Tìm hiểu về phép tịnh tiến ở chương trình phổ thông

Các phép biến hình là công cụ đơn giản nhưng đầy hiệu lựctrong việc giải các bài toán hình học.Phép tịnh tiến là một trong những phép biến hình sơ cấp được vận dụng để giải quyết cácbài

Trong chương trình môn Toán phổ thông ở nước ta hiện nay, vai trò và tầm quan trọng củaphép biến hình ngày càng được thể hiện rõ ràng và sâu sắc không chỉ trong lý thuyết mà cảtrong thực hành giải bài tập Các phép biến hình là công cụ đơn giản nhưng đầy hiệu lựctrong việc giải các bài toán hình học.

Phép tịnh tiến là một trong những phép biến hình sơ cấp được vận dụng để giải quyết cácbài toán dựng hình, bài toán quỹ tích, bài toán chứng minh tích chất hình học, Tuy nhiên,việc vận dụng phép tịnh tiến để giải các bài toán hình học trong mặt phẳng và trong khônggian không phải là việc dễ dàng

Cho đường thẳng d Với mỗi điểm M nằm ngoài đường

thẳng d, ta xác định M’ là hình chiếu (vuông góc) của

M trên d (h.1) thì ta được một phép biến hình

Phép biến hình này gọi là phép chiếu (vuông góc) của

Như vậy ta cũng có một phép biến hình Phép biến hình đó

gọi là phép tịnh tiến theo vectơ u

Ví dụ 3 :

Với mỗi điểm M, ta xác định điểm M’ trùng với M thì ta cũng được một phép biến hình.Phép biến hình đó gọi là phép đồng nhất

1.2 Kí hiệu và thuật ngữ

Nếu ta kí hiệu một phép biến hình nào đó là F và điểm M’ là ảnh của điểm M qua phép

biến hình F thì ta viết M’=F(M) hoặc F(M)=M’ Khi đó, ta còn nói phép biến hình F biến điểm M thành điểm M’.

Với mỗi hình H, ta gọi hình H’ gồm các điểm M’=F(M), trong đó MH, là ảnh của Hqua phép biến hình F, và viết H’ =F(H)

Vectơ u được gọi là vectơ

M

M'

M

Định lí 2: Phép tịnh tiến biến ba điểểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không

làm thay đổi thứ tự ba điểm đó

Hệ quả: Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, tam giác

thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính, biến gócthành góc bằng nó

=> Phép tịnh tiến là một phép dời hình

2.3 Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến

Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho phép tịnh tiến theo vectơ u

Biết tọa độ của u là (a;b) Giả sử điểm M(x;y) biến thành điểm M'(x’,y’) (h.3)

1 Các bài toán tọa độ.

1.1 Xác định ảnh (d’) của đường thẳng (d) qua phép tịnh tiến theo vectơ v a b( ; )

Phương pháp 1:

 Chọn điểm M(x0;y0) cụ thể thuộc đường thẳng d và vectơ pháp tuyến n A B( ; ) củađường thẳng d

 Dùng biểu thức tọa độ để tìm M’(x0’; y0’) là ảnh của M qua phép tịnh tiến T v

 Đường thẳng d’ là đường thẳng đi qua M’ và có vectơ pháp tuyến n A B( ; )=>(d’):A(x - x0’)+B(y - y0’)=0

Phương pháp 2:

 Chọn hai điểm M(x0;y0), N(x1;y1) cụ thể thuộc đường thẳng (d)

 Dùng biểu thức tọa độ để tìm M’(x0’; y0’) và N’(x1’; y1’) là ảnh của M và N qua phéptịnh tiến Tv

 Đường thẳng (d’) là đường thẳng đi qua 2 điểm M’ và N’

Phân tích bài toán:

 Đường thẳng d1 là ảnh của d qua T v

nên d//d1

 Vectơ v có giá vuông góc với đường thẳng d nên v chính là 1 vectơ pháp tuyến của

d Hay v là một vectơ chỉ phương của đường thẳng d2 vuông góc với đường thẳng d

 Viết phương trình đường thẳng d2bằng cách: đi qua 1 điểm M thuộc d và nhậnVTPT của d làm VTCP

 Tìm giao của d2 với d1 tại điểm N Khi đó v =MN

Giải:

Vì đường thẳng d1 là ảnh của d qua T v

nên d//d1 Mặt khác vectơ v có giá vuông góc vớiđường thẳng d nên v chính là 1 vectơ pháp tuyến của d Hay v là một vectơ chỉ phươngcủa đường thẳng d2 vuông góc với đường thẳng d

Viết phương trình đường thẳng d2:

 Vectơ pháp tuyến của dường thẳng d: n d

=(2;−3) ⇒ nd là vectơ chỉ phương củađường thẳng d2

 Lấy điểm M(3;3) thuộc d

Phương trình đường thẳng d2 đi qua M nhận nd làm VTCP:

Thỏa mãn hệ phương trình:

8 13

13 13

N

Tọa độ của vectơ MN là:

16 24 ( ; )

 Xác định tâm O(x0;y0) và bán kính R của đường tròn (C)

 Dùng biểu thức tọa độ để tìm tọa độ ảnh O’(x0’; y0’) của tâm O qua phép tịnh tiến T v

 Đường tròn (C’) là đường tròn có tâm O’ và bán kính R:

Đường tròn (C) có tâm I(1;-2) và R=3

Gọi I’= Tv(I)=(-1;3) và (C’) là ảnh của (C) qua phép tịnh tiến theo vectơ vthì (C’) có

tâm I’ bán kính R’=3 có phương trình: (x+1)2+(y-3)2=9

1.3 Xác định phương trình ảnh (H’) của đường (H) qua phép tịnh tiến theo vectơ

( ; )

v a b

 Gọi M(x;y) là điểm tùy ý trên đường (H): f(x,y)=0

 Gọi M’(x’;y’) là ảnh của M qua phép tịnh tiến Tv=>

'

( ' ; ' )'

Ví dụ: Cho tam giác ABC có G là trọng tâm Xác định ảnh của tam giác ABC qua phéptịnh tiến theo vectơ AG

Xác định điểm D sao cho phép tịnh tiến theo vectơ AG

biến Dthành A

cho u(1; 2) Viết phương trình

ảnh của mỗi đường trong trường hợp sau:

a Đường thẳng a có phương trình: 3x-5y+1=0

Đường thẳng a có phương trình: 2x+y+100=0

b Viết phương trình đường tròn ảnh của đường tròn (C ): x2y2 4x y  1 0

c Viết phương trình đường (E’) ảnh của (E):

Ta có: M(x’-1;y’+2)∈ a  3(x’-1)-5(y’+2)+1=0

 3x’-5y’-7=0 => M’∈ a’:3x-5y-7=0

Vậy Tv (a)=a’ thì a’: 3x-5y-7=0

Tương tự ta có: M(x’-1;y’-2) ∈ b 2(x’-1)+(y’+2)+100=0  2x’+y’+100=0

Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho vectơ v⃗=(−1;2), hai điểm A(3;5) và

B(-1;1) và đường thẳng d có phương trình: x−2y+3=0

a Tìm tọa độ của các điểm A'; B' theo thứ tự là ảnh của A; B qua phép tịnh tiến theo v

b Tìm tọa độ của điểm C sao cho A là ảnh của C qua phép tịnh tiến theo v

c Tìm phương trình của đường thẳng d' là ảnh của d qua phép tịnh tiến theo v

Vậy tọa độ của điểm A' là A'(2;7)

Gọi tọa độ của điểm B'(x';y'), ta có:

Vậy tọa độ của điểm B' là B'(-2;3)

b Tìm tọa độ của điểm C

Điểm C ở đây chính là điểm vật, tọa độ của A(3;5) là tọa độ của điểm ảnh hayA(3;5)=A(x';y')

Gọi tọa độ của điểm C(x;y), áp dụng biểu thức tọa độ ta có:

Vậy tọa độ của điểm C là C(4;3)

c Tìm phương trình của đường thẳng d’

Cách 1: Tìm phương trình của đường thẳng d’ theo biểu thức tọa độ

Gọi M(x;y) là điểm thuộc đường thẳng d và M'(x';y') là điểm thuộc đường thẳng d' Ta có:

Vậy tọa độ của điểm D' là: D′(−4;2)

Vì điểm D' thuộc đường thẳng d' nên tọa độ của D' thỏa mãn phương trình d', tứclà: −4−2.2+c=0⇔c=8

Từ đó ta có phương trình đường thẳng d' là: x−2y+8=0

Cách 3:

 Lấy 2 điểm M; N thuộc đường thẳng d

 Tìm ảnh của 2 điểm M; N qua phép tịnh tiến theo vectơ v⃗

 Đường thẳng d' là ảnh của đường thẳng d sẽ đi qua M'; N'

 Viết phương trình đường thẳng M'N'



a Tìm ảnh của A(2;1) qua phép tịnh tiến T u

b Tìm ảnh của đường thẳng d1: x-3y+4=0 qua phép tịnh tiến T u

c Tìm đường thẳng ∆ là ảnh của đường thẳng d: 2x+y+3=0 qua phép tịnh tiến T u

d Tìm ảnh của đường tròn (C): (x-2)2+(y+3)2=4 qua phép tịnh tiếnT u

Đường thẳng d đi qua M(-1;-1) và có vectơ pháp tuyến n(2;1)

a Gọi d’ là ảnh của d qua phép tịnh tiến T u

, tìm d” là ảnh của d’ qua phép tịnh tiếntheo vectơ v(1;3)



b Viết phương trình (C”) là ảnh của đường tròn (C) khi thưc hiện liên tiếp có thứ tựhai phép tịnh tiến T u

Gọi I’(x’;y’) là ảnh của I(2;-2) qua phép tịnh tiến T u

=> (C”): (x-5)2+(y+2)2=9

2 Các bài toán hình học cổ điển

2.1 Chứng minh hoặc xác định các yếu tố hình học.

 Từ giả thuyết tìm hai điểm cố định phù hợp để xây dựng một vectơ cố định

 Xác định một phép tịnh tiến phù hợp theo vectơ cố định vừa tìm được (Tức là dựng một hình bình hành phù hợp, sao cho một cạnh chứa hai điểm ở bước trên).

 Dùng tính chất hoặc biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến để chứng minh các yếu tố trong hình hoặc xác định tính chất của hình

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC và điểm B’ sao cho tia BB’ cắt cạnh AC Phía ngooài tam giácABC dựng các hình bình hành BB’A’A, BB’C’C và AA’’C’’C sao cho A là trung điểm của đoạn thằng A’’A Chứng minh rằng:

SAA’’C’’C = SBB’A’A + SBB’C’C (Với S(H) là diện tích của hình (H))

Do đó:              A A AA'                              ''               CC'' B B'

Theo định nghĩa phép tịnh tiến ta có: T B B '

: A’ A B’ B

Lại có:

' ' ' ' ' ' ' '' '' '' '

Theo định lí Cosin cho tam giác MDC ta có:

 Từ giả thiết chọn điểm E di động sao cho             EM               v

không đổi (tức là phải tìm ra một hình bình hành có EM là cạnh và cạnh đối diện của nó phải cố định)

 Xác định hình (H) là quỹ tích của điểm E

 Khi đó tập hợp các điểm M là (H’) - ảnh của (H) qua phép tịnh tiến theo vectơ v

Ví dụ 1: Cho hai điểm phân biệt B, C cố định ( BC không phải là đường kính ) trên đường tròn (O), điểm A di động trên (O) Chứng minh rằng khi A di động trên (O) thì trực tâm tam giác ABC di động trên một đường tròn

M là trung điểm của BC Tia BO cắt đường tròn (O) tại D Ta có BCD 900 nên DC //

AD, AH // CH suy ra tứ giác ADCH là hình bình hành               AH              DC               2OM

Vì OM

không đổi suy ra T2OM ( )A H

Vậy khi A di chuyển trên đường tròn (O) thì H di chuyển trên đường tròn (O’) là ảnh của (O) qua phép tịnh tiến theo 2OM

Ví dụ 2: Cho hình thang ABCD có đáy AB cố định và đáy CD thay đổi Biết AB = a và

CD = b (với a, b không đổi) Tìm quỹ tích điểm C trong các trường hợp sau

Gọi A’ thuộc canh AB sao cho

 chạy trên d (bỏ qua trung điểm AB)

Gọi A’ thuộc cạnh AB sao cho:

Mà điểm D chạy trên đường thẳng d nên điểm C sẽ chạy trên đường thẳng d’

Vậy tập hợp điểm C là đường thẳng d' T AA ' ( )d

, bỏ giao điểm của d’ và đường thẳng AB

Ví dụ 3: Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A, B Gọi d là đường thẳng thay đổi nhưng luôn đi qua A và cắt (O), (O’) lần lượt tại M và N Lấy điểm P trên tia AM,điểm Q trên tia AN sao cho

I' Q P

A'

d' d

Gọi H, H’ lần lượt là các hình chiếu của O, O’ lên đường thẳng d.

Gọi I’ là hình chiếu của O lên O’H’, I là hình chiếu của O’ lên OH, K là trung điểm của OO’ Khi đó ta có:

   chạy trên đường tròn (K)

Với (K) là đường tròn cố định (vì (K) có đường kính OO’ cố định)

cố định Do đó ta có phép tịnh tiến sau:

: ' ( ) ( ')

với tâm K’ được xác định bởi công thức KK' OA

 

và bán kính

' 2

OO

R 

b Hoàn toàn tương tự câu a ta có quỹ tích của P là đường tròn tâm ( '')K T O A ' [( )],K

với tâm K’’ được xác định bởi công thức KK'' O A' và có bán kính

' 2

Vậy quỹ tích của điểm H là đường tròn tâm O’ và bán kinh R

Kinh nghiệm:

Ví dụ 5: Cho hình bình hành ABCD có đỉnh A cố định, BD có độ dài không đổi bằng 2 và

A, B, D nằm trên một đường tròn cố đinh (O,R) Tìm quỹ tích của đỉnh C

Giải:

Gọi H là trực tâm của tam giác ABD

I là trung điểm của BD

A’ đối xứng A qua tâm O

Khi đó ta có:

/ / ''

/ / ''

Suy ra BHDA’ là hình bình hành => I là trung điểm của HA’

=> OI là đường trung bình của tam giác AHA’

=> Quỹ tích của điểm H là đường tròn (C) tâm A và bán kính 2√R2−1

Vì ABCD là hình bình hành nên I là trung điểm của AC nên OI là đường trung bình củatam giác ACA’ và A’C = 2OI (2)

Từ (1) và (2) ta có A ' C= AH nên AHC A ' là hìnhbình hành do đó HC= AA '

Lại có AA ' là vectơ cố định vì A, O cố định do đó ta có:

TAA ' : H  A’

Thông qua các bài toán trên ta thấy: với bài toán quỹ tích trong phép tịnh tiến thì quan

trọng nhất là ta phải dựng được một hình bình hành có một cạnh cố định và hai

điểm thay đổi (trong đó có một điểm cần tìm quỹ tích và một điểm cho trước quỹ tích

hoặc có tìm cũng rất đơn giản)

A  C(A, 2√R2 −1 )  (A’, 2√R2 −1 )Lại có H chạy trên (A, 2√R2 −1 ) nên C sẽ chạy trên (A’, 2√R2 −1 )

Vậy quỹ tích của điểm C là đường tròn tâm A’ ( đối xứng A qua O ) và bán kính 2√R2−1

Ví dụ 6: Cho đường tròn(O) với đường kính AB cố định, một đường kính MN thay đổi.Các đường thẳng AM và AN cắt tiếp tuyến tại B lần lượt tại P và Q Tìm quỹ tích trực tâmcác tam giác MPQ và NPQ

Giải:

Xét tam giác MPQ có QA MB

Ta kẻ MM’ vuông góc với PQ thì MM’ cắt QA tại trực tâm H của tam giác MPQ

Vì OA là đường trung bình của tam giác NMH nên MH                             2OA BA              

Do đó có T BA :M  H với M không trùng với A hoặc B

Suy ra quỹ tích H là ảnh của đường tròn (O) ( không kể hai điểm A và B ) qua phép tịnhđó

Làm tương tự đối với trực tâm H’ của tam giác NPQ

Trong chương trình học 11 , chương phép dời hình và đồng dạng trong mặt phẳng chiếm một vị trí hết sức quan trọng, hơn nữa các phép dời dình và đồng dạng được ứng dụng rộng rãi trong thực tế Chẳng hạn như phép tịnh tiến đã được áp dụng vào bài toán thực tiễn sau:

Hai thôn nằm ở hai vị trí A và B cáh nhau một con sông (xem rằng hai bờ sông là hai đường thẳng song song) (h.5) Người ta dự định xây một chiếc cầu MN bắc qua sông (cố nhiên cầu phải vuông góc với bờ sông) và làm hai đoạn đường thẳng từ A đến M và từ B đến N Hãy xác định vị trí chiếc cầu MN sao cho AM+BN ngắn nhất

Giải

Trường hợp 1: Coi con sông rất hẹp, bài tooán

trở thành cho hai điểm A, B nằm khác phía

với đường thẳng a Tìm vị trí điểm M trên a

sao cho AM+BM nhỏ nhất Khi đó M là giao

điểm của AB với a

a

A

B M

b a

A

M

N A'

Nối A' với B cắt b tại N

Từ N hạ đường thẳng vuông góc với a tại M Khi đó MN là vị trí xây cầu

2.3 Dùng phép biến hình để giải một số bài toán dựng hình.

Phương pháp:

 Để dựng điểm M ta làm như sau: Tìm một hình (H) cố định và vectơ v không đổicho trước sao cho khi thực hiện phép tịnh tiến theo vectơ v ta có được ảnh là hình (H’)giao với (C) cố định tại điểm M cần dựng

 Thực hiện phép tịnh tiến theo vectơ v để tìm các điểm còn lại từ đó có hình cầndung

Ví dụ 1: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho A(-1; -1), B(3; 1), C(2; 3) Tìm tọa độ Dsao cho tứ giác ABCD là hình bình hành

Ví dụ 2: Cho hai đường tròn (O, R) và (O’, R’) với R R ' và đường thẳng 

Hãy dựng đường thẳng d và song song với  và chắn đường tròn (O), (O’) những dâycung bằng nhau

Phân tích:

Giả sử dựng được đường thẳng d // , cắt (O)

và (O’) tại A, B và A’, B’ Khi đó ta có:

Mà A, B thuộc (O, R) nên A’, B’ thuộc (I, R)

Cách dựng:

Dựng tia OxO K' với K là hình chiếu của O’ lên 

Gọi I Ox O K  '

Dựng đường tròn tâm I bán kính bằng R Gọi { ', '} ( ', ') ( , )A B  O R  I R

Dựng đường thẳng d đi qua hai điểm A’ và B’

Chứng minh: Vì { ', '} ( ', ') ( , )A B  O R  I R  A B' ' O I'  d O K'  d/ / 

Xét phép tịnh tiến

: ' ' ( ; ) ( ; )

Ví dụ 3: Cho hai đường tròn (O), (O’) và hai điểm A, B Tìm điểm M trên (O) và điểm M’trên (O’) sao cho        MM                    ' AB

Giải:

B

Phân tích : Nếu MM                            ' AB

thì M’ là ảnh của M qua phép tinh tiến TAB

nên M’ thuộc đườngtròn (O1) là ảnh của đường tròn (O) qua phép tịnh tiến TAB

Vì M’ thuộc (O’) nên M’ làgiao điểm của (O1) và (O’)

Cách dựng:

- Dưng đường tròn (O1) là ảnh của (O) qua T AB

- Gọi M’ là một giao điểm của (O1) và (O’)

Kiến thức về phép tịnh tiến được bộ giáo dục khéo léo đưa vào phần đại số của lớp 9, 10,

12 trong phần vẽ đồ thị hàm số, mà nếu ta không để ý sẽ không nhận ra được Đây có thểnói là một phần của phép tịnh tiến trong hình học phẳng

Ở lớp 9 chúng ta tuy mới được học vẽ đồ thị của những hàm số đơn giản, hàm số bậc nhấtnhững xen kẽ vào đó vẫn có một chút phép tịnh tiến

Ví dụ như: Cho hàm số y = 2x + 2, y + 2 = 2x + 2 và y = 2(x + 2) + 2 rồi tìm quan hệ giữachúng

Thực chất hai hàm số y + 2 = 2x + 2 và y = 2(x + 2) + 2 đều được tịnh tiến từ hàm số gốcban đầu y = 2x + 2 theo vectơ v và vectơ v '

như hình vẽ có độ dài đều bằng 2, nhưng ởđại số họ không nói như vậy, mà học chỉ nói di chuyển theo trục hoành, di chuyển theotrục tung mà thôi

Lên lớp 10, lớp 12 đồ thị của hàm số tuy phức tạp hơn, nhưng một vài trường hợp ta dễdàng tìm ra được phép tịnh tiến trong nó

Ví dụ đơn giản như: đồ thị của hai hàm số y = ax2 + y0 nhận được từ phép tịnh tiến đồ thịhàm số y = ax2 theo vectơ v có độ dài bằng y0 Thật vậy, xem hình vẽ minh họa:

1 1