Dùng phép tịnh tiến để giải một số bài toán tìm tập hợp điểm

Ví dụ 1: Cho hai điểm phân biệt B, C cố định BC không phải là đường kính trên đường tròn O, điểm A di động trên O.. Chứng minh rằng khi A di động trên O thì trực tâm tam giác ABC di độ

Dùng phép tịnh tiến để giải một số bài toán tìm tập hợp điểm

Phương pháp:

 Từ giả thiết chọn điểm E di động sao cho EM                            v

không đổi (tức là phải tìm ra một hình bình hành có EM là cạnh và cạnh đối diện của nó phải

cố định)

Ví dụ 1: Cho hai điểm phân biệt B, C cố định ( BC không phải là đường kính ) trên đường tròn (O), điểm A di động trên (O) Chứng minh rằng khi A di động trên (O) thì trực tâm tam giác ABC di động trên một đường tròn

Giải

giác ABC, M là trung điểm của BC Tia BO cắt đường tròn (O) tại D Ta có

0

90

BCD

2

                                            

Vậy khi A di chuyển trên đường tròn (O) thì H di chuyển trên đường tròn (O’) là ảnh của (O) qua

O

A

H

D

M

Ví dụ 2: Cho hình thang ABCD có đáy AB cố định và đáy CD thay đổi Biết

AB = a và CD = b (với a, b không đổi) Tìm quỹ tích điểm C trong các trường

hợp sau

b DA = DB

Giải:

a Gọi I là trung điểm AB suy ra I cố

định

AB a

ID IA IB

Do đó điểm D chạy trên đường tròn (C) tâm

a

R 

bỏ đi hai điểm A và B ( (C) cố đinh )

Gọi A’ thuộc canh AB sao cho

'

AA b

AB  a AA’CD là hình bình hành  DC                            AA' với AA'

cố định Từ đó theo định nghĩa phép tịnh tiến ta có:

'

AA

I I





Mà điểm D chạy trên đường tròn (C) nên điểm C sẽ chạy trên đường tròn (C’)

và bán kính

2

a

R 

bỏ đi hai giao điểm của (C’)và đường thẳng AB

b Gọi d là trung trực của AB suy ra D cố định (vì A, B cố định), theo giả

thiết ta có DA = DB

D

I

D

C

I'

A'

d' d

Gọi A’ thuộc cạnh AB sao cho:

'

AA b

suy ra DC = AA’ (với AA’ cố định) Từ đó theo định nghĩa phép tịnh tiến ta có:

' :

'

AA

 

Mà điểm D chạy trên đường thẳng d nên điểm C sẽ chạy trên đường thẳng d’

, bỏ giao điểm của d’ và đường thẳng AB

Ví dụ 3: Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A, B Gọi d là

đường thẳng thay đổi nhưng luôn đi qua A và cắt (O), (O’) lần lượt tại M và N

Lấy điểm P trên tia AM, điểm Q trên tia AN sao cho

1 2

APAQ AM

a Tìm tập hợp tất cả các điểm P

b Tìm tập hợp tất cả các điểm Q

Giải:

Gọi H, H’ lần lượt là các hình chiếu

của O, O’ lên đường thẳng d

Gọi I’ là hình chiếu của O lên

O’H’, I là hình chiếu của O’ lên OH,

K là trung điểm của OO’ Khi đó ta

có:

0

' 90 '

tròn (K)

0

' 90

tròn (K)

Với (K) là đường tròn cố định (vì (K) có đường kính OO’ cố định)

O

O' A

B

M

N

K I

I' Q P

a Ta có OI’H’H là hình chữ nhật (vì có 3 góc vuông)

1

2

OI HH MN

mà theo giả thiết ta lại có

1

2

AQ MN AQ OI  AOI Q

là hình bình

cố định Do đó

ta có phép tịnh tiến sau:

: ' ( ) ( ')

OA





Lại có I’ chạy trên đường tròn (K) nên điểm Q chạy trên đường tròn ( ')K T OA [( )].K

với tâm K’ được xác định bởi công thức  KK                          ' OA

và bán kính

' 2

OO

R 

b Hoàn toàn tương tự câu a ta có quỹ tích của P là đường tròn tâm

'

( '')K T O A [( )],K

có bán kính

' 2

OO

R 