Một số phương pháp giải gần đúng phương trình phi tuyến

Trong nghiên cứu khoa học và trong thực tế có rất nhiều bài toán được chuyển thành bài toán giải phương trình: 0 f x  1 Tuy nhiên, chỉ trong một số trường hợp đặc biệt ta mới có c

1

LỜI CẢM ƠN

Sau một thời gian nỗ lực thực hiện đề tài “Một số phương pháp giải gần đúng phương trình phi tuyến” phần nào được hoàn thành Ngoài sự cố gắng hết sức mình của bản thân, em đã nhận được sự khích lệ rất nhiều từ phía nhà trường, thầy cô, gia đình và bạn bè

Trước hết, em xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến các thầy cô trường Đại học Quảng Bình đã truyền đạt những kiến thức quý báu cho chúng em trong suốt quá trình học tập Đặc biệt, em xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến giảng viên Ths Phạm Hồng Minh, người đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi cho em trong quá trình làm đề tài tốt nghiệp

Xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến tập thể lớp CĐSP Toán- Tin K55, đã động viên, khích lệ em trong quá trình học tập và hoàn thành khóa luận tốt nghiệp này

Lời cảm ơn đặc biệt em xin dành cho gia đình, người thân đã luôn động viên và tạo mọi điều kiện tốt nhất để em học tập và hoàn thành đề tài tốt nghiệp này

Một lần nữa em xin chân thành cảm ơn!

Đồng Hới, tháng 4 năm 2016

Tác giả

Nguyễn Thị Phước Lộc

2

MỤC LỤC

PHẦN MỞ ĐẦU 4

1.Lí do chọn đề tài 4

2.Mục đích nghiên cứu 4

3.Nhiệm vụ nghiên cứu 4

4.Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 5

5.Phương pháp nghiên cứu 5

PHẦN NỘI DUNG 6

CHƯƠNG I: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 6

1 Đặt vấn đề 6

2 Khoảng cách ly nghiệm 7

2.1.Phương pháp giải tích 8

2.2 Phương pháp hình học 9

CHƯƠNG II: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN 12

1 Phương pháp chia đôi 12

1.1.Nội dung phương pháp 12

1.2.Sự hội tụ của phương pháp 12

1.3.Đánh giá sai số của nghiệm gần đúng 13

1.4.Ưu nhược điểm của phương pháp 14

1.5.Thuật toán 15

1.6.Chương trình 16

2 Phương pháp lặp 17

2.1.Nội dung phương pháp 17

2.2.Sự hội tụ của phương pháp 19

2.3.Đánh giá sai số của nghiệm gần đúng 20

2.4 Ưu điểm nhược điểm của phương pháp lặp 23

3

2.5 Thuật toán 23

3 Phương pháp dây cung 23

3.1.Nội dung phương pháp 23

3.2.Sự hội tụ của phương pháp 27

3.3.Đánh giá sai số của nghiệm gần đúng 27

3.4.Ưu nhược điểm của phương pháp dây cung 29

3.5.Thuật toán 31

3.6.Chương trình 32

4 Phương pháp tiếp tuyến (phương pháp Newton) 33

4.1.Nội dung phương pháp 33

4.2.Sự hội tụ của phương pháp 36

4.3.Đánh giá sai số của nghiệm gần đúng 37

4.4.Ưu nhược điểm của phương pháp tiếp tuyến 38

4.5.Thuật toán 39

4.6.Chương trình 40

4.7.Giải gần đúng hệ thống phương trình phi tuyến bằng phương pháp Newton.41 5.So sánh một số phương pháp giải phương trình phi tuyến 45

T U T M ẢO……… 54

KẾT LUẬN 55

Trong nghiên cứu khoa học và trong thực tế có rất nhiều bài toán được chuyển thành bài toán giải phương trình:

( ) 0

f x  (1) Tuy nhiên, chỉ trong một số trường hợp đặc biệt ta mới có cách tìm nghiệm đúng của phương trình đó, các trường hợp còn lại đều phải tìm cách giải gần đúng Nếu phương trình đó xuất phát từ bài toán thực tế thì biểu thức (1) thường cũng chỉ biết gần đúng Vì thế việc giải gần đúng phương trình đó chẳng những không thực hiện nổi mà nhiều khi không có ý nghĩa Đối với các bài toán đó thì việc xác định sai số là một vấn đề đáng quan tâm

Vấn đề tìm nghiệm gần đúng của phương trình phi tuyến có ý nghĩa lí thuyết và ứng dụng rất lớn là cơ sở của môn giải tích số Vì vậy, em đã lựa chọn

đề tài cho khóa luận tốt nghiệp này là: “Một số phương pháp giải gần đúng phương trình phi tuyến”

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu một cách có hệ thống kiến thức cơ bản của các phương pháp giải phương trình phi tuyến là: phương pháp chia đôi, phương pháp dây cung, phương pháp lặp đơn, phương pháp Newton Sau đó vận dụng các phương pháp này giải một số hệ phương trình phi tuyến 2 ẩn, 3 ẩn,…

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu việc giải phương trình phi tuyến bằng phương pháp phương pháp chia đôi, phương pháp dây cung, phương pháp lặp đơn, phương pháp Newton

5

- Ứng dụng chương trình Wolfram Mathematica 7 trong việc tìm nghiệm gần đúng của phương trình phi tuyến

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Nghiên cứu một cách có hệ thông các kiến thức cơ bản các phương pháp: phương pháp chia đôi, phương pháp dây cung, phương pháp lặp đơn, phương pháp Newton

Ứng dụng chương trình Wolfram Mathematica 7 trong việc tìm nghiệm gần đúng của phương trình phi tuyến

Khóa luận được chia thành 2 chương (ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo):

Chương I: Kiến thức chuẩn bị

Chương II: Một số phương pháp giải phương trình phi tuyến

5 Phương pháp nghiên cứu

Đọc tài liệu, phân tích, so sánh, tổng hợp

từ bậc năm trở lên thì không có công thức tính nghiệm Hơn nữa, đối với phương trình siêu việt dạng (1.1) như: cosx5x0 thì không có công thức tính nghiệm Ngoài ra ta thường gặp trường hợp phương trình (1.1) chứa các hệ số chỉ biết một cách gần đúng, khi đó việc xác định chính nghiệm của (1.1) không

có ý nghĩa Vì vậy, việc tìm những phương pháp giải gần đúng phương trình đại

số và siêu việt cũng như việc đánh giá mức độ xác định của nghiệm gần đúng tìm được có một vai trò quan trọng

Sau đây ta xét việc tính gần đúng nghiệm thực (hoặc chính xác) của phương trình (1.1) với giả thiết hàm ( )f x xác định và liên tục trong một khoảng

hữu hạn hoặc vô hạn Mỗi số thực  thỏa mãn f( ) 0 gọi là nghiệm thực của phương trình (1.1) Ta cũng giả thiết thêm rằng phương trình (1.1) chỉ có nghiệm thực cô lập, nghĩa là với mỗi nghiệm thực của phương trình (1.1) tồn tại một miền lân cận không chứa những nghiệm thực khác của phương trình

Việc tính gần đúng nghiệm thực của phương trình (1.1) được tiến hành theo 2 bước:

7

Bước 1: Tìm khoảng cách ly nghiệm, nghĩa là tìm khoảng ( , ) a b chứa một

và chỉ một nghiệm thực của phương trình (1.1)

Bước 2: Xuất phát từ khoảng cách ly nghiệm ở bước 1, tính gần đúng

nghiệm thực của phương trình (1.1) đạt độ chính xác yêu cầu bằng một phương pháp giải gần đúng

f x tồn tại và giữ dấu không đổi trong ( , ) a b thì trong ( , ) a b chỉ có một

nghiệm thực duy nhất của phương trình (1.1)

Ý nghĩa hình học của định lý 1.1 như sau: một đường cong liền nét ( )

y f x chỉ tăng hoặc chỉ giảm, nối liền hai điểm A a f a và ( , ( ))( , ( )) B b f b nằm ở hai phía khác nhau của trục Ox , cắt trục Ox tại một điểm duy nhất x

(hình 1.1)

Từ định lý 1.1 suy ra rằng ( , )a b là khoảng cách ly nghiệm của phương

trình (1.1) nếu f a f b( ) ( ) 0 , f x tồn tại và giữ dấu không đổi trong ( , )'( ) a b

Để tìm khoảng cách ly nghiệm của phương trình (1.1) có hai phương pháp giải tích và hình học

Hình 1.1

8

2.1 Phương pháp giải tích

Xác định dấu của hàm số ( )f x tại các điểm mút của miền xác định của

hàm số f x và tại các điểm trung gian ( ) x1,x2, ,xn Những điểm này thường được lựa chọn căn cứ vào đặc điểm của hàm số ( )f x Mỗi khoảng,

ở đó hai điều kiện trên được thỏa mãn là một khoảng cách ly nghiệm của phương trình (1.1) Thông thường để tiện, người ta thường dùng quá trình chia đôi, chia khoảng xác định của hàm số ( )f x thành hai, bốn, tám,… phần bằng

nhau và xác định dấu của hàm số ( )f x tại hai mút của khoảng xác định và tại

các điểm chia

Chú ý rằng phương trình đại số bậc n (1.2) có không nhiều hơn n

nghiệm thực, do đó nếu ta đã tìm được n1 điểm ở đó:

( )

f x - - + + - - + +

Từ bảng trên ta tìm được bốn điểm -3, -2, 1, 3, ở đó x36x2 lần lượt thay đổi dấu Kết hợp với điều kiện '( )f x tồn tại và giữ dấu không đổi ta suy ra

( 3, 2); (0, 1); (2, 3)  là ba khoảng cách ly nghiệm của phương trình đã cho

Trong trường hợp '( )f x là một hàm số liên tục và phương trình f x'( )0

dễ tìm nghiệm, để tìm những khoảng cách ly nghiệm của phương trình (1.1) ta chỉ cần xác định dấu của hàm số ( )f x tại hai mút của khoảng xác định và tại

các không điểm của đạo hàm '( )f x hoặc tại các điểm gần các không điểm của

đạo hàm '( )f x

y f x Hoành độ các giao điểm của đồ thị với trục hoành Ox cho ta các giá trị thô của các nghiệm thực của phương trình (1.1) Từ đồ thị, ta dễ dàng tìm được các khoảng cách ly nghiệm của phương trình (1.1)

Ví dụ 1.3 Dùng phương pháp đồ thị, tìm những khoảng cách ly nghiệm

1 2 3 4 5 6

12 10 8 6 4 2 2 4 6 8 10 12

Hình 1.3

12

C ƯƠNG : MỘT SỐ P ƯƠNG P ÁP G Ả P ƯƠNG TRÌN P

TUYẾN

1 Phương pháp chia đôi

1.1 Nội dung phương pháp

Giả sử ( , )a b là khoảng cách ly nghiệm của phương trình (1.1) Nội dung

của phương pháp chia đôi như sau: ta chia đôi khoảng ( , )

1.2 Sự hội tụ của phương pháp

Nếu ta vô hạn lần phương pháp chia đôi đối với khoảng ( , )a b thì tại một

lần nào đó, điểm giữa khoảng cách là nghiệm đúng của phương trình (1.1)

1.3 Đánh giá sai số của nghiệm gần đúng

Trong thực hành, ta không thể thực hiện phương pháp chia đôi vô hạn lần

để nhận được nghiệm đúng của phương trình (1.1) mà chỉ có thể áp dụng n lần phương pháp chia đôi, với n là một số nguyên, dương, hữu hạn Dừng lại ở lần thứ n , ta có:

a) a , khi đó sai số của nghiệm gần đúng là: n

1.4.Ưu nhược điểm của phương pháp

Ưu điểm của phương pháp chia đôi là đơn giản, dễ lập chương trình chạy trên máy tính, vì mỗi lần áp dụng phương pháp chia đôi, ta chỉ phải tính một giá trị của hàm số tại điểm giữa của khoảng Nhược điểm của phương pháp là tốc độ hội tụ chậm

Ví dụ 1.4: Tìm nghiệm gần đúng của phương trình:

1,5 1,25 1,375 1,3125 1,34375 1,3281 1,3203 1,3242

-1 -1 -0,2968 -0,2968 -0,0515 -0,0515 -0,0515 -0,01876

5 0,875 0,875 0,2246 0,2246 0,0826 0,01446 0,01446

0,875 -0,29688 0,22461 -0,05151 0,08261 0,01446 -0,01876 -0,00221

0,5 0,25 0,125 0,0625 0,03125 0,01563 0,0078 0,0039

-0,65 -0,725 -0,7625 -0,74375 -0,734375

0,48 0,48 0,48 0,2 0,08

-0,75 -0,36 -0,02 -0,02 -0,02

-0,36 -0,02 0,2 0,08 0,03

0,15 0,075 0,0375 0,018 0,009

Dừng lại ở lần thứ 5, ta có thể lấy nghiệm gần đúng là -0,734375 với sai số 0,09

2 Phương pháp lặp

2.1 Nội dung phương pháp

Phương pháp lặp là một trong những phương pháp quan trọng để giải gần đúng phương trình (1.1) Giả sử ( , )a b là khoảng cách ly nghiệm của phương

trình (1.1) Nội dung của phương pháp lặp như sau: đưa phương trình (1.1) về phương trình tương đương:

x( )x (1.5)

1 3

x x

c) xx1x2Bây giờ, ta chọn

x a b làm nghiệm gần đúng ban đầu Thay xx0

vào vế phải của (1.5), ta nhận đƣợc nghiệm gần đúng thứ nhất:

1 ( 0)

x  x (1.6) Thay x0x1 vào vế phải của (1.6), ta nhận đƣợc nghiệm gần đúng thứ hai:

19

Hình 1.5

2.2 Sự hội tụ của phương pháp

Định lý 1.2 sau đây cho ta cách chọn hàm số ( )x để dãy

1, 2, , n,

x x x hội tụ đến nghiệm 

Định lí 1.2 Giả sử ( , ) a b là khoảng cách ly nghiệm (chứa nghiệm x) của phương trình f x( )0; ( ),x ,( )x là những hàm số liên tục trong a b, , với ( )x được xác định bởi x( )x , tương đương với phương trình ( ) 0f x  ; mọi ( )x a b,  với xa b, , nếu '( )x  q 1 đối với  x a b,  thì dãy các nghiệm gần đúng  x n ,n1,2,3, nhận được từ (1.7), hội tụ đến nghiệm 

2.3 Đánh giá sai số của nghiệm gần đúng

Để đánh giá độ lệch giữa nghiệm gần đúng x n, nhận được bằng phương pháp lặp và nghiệm đúng  của phương trình (1.1), ta xét hiệu x n Từ chứng minh định lý (1.2) ta có:

1 01

n q

lg

q

x x N

Giải:

Trước hết, cần đưa phương trình đã cho về phương trình tương đương: ( )

x x Có nhiều cách, chẳng hạn:

4'( )

3

4

x x

   trên (0, 1)

Nhƣ vậy, ta có thể dùng 3( ) 5 2 3

20

x x

2 3

20

n n

3 0 1

3 1 2

0,2554720

0,1541720

x x

x x





23

3 2 3

3 3 4

3 4 5

0,1509220

0,1508620

0,1508620

x x

x x

x x

2.4 Ưu điểm nhược điểm của phương pháp lặp

Phương pháp lặp là một trong những phương pháp quan trọng để tính gần đúng nghiệm thực của phương trình đại số và siêu việt Ưu điểm của phương pháp lặp là tốc độ hội tụ khá nhanh Nhược điểm của phương pháp lặp là khi q gần 1 thì tốc độ hội tụ rất chậm

3 Phương pháp dây cung

3.1 Nội dung phương pháp

Giả sử ( , )a b là khoảng cách ly nghiệm của phương trình (1.1) Nội dung

của phương pháp dây cung là trên [a, b], thay cung cong của đường cong: ( )

y f x bằng dây cung trương cung cong ấy và xem hoành độ x1 của giao điểm của dây cung với trục hoành là giá trị xấp xỉ của nghiệm đúng  Để xây dựng công thức tính x1, ta xét hai trường hợp sau:

a) Trường hợp 1:

24

'( ) "( ) 0

f x f x  Để xác định, xem ( ) 0f a  , f b( ) 0 , f x'( ) 0, "( ) 0 f x với  x ( , )a b (hình 1.6a) Dây cung AB là đường thẳng đi qua hai điểm ( , ( )); ( , ( ))

A a f a B b f b nên phương trình dây cung AB là:

1

x chưa đạt độ chính xác yêu cầu, ta thay ( , )a b bằng ( , )x b và lại áp dụng phương pháp dây cung 1đối với ( , )x b , ta nhận được 1

A a f a B b f b nên phương trình của dây cung AB là:

( )( )( ) ( )

f a  f b  f x'( ) 0, "( ) 0 f x  (hình 1.7)

Từ những kết quả trên ta thấy rằng trong quá trình áp dụng liên tiếp phương pháp dây cung đối với khoảng cách ly nghiệm ( , )a b , có một trong hai

mút của khoảng ( , )a b cố định, đó là mút ở đó có dấu của hàm ( ) f x trùng với

dấu của đạo hàm cấp hai f "( )x và hai công thức (1.14) và (1.15) có thể kết hợp

27

3.2 Sự hội tụ của phương pháp

Giả sử ( , )a b là khoảng cách ly nghiệm của phương trình (1.1) và f"( )x

giữ dấu không đổi trong ( , )a b nghĩa là: f a f b( ) ( ) 0; f x'( ), f "( )x giữ dấu

không đổi trong ( , )a b Khi đó từ mục 3.1 thấy rằng nếu áp dụng liên tiếp

phương pháp dây cung đối với khoảng cách ly nghiệm ( , )a b nghĩa là áp dụng

công thức (1.16) với n0,1, 2, 3, các gần đúng liên tiếp

0, 1, 2,

x x x hoặc tạo nên một dãy đơn điệu tăng và bị chặn trên:

0 1 2 n n 1

ax  x x  x x     b (trường hợp 1) hoặc tạo nên một dãy đơn điệu giảm và bị chặn dưới:

a   x  x  x  x x b (trường hợp 2) Nên tồn tại giới hạn: lim n

Từ đó suy ra: f( ) 0 Vì ( , )a b là khoảng cách ly nghiệm của phương

trình (1.1) nên trong ( , )a b chỉ chứa một nghiệm duy nhất  của phương trình (1.1), vậy  

3.3 Đánh giá sai số của nghiệm gần đúng

Để đánh giá độ lệch giữa nghiệm gần đúng x n nhận được bằng phương pháp dây cung và nghiệm đúng  của phương trình (1.1), ta có định lý sau:

Định lý 1.3 Giả sử nghiệm đúng  và nghiệm gần đúng x của phương n

trình (1.1) đều nằm trên cùng một đoạn [ , ]  và

1

0m  f '( )x đối với x [ , ]  Khi đó ta có đánh giá sau:

m



  (1.17)



 

Như vậy để đánh giá mức độ chính xác của nghiệm gần đúng x , nhận n

được bằng phương pháp dây cung, ta có thể dùng (1.17) Ngoài ra, ta có thể đánh giá sai số của nghiệm gần đúng x n, nếu biết hai gần đúng liên tiếp x n1 và