Cho hình vuông ABCD cạnh a.. Cho ∆ABC có các đường phân giác trong cắt nhau tại I.. Qua I kẻ đường thẳng vuông góc với AI, đường thẳng này cắt AB, AC lần lượt tại M,N.
Trang 1PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỨC THỌ
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2016 – 2017
MÔN TOÁN - LỚP 9 (Thời gian làm bài : 120 phút)
Bài 1 a) Thực hiện phép tính : A = 2 + 3 + 2 - 3
2 + 4 + 2 3 2 - 4 - 2 3 b) Giải phương trình : ( )2 ( )2 ( )2
x + 2 -8x + x +1 - 4x + 2x + 3 - 24x = 1
Bài 2 a) Cho x, y là các số thực sao cho x + 1
y và
1
y +
x là các số nguyên Chứng
minh rằng x y +2 2 2 21
x y là số nguyên
b) Cho a + b + c + d = 0 Chứng minh rằng :
a3 + b3 + c3 + d3 = 3(c + d)(ab – cd)
Bài 3 Cho hình vuông ABCD cạnh a Trên các cạnh BC, CD lần lượt lấy các điểm
M, N sao cho CM = DN
a) Tính giá trị đúng của sin ·MAN trong trường hợp CM = DN = a3
b) Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của diện tích ∆AMN
Bài 4 Cho ∆ABC có các đường phân giác trong cắt nhau tại I Qua I kẻ đường thẳng
vuông góc với AI, đường thẳng này cắt AB, AC lần lượt tại M,N Chứng minh rằng:
a) ∆BMI ∽ ∆BIC
b) BI CN = CI BM
c)
2
BM CN AI
+ =
1-AB AC AB.AC
Bài 5 Chứng minh rằng nếu a + b+ c 2= và 1 1 1 1
a + b + c = abc thì b + c ≥ 4 abc
PHÒNG GD - ĐT
Trang 2HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2008 – 2009
MÔN TOÁN - LỚP 9 (Thời gian làm bài : 150 phút) Bài 1
a) A = 2 + 3 + 2 - 3
2 + 4 + 2 3 2 - 4 - 2 3 = ( )2 ( )2
2 + 3 2 - 3
+
2 + 3 1+ 2 - 3 1−
= 2 + 3 + 2 - 3
3 + 3 3 - 3 = 2 3 + 34 + 2 3( ) (+ 2 3 - 34 - 2 3)
= ( )
( ) ( ( ) )
+
2 3 3 +1 2 3 3 -1
= 3 1+ 3 1
2 3 2 3
2 3 = 1
0.5
2x0.5
3x0.5
b) Phương trình đã cho tương đương với ( )2 ( )2 ( )2
x - 2 + x -1 + 2x -3 = 1 ⇔ x 2− + − +x 1 2x 3 1− = (1)
Ta có x 2− + − =x 1 x 2− + −1 x ≥ x 2 1 x− + − = 1
dấu “=” xảy ra khi (x - 2)(1 - x) ≥ 0 ⇔ 1 ≤ x ≤ 2
mặt khác 2x 3− ≥ 0 nên x 2− + x 1− + 2x 3− ≥ 1
Do đó (1) ⇔ x 2 1 x 1
2x 3 0
− + − =
1 x 2 3 x 2
≤ ≤
=
3 x 2
=
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x 3
2
=
0.5 0.25 0.5 0.5 0.5 0.5
0.25
Bài 2
a) Do x 1
y
x
+ ∈ Z nên x 1 y 1
⇒xy 1
xy
xy
⇒
2
1 xy xy
∈ Z ⇒
2 2
2 2
1
x y
x y
2 2
1
x y
x y
0.5 0.5
2x0.5
b) Từ a + b + c + d = 0 ⇒ a + b = – c – d ⇒( ) (3 )3
⇒a3 + +b3 3ab a b( + ) = − − −c3 d3 3cd c d( + )
0.5 0.5
Trang 31 1 I
B A
N
M
⇒ a3 + b3 + c3 + d3 = -3ab(a + b) – 3cd(c + d)
= 3ab(c + d) – 3cd(c + d) = 3(c + d)(ab – cd)
0.5 0.5
Bài 3
Hình vẽ : 0.25 đ
a) Gọi I là giao điểm của AN và DM Chứng minh được ∆AND = ∆DCM (c.g.c) ⇒ µA1=Dµ 1 mà µ µ 0
A +N =90 nên µ µ 0
D +N =90 hay ·DIN 90= 0
Đặt DN = CM = x (0 ≤ x ≤ a) thì a = 3x, BM = NC = 2x
Tính được AM = x 13 , AN = x 10 ∆AND vuông tại D, có đường cao DI nên ta có
AD2 = AN AI ⇒ AI =
2
AD
AN =
3x
x 10 =
9x
10
0.25 0.5
0.25 0.5 ∆AIM vuông tại I nên ta có IM = AM2 −AI2 = 2 81x2
13x
10
10
Do đó sin ·MAN = IM
AM =
7x
10 : (x 13 ) = 7 130
130
0.25
0.25 b) Ta có SAMN = SABCD - SADN - SMCN - SABM
= a2 – ax x a x( ) a a x( )
=
a - ax+x
2 =
2
2
a
x-3a 2
Do 0 ≤ x ≤ a ⇒3a2
8 ≤
2
2
a
x-3a 2
2
a 2
⇒3a2
8 ≤ SAMN ≤
2
a 2
SAMN =
2
3a
8 ⇔ x = a
2 ⇔ M, N lần lượt là trung điểm của BC, CD
SAMN =
2
a
2 ⇔ =x 0x a= ⇔ N D,M CN C,M B
Vậy Min SAMN =
2
3a
8 ⇔ M, N lần lượt là trung điểm của BC, CD
0.25 0.25
0.25
0.25 0.25
0.25
Trang 42 2
1
2
1
N
B
A
C
Max SAMN =
2
a
2 ⇔ x 0
x a
=
=
N D,M C
N C,M B
Bài 4
Hình vẽ : 0.25 đ
a) Tính được · ·
BIC 90
2
· ·
BMI 90
2
⇒ ·BIC BMC=· mà µ ¶
B =B ⇒ ∆BMI ∽∆BIC (g.g) (2)
0.5
0.5 0.25 0.5 b) Tương tự câu a) ta chứng minh được ∆INC ∽∆BIC (g.g) (3)
Từ (2), (3) ⇒ ∆BMI ∽∆INC ⇒BM IM BI
IN = NC = IC (5) ⇒
2
BI BM
IC NC
⇒ BI NC IC BM=
0.5 0.5
2x0.5
c) Từ (5) ⇒ BM NC = IM IN = IM2 = AM2 – AI2
= AM AN – AI2 (vì ∆AMN cân)
= (AB – BM)(AC – CN) – AI2 = AB AC – AB CN – BM AC + BM CN –AI2
⇒ AB CN + BM AC = AB AC – AI2
⇒
2
BM CN AI + =
1-AB AC AB.AC
0.25 0.25 0.25 0.25
Bài 5 Từ giả thiết suy ra a + b + c = 2
Với mọi x, y ta có (x – y)2≥ 0 ⇒ (x + y)2 ≥ 4xy
Cho x = a , y = b + c ta được (a + b + c)2≥ 4a(b +c)
⇒ 22≥ 4a(b +c) ⇒ b + c ≥ a(b +c)2 (vì b + c > 0)
mà a(b +c)2≥ a 4bc = 4abc nên b + c ≥ 4abc
0.25 0.25
0.25 0.25
Lưu ý: học sinh giải cách khác đúng và gọn vẫn cho điểm tối đa
PHÒNG GD - ĐT