Hướng dẫn sử dụng casio FX570 để giải toán bài 7

Buổi 7 HƯỚNG DẪN GIẢI TOÁN VỀ DÃY SỐKIẾN THỨC: - Lập công thức truy hồi của dãy số cho bới công thức tổng quát.. LẬP CÔNG THỨC TRUY HỒI.. Lập công thức truy hồi: viết x thành u, chuyển c

Buổi 7 HƯỚNG DẪN GIẢI TOÁN VỀ DÃY SỐ

KIẾN THỨC:

- Lập công thức truy hồi của dãy số cho bới công thức tổng quát

- Áp dụng giải một số dạng khác

NỘI DUNG.

III LẬP CÔNG THỨC TRUY HỒI.

Phương pháp 1 Phương trình đặc trưng.

Ví dụ: Cho dãy số

n

(2 3) (2 3)

2 3

= ≥ Lập công thức truy hồi tính Un 2+ theo

n 1 n

U , U+

B1 Lập phương trình đặc trưng:

Gọi x1 = +2 3;x2 = −2 3⇒ +x1 x2 =4;x x1 2 =1 Vậy x ,x lànghiệm phương trình:1 2 2

x −4x 1 0+ =

B2 Lập công thức truy hồi: viết x thành u, chuyển chỉ số thành số mũ và cộng thêm n

Phương pháp 2 Giải hệ phương trình.

Ví dụ (TTT Số 40) Cho

n

U

2 3

=

a) Tính U1; ;U4

b) Tính Un+2 theo Un;Un+1

c) Lập trình ấn phím tính Un+2 theo Un;Un+1 Tính U5; ;U16

Giải

c) * Đặt U n 2+ = aU n 1+ + bU n ta có U1 =1; U2 =20; U3 =303; U4 =4120

* Thay vào ta có hệ 303 a.20 b.14120 a.303 b.20== + +



* Giải hệ trên máy tính ta có:

MODE MODE 1 3 Nhập hệ số

= = = ta được a = 20, b = -97

* Vậy U n 2+ = 20U n 1+ − 97U n

Phương pháp 3 Chứng minh quy nạp.

Ví dụ (TTT Số 40) Cho

n

(10 3) (10 3) U

2 3

=

c) Lập trình ấn phím tính Un+2 theo Un;Un+1 Tính U5; ;U16

* Đặt

2 2

20(a + b ) 97(a+ b ) 20U + 97U

Bài 3: Cho dãy số un =

+ + − − n = 0; 1; 2; 3 … a) Tính 5 số hạng đầu tiên

b) Lập một công thức truy hồi để tính un+1 theo un và un-1

c) Lập một quy trình tính un+1 trên máy casio

HD

2

5 3 2

5

−







 − +







 + , sau đó nhấn phím CALC, =, nhập các giá trị X = 0; 1; 2; 3; 4 được kết quả:u0 = 0 ; u1 = 1 ; u2 = 5 ; u3 = 16 ; u4 = 45

b) Đặt a = 3 5

2

+ và b = 3 5

2

−

Ta có: un an bn 2 ;un 1 an 1 bn 1 2 an 3 5 bn 3 5 2

n 2

u + = a + + b + − 2 = an 3 5 2 bn 3 5 2 2

an 9 6 5 5 bn 9 6 5 5 2

an 18 6 5 4 bn 18 6 5 4 2

= 3 an 3 5 bn 3 5 (an bn) 2

= 3 an 3 5 bn 3 5 2 (an bn 2) 2

Vậy un + 2 = 3un+1 – un + 2

c) gán: 0→A ; 1→ B ; ghi A = 3B – A + 2 : B = 3A – B + 2 bấm “=” (u2) = …

IV MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ DÃY SỐ:

Bài 1: Cho dãy số (5 7) (5 7)

2 7

n

= với n = 0; 1; 2; 3;

a) Tính 5 số hạng đầu tiên U0, U1, U2, U3, U4

b) Chứng minh rằng Un + 2 = 10Un + 1 – 18Un

c) Lập quy trình bấm phím liên tục tính Un + 2 theo Un + 1 và Un

HD giải:

a) Thay n = 0; 1; 2; 3; 4 vào công thức ta được

U0 = 0, U1 = 1, U2 = 10, U3 = 82, U4 = 640

b) Chứng minh: Giả sử Un + 2 = aUn + 1 + bUn + c Thay n = 0; 1; 2 và công thức ta được hệ phương trình:

10

U aU bU c a c

U aU bU c a b c

a b c

U aU bU c



Giải hệ này ta được a = 10, b = -18, c = 0

c) Quy trình bấm phím liên tục tính Un + 2 trên máy Casio 570MS , Casio 570ES

Đưa U1 vào A, tính U2 rồi đưa U2 vào B

1 SHIFT STO A x 10 – 18 x 0 SHIFT STO B,

lặp lại dãy phím sau để tính liên tiếp Un + 2 với n = 2, 3,

x 10 – 18 ALPHA A SHFT STO A (được U3)

x 10 – 18 ALPHA B SHFT STO B (được U4)

Bài 2: Cho dãy số { }U n được tạo thành theo quy tắc sau: Mỗi số sau bằng tích của hai số trước cộng với 1, bắt đầu từ U0 = U1 = 1

a) Lập một quy trình tính un

b) Tính các giá trị của Un với n = 1; 2; 3; ; 9

c) Có hay không số hạng của dãy chia hết cho 4? Nếu có cho ví dụ Nếu không hãy chứng minh

Hướng dẫn giải:

a) Dãy số có dạng: U0 = U1 = 1, Un + 2 = Un + 1 Un + 1, (n =1; 2; )

Quy trình tính Un trên máy tính Casio 500MS trở lên:

1 SHIFT STO A x 1 + 1 SIHFT STO B Lặp lại dãy phím

x ALPHA A + 1 SHIFT STO A x ALPHA B + 1 SHIFT STO B

b) Ta có các giá trị của Un với n = 1; 2; 3; ; 9 trong bảng sau:

U0 = 1 U1 = 1 U2 = 2 U3 = 3 U4 = 7

U5 = 22 U6 = 155 U7 = 3411 U8 = 528706 U9 = 1803416167

Bài 3(TTT số 36) Cho dãy xác định bởi U 1 = 1, U 2 = 3, U n = 3U n 1− khi n chẳn và

n n 1 n 2

U = 4U − + 2U − khi n lẻ.

a) Lập trình ấn phím liên tục tính Un

b) Tính U , U , U , U , U 10 11 12 14 15

Bài 4(TTT số 33) Cho dãy được xác định bởi: U 1 = 0, U 2 = 14, U 3 = − 18;

n 1 n 1 n 2

U + = 7U − − 6U − , n 3 ≥

a) Lập trình tính Un và Tính U4, U5, , U20

b) Lập và chứng minh công thức tổng quát

c) Chứng minh rằng với mọi số nguyên tố p thì Up chia hết cho p

a) 0 SHIFT STO A 14 SHIFT STO B ( ) 18 SHIFT STO C 3 SHIFT STO M −

ALPHA M ALPHA = ALPHA M + 1 ALPHA :

ALPHA A ALPHA = 7 ALPHA B − 6 ALPHA A ALPHA :

ALPHA M ALPHA = ALPHA M + 1 ALPHA :

ALPHA B ALPHA = 7 ALPHA C − 6 ALPHA B ALPHA :

ALPHA M ALPHA = ALPHA M + 1 ALPHA :

ALPHA C ALPHA = 7 ALPHA A − 6 ALPHA C

b)

U + = 7U − − 6U − ⇒ U + = 7U + − 6U ⇒ x + = 7x + − 6x ⇒ x = 7x − 6x ⇒ x = 7x − 6x

3

x 7x 6 0

Giải phương trình trên máy fx 570ms

1 = 0 = − 7 = 6 = = = (Kết quả x1 =1;x2 =2;x3 = −3 )

* Phương trình đặc trưng có nghiệm tổng quát: xn = +c1 c 22 n+c ( 3)3 − n

* xn = +c1 c 22 n+c ( 3)3 − n ⇒Un = +c1 c 22 n+c ( 3)3 − n

* Thay vào ta có hệ :

1 2 27 3

c 2c 3c 0

c 4c 9c 14

c 8c − c 18



 + + =





* Giải hệ trên máy ta có:

(Kết quả c1 = = =c2 c3 1)

Vậy Un = + + −1 2n ( 3)n

Cách 2: Chứng minh quy nạp.

n 1 n 1 n 2

7 7.2 7.( 3) 6 6.2 6.( 3) 1 2 (7 6 ) ( 3) (7 6 )

1 2 ( ) ( 3) ( ) 1 2 2 ( 3) ( 3) 1 2 ( 3)

−

−

c) Với p nguyên tố ta có 2 p ≡ 2(mod p);( 3) − p ≡ − ( 3)(mod p) (định lý nhỏ Phéc ma)

U = + + − 1 2 ( 3) ≡ + − ≡ (1 2 3) 0(mod p) hay U p M

Bài 5 (2012-2013) Cho dãy số nguyên , fi , fi+1, thoả mãn tính chất mỗi số trong dãy bằng tổng của hai số sát trước số đó (fi = fi-1+fi-2) Cho biết fi và fj là hai phần tử thuộc dãy với giá trị của i = 6 và fi = 8; j = 2 và fj = 1 Tính giá trị f9

Bài 6: Cho dãy số u0 = 2 ; u1 = 3 ; un+1 = u2

n + u2 n-1

a) Lập quy trình tính un

b) Tính u2 , u3, u4 , u5

Hướng dẫn:

a) Gán: 2 →A ; 3 → B ; ghi A = B2 + A2 : B = A2 + B2 ấn liên tục dấu “=”

b) Kq: u2 = 13 ; u3 = 178 ; u4 = 31853 ; u5 = 1014645293

Bài 7: Cho dóy số sắp thứ tự u1 , u2 , u3 , …, un, un + 1… Biết u1 = 1; u2 = 2 ; u3 = 3 và un

= un – 1 + 2un – 2 + 3un – 3

a) Tớnh u4 , u5 ; u6 ; u7

b) Viết quy trỡnh bấm phớm liờn tục để tớnh giỏ trị của un với n ≥4

c) Sử dụng quy trỡnh trờn để tớnh giỏ trị của u22 , u25 ; u28 ; u30

Hướng dẫn:

a) Vì un = un – 1 + 2un – 2 + 3un – 3 => u 4 = u 3 + 2u 2 + 3u 1 = + 3 2.2 3.1 10 + = ; tương tự ta

tính được u ,u ,u 5 6 7 Kết quả: u5 = 22 ; u6 = 51 ; u7 = 125

b) Gỏn: 1 →A ; 2 → B ; 3→C ghi A = C + 2B + 3A : B = A + 2C + 3B : C = B + 2A + 3C , ấn liờn tục dấu “=” được cỏc số hạng tiếp theo của dóy

c) u22 = 53147701 ; u25 = 711474236 ; u28 = 9524317645 ; u30 = 53697038226

Bài 8(2012-2013) Đường lên động Thiên Đường là một hệ thống bậc cấp gồm rất nhiều bậc Một

bậc người khổng lồ khi đi lên hệ thống bậc cấp có thể đi được 3 loại bước đi có số lượng bậc cấp lần lượt là 1,2,3 bậc Hai cách đi được gọi là khác nhau nếu giữa hai cách tồn tại một bước đi khác nhau trong trình tự các bước đi

Yêu cầu: Đếm số cách đi của người khổng lồ khi đi từ sàn (bậc 0) đến đúng bậc thứ 40 của hệ

thống bậc cấp

Ví dụ:

- Cần xác định số cách đi từ sàn đến đúng bậc thứ 3 của hệ thống cấp bậc Có 3 loại bước đi, bước

đi loại 1 là 1 cấp bậc, loại 2 là 2 cấp bậc, loại 3 là 3 cấp bậc

- Khi đó có 4 cách đi từ sàn đến đúng bậc thứ 3

Cách đi Thứ tự bậc người khổng lồ đi qua

1 Từ bậc 0 đến bậc 1 đến bậc 2 đến bậc 3

2 Từ bậc 0 đến bậc 1 đến bậc 3

3 Từ bậc 0 đến bậc 2 đến bậc 3

4 Từ bậc 0 đến bậc 3

Bài 9: Cho dãy số (un) xác định bởi: o 1

n

u 0, u 1

u + 1999u + u , n N







Tìm tất các số tự nhiên n sao cho un là số nguyên tố

BÀI TẬP GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY (08-11-2013) Bài 1: Cho dãy số (2 3) (2 3)

2 3

n

= , n = 0, 1, 2,

a) Chứng minh un nguyên với mọi n tự nhiên b) Tìm tất cả n nguyên để un chia hết cho 3

n

U  +   − 

= ÷ ÷ + ÷÷ −

    với n = 1; 2; 3;

a) Tính 5 số hạng đầu tiên U1, U2, U3, U4 , U5

b) Lập công thức truy hồi tính Un + 1 theo Un và Un – 1

c) Lập quy trình bấm phím liên tục tính Un + 1 trên máy Casio

Bài 3: Cho dãy số với số hạng tổng quát được cho bởi công thức

3 2

) 3 13 ( ) 3 13

n

với n = 1 , 2 , 3 , k ,

a) Tính U1 ,U2 ,U3 ,U4 ,U5 ,U6 ,U7 ,U8

b) Lập công thức truy hồi tính U n+ 1 theo U n và U n− 1

c) Lập quy trình ấn phím liên tục tính U n+ 1 theo U n và U n− 1

Bài 4: Dãy số (an) được xác định theo công thức:

n

a = +  n N∈

  ; (kí hiệu (2+ 3)n

  là phần nguyên của số(2 + 3)n)

Chứng minh rằng dãy (an) là dãy các số nguyên lẻ

Bài 5: Cho dãy số U1 = 1, U2 = 2, Un + 1 = 3Un + Un – 1 (n ≥ 2)

a) Hãy lập một quy trình tính Un + 1 bằng máy tính Casio

b) Tính các giá trị của Un với n = 18, 19, 20

Bài 6: Cho dãy số U1 = 1, U2 = 1, Un + 1 = Un + Un – 1 (n ≥ 2)

c) Hãy lập một quy trình tính Un + 1 bằng máy tính Casio

d) Tính các giá trị của Un với n = 12, 48, 49, 50

Bài 7: Cho dãy số sắp thứ tự với U1 = 2, U2 = 20 và từ U3 trở đi được tính theo công thức Un + 1 = 2Un + Un + 1 (n ≥ 2)

a) Tính giá trị của U3 , U4 , U5 , U6 , U7 , U8

b) Viết quy trình bấm phím liên tục tính Un

c) Sử dụng quy trình trên tính giá trị của Un với n = 22; 23, 24, 25

Bài 8: Cho U0 = 1 ; U1 = 3 ; Un = 2Un-1 – Un-2 Với mọi số tự nhiên n lớn hơn 2 Tìm:

a) U20 = ? b) S20 = U1 + U2 + U3 + + U20

Bài 9: Cho dãy số (an) được xác định bởi: o 2

n 1









=

= + − , n N* ∈

a) Xác định công thức số hạng tổng quát an

b) Chứng minh rằng số: ( 2n )

1

5

= + biểu diễn được dưới dạng tổng bình phương của 3 số nguyên liên tiếp với mọi n ≥ 1

Bài 10: Cho dãy số (an) xác định bởi: 1 2

n

a 5,a 11

a + 2a 3a , n 2,n N−







= − ≥ ∈ Chứng minh rằng:

a) Dãy số trên có vô số số dương, số âm b) a2002 chia hết cho 11

Bài 11: Cho dãy số (an) xác định bởi:

2

n 1 n

n 2

a a 1

a−−











= =

+

Chứng minh an nguyên với mọi n tự nhiên

Bài 12(TTT số 33) Cho dãy số với U1 = 1, U2 = 2, U4 = 12 và 2

n 1 n 1 n

U U+ − = U ± 1 Chứng

tỏ rằng có duy nhất một dãy số xác định từ công thức trên để Un dương với mọi n = 2,3,4,

Bài 13 (TTT Số 37) Cho

2 n

n

a

a 2005,a , n 0,1, 2,

a 1

+

+

a) Với n = 0,1,2,3,4,5 hãy tính [ ]a n phần nguyên của an

b) Chứng minh [ ]a n = 2005-n với mọi 0 n 2003 ≤ ≤

HD

a)

2

2005

=

÷ + = ấn = liên tục ta có

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

a 2004,0004 a 2004

a 2003, 0009 a 2003

a 2002,0010 a 2002

a 2001,0010 a 2001

a 2000,0020 a 2000

Vây ta có [ ]a n = 2005 n −

Vì an > 0 nên với mọi n ta có 2n n { }

+

Ta lại có a n = + a 0 (a 1 − a ) (a 0 + 2 − a ) (a 1 + + n − a ) n 1−

Với 0 n 2003 ≤ ≤ , do dãy { }a n giảm và a n > 2005 n 0 − > nên

a 1 + + a − 1 a < − 1 + + a − 1 a < − 1 a ≤ 1 2005 1002 1 < <

Vậy [ ]a n = 2005 n − với 0 n 2003 ≤ ≤

Bài 14 (TTT số 37) Cho dãy n

n 1

n

3x 1

+

a) Tính xn, n=0,1,2, ,15 với x0 = 1, x0 = 3

b) Chứng minh rằng dãy số trên là tuần hoàn với mọi x0 cho trước bát kỳ, tức là tồn tại một số N nguyên dương sao cho với mọi x0 dãy { }x 0 xác định như trên ta có: x n N+ = x n

với mọi n = 1,2,3,

HD.a)

1

=

ấn liên tiếp = được xn

Khai báo x =3

3 = dùng  di chuyển lên công thức trên và ấn liên tiếp =

b) Tính theo công thức truy hồi ta có

0

x

Vậy { }x n tuần hoàn chu kỳ là N = 6

Bài 15 (TTT Số 37) Cho dãy được xác định như sau : n 1 n 1

a a 5,a

98

1,2,

a) Tính an với n = 1,2,3,4,5 và a n 1

6

+ với n = 1,2,3, ,10

b) Chứng minh a n 1

6

+

là số chính phương với mọi n Giải

a) Từ n 1 n 1

98

+

= ⇒ = − Tính an như sau:

Khai báo a 0 = = a 1 5và an 1+ = 98an− an 1− và n

n

c

6

+

= và biến đếm M

b / c

5 SHIFT STO A 5 SHIFT STO B 1 SHIFT STO M

ALPHA A ALPHA 98 ALPHA B ALPHA A ALPHA :

ALPHA B ALPHA 98 ALPHA A ALPHA B ALPHA :

= HA B + 1 ) a b / c 6 )

ấn liên tíêp phím = để được an, cn

b) Đặt

2 n

a 1

6

+

Vậy bn là những số nguyên Hơn nữa ta có b n = 98b n 1− − b n 2− − ⇒ 16 16 98b = n 1− − − b n b n 2−

Vậy b n 1+ = 98b n − b n 1− − = 16 98b n − b n 1− − (98b n 1− − − b n b n 2− ) 99b = n − 99b n 1− + b n 2−

Đặt d 0 = = d 1 1,d n = 10d n 1− − d n 2− ta chứng tỏ rằng 2

n n

b = d , hay bn là số chính phương với n = 1,2,3, ,10

Giả sử đúng mọi n ta chứng minh đúng n+1 Ta có d n 2− = 10d n 1− − d n

2

n n 1 n n 1 n n 1 n 1

Bài 16 (TTT Số 38) Cho S 1 = 81,S 2 = + S 1 225,S 3 = + + S 1 S 2 625,S 4 = + + + S 1 S 2 S 3 1521,

S = + + + + S S S S 3249,

a) Viết quy trình bấm phím tính liên tục Sn

b) Tính S25, S50, S100

Giải

2 2 1

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

S 81 (2.1 7)

S S 225 S (2.2 7)

S S S S S S − (2.n 7)

Quy trình ấn phím (Trên FX 570MS )

A = 0, M =0

M + M+1; A = A + (2M2 + 7 )2

0 SHIFT STO A 0 SHIFT STO M

b) Lặp lại 50 lần ấn phím = ta có S25 = 8775050

Lặp lại thêm 50 lần ấn phím = ta có S50 = 2638771010

Lặp lại thêm 100 lần ấn phím = ta có S100 = 82108112020

Bài 17(TTT Số39 ) Biết dãy số { }a n xác định như sau a 1 = 1;a 2 = 2;a n 2+ = 3a n 1+ + 2a n với

mọi n nguyên dương Tính A15

Giải

Cách 1.

Khai báo A =1,B = 2, 3 B + 2A → A; 3A + 2 B→ B

1 SHIFT STO A 2 SHIFT STO B

3 ALPHA B 2 ALPHA A SHIFT STO A

3 ALPHA A 2 ALPHA B SHIFT STO B

+ +

=



Lặp lại liên tiếp 11 lần các phím  = để được a15 = 32826932

Cách 2.

3 4 5

=



Lặp lại liên tiếp 10 lần các phím  = để được a15 = 32826932

Cách 3 (FX 570MS)

3 4

1 SHIFT STO A 2 SHIFT STO B

SHIFT COPY



ấn tiếp 11 lần phím = ta được a15 = 32826932

Cách 4 (FX570MS)

1 SHIFT STO A 2 SHIFT STO B

ALPHA A ALPHA 3 ALPHA B 2 ALPHA A ALPHA :

ALPHA B ALPHA 3 ALPHA A 2 ALPHA B

ấn tiếp 13 lần phím = ta được a15 = 32826932

Cách 5 (FX570MS)

Khai báo A =1, B = 2, M =2

Lập công thức

M = M+1 : A = 3B + 2A

M = M+1 : B = 3A + 2B

1 SHIFT STO A 2 SHIFT STO B 2 SHIFT STO M

ALPHA A ALPHA 3 ALPHA B 2 ALPHA A ALPHA :

ALPHA B ALPHA 3 ALPHA A 2 ALPHA B

ấn tiếp 26 lần phím = ta được a15 = 32826932

Cách 6 (Công thức nghiệm)

n

ấn trên FX570 MS

15

^

^

Bài 18: Cho dãy u n xác định bởi: 21 ( )

1 2

2

2

n n

u

u

−

−

+

a) Tính các giá trị chính xác của u u u u u u u u3 , 4 , 15 , 16 , 17 , 18 , 19 , 20 Viết qui trình bấm phím b) Lập công thức truy hồi tính u n+2 theo một biểu thức bậc nhất đối với u n+1 và u n