Lược đồ sai phân khác thường giải một số phương trình vi phân

69 3 Xây dựng lược đồ sai phân khác thường giải hệ phương trình vi phân 72 3.1 Lược đồ sai phân khác thường bảo toàn tính chất ổn định cho hệ động lực học nhiều chiều.. Tuy nhiên, trong

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC

HOÀNG MẠNH TUẤN

LƯỢC ĐỒ SAI PHÂN KHÁC THƯỜNG GIẢI

MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - 2015

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC

HOÀNG MẠNH TUẤN

LƯỢC ĐỒ SAI PHÂN KHÁC THƯỜNG GIẢI

MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Mã số: 60.46.01.12

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

CÁN BỘ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

GS TS Đặng Quang Á

Hà Nội - 2015

LỜI CẢM ƠN

Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, em xin bày tỏ lòng biết

ơn sâu sắc tới GS TS Đặng Quang Á, người đã dành nhiều thời gian, công sức để hướng dẫn và tận tình chỉ bảo em trong suốt quá trình thực hiện luận văn

Em xin phép được gửi lời cảm ơn đến ban lãnh đạo và các thầy cô giáo, các anh/chị cán bộ trường ĐHKHTN - ĐHQGHN nói chung và khoa Toán

- Cơ - Tin học nói riêng vì đã tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất, giúp đỡ em trong thời gian em học tập, nghiên cứu tại trường

Em xin cảm ơn các thầy, cô giáo, các anh chị và các bạn trong chuyên nghành Toán ứng dụng vì những động viên và những ý kiến trao đổi quí báu đối với bản thân em trong thời gian qua

Lời cảm ơn sâu sắc và đặc biệt nhất xin được gửi đến gia đình và những người thân vì những điều tốt đẹp nhất dành cho tôi trong cuộc sống, trong học tập và nghiên cứu khoa học

Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng do thời gian có hạn và năng lực của bản thân còn nhiều hạn chế, vì thế, bản luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót Vì vậy, em rất mong nhận được sự góp ý của quý thầy, cô và các bạn

Hà Nội, ngày 16 tháng 01 năm 2015

Học viên Hoàng Mạnh Tuấn

Mục lục

1.1 Một số kiến thức chuẩn bị 8

1.2 Rời rạc hóa phương trình phân rã tuyến tính 17

1.3 Rời rạc hóa hệ động lực học 23

1.4 Lược đồ sai phân chính xác 33

1.5 Lược đồ sai phân khác thường 40

2 Xây dựng lược đồ sai phân khác thường giải phương trình vi phân 44 2.1 Xây dựng lược đồ sai phân khác thường dựa trên rời rạc hóa không địa phương 44

2.1.1 Mở đầu 45

2.1.2 Các lược đồ bảo toàn các tính chất đơn điệu 46

2.1.3 Xây dựng một vài lược đồ sai phân khác thường 49

2.1.4 Xây dựng lược đồ sai phân khác thường chính xác cấp hai 53

2.2 Lược đồ sai phân khác thường cho phương trình vi phân có ba điểm bất động 57

2.2.1 Đặt bài toán 57

2.2.2 Xây dựng các lược đồ sai phân khác thường 60

2.3 Xây dựng các lược đồ sai phân khác thường bằng cách tái chuẩn hóa mẫu số 64

2.3.1 Kết quả chính 64

2.3.2 Một số ứng dụng 69

3 Xây dựng lược đồ sai phân khác thường giải hệ phương trình vi phân 72 3.1 Lược đồ sai phân khác thường bảo toàn tính chất ổn định cho hệ động lực học nhiều chiều 72

3.1.1 Các kết quả chính 73

3.1.2 Thử nghiệm số trong trường hợp hai chiều 75

3.1.3 Thử nghiệm số trong trường hợp ba chiều 82

3.2 Xây dựng lược đồ sai phân khác thường chính xác cấp hai 90

3.2.1 Xây dựng hệ điều kiện cho lược đồ chính xác cấp hai 90 3.2.2 Lược đồ sai phân khác thường chính xác cấp hai cho hệ Lotka - Voltera 92

3.2.3 Các thử nghiệm số 101

Mở đầu

Việc nghiên cứu các phương pháp giải gần đúng phương trình vi phân là một trong những vấn đề quan trọng của Toán học nói chung và Toán học tính toán nói riêng Do nhu cầu của thực tiễn và sự phát triển của lý thuyết toán học, các nhà toán học đã tìm ra rất nhiều những phương pháp giải gần đúng phương trình vi phân

Một trong những kỹ thuật truyền thống được sử dụng rộng rãi trong việc giải gần đúng phương trình vi phân, đặc biệt là các phương trình vi phân đạo hàm riêng là sử dụng các lược đồ sai phân bình thường (Standard Difference Scheme) Các lược đồ sai phân bình thường được xây dựng dựa trên việc rời rạc hóa các đạo hàm xuất hiện trong phương trình vi phân bằng các công thức sai phân Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp hạn chế của các lược đồ sai phân bình thường là không bảo toàn được các tính chất của nghiệm của phương trình vi phân tương ứng Hiện tượng nghiệm của phương trình sai phân (thu được từ các lược đồ sai phân) không phản ánh chính xác, hay chính xác hơn là không bảo toàn được các tính chất của nghiệm của phương trình vi phân tương ứng được gọi chung là hiện tượng không ổn định số (Numerical Instabilities, xem [13, 16])

Chẳng hạn, ta xét hệ phương trình vi phân tuyến tính với hệ số hằng số

x0(t) = −y(t), x(0) = r,

y0(t) = x(t), y(0) = 0

Trong trường hợp này, ta dễ dàng chỉ ra rằng nghiệm của hệ có tính chất

x2(t) + y2(t) = r2, ∀t,

tức là, quỹ đạo tương ứng với đường tròn tâm O(0, 0), bán kính r2 Nếu sử dụng các lược đồ sai phân bình thường như các lược đồ thu được từ phương

pháp Euler hiển, Euler ẩn, hình thang ẩn thì chúng ta thấy rằng: Phương pháp Euler hiển cho lời giải tương ứng với đường xoắn ốc ra, phương pháp Euler ẩn cho lời giải tương ứng với đường xoắn ốc vào Chỉ có phương pháp hình thang bảo toàn tính chất bất biến của bài toán Đây là một ví dụ đơn giản cho hiện tượng bất ổn định số Các phân tích cũng cho thấy rằng, hiện tượng không ổn định số cũng xảy ra khi ta sử dụng các kỹ thuật tinh vi hơn

để xây dựng các lược đồ sai phân bình thường, chẳng hạn sử dụng phương pháp Taylor hoặc phương pháp Runge - Kutta

Nhìn chung, các lược đồ sai phân bình thường chỉ bảo toàn được các tính chất nghiệm của phương trình vi phân khi ta sử dụng bước lưới h nhỏ Tức

là, hiện tượng không ổn định số sẽ xảy ra khi bước lưới h được chọn lớn hơn giá trị h∗ nào đó Thông thường giá trị h∗ rất nhỏ Vì thế, việc sử dụng các lược đồ sai phân bình thường không có lợi thế khi giải các phương trình vi phân trên đoạn tìm nghiệm lớn, chẳng hạn như đối với các hệ động lực học, thời gian có thể tiến ra ∞

Các phân tích cũng chỉ ra rằng, hiện tượng không ổn định số xảy ra khi phương trình sai phân (rời rạc) không bảo toàn được các tính chất ổn định tuyến tính cho các điểm bất động hay còn gọi là nghiệm hằng hoặc điểm cân bằng của phương trình vi phân (liên tục) Chẳng hạn, phương trình sai phân

và phương trình vi phân không có cùng tập hợp điểm bất động Các phương pháp Runge - Kutta hoặc phương pháp Taylor thường sinh ra thêm các điểm bất động giả (phụ thuộc vào bước lưới) Trong trường hợp phương trình sai phân và phương trình vi phân có cùng tập hợp điểm bất động thì xảy ra trường hợp có thể y(t) ≡ ¯y là điểm ổn định tuyến tính của phương trình vi phân nhưngyk ≡ ¯y lại không phải điểm ổn định tuyến tính của phương trình sai phân tương ứng

Tổng quát hơn, hiện tượng bất ổn định số xảy ra khi nghiệm của phương trình sai phân không thỏa mãn các điều kiện mà nghiệm của phương trình

vi phân thỏa mãn Các tính chất chúng ta quan tâm ở đây là tính chất đơn điệu, tính bị chặn, tính dương, tính tuần hoàn và các tính chất bất biến Nói chung, khi sử dụng cỡ bước lớn thì các lược đồ sai phân bình thường không bảo toàn được các tính chất này Trong các phần trình bày của luận văn,

chúng ta sẽ phân tích rõ hơn vấn đề này.

Lược đồ sai phân khác thường được được đề xuất bởi R E Mickens vào năm 1980 Lược đồ sai phân khác thường là lược đồ sai phân được xây dựng dựa trên một bộ quy tắc xác định, các quy tắc này được đưa ra bởi R E Mickens dựa trên các phân tích hiện tượng không ổn định số xảy ra khi sử dụng các lược đồ sai phân bình thường Hai quy tắc quan trọng trong việc xây dựng các lược đồ sai phân khác thường là

1 Các đạo hàm xuất hiện trong phương trình vi phân nên được rời rạc hóa bằng công thức phức tạp hơn các công thức rời rạc hóa thông thường, chẳng hạn, như công thức sai phân tiến, sai phân lùi, sai phân trung tâm

2 Các số hạng phi tuyến xuất hiện trong vế phải của phương trình vi phân nên được rời rạc hóa không địa phương, tức là rời rạc hóa hàm số dựa trên giá trị của hàm tại một số điểm trên lưới rời rạc thay vì rời rạc hóa địa phương trong các lược đồ sai phân bình thường

Đây là sự khác biệt lớn nhất giữa các lược đồ sai phân bình thường và các lược đồ sai phân khác thường

Ưu thế của các lược đồ khác thường so với lược đồ bình thường là bảo toàn tính chất nghiệm của bài toán với mọi cỡ bước h > 0 Tuy nhiên, nhược điểm của các lược đồ khác thường là khó có thể đưa ra các lược đồ có cấp chính xác cao như các lược đồ bình thường và thời gian thực hiện tính toán

có thể lâu hơn vì đạo hàm và hàm vế phải được rời rạc hóa phức tạp hơn

Vì thế, việc sử dụng các lược đồ khác thường có lợi thế khi chúng ta giải các bài toán trên đoạn tìm nghiệm lớn và cần bảo toàn chính xác các tính chất nghiệm của bài toán

Hiện nay, các lược đồ sai phân khác thường được các nhà toán học xây dựng và sử dụng rộng rãi cho cả phương trình vi phân đạo hàm riêng cũng như phương trình đạo hàm thường và các bài toán biên Tuy nhiên, trong khuôn khổ của luận văn, chúng ta chủ yếu tập trung vào việc xây dựng các lược đồ sai phân khác thường cho bài toán giá trị ban đầu đối với phương trình vi phân thường Nội dung chính của luận văn hệ thống lại các kết quả

tiêu biểu của các tác giả nước ngoài trong vòng20 năm trở lại đây Cấu trúc của luận văn bao gồm ba chương

 Chương 1: Lược đồ sai phân khác thường

Trong chương này, chúng ta nhắc lại một số kiến thức cơ bản về phương trình vi phân và phương pháp số giải phương trình vi phân Trên cơ sở kết hợp việc phân tích hiện tượng không ổn định số xảy ra khi sử dụng các lược đồ sai phân bình thường và việc xây dựng các lược đồ sai phân chính xác (exact scheme) chúng ta đưa ra các quy tắc tổng quát để xây dựng các lược đồ sai phân khác thường

 Chương 2: Xây dựng lược đồ sai phân khác thường giải phương trình vi phân

Chương này đề cập việc xây dựng các lược đồ sai phân giải một số phương trình vi phân trong trường hợp một chiều Các lược đồ được xây dựng dựa trên cả hai cách rời rạc hóa không địa phương và lựa chọn cách rời rạc hóa đạo hàm phù hợp

 Chương 3: Xây dựng lược đồ sai phân khác thường giải hệ phương trình

vi phân

Chương cuối này, dành cho việc xây dựng các lược đồ sai phân khác thường bảo toàn các tính chất của hệ động lực học Các mô hình được xét đến là mô hình thú mồi (predator prey system), mô hình Vắc -Xin (Vaccination model) và hệ Lotka - Volterra Trong các phần trình bày đều có các thử nghiệm số đi kèm để minh họa cho tính hiệu quả của các lược đồ được xây dựng

Mặc dù bản thân đã cố gắng hết sức nhưng do thời gian thực hiện có hạn

và năng lực bản thân còn nhiều hạn chế nên trong luận văn chắc chắn không thể tránh khỏi những hạn chế và sai sót Em rất mong nhận được những góp

ý và sự chỉ bảo của các thầy cô Em xin chân thành cảm ơn!

Chương 1

Lược đồ sai phân khác thường

1.1 Một số kiến thức chuẩn bị

Trong phần trình bày của luận văn, ta chủ yếu nghiên cứu việc giải gần đúng bài toán giá trị ban đầu đối với phương trình vi phân cấp một, hay còn gọi là bài toán Cauchy







Dy = dy

dt = f (t, y), t0 ≤ t ≤ T, y(t0) = y0, y, f ∈ Rn,

(1.1)

trong đó hàm y(t) : [t0, T ] → Rn là hàm số cần xác định, giá trị ban đầu

y0 ∈ Rn và hàm vế phải f : [t0, T ] ×Rn → Rn cho trước Ta giả thiết rằng thời gian ban đầu t0 là hữu hạn, nhưng thời gian T có thể tiến đến vô cùng đối với hệ động lực học Để đơn giản, ta giả sử rằng t0 = 0

Trong trường hợp f = f (y) thì phương trình được gọi là dừng (au-tonomous) Không mất tính tổng quát ta có thể giả thiết một phương trình

là dừng Vì nếu phương trình không ở dạng dừng thì ta đưa thêm biến phụ

yn+1 = t và đặt y = (yˆ 1, y2, , yn+1) Khi đó phương trình được viết lại dưới dạng

ˆ

y0 = ˆf (ˆy), f (ˆˆy) = f (y), 1
T (1.2) Các kết quả liên quan đến bài toán giá trị ban đầu (1.1) như sự tồn tại

và duy nhất nghiệm, sự phụ thuộc liên tục của nghiệm vào dữ liệu ban đầu được trình bày trong hầu hết các giáo trình về phương trình vi phân (xem [3, 9, 10]) nên chúng ta không trình bày lại ở đây Từ giờ cho tới hết phần

Tài liệu tham khảo

[1] R Anguelov, J M -S Lubuma, ”Nonstandard finite difference method by nonlocal approximations”, Mathematics and Computers in Simulation,

61 (2003), pp 465 − 475

[2] A J Arenas, G G Parra, M B Chen - Charpentier, ” A nonstandard numerical scheme of predictor - corrector type for epidemic models”, Computers and Mathematics with Applications, 59 (2010), pp 3740 −

3749

[3] U M Ascher, L R Petzold, ”Computer Methods for Ordinary Differ-ential Equations and DifferDiffer-ential-Algebraic Equations”, (1998) Philadel-phia

[4] F Brauer , C Castillo - Chavez, ”Mathematical Models in Population Biology and Epidemiology”, (2001) Springer, New York

[5] T D Dimitrov, H V Kojouharov, ”Stability - Preserving Finite - Differ-ence Methods For General Multi - Dimensional Autonomous Dynamical Systems”, International Journal Of Numerical Analysis And Modeling, Volume 4, Number 2, pp 280 − 290

[6] T D Dimitrov, H V Kojouharov, ”Nonstandard finite difference schemes for general two - dimensional autonomous dynamical systems”, Applied Mathematics Letters, 18(2005), pp 769 − 774

[7] T D Dimitrov, H V Kojouharov, ”Positive and elementary stable non-standard numerical methods with applications to predator - prey mod-els”, Journal of Computational and Applied Mathematics, 189(2006),

pp 98 − 108

[8] K F Gurski, ”A simple construction of nonstandard finite - difference schemes for small nonlinear systems applied to SIR models”, Computers and Mathematics with Applications, 66(2013), pp 2165 − 2177

[9] E Hairer, G Wanner, ”Solving Ordinary Differential Equation I, Nonstiff Problems”, (1991) Springer-Verlag, Berlin

[10] E Hairer, P S Norsett, Wanner G, ”Solving Ordinary Differential Equa-tion II, Stiff and Differential - Algebraic-Problems”, (1991) Springer-Verlag, Berlin

[11] H Kojouharov , B Welfert, ” A nonstandard Euler schemes for y00 + g(y)y0 + f (y)y = 0, Journal Computational and Applied Mathematics,

151(2003), pp.335 − 353

[12] R E Mickens, ” Difference Equations; Theory ans Applications”,(1990)

New York

[13] R E Mickens, ”Nonstandard Finite Difference Models of Differential Equations”, (1994) World Scientific, Singapore

[14] R E Mickens, ” Finite - Difference Schemes Having the Correct Linear Stability Properties for All Finite Step - Sizes III ”, Computers Math Applic ”, Vol 27(1994), No 4, pp 77 − 84

[15] R E Mickens, ” Discretizations of nonlinear differential equations using explicit nonstandard methods ”, Journal of Computational and Applied Mathematics, 110(1999), pp 181 − 185

[16] R E Mickens, ”Applications of Nonstandard Finite Difference Schemes”,

(2000) World Scientific, Singapore

[17] R E Mickens, ” Numerical Study Of A Non - Standard Finite - Dif-ference Scheme For The Van Der Pol Equation”, Journal of Sound and Vabration, (2000)250(5), pp 955 − 963

[18] R E Mickens, ” Analytical And Numerical Study Of A Non - Standard Finite Difference Scheme For The Unplugged Van Der Pol Equation”, Journal of Sound and Vabration, (2001)245(4), pp 757 − 761

[19] R E Mickens, ” Step - Size Dependence Of The Period For A Forward

- Euler Scheme Of The Van Der Pol Equation”, Journal of Sound and Vabration, (2002)258(1), pp 199 − 202

[20] R E Mickens, ” A nonstandard finite - difference scheme for the Lotka Volterra system”, Journal of Sound and Vabration, (2003)45, pp 309 −

314

[21] R E Mickens, ” A numerical integration technique for conservative oscillators combining nonstandard finite - difference methods with a Hamilton’ s principle ”, Journal of Sound and Vabration, (2005)285,

pp 477 − 482

[22] R E Mickens, ” Exact finite difference scheme for second - order, linear ODEs having constant coefficients ”, Journal of Sound and Vabration,

(2005)287, pp 1052 − 1056

[23] S M Moghadas, M E Alexander, B D Corbett, ” A nonstandard numerical scheme for a generalized Gauss - type predator - prey model”, PHYSICA D, 188(2004), pp.134 − 151

[24] B Nuriyev, T Ergenc, ” Exact solution of two dimensional Lotka -Volterra equations, Department of Mathematics, METU, 06531, Ankara, Turkey

[25] L -I W Roeger, ” Exact nonstandard finite-difference methods for a linear system—the case of centers ”, Journal of Difference Equations and Applications, 14(2008), pp 381 − 389

[26] L -I W Roeger, ” Exact finite - difference schemes for two - dimensional linear systems with constant coefficients”, Journal of Computational and Applied Mathematics ”, 219(2008), pp 102 − 109