Gọi M là một điểm di động trên cạnh AC.. Từ C vẽ một đường thẳng vuông góc với tia BM, cắt tia BM tại H, cắt tia BA tại D.. CA có giá trị không đổi... Gọi M là một điểm di động trên cạnh
Trang 1PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO ĐỨC THỌ
ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HSG CẤP HUYỆN MÔN TOÁN 9 (VÒNG I)
NĂM HỌC 2016-2017
Thời gian làm bài: 120 phút Ngày thi: 30/9/2016
Bài 1: a) Tìm m để 3− 4 2 3− là một nghiệm của đa thức P x( ) =x9−2017x8+m
b) Cho a, b, c > 0 thỏa mãn 2b a c= + Chứng minh rằng 1 1 2
Bài 2: a) Tìm tất cả các số nguyên dương x, y sao cho
2 2
x y
x +y là một số nguyên tố b) Cho a, b là các số thực thỏa mãn a > b > 0 và a3−a b ab2 + 2−6b3 =0
Tính giá trị của biểu thức
a 4b B
b 4a
−
=
−
Bài 3: Giải các phương trình:
a) 5x x 3 8 4 x 3 10x− + = − + b) 2 ( )2
2
x +x 1− x 1 =
Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A Gọi M là một điểm di động trên cạnh AC (M khác A, C) Từ C
vẽ một đường thẳng vuông góc với tia BM, cắt tia BM tại H, cắt tia BA tại D Chứng minh rằng a) DA.DB = DH.DC b) ·DHA DBC=·
c) Tổng BM BH + CM CA có giá trị không đổi
Bài 5: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a b c 2 2 2
a b b c c a
Chứng minh rằng ab bc ca 3+ + ≤
BÀI GIẢI
3− 4 2 3− = 3− 3 1− = 3− 3 1− =1
Để 1 là nghiệm của đa thức P(x) thì P 1( ) = ⇒ =0 m 2016
b) Từ giả thiết 2b a c= + ⇒ − = −a b b c
Xét a = b ⇒ b = c nên 1 1 2
−
Bài 2: a) Đặt
2 2
x y
p
x y = + , với p là một số nguyên tố
Khi đó x y2 2=p x( 2+y2) ⇔x y2 2−px2−py2+p2 =p2 ⇔(x2 −p y) ( 2− =p) p2
Vai trò x, y như nhau và p là số nguyên tố nên xảy ra các trường hợp
x 1 x 1 p
− + =
− =
Do p là số nguyên tố nên x – 1 = 1 ⇒ x = 2 và p = 3 Suy ra y2 =12 vô lí
Trang 2TH2:
− = =
x 2M⇒x 2M⇒x 4M⇒p 2M , suy ra p = 2
Do đó x = y = 2 thỏa mãn
Bài 3: Giải các phương trình:
a) ĐKXĐ: x ≥ 3 Ta có phương trình tương đương x 3 5x 4− ( − −) (2 5x 4− =) 0
( x 3 2 5x 4) ( ) 0 x 45
x 7
=
− − − = ⇔
=
Đối chiếu điều kiện thì x = 7 là nghiệm của phương trình
b) ĐKXĐ: x ≠ 0, x ≠ -1 Ta có 2 ( )2
x − + x 1− + x 1− x 1 =
2
− + − − − = ⇔ − + + − =
2 2
x 1
x 1
2
=
⇔ − + = ⇔ − + + = ⇔ ⇔
+ = − = −
Đối chiếu ĐKXĐ thì tập nghiệm của phương trình S 1;1
2
= −
Cho tam giác ABC vuông tại A Gọi M là một điểm di động trên cạnh AC (M khác A, C) Từ C vẽ một đường thẳng vuông góc với tia BM, cắt tia BM tại H, cắt tia BA tại D Chứng minh rằng
a) DA.DB = DH.DC b) ·DHA DBC=·
c) Tổng BM BH + CM CA có giá trị không đổi
Bài 4: a) Xét 2 tam giác vuông BHD và CAD có chung µD
nên ∆BHD ∼ ∆CAD DB DH
⇒ = ⇒ DA DB = DH DC b) Từ câu a ta có DB DH DB DC
DC= DA⇒DH =DA Xét hai tam giác DBC và DHA có chung µD
và DB DC
DH =DA nên ∆DBC ∼ ∆DHA (c – g – c)
Suy ra ·DHA DBC=·
c) Kẻ MN ⊥ BC (N ∈ BC) Xét 2 tam giác vuông
BNM và BHC có chung ·MBN nên ∆BNM ∼ ∆BHC
⇒ = ⇒ BM BH = BN BC (1)
Tương tự ∆CNM ∼ ∆CAB ⇒ CM CA = CN BC (2)
Từ (1) và (2) ⇒ BM BH + CM CA = BC(BN + CN)
= BC2 không đổi
Bài 5: Vì a, b, c > 0 nên từ giả thiết ta có
(ab bc ca a b c) ( ) 2 ab bc ca ab bc ca ab bc ca
2 a b c
a b b c c a
Áp dụng bất đẳng thức CauChy ta có 2ab 2ab
a b 2 ab
2bc
bc
b c≤
2ca
ca
c a ≤ +
A
B
C M
H D
N
Trang 3( ) 2ab 2bc 2ca ( ) ( )
a b b c c a
Mặt khác ( ) (2 ) (2 )2
a− b + b− c + c− a ≥ ⇒0 ab+ bc+ ca a b c≤ + +
Do đó (ab bc ca a b c+ + ) ( + + ≤) (3 a b c+ + ⇔) ab bc ca 3+ + ≤
Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 1
Bài giải: Nguyễn Ngọc Hùng – THCS Hoàng Xuân Hãn