Nghiên cứu một số phương trình hàm sử dụng công cụ giải tích (tt)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THỊ LAN CHI NGHIÊN CỨU MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH HÀM SỬ DỤNG CÔNG CỤ GIẢI TÍCH Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 L

Trang 1

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN THỊ LAN CHI

NGHIÊN CỨU MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH HÀM

SỬ DỤNG CÔNG CỤ GIẢI TÍCH

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS Huỳnh Thế Phùng

Huế, năm 2014

Demo Version - Select.Pdf SDK

Trang 2

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các số liệu và kết quả nghiên cứu ghi trong luận văn là trung thực và chưa được công bố trong bất kỳ một công trình nào khác

Học viên

Nguyễn Thị Lan Chi

Trang 3

LỜI CẢM ƠN

Luận văn này được hoàn thành tại Khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế

Tác giả xin tỏ lời biết ơn trân trọng nhất đến PGS.TS Huỳnh Thế Phùng đã tận tình giúp đỡ, hướng dẫn và động viên trong quá trình thực hiện luận văn

Tác giả xin tỏ lời biết ơn trân trọng đến trường Đại học Sư phạm Huế, trường Đại học Đồng Nai, phòng Sau đại học trường Đại học Sư phạm Huế, phòng Nghiên cứu Khoa học - Sau đại học và Quan hệ Quốc tế trường Đại học Đồng Nai đã tận tình giúp đỡ tạo điều kiện trong quá trình học tập

Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy cô ở Khoa Toán trường Đại học Sư phạm

- Đại học Huế, các đồng nghiệp cùng công tác ở trường PTCS Lý Tự Trọng, các bạn học viên cùng tham gia học tập tại trường Đại học Đồng Nai đã cổ vũ, động viên và giúp đỡ trong thời gian làm luận văn

Cuối cùng tác giả xin cảm ơn sự động viên, giúp đỡ và sự cảm thông sâu sắc của

ba mẹ, anh chị em, chồng và hai con của tác giả

Tác giả

Trang 4

Mục lục

Chương 1 Hàm cộng tính và song cộng tính 4

1.1.Hàm cộng tính liên tục 4

1.2.Hàm cộng tính gián đoạn 9

1.3.Hàm cộng tính trên mặt phẳng phức 13

1.3.1 Hàm cộng tính trên mặt phẳng thực 13

1.3.2 Hàm cộng tính trên mặt phẳng phức 15

1.4.Hàm song cộng tính 18

Chương 2 Ph.trình hàm nhận được từ các định lý giá trị trung bình 22 2.1.Phương trình hàm từ Định lý Lagrange 22

2.1.1 Định lý giá trị trung bình Lagrange 22

2.1.2 Phương trình hàm dẫn xuất từ định lý Lagrange 24

2.2.Phương trình hàm từ Định lý Pompeiu 41

2.2.1 Định lý giá trị trung bình Pompeiu 41

2.2.2 Phương trình hàm dẫn xuất từ định lý Pompeiu 43

Chương 3 Phương trình hàm Cauchy và các dạng mở rộng 49

3.1.Các phương trình hàm Cauchy 50

3.1.1 Phương trình mũ Cauchy 50

3.1.2 Phương trình Cauchy - logarit 51

3.1.3 Phương trình Cauchy nhân tính 53

3.2.Phương trình hàm Jensen 55

3.3.Phương trình hàm Pexider 59

1

Trang 5

LỜI MỞ ĐẦU

Phương trình hàm xuất hiện khắp mọi nơi Sự ảnh hưởng và khả năng áp dụng của nó có thể cảm nhận được ở hầu khắp mọi lĩnh vực – không chỉ trong toán học

mà cả trong các ngành khoa học khác Các bài toán dạng phương trình hàm thường xuất hiện trong giải tích, hình học, thống kê, khoa học máy tính, lý thuyết tổ hợp, vật lý, toán kinh tế, sinh học, lý thuyết về hệ thống thuế, khoa học xã hội

Mặc dù các nhà toán học lỗi lạc – bao gồm Abel (1823), Banach (1920), Cauchy (1821), Darboux (1895), Euler (1768), Ostrowski (1929), Pexider (1903), Poisson (1804) – từ thời d’Alembert đã có những đóng góp nhất định vào lĩnh vực này,

đã không có một ấn phẩm chính thức nào về phương trình hàm được công bố cho đến khi xuất hiện tác phẩm “Lectures on Functional Equations and Their Applications” của J Aczél (1966) Kể từ đó, các công trình nghiên cứu về phương trình hàm được công bố ngày càng nhiều và gắn liền với các ứng dụng thiết thực Phương trình hàm xuất hiện khá sớm là Phương trình hàm Cauchy, với bốn dạng cơ bản sau:

f (x + y) = f (x) + f (y) ∀x, y ∈ R

f (x + y) = f (x)f (y) ∀x, y ∈ R

f (xy) = f (x) + f (y) ∀x, y ∈ R

Ngoài ra, với các ứng dụng khác nhau, người ta còn nghiên cứu nhiều phương trình khác, như Phương trình hàm dạng Jensen, dạng Pexider, Để tiếp cận các phương trình này, ngoài các công cụ giải tích cổ điển như giới hạn, liên tục, đạo hàm, nhiều công cụ của giải tích hiện đại cũng được sử dụng để nhận được các kết quả có tính ứng dụng cao hơn

Vì nhận thấy phương trình hàm là một lĩnh vực nghiên cứu hấp dẫn, có nhiều ứng dụng trong thực tế, hơn nữa đây cũng là một dạng toán thường được sử dụng trong chương trình toán phổ thông cho các học sinh khá, giỏi luyện tập, chúng tôi chọn đề tài : “Nghiên cứu một số phương trình hàm sử dụng công cụ giải tích” cho luận văn thạc sĩ chuyên ngành giải tích của mình, một mặt để rèn luyện thêm các kỹ

2

Trang 6

năng về toán, mặt khác trang bị thêm cho bản thân một số phương pháp hiệu quả trong việc giải quyết các bài toán phổ thông

Bố cục của luận văn bao gồm 3 chương:

• Chương 1 trình bày các hàm cộng tính và song cộng tính Ngoài các hàm cộng tính, song cộng tính liên tục, việc biểu diễn tường minh các hàm cộng tính và song cộng tính không liên tục cũng được thực hiện

• Chương 2 trình bày các phương trình hàm nhận được từ các định lý giá trị trung bình Đó là các phương trình hàm từ các định lý Lagrange, định lý Pompeiu

• Chương cuối cùng trình bày các dạng mở rộng của phương trình hàm Cauchy, phương trình hàm Jensen và phương trình hàm Pexider

Đây là một đề tài tương đối rộng và mới so với kiến thức được trang bị nên tác giả đã gặp phải nhiều khó khăn khi thực hiện Mặc dù đã nỗ lực rất nhiều, luận văn khó tránh khỏi các thiếu xót đáng tiếc Tác giả rất mong nhận được sự góp ý của quý thầy cô và bạn đọc

Xin chân thành cảm ơn!

Tác giả

3

Trang 7

Chương 1

Hàm cộng tính và song cộng tính

Mục tiêu của chương này là trình bày một vài kết quả liên quan đến hàm cộng tính và song cộng tính Nghiên cứu hàm cộng tính đã được đề cập bởi A.M Legendre, người đầu tiên cố gắng tìm cách giải phương trình hàm Cauchy:

f (x + y) = f (x) + f (y)

với mọi x, y ∈ R Tài liệu của Kuzma (1985) cũng đã đề cập rất kỹ đến những hàm cộng tính Ngoài ra các hàm cộng tính cũng được đề cập trong các tài liệu của Aczél (1966), Aczél (1987), Aczél và Dhombres (1989), và Smital (1988) Các nghiệm tổng quát của những phương trình hàm có hai hay nhiều biến có thể thể hiện trong giới hạn cộng tính, nhân tính, tính logic hoặc tính hàm mũ

Trong tiểu mục này, ta định nghĩa các hàm cộng tính và nghiên cứu trạng thái của chúng dưới những giả thiết ổn định khác nhau như tính liên tục, tính khả vi, tính khả nghiệm, tính đơn điệu

Định nghĩa 1.1 Hàm f : R → R, với R là tập các số thực được, gọi là cộng tính nếu nó thỏa mãn phương trình hàm Cauchy

f (x + y) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R (1.1)

4

Định dạng
Số trang	7
Dung lượng	167,9 KB