng

đến mặt thoáng sẽ tỉ lệ nghịch với

trọng lượng đơn vị của chất lỏng tức:

1

2

2

1







h

h

 Chứng minh:

Vì p1 = p2 (Tính chất mặt đẳng áp)

Suy ra: p0 + 1.h1 = p0 + 2.h2 => 1.h1 = 2.h2 =>

1

2 2

1





 h h

 Nhận xét: Nếu chất lỏng chứa ở bình thông nhau cùng một

loại (1   2) thì mặt tự do của chất lỏng ở hai bình cùng trên một độ cao tức h1= h2

2 Định luật Pascal:

Aïp suất tại điểm A nào đó là: pI = p0

+ h

Nếu ta tăng áp suất tại mặt thoáng lên

p thì áp suất tại điểm A đó sẽ là:

pII = (p0 + p) + h

Vậy tại A áp suất tăng: pII - pI = p, như

vậy:

“Độ biến thiên của áp suất thủy tĩnh

trên mặt giới hạn của một thể tích

chất lỏng cho trước được truyền đi

nguyên vẹn đến mọi điểm của thể tích chất lỏng đó”.

Nhiều máy móc đã được chế tạo theo định luật Pascal như: Máy ép thủy lực, máy kích, máy tích năng, các bộ phận truyền động v.v

Xét một ứng dụng máy ép thủy lực:

Máy gồm hai xy lanh có diện tích khác nhau thông với nhau, chứa cùng một chất lỏng và có pittông di chuyển Pittông nhỏ gắn vào đòn bẩy, khi một lực F nhỏ tác dụng lên đòn bẩy,

thì lực tác dụng lên pittông nhỏ sẽ tăng lên và bằng P 1 và áp suất tại xylanh nhỏ bằng:

1

1 1



P

p  , trong đó 1 là diện tích xylanh nhỏ

Theo định luật Pascal, áp suất p 1 nầy sẽ truyền tới mọi điểm trong môi chất lỏng, do đó sẽ truyền lên mặt piton lớn2, như

vậy, tổng áp lực P 2 tác dụng lên pittông 2 :

2 1

1 2 1



p

h2

h1

p0

p1

p2

p0

2

1

Trong đó: 2 - diện tích mặt pittông lớn

Nếu coi 1 , p 1 là không đổi, khi muốn tăng P 2 thì phải

tăng 2

3 Áp suất tuyệt đối, áp suất dư, áp suất chân không 3.1 Định nghĩa các loại áp suất

a Aïp suất tuyệt đối p tuyệt :

Người ta gọi áp suất tuyệt đối hoặc áp suất toàn phần

là áp suất p xác định bởi công thức cơ bản (2.4):

p = p0+ h = ptuyệt

b Aïp suất tương đối (áp suất dư): p dư

Nếu từ áp suất tuyệt đối ptuyệt ta bớt đi áp suất khí

quyển thì hiệu số đó gọi là áp suất dư p dư hay áp suất tương đối:

p dư = p tuyệt - p a (2-6)

Nếu áp suất tại mặt thoáng là áp suất khí quyển p a thì:

p dư = h

Như vậy áp suất tuyệt đối biểu thị cho ứng suất nén thực tế tại điểm đang xét, còn áp suất dư là phần áp suất còn dư nếu trong trị số của áp suất tuyệt đối ta bớt đi trị số áp suất không khí Áp suất tuyệt đối bao giờ cũng là một số dương, còn áp suất dư có thể dương hoặc âm

p dư > 0 khi p tuyệt > p a

p dư < 0 khi p tuyệt < p a

c Aïp suất chân không: p ck

Trong trường hợp áp suất dư âm thì hiệu số của áp suất khí quyển và áp suất tuyệt đối gọi là áp suất chân không

p ck = p a - p tuyệt = - p dư (2-7)

Như vậy: p ck = - p dư

Phần áp suất tuyệt đối nhỏ hơn áp suất khí trời gọi là áp suất chân không

 Một số nhận xét:

F

A F

p

A

F

p

A

F

p

A

2 F

p

A

F

p

A

F

p

A

P2

P1

0 p p



0

p

h d

A ck

h

z

h

A 

A 

h h







- Nói đến áp suất chân không có nghĩa là áp suất tuyệt đối nhỏ hơn áp suất không khí, chứ không có nghĩa là không còn phần tử chất khí nào ở đó

- Khi po = pa thì pdư = h

Trong kỹ thuật qui ước: pa = 98100N/m2 = 1 at

3.2 Biểu diễn áp suất bằng cột chất lỏng

- Aïp suất tại một điểm có thể đo bằng chiều cao cột chất lỏng (nước, thuỷ ngân, rượu ) kể từ điểm đang xét đến mặt thoáng chất lỏng đó

- Ta có thể biểu diễn áp suất bằng cột chất lỏng như sau:

Ptuyệt biểu thị bằng



 tuyet tuyet

p h

pdư biểu thị bằng hdư pdư

pck biểu thị bằng



 ck

ck

p h

- Ống kín  : hút hết không khí

ht: cột nước biểu thị áp suất tuyệt đối tại A

- Ống hở : hở ra khí trời

hd: cột nước biểu thị áp suất dư tại A

- Ống hở : mức nước trong ống thấp hơn điểm A

hck: cột nước biểu thị áp suất chân không tại điểm A

 Ví dụ: Xác định áp suất tại mặt thoáng p0, áp suất tuyệt đối và áp suất dư thuỷ tĩnh tại A của bình đựng nước như hình vẽ

Giải: - Ống đo áp hở ra khí trời, đó là ống đo áp suất

dư

- Chênh lệch 1m là do chênh lệch giữa áp suất mặt thoáng p0

với áp suất khí trời

- p0 = pa + h = 98100 + 9810.1 = 109710 (N/m2)

- ptA = pa + h = 98100 + 9810.3 = 127530 (N/m2)

- pdA = ptA - pa = 127530-98100 = 29430 (N/m2)

V Ý nghĩa hình học và năng lượng của phương trình cơ bản của thủy tĩnh.

1 Ý nghĩa hình học: Ta có: z pHconst





A

P0

1m 2m

- z là độ cao hình học của điểm đang xét với mặt chuẩn nằm ngang

- 

p độ cao áp suất

- H gọi là cột nước thủy tĩnh, nó là độ cao đo áp tuyệt đối (nếu p là áp suất tuyệt) hoặc dư (nếu p là áp suất dư)

 Vậy: Phương trình cơ bản thủy tĩnh học nói rằng: Trong một môi

trường chất lỏng đứng cân bằng, cột nước thủy tĩnh đối với bất kỳ một điểm nào là một hằng số

2 Ý nghĩa năng lượng (ý nghĩa vật lý):

z : Vị năng đơn vị, hoặc gọi tỷ vị năng

h = p : Aïp năng đơn vị, hoặc gọi tỷ áp năng

H = (z +



p ) : Thế năng đơn vị, hoặc gọi tỷ thế năng

hằng số đối với mọi điểm trong chất lỏng.

VI Biểu đồ áp lực:

Phương trình cơ bản của thủy tĩnh học chứng tỏ rằng đối với một chất lỏng trọng lực nhất định, trong điều kiện áp suất tại mặt tự do po cho trước, áp suất p là hàm số bậc nhất của độ sâu h

Như vậy trong hệ tọa độ (p, h), phương trình (2.4) được biểu diễn bằng một đường thẳng Để giản đơn việc trình bày ta giả thiết po = pa khi đó pdư = h



B t

p



A t

p

B d

d

h

H T

E T

H d

E d

A 

 B

p 0

z B z

A

Ta chọn hệ trục tọa độ có trục h thẳng đứng hướng xuống dưới và trục p đặt nằm ngang Sự biểu diễn bằng đồ thị hàm số trong hệ tọa độ nói trên gọi là đồ phân bố áp suất thủy tĩnh theo đường thẳng đứng tức là theo những điểm trên đường thẳng đứng đó

Trước tiên ta xét đến đường biểu diễn áp suất dư pdư =

h theo đường thẳng đứng; đường biểu diễn này là một đường thẳng, do đó chỉ cần xác định hai điểm là vẽ được

Với h = 0 (ở mặt tự do), ta có: pdư = 0 nên O(0, 0)

Với h = h1 ta có: pdư =h1 nên: A’(h1,h1 )

Ta được hai điểm O và A’ , tam giác OAA’ chính là đồ phân

bố áp suất dư

Dùng đồ phân bố áp suất dư, ta có thể xác định áp suất dư

p tại một điểm có độ sâu h bất kỳ

Muốn có đồ phân bố áp suất tuyệt đối ta chỉ cần tịnh tiến đường OA’ theo phương thẳng góc với Oh một đoạn po và được đường O’A’’ Đồ phân bố áp suất tuyệt đối là hình thang vuông góc OO’A’’A

Chú ý:

1 Ta có thể thay trục nằm

ngang p bằng trục , khi

đó cả hai trục đều là đơn vị độ

dài, áp suất lúc đó có thể biểu

thị độ dài cột nước Trong thực

tiễn, ta cũng thường vẽ biểu đồ

phân bố với tọa độ như vậy để

tính áp lực Đồ phân bố với tọa

độ như thế gọi là biểu đồ áp

lực

2 Do tính chất áp suất tại một điểm phải thẳng góc với

mặt chịu áp lực tại điểm đó, nên đồ phân bố áp suất cũng như đồ áp lực đối với một đường thẳng bao giờ cũng là

một tam giác vuông hoặc hình thang vuông Trong trường

hợp vẽ biểu đồ áp lực trên đường thẳng nghiêng hoặc đường thẳng gãy cũng không gì khó khăn vì trong trường hợp này đồ áp lực cũng là tam giác vuông hoặc hình thang vuông

3 Còn vẽ đồ phân bố áp suất trên đường cong ta phải

biểu diễn bằng đồ thị trị số áp suất tại từng điểm theo phương trình cơ bản rồi nối lại thành đường cong của đồ phân bố

VII Aïp lực chất lỏng lên thành phẳng có hình dạng bất kỳ

O O

’

p0 = pa

A

’

A

’

h

p0 p

d =

.h p

p

h

p/ =



 0

h

h



h



p h

p0 = pa

h

Minh hoạ đồ phân bố áp

Suất lên mặt cong

y z

z

h C h



d

C D

p o

d P P

z D

z

z c

Trường hợp thành rắn là mặt phẳng, thì áp suất tác dụng lên thành rắn đều song song với nhau, do đó chúng có một hợp lực hay còn gọi là áp lực tổng hợp P duy nhất Ta nghiên cứu trị số của P,

điểm đặt và xác định

phương chiều của lực

1.Trị số của áp lực.

- Cần xác định áp lực P

của chất lỏng tác dụng

lên diện tích 

đặt nằm nghiêng góc 

so với mặt thoáng

- Aïp lực tác dụng lên vi

phân diện tích d là dP:

dP = p.d (vì d nhỏ nên

p phân bố đều trên d) = (p0

+ .h) d

- Aïp lực tác dụng lên toàn diện tích

















 p dw p h d

- Trên thành phẳng chọn hệ tọa độ Ozy như hình vẽ, ta có:

h = z.sin































d z sin p

d sin z p P

0 0

Theo cơ học lý thuyết có: z d   S y

tích  đối với trục oy (mà Soy = zc.)









sin sin :

c c

c

h p

P thi

h

Vậy: P = (p 0 + .h c ) 

- Nếu áp suất p0 = pa thì áp lực dư tác dụng lên thành phẳng sẽ là:

P = .hc.

Trong thực tiễn kỹ thuật, nhiều khi mặt phẳng cần xét chịu áp lực thủy tĩnh về một phía, còn phía kia của mặt phẳng lại chịu áp lực của không khí Trong trường hợp đó chỉ cần tính áp lực dư mà thôi vì áp suất không khí truyền từ mặt thoáng đến mặt phẳng đã cân bằng với áp suất không khí tác dụng vào phía khô của mặt phẳng Thực chất mặt phẳng bị nén đều bởi áp suất không khí hai bên mặt thành, và khả năng chịu lực của các vật liệu đã có cho thấy có thể bỏ qua lực nầy Vì vậy trong những trường hợp tương tự, chỉ