Ví dụ 1 : Trong mặt phẳng Oxy, cho vectơ u (1; 2)
a Tìm ảnh của A(2;1) qua phép tịnh tiến T u
b Tìm ảnh của đường thẳng d1: x-3y+4=0 qua phép tịnh tiến T u
c Tìm đường thẳng ∆ là ảnh của đường thẳng d: 2x+y+3=0 qua phép tịnh tiến T u
d Tìm ảnh của đường tròn (C): (x-2)2+(y+3)2=4 qua phép tịnh tiếnT u
Giải
a, Gọi T u
(A)=A’, A’(x’,y’)
Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến
'(3; 1)
x x a x
A
y y b y
b Cách 1
Chọn điểm M(-1;1)∈ d1: x-3y+4=0
Đường thẳng d1 đi qua M(-1;1) và có vectơ pháp tuyến n (1; 3)
Gọi T u
(M)=M’, M’(x’;y’)
Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến
u
x x a x
y y b y
Gọi T d u ( ) ( ') 1 d1
Đường thẳng d1’ đi qua M’(0;-1) và có vectơ pháp tuyến
(1; 3)
n
=> d1’: x - 3y - 3 = 0
Cách 2:
Gọi T u
( d1)= d1’
Gọi M(x;y)∈ d1 , M’(x’;y’) ∈ d1’ sao cho T u
(M)=M’
Trang 2Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến T u
:
x x a x x a x x
y y b y y b y y
M(x’-1;y’+2)∈ d1: x-3y+4=0=> (x’-1)-3(y’+2)+4=0 => x’-3y’-3=0
Vậy d1’: x-3y-3=0
c, Cách 1
Chọn điểm M(-1;-1)∈ d: 2x+y+3=0
Đường thẳng d đi qua M(-1;-1) và có vectơ pháp tuyến n(2;1)
Gọi T u
(M)=M’, M’(x’;y’)
Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến T u
:
'(0; 3)
x x a x
M
y y b y
Theo đề bài T u
(d)=∆
Đường thẳng ∆ đi qua M’(0;-3) và có vectơ pháp tuyến n(2;1)
=> ∆: 2(x-0)+(y+3)=0 => 2x+y+3=0
Cách 2
Theo đề bài T u
(d)=∆
Gọi M(x;y)∈ d , M’(x’;y’) ∈ ∆ sao cho T u
(M)=M’
Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến T u
:
x x a x x a x x
y y b y y b y y
M(x’-1;y’+2)∈ d1: 2x+y+3=0=>2(x’-1)+(y’+2)+3=0=>2x’+y’+3=0
Thay x=x’-1 và y=y’+2 vào phương trình d, ta có
2x+y+3=0=>2(x’-1)+(y’+2)+3=0=>2x’+y’+3=0
Vậy ∆: 2x+y+3=0
d, Đường tròn (C): (x-2)2+(y+3)2=4 có tâm I(2;-3) và bán kính R=2
Trang 3Gọi T u
(I)=I’, I’(x’;y’)
Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến T u
:
'(3; 5)
x x a x
I
y y b y
Gọi T u
(C)=(C’)
Đường tròn (C’) có tâm I’(3;-5) và bán kính R=2
=>(C’): (x-3)2+(y+5)2=4
Ví dụ 2 : Trong mặt phẳng Oxy,cho điểm M(1;-2), đường thẳng d: 2x-y+4=0, đường tròn (C): (x-2)2+(y+2)2=0 và vectơ u(2; 3)
a Gọi d’ là ảnh của d qua phép tịnh tiến T u
, tìm d” là ảnh của d’ qua phép tịnh tiến theo vectơ v(1;3)
b Viết phương trình (C”) là ảnh của đường tròn (C) khi thưc hiện liên tiếp
có thứ tự hai phép tịnh tiến T u
và T v
với v(1;3)
Giải
a Theo đề bài T u
(d)=d’
Gọi M(x;y)∈ d , M’(x’;y’) ∈ d’ sao cho T u
(M)=M’
Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến T u
:
x x a x x a x x
y y b y y b y y
M(x’-2;y’+3)∈ d: 2x-y+4=0=>2(x’-2)-(y’+3)+4=0 => 2x’-y’-3=0
=> d’: 2x-y-3=0
Tiếp theo ta cóT v
(d’) = d”
Gọi N(x;y) ∈ d’, N’(x’;y’) ∈ d” sao cho T v
(N)=N’
Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến T v
:
x x a x x a x x
y y b y y b y y
N(x’-1;y’-3)∈ d’: 2x-y-3=0=>2(x’-1)-(y’-3)-3=0=>2x’-y’-2=0
Trang 4Vậy d”: 2x-y-2=0
b Gọi T u
((C))=(C’) Đường tròn (C): (x-2)2+(y+2)2=9 có tâm I(2;-2) và bán kính R=3 Gọi I’(x’;y’) là ảnh của I(2;-2) qua phép tịnh tiến T u
: T u
(I)=(I’)
Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến T u
:
'(4; 5)
x x a
I
y y b
Gọi I”(x”;y”) là ảnh của I’(4;-5) qua phép tịnh tiến T v
: T v
(I’)=(I”)
Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến T v
:
"(5; 2)
x x a
I
y y b
Đường tròn (C”) có tâm I”(5;-2) và bán kính R=3
=> (C”): (x-5)2+(y+2)2=9