Đường thẳng qua trung điểm M của cạnh BC song song với AD cắt AC tại E và cắt AB tại F.. ĐÁP ÁN KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 8... Đường thẳng qua trung điểm M của cạnh BC song song
Trang 1PHÒNG GD&ĐT HÀM
THUẬN BẮC
THCS PHÚ LONG
Khóa ngày: 14/05/2015
********************
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LÊ QUÝ ĐÔN ĐỀ THI CHÍNH THỨC
MÔN TOÁN 8 Năm học: 2014 – 2015
(Thời gian làm bài 150 phút không
kể thời gian phát đề)
ĐỀ BÀI Bài 1: (5.0 điểm)
A
- Thực hiện rút gọn A
- Tìm x nguyên để A nguyên
b) Chứng minh: a2 + b2 + c2 ≥ ab + ac + bc với mọi số a, b, c
Bài 2: (4.0 điểm)
a) Giải phương trình: 2x3+3x2−8x+ =3 0
b) Tìm x, y nguyên thỏa mãn đẳng thức: x3−xy− = −3 x 2y
Bài 3: (4.0 điểm)
Cho biết x5+ − =x 1 (x3+x2−1) (x2− +x 1)
a) Phân tích số 10.000.000.099 thành tích của 2 chữ số tự nhiên khác 1
b) Cho 2a + 3b = 5 Chứng minh 2a2 + 3b2 ≥ 5
Bài 4: (4.0 điểm)
Cho hình chữ nhật ABCD Gọi H là hình chiếu vuông góc của
B trên AC; E, F, M, N lần lượt là trung điểm của AB, DH, HC, AD
a) Chứng minh: Tứ giác BEFM là hình bình hành
b) Chứng minh: EF ⊥ MN
Bài 5: (3.0 điểm)
Cho tam giác ABC (AB < AC) có AD là phân giác Đường thẳng qua trung điểm M của cạnh BC song song với AD cắt AC tại E và cắt AB tại F Chứng minh: BF = CE
* * * * * Hết * * * * *
(Thí sinh không được làm bài vào đề thi) (Giám thị coi thi không giải thích gì thêm)
Họ và tên thí sinh: SBD:
ĐÁP ÁN KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 8 NĂM
HỌC: 2010 – 2011 Bài 1: (5.0 điểm)
1
Trang 2a) Cho 1 22 2 2 4
A
Ta có x2−7x+10=x2−2x−5x+10=x x( − −2) 5(x− = −2) (x 2)(x−5)
ĐKXĐ: x≠2vàx≠5
2
( 2)( 5) ( 2)( 5) ( 2)( 5)
( 2)( 5)
( 2)( 5) ( 2)( 5) ( 2)( 5) 2
A
A
A
=
Để A nguyên thì 3 2 1 1 1
A
Khi đó 1Mx−2 Vậy x = 3 hoặc x = 1 b) Chứng minh: a2 + b2 + c2 ≥ ab + ac + bc với mọi số a, b, c
a2 + b2 + c2 ≥ ab + ac + bc
2 2 2
( ) ( ) ( ) 0 (*)
Bất đẳng thức (*) đúng vì (a b− )2≥0;(b c− )2≥0;(a c− )2≥0vớ i mọi a b c; ; Vậy a2 + b2 + c2 ≥ ab + ac + bc
Bài 2: (4.0 điểm)
a) Giải phương trình: 2x3+3x2−8x+ =3 0
3 2 2
2
2 2
2 ( 1) 5 ( 1) 3( 1) 0
( 1)(2 5 3) 0
( 1)(2 6 3) 0
( 1)( 3)(2 1) 0
⇔x =1 hoặc x = -3 hoặc x = 1/2
Cách khác:
2x3 + 3x2 – 8x + 3 x – 1 2x3 + 3x2 – 8x + 3 = 0
2x3 – 2x2 2x2 + 5x – 3 ⇔(x – 1)(2x2 + 5x – 3) = 0
5x2 – 8x + 3 ⇔(x – 1)(2x2 + 6x – x – 3) = 0
5x2 – 5x ⇔(x – 1)[(2x(x + 3) – (x + 3)] = 0
– 3x + 3 ⇔(x – 1)(x + 3)(2x – 1) = 0 – 3x + 3 ⇔x =1 hoặc x = -3 hoặc x = 1/2
0 Vậy phương trình có 3 nghiệm 1
1; 3;
2
S= −
b) Tìm x, y nguyên thỏa mãn đẳng thức: x3−xy− = −3 x 2y
x −xy− = −x y⇔x − − = −x x y
( 2) 3
Để y∈ Z khi 3 M (x – 2)
+ x – 2 = 3 => x = 5 => y = 39 + x – 2 = 1 => x = 3 => y = 21 + x – 2 = -3 => x = -1 => y = 1 + x – 2 = -1 => x = 1 => y = 3
2
Trang 3Bài 3: (4.0 điểm)
Cho biết x5+ − =x 1 (x3+x2−1) (x2− +x 1)
a) Phân tích số 10.000.000.099 thành tích của 2 chữ số tự nhiên khác 1
Ta có x = 100
Khi đó 10.000.000.099 100 100 1 100 100 1 100 100 1 1010099 9901= 5+ − =( 3+ 2− ) ( 2− + =) ×
b) Cho 2a + 3b = 5 Chứng minh 2a2 + 3b2 ≥ 5
Ta có 2a2 + 2ab + 3b2 + 3ab = 2a(a + b) +3b(b + a) = (2a + 3b)(a + b) = 5(a + b)
=> 2a2 + 3b2 = 5 (a + b – ab)
2
2
Vậy 2a2 + 3b2 ≥ 5
Bài 4: (4.0 điểm)
Cho hình chữ nhật ABCD Gọi H là hình chiếu vuông góc của
B trên AC; E, F, M, N lần lượt là trung điểm của AB, DH, HC, AD
a) Chứng minh: Tứ giác BEFM là hình bình hành
b) Chứng minh: EF ⊥ MN
Giải:
a/ Tam giác HCD có MH = MC và FH = FD (gt)
=> MF là đường trung bình của tam giác HCD
=> MF // CD và 1
2
MF = CD
Hay MF // BE và 1
2
MF= AB (1) Mặt khác 1
2
BE= AB (2) Từ (1) và (2) => Tứ giác BEFM là hình bình hành
b/ Gọi G là trung điểm của BH
Tam giác HBC có MH = MC và GH = GB (gt)
=> MG là đường trung bình của tam giác HBC
=> MG // BC và 1
2
MG= BC Mà BC ⊥ AB nên MG ⊥ AB Tam giác ABM có AH và MG là hai đường cao
=> G là trực tâm của tam giác ABM
=> AG ⊥ BM Mà BM // EF (vì BEFM là hình bình hành) nên AG ⊥ EF (3) Mặt khác, tứ giác AGMN có
MG // BC và 1
2
MG= BC => MG // AN và 1
2
MG= AD Ta có 1
2
AN= AD(gt)
Do đó, AGMN là hình bình hành => MN // AG (4)
Từ (3) và (4) => EF ⊥ MN
Bài 5: (3.0 điểm) Cho tam giác ABC (AB < AC) có AD là phân
giác Đường thẳng qua trung điểm M của cạnh BC song song với AD cắt AC tại E và cắt AB tại F Chứng minh: BF = CE
AD là phân giác của góc BAC
3
E F
M
A
B
F N
E
H
D
C B
A
Trang 4Ta có AB BD AB AC
ME // AD CM CE AC CE
AD // FM AB BD AB BF
Từ (1), (2) và (3) BF CE
MB CM
Mà MB = MC nên BF = CE
GV GIẢI: PHAN QUỐC BÌNH
4