CHUYÊN ĐỀ LƯỢNG GIÁC Chương VI.. CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC.. * Góc lượng giác là góc được gắn với đường tròn lượng giác có nghĩa là có chiều dương, chiều âm và độ lớn tùy ý.. Hai góc lương
Trang 1CHUYÊN ĐỀ LƯỢNG GIÁC
Chương VI CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
A KIẾN THỨC CẦN NHỚ.
1 Góc và cung lượng giác.
* Cung tròn có số đo bằng 1
360 số đo của đường tròn gọi là 1 độ và kí hiệu : 1
0 Cung tròn có độ dài bằng bán kính gọilà cung có số đo 1 radian, gọi tắt là cung 1 radian
* Góc lượng giác là góc được gắn với đường tròn lượng giác có nghĩa là có chiều dương, chiều âm và độ lớn tùy ý Hai góc lương giác có chung tia đầu và tia cuối có dạng α vàα+k2π.
* Cho đường tròn lương giác gốc A, góc α có tia cuối là OM Khi đó tung độ của M gọi là sinα , hòanh độ của M gọi là cos , tỉ số α sin
cos
α
α gọi là tang α , kí hiệu : tanα , tỉ số
cos sin
α
α gọi là côtang α , kí hiệu : cotα
Ta có : −1≤sinα,cosα≤1 ; cos(α+k2π)=cosα;sin(α+k2π)=sinα
sin2 cos2 1; tan cot 1; 1 tan2 12 ; 1 cot2 12
2 Giá trị lượng giác của những góc có liên quan đặc biệt.
* Hai góc đối nhau thì có cosin bằng nhau còn các giá trị khác đối nhau
* Hai góc bù nhau thì có sin bằng nhau còn các giá trị khác đối nhau
* Hai góc hơn kém nhau π thì có sin và cosin đối nhau còn các giá trị khác bằng nhau.
* Hai góc phụ nhau thì có cosin góc này bằng sin góc kia, tan góc này bằng cot góc kia
3 Công thức lương giác.
* Công thức cộng.
β α β
α β
α ) cos cos sin sin
α β β
α β
α ) sin cos sin cos
β α
β α
β
α
tan tan 1
tan tan
)
tan(
±
=
±
* Công thức nhân đôi.
*cos2α =cos2α−sin2α =1−2sin2α =2cos2α−1 *sin 2α =2sin cosα α * α
α
tan 1
tan 2 2
tan
−
=
* Công thức hạ bậc
2
2 cos 1 sin
; 2
2 cos 1
*Công thức biến đổi tổng thành tích.
[cos( ) cos( )] 2
1 cos cosα β = α −β + α +β
[cos( ) cos( )] 2
1 sin sinα β = α −β − α +β
[sin( ) sin( )] 2
1 cos sinα β = α −β + α +β
*Công thức biến đổi tổng thành tích.
2
sin 2 sin 2 cos
cos
; 2
cos 2 cos 2 cos cosx+ y = x+y x−y x− y=− x+y x−y
sin cos
2 sin sin
; cos
sin 2 sin sinx+ y= x+ y x−y x− y= x+ y x−y
Trang 2CHUYÊN ĐỀ LƯỢNG GIÁC
B BÀI TẬP.
LOẠI 1 : Tính giá trị lượng giác 1 cung
1 a) Cho sinα =
5
3
; và π <α<π
2 .Cho Tính cosα, tanα, cotα
b) Cho tanα = 2 và
2
3π α
π < < Tính sinα, cosα
2 a) Cho cosα = 12
13
− ; và π <α <π
2 Tính sin 2 , cos 2 , tan 2 , cot 2α α α α b) Cho cotα = 2 và 0
4
π α
< < Tính sin 2 , cos 2 , tan 2 , cot 2α α α α c) Cho sin cos 1
5
α− α = Tính sin 2 , cos 2α α
3 a) Cho sinα = 5
9
− ; và π <α <π
2 Tính sin , cos , tan2 2 2, cot 2
b) Cho cos α = 5
13 và
3
2
2π α π< < Tính sin , cos , tan , cot
4 Cho sinα = 4
5; và 0 2
π α
< < Cho Tính cosα, tanα, cotα
LOẠI 2: Chứng minh hằng đẳng thức
5 Chứng minh rằng:
a
−
2
2 2
sin cos
1 cos
2
−
−
6.Chứng minh rằng:
2
sinx sin
2
x
x
π
+
7 Chứng minh đẳng thức lượng giác sau:
a) 3 3
sin x + cos x = (sinx + cosx)(1 - sinx.cosx) b) 3 3
sin x - cos x = (sinx - cosx)(1 + sinx.cosx)
c) cos x + sin x = 1 - 2 sin x.cos x4 4 2 2 d) (1 - sinx)(1 + sinx) = sin x.cot x2 2 e) sin x.cotx 1
cosx = f) sin x tan x2 2 12 cos x2
cos x
8 Chứng minh đẳng thức lượng giác sau:
sina−cosa =cos a 1 tan− a +sin a 1 cot− a b tan2a−sin2a=tan sin2a 2a
Trang 3CHUYÊN ĐỀ LƯỢNG GIÁC
c
1 sin cos sin cos
+ d
1 2sin cos tan 1
e.sin4a+cos4a−sin6a−cos6a=sin cos2a 2a f 3 cos( 4a+sin4a) (−2 cos6a+sin6a) =1
g sin 1 cos 2
1 cos sin sin
+
+ h.
1 os 1 cos
2cot 0
π
+ − − = < <
9 Chứng minh rằng:
4
1
LOẠI 3: Rút gọn một biểu thức
10:Rút gọn các biểu thức:
sin sin 3
2 os4
−
e/
2
1 2sin
sin cos
a A
−
=
− f/
1 sin 1 sin
1 sin 1 sin
B
− + .g/M = −(1 sin2a)cot2a+ −1 cot2a h/
2
sin cos
a N
−
=
+ i/K = sin2a(1 cot+ a)+cos2a(1 tan+ a) j/P= +(1 cota)sin3a+ +(1 tana)cos3a
k/
2
cot
Q
a
= l /
sin tan
E
−
=
cot sin cos
F
=
−
LOẠI 4: Tính giá trị một biểu thức
12/tính cot 2 tan
tan 3cot
E
−
=
3 sin
5
a= và 900 < <a 1800 13.Tính sin 3cos
cos 2sin
F
−
=
+ biết tana= −3
14.Tính
2cos sin cos sin
G
=
+ − biết cota=2 15.Tính 2sin 3cos
sin cos
B
−
=
+ biết tana=2
16.Tính
P
=
− + biết tana= −3
LOẠI 5: Chứng minh một biểu thức cho không phụ thuộc x
17 Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc x:
3 cos sin 2 cos sin
A= − x+ x + x+ x B=3 sin( 8x c− os8x) (+4 cos6 x−2sin6x)+6sin4x
C= x+ x+ a a − x c+ x D=4 sin( 4x+cos4x)−cos4x
os sin
sin cos sin cos
c x x
x x
+
+
LOẠI 6:Biểu diễn cung lượng giác trên đường tròn LG
18 Biểu diễn các cung sau trên đường tròn LG
a -5
4
π
b 2250 c -7650 d 10
3
π
LOẠI 7:Bài toán trong tam giác
19 Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta có:
Trang 4CHUYÊN ĐỀ LƯỢNG GIÁC
( )
c)cos cos cos 1 4sin sin sin2 2 2
d) cos 2A+cos 2B+cos 2C= − −1 4cos cos cosA B C
Loại 7: CUNG ( GÓC) CÓ LIÊN QUAN ĐẶC BIỆT
( ù)
A B+ = −π C b
A B+ = −π C (phụ)
sin A B+ =sinC
( )
c
+ = tan cot
20.Chứng minh rằng:
1) tan10 tan 20 tan 70 tan 800 0 0 0 =1
2) cos200+cos40 os1600 c 0+cos1800 = −1
3) tan 500+tan 750 =tan 2300+tan 2550
4) cos200+cos400 =sin1100+sin1300
5) sin 250+sin 650 =sin1550+sin1150
6) sin 750+sin 650+cos1650+cos2050 =0
7)
0 0
sin168 sin192
cot12 2 sin 78
21 Tính giá trị biểu thức :
8)
0
sin( 234 ) os216
tan 36 sin144 os126
c A
c
=
−
0
cot 44 tan 226 os406
ot17 ot73 os316
c
c
+
10)C= cot 5 cot10 cot 80 cot 850 0 0 0
11) D=cos100+cos 200+cos 300+cos1900+cos 2000+cos 2100
12)
E
c
π
=
−
22.Đơn giản biểu thức sau :
2