De thi chon doi tuyen chuyen KHTN 12 ha noi

Tìm số cách chọn ra từ tập S m số chẵn và n số lẻ sao cho trong các số vừa chọn, không có hai số hơn kém nhau 1 đơn vị.. Phân giác trong góc A cắt cạnh BC tai điểm D.. P và Q là 2 điểm

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN TRƯỜNG CHUYÊN ĐH KHOA HỌC TỰ NHIÊN

2013-2014

1 Ngày thi thứ nhất

Bài 1 Cho dãy số (an) thỏa mãn: a1 3;a2 17;a3 99 và

1 1

2

1

n n

n

n

a

a







Chứng minh rằng a20141 là số chính phương

Bài 2 Cho tập hợp S=1,2,3, ,2014 Tìm số cách chọn ra từ tập S m số chẵn và n số lẻ sao cho

trong các số vừa chọn, không có hai số hơn kém nhau 1 đơn vị

Bài 3 Cho tam giác ABC, tâm ngoại tiếp O Phân giác trong góc A cắt cạnh BC tai điểm D P và

Q là 2 điểm di chuyển trên đoạn AD sao cho thỏa mãn: CBPABQ Gọi R là hình chiếu của Q trên cạnh BC, d là đường thẳng qua R vuông góc với OP Chứng minh rằng khi P,Q di chuyển trên AD thì các đường thẳng d luôn đi qua một điểm cố định

Bài 4 Có tồn tại hay không một tập hữu hạn các điểm xanh và đỏ trong mặt phẳng sao cho với

mọi đường tròn đơn vị có tâm là một điểm xanh đều có đúng 10 điểm đỏ, và số điểm xanh nhiều hơn số điểm đỏ

2 Ngày thi thứ hai

Bài 1 Tìm các số nguyên m,n thỏa mãn điều kiện 2n23m22

Bài 2 Tìm tất cả các hàm số f: R→R thỏa mãn điều kiện sau:

f xy  f x f y  f x  f y  f xy  xy với mọi số thực x,y

Bài 3 Cho lục giác ABCDEF nội tiếp đường tròn (O) Gọi M,L,K là tâm đường tròn Ơle các tam

giác CDE,EFA,ABC Gọi X,Y,Z là hình chiếu của M,L,K trên các đường thẳng AD,CF,EB Chứng minh rằng trung trực các đoạn thẳng AX,CY,EZ đồng quy

Bài 4 Cho các số thực a,b,c thỏa mãn điều kiện a2b2c2 2

Tìm giá trị lớn nhất của

A a b  b c  c a 