[Tạp chí Olympic] Một số kỹ thuật AM-GM

Kỹ thuật chọn điểm rơi: Đây là kỹ thuật rất quan trọng trong quá trình sử dụng bất đẳng thức Cauchy để giải toán.. Dựa vào việc xác định điều kiện xảy ra đẳng thức, ta sẽ thêm bớt hay t

Một số kỹ thuật AM-GM

Phạm Quốc Sang - Học sinh K9 chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm Quảng Nam

I Kỹ thuật chọn điểm rơi:

Đây là kỹ thuật rất quan trọng trong quá trình sử dụng bất đẳng thức Cauchy để giải toán

Dựa vào việc xác định điều kiện xảy ra đẳng thức, ta sẽ thêm bớt hay tách biểu thức cần

chứng minh thành các nhóm hay biểu thức phù hợp

Bài 1: Cho a3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2

1 2

Từ bảng, ta nhận xét khi a tăng thì P tăng Do đó, ta dự đoán giá trị nhỏ nhất của P là 61

Phân tích: P là biểu thức đối xứng theo ba biến a b c, , Do đó, ta dự đoán 1

Lưu ý: Trong quá trình giải toán, ta rất ít khi gặp các bài toán có dạng đơn biến Thay vào đó,

ta thường xuyên gặp các biểu thức dạng đa biến phức tạp Do đó, ta cần linh hoạt sử dụng các bất đằng thức phù hợp để đưa biểu thức cần chứng minh về một biến số rồi đánh giá

Bài 3: Cho a b c, , là các số thực dương thỏa a b c  1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Lời giải 1: Do vai trò của a b c, , trong P là tương tự nhau nên ta chỉ cần phân tích a sau đó

làm tương tự với b c,

Sơ đồ điểm rơi:

t

a b c a b c abc

3 3

11

II Kỹ thuật đồng bậc hóa:

Đồng bậc là kỹ thuật giải toán dựa vào việc tạo ra các biểu thức đồng bậc nhau ở hai vế của bất đẳng thức cần chứng minh Ở chương này, ta sẽ tập trung đi vào giải các bài toán gồm ba biến số

Bậc của đơn thức: Ta quy ước đơn thức a b c   có bậc    

Ví dụ:

3 5 2

3

, , , a , a

a ab a bc

b c là các đơn thức bậc hai

Ta nhận xét rằng: Có vô số cách biểu diễn một đơn thức bậc k qua n biến a a1, 2 .a n

1 Cộng thêm các biểu thức đồng bậc vào bất đẳng thức:

Bài 1: Cho a b c, , là các số thực dương Chứng minh rằng

Phân tích: Ta nhận xét rằng, hai vế của bất đẳng thức cần chứng minh đều có bậc hai Do đó,

ta cần cộng thêm vào hai vế một biểu thức chứa các đơn thức bậc hai

hai số, các kết quả thu được vẫn khá phức tạp Do đó, ta sẽ sử dụng bất đẳng thức Cauchy

Phân tích: Ta nhận xét: hai vế của bất đẳng thức đều cùng bậc ba So với hai bài trước thì bài này có bậc cao hơn và số cách biểu diễn để tạo thành các nhóm phù hợp cũng nhiều hơn Do

đó ở bài này, ta sẽ phân tích tổng quát hơn:

a b c   Tức là nếu hạng tử ta xét chứa n biến thì đơn thức cộng thêm sẽ chứa n biến đó Do

vậy, nếu sau khi phân tích có k k n biến thì sẽ có n k biến có số mũ bằng 0

Bài 4: Cho a b c, , là các số thực dương Chứng minh rằng

b cc aa b

Phân tích: Ta nhận xét rằng, bậc ở vế trái là bậc 1, còn vế phải là bậc 0 Do đó, ta cần làm

đồng bậc hai vế bằng cách thay 3 a b c   vào vế phải Ta sẽ quy bài toán về chứng minh

Ta có hai hướng giải với bất đẳng thức Cauchy:

1 Sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số: Dễ thấy trong trường hợp này chỉ có cặp

 2

22

Phân tích: Ta nhận xét rằng, bậc vế trái là bậc một còn vế phải là bậc hai Do đó, ta sẽ làm

đòng bậc hai vế bằng cách nhân a b c  vào vế trái

Lời giải chi tiết:

III Kỹ thuật Cauchy ngược dấu: ( Kỹ thuật đánh giá phủ định của phủ định)

Trong quá trình chứng minh AB, ta thường sử dụng các bất đẳng thức phụ để đánh giá

từng vế Tuy nhiên trong một số trường hợp, việc sử dụng quá mạnh tay bất đẳng thức phụ sẽ dẫn đến sự đổi chiều của của bất đẳng thức ban đầu

Ta đánh giá AC D, B Tuy nhiên, CD Do đó, kết quả C D đã làm cho bất đẳng

thức ban đầu bị đổi chiều so với chiều cần chứng minh

Sơ lươt về kỹ thuật:

Phân tích: Khi nhìn vào bài toán thì việc áp dụng ngay bất đẳng thức Cauchy là điều hoàn

toàn không thể Do đó, ta cần phân tích các mẫu số để xác định A B, trong mối quan hệ

AB để sử dụng kỹ thuật Cauchy ngược dấu

f a b

a b



 với f a b( , ), ( , )g a b là các đa thức đơn giản và liên quan

trực tiếp đến vế phải của bất đẳng thức ban đầu

Do đó, ta cần biến đổi vế trái để sử dụng kỹ thuật Cauchy ngược dấu

Lời giải chi tiết: Ta có:

IV Kỹ thuật cân bằng hệ số:

Ở các kỹ thuật trước, ta thường giải các bài toán bất đẳng thức dựa vào điều kiện xảy ra đẳng thức Tuy nhiên, các bài tập được đưa vào đều là các bất đẳng thức đối xứng nên việc tìm

điều kiện xảy ra đẳng thức khá đơn giản Trong quá trình giải toán, ta thường xuyên gặp các bất đẳng thức không đối xứng Do đó, việc dựa vào trực quan để tìm ra điều kiện xảy ra đẳng thức là điều không thể Vì thế, kỹ thuật cân bằng hệ số được đưa vào nhằm khắc phục các hạn chế trong quá trình giải các bất đẳng thức không đối xứng Với kỹ thuật này, ta sẽ đưa vào

bài toán các tham số giả định để sử dụng bất đẳng thức Cauchy Khi đó, điều kiện xảy ra

đẳng thức cũng chính là điều kiện để tìm các tham số

Bài 1: Cho a b c, , là các số thực không âm thỏa 2 2 2

biểu thức P2a33b34c3

Phân tích: Nếu chỉ dựa vào trực giác thì rất khó để xác định điều kiện xảy ra đẳng thức Vì hệ

số trước a b c, , của giả thiết và biểu thức P không tỉ lệ nhau Do đó, ta cần đưa vào các tham

m m

Phân tích: Dựa vào giả thiết và biểu thức S , ta dễ nhận ra rằng ab khi xảy ra cực trị Do

đó, ta sẽ đưa vào hai tham số  , 0 để bài toán trở nên gọn hơn so với khi đưa vào ba

Do đó, để quy vế trái của   về S thì   3

Tới đây ta có thể lượt bỏ tham số  bằng cách thay   3  0   3

Phân tích: Dựa vào giả thiết bài toán và biểu thức P ta nhận thấy rằng abkhi cực trị xảy

ra Do đó, ta sẽ đưa vào bài toán hai tham số  , 0

1712

2

3456289

Bài 3: Cho a b c, , là các số thực dương thỏa a b c  1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

2

P ab bc ca