Phơng pháp tìm giới hạn bằng đạo hàmNh chúng ta đã biết, đạo hàm là kết quả của một phép lấy giới hạn; thế nhng, nhiều bài toán tìm giới hạn, ngợc lại, có thể giải bằng cách dùng đạo hàm
Trang 1Phơng pháp tìm giới hạn bằng đạo hàm
Nh chúng ta đã biết, đạo hàm là kết quả của một phép lấy giới hạn; thế nhng, nhiều bài toán tìm giới hạn, ngợc lại, có thể giải bằng cách dùng đạo hàm Theo định nghĩa đạo hàm: nếu f x( ) khả vi tại x0 thì
0
0 0
( ) ( )
lim f x f x f x'( )
x x
− , ta sẽ áp dụng điều này để phân tích và tính các bài giới hạn có liên quan Phơng pháp này rất hữu hiệu trong việc khử dạng vô định và giải đợc một lớp rất rộng các bài toán giới hạn có liên quan đến các hàm lợng giác, hàm số mũ, hàm logarit mà các phơng pháp đánh giá thông thờng phải khó khăn lắm mới có thể giải quyết
đợc!
Dạng vô định thờng gặp là
( ) lim
x x
g x
x x
→ − , trong đó: f x( ) 00 = , ta viết g x( ) dới
dạng g x( )= f x( )− f x( )0 rồi tính giới hạn trên ở dạng:
0
0
0 0
( ) ( )
x x
f x f x
f x
x x
→
− (thông thờng thì x0 =0).
Ví dụ 1: Tính giới hạn sau: 3
0
lim
x
x
→
+ − + .
Giải: Ta xét f x( )=3 x+ −1 x+ ⇒1 f(0) 0= , suy ra giới hạn trên có thể viết lại là:
0
( ) (0)
0
x
f x f
f x
→
'( )
2 1
3 ( 1)
f x
x x
+ + nên giới hạn đã cho là: 1
'(0)
6
Ví dụ 2: Tính giới hạn sau:
4
tan 2 cos lim
4
x
x
→
−
Trang 2Giải: Tơng tự ví dụ trên, ta xét hàm số f x( ) tan= x− 2 cosx, rõ ràng f x( )
khả vi tại
4
x=π , f x'( ) 1 tan= + 2x+ 2 sinxvà ( ) 1 2 2 0
f π = − = nên ta cũng
đ-a về tính giá trị:
( ) ( )
f x f
f
π
π
−
Vậy giới hạn cần tìm là 3
Ví dụ 3: Tính giới hạn sau:
2 2 0
1 lim
x x x
e x
+
→
− .
Giải: Xét hàm số f x( )=e x2+2x ⇒ f(0) 1= , rõ ràng f x( ) khả vi tại x=0 và
2 2 '( ) (2 2) x x
f x = x+ e + Do đó, giới hạn cần tìm là:
2
2
2
0 2.0
1 ( ) (0)
0
x x
+
+
Bài tập áp dụng:
1 Tính giới hạn sau: 2011
0
4 1 1 lim
x
x x
→
+ − .
Từ đó chứng minh giới hạn tổng quát:
0
1 1 lim
n x
0,
a> n∈Ơ
2 Tính giới hạn sau:
3
3.cos sin tan lim
x
x
→
−
3 Tính giới hạn sau: 2 3 3
0
lim
5
x
x
→
4 Với giá trị n thế nào thì
0
( 1) (1 )
x
x
→
+ − − = ?
Trang 35 Tính giới hạn sau: lim 1 ln ln
x
x e
x e
−
→
−
6 Bằng cách dùng định nghĩa đạo hàm, hãy tính giới hạn sau:
5 0
cos ln( 1) 3 8 4 lim
.cos
x x
→
7 Tính giới hạn sau:
0
cos 1 cos 1 cos 1 cos 1
x
→
Trang 4Sử dụng đạo hàm để tìm giới hạn
Lời giải
85 Tính giới hạn: 2011
0
4 1 1 lim
x
x x
→
+ − .
Xét hàm số ( ) 20114 1 1 ( ) 2011 4 2010
2011 (4 1)
x
′
+
Ta thấy: ( )f x khả vi tại 0 và (0) 0 f = nên:
2011
f
Ta cần chứng minh công thức giới hạn tổng quát:
Nếu a>0 và n∈Ơ thì *
0
1 1
n x
→ + − = Bằng lập luận tơng tự, ở bài toán tổng quát, ta xét hàm số:
1
( 1)
n
n n
a
′
+ Suy ra:
0
n
f
86 Tính giới hạn:
3
3 cos sin tan lim
x
x
→
ì − ữ
Xét hàm số:
Trang 5( ) 3.cos sin tan ( ) 3 sin cos (1 tan )
Ta thÊy: ( )f x kh¶ vi t¹i
3
π
vµ ( ) 0
3
nªn:
( ) ( )
3 3
f x
x
π
π π
−
× − ÷
VËy giíi h¹n cÇn t×m lµ 15
π
−
Trang 687 Tính giới hạn sau
0
lim
5
x
x
→
Xét hàm số:
2
′
thấy: ( )f x khả vi tại 0 và (0) 0 f = nên:
f
Vậy giới hạn cần tìm là 3371
750
88 Ta xét hai trờng hợp:
-Nếu n là số chẵn thì đặt n=2 , m m∈Ơ Xét hàm số:
( ) ( 1) m ( 1) m ( ) 2 ( 1) m ( 1) m
Ta thấy hàm số này khả vi tại 0 và (0) 0f = nên:
0
Để giới hạn này bằng 0 thì 4m= ⇔ = ⇔ =0 m 0 n 0
-Nếu n là số lẻ thì đặt n=2m+1, m∈Ơ Xét hàm số:
( ) ( 1) m ( 1) m ( ) (2 1) ( 1) m ( 1) m
Ta thấy hàm số này khả vi tại 0 và (0) 0f = nên:
0
Trang 7Để giới hạn này bằng 0 thì 2(2 1) 0 1
2
m+ = ⇔ = −m , loại
Vậy giá trị n thỏa mãn đề bài là n=0
89 Tính giới hạn:
lim
x
x e
x e
−
→
−
Xét hàm số: 1 ln
2
1
Ta thấy: ( )f x khả vi tại e và ( ) 0 f e = nên:
1 ln
x
f e
−
Vậy giới hạn cần tìm là 2
e
−
0
lim
cos
x x
→
Trớc hết, ta thấy rằng cos5x→1 khi x→0
Xét hàm số f x( ) cos= 4x+ln(x+ +1) 3e x −3 x+8 x+4 thì dễ thấy hàm này khả vi tại 0 và (0) 0f = nên:
5
x
f
Ta có:
2 3
x
nên (0) 0 1 3 1 2 1 2 10
f′ = + + − ì − ì =
Trang 8Vậy giới hạn cần tìm là 10
3
91 Tính giới hạn:
0
x
→
Trớc hết, ta sẽ tính giới hạn dạng tổng quát:
0
cos 1 lim
k x
x kx
→
− .
Ta xét hàm số: f x( ) cos= k x−1, k∈ ⇒Â f x′( )= −k.sin cosx k−1x
Dễ thấy hàm này khả vị tại 0 và (0) 0f = nên:
0
k
′
− Vậy giới hạn đã cho là
0
x
→