Một số bài toán cực trị trong mạch RLC nối tiếp

Giá tr ZLđ hi u đi n th ULRrmax III.. Giá tr ZCđ hi u đi n th UCRrmax IV.

L I M U

- Bài toán c c tr trong m ch đi n xoay chi u là m t d ng bài toán khó đ i v i h c sinh l p 12 và c ng ít tài li u h th ng hóa m t cách đ y đ v d ng bài toán này.

- V i đ thi tr c nghi m đ i h c nh hi n nay, vi c áp d ng tr c ti p k t qu c a bài toán c c tr s làm cho h c sinh không có cái nhìn t ng quan v ph ng pháp

gi i các d ng toán này.

- Chính vì lý do đó, nay tôi vi t đ tài “ C C TR TRONG BÀI TOÁN I N XOAY CHI U “ nh m h th ng hóa m t s d ng toán c c tr c a bài toán này

ph c v cho công tác giãng d y c a các b n đ ng nghi p, c ng nh m t tài li u đ

h c sinh tham kh o trong quá tr nh h c.

- tài g m b n ph n : kh o sát s bi n thiên c a các đ i l ng nh công su t,

hi u đi n th c a các thi t b ầ theo giá tr c a bi n tr R, theo giá tr c a đ t

c m L, theo giá tr c a đi n dung C và theo giá tr c a t n s góc .

- Vì th i gian có h n, nên trong quá trình vi t có th có nhi u thi u xót, mong đ c

s đóng góp c a quý đ ng nghi p và các em h c sinh.

Trang 2

M C L C

I S thay đ i R trong m ch R-L-C m c n i ti p

1 Có hai giá tr R1  R2cho cùng m t giá tr công su t

2 Giá tr c a R làm cho công su t c c đ i

a Giá tr R làm công su t toàn m ch c c đ i

b Giá tr R làm cho công su t c a R c c đ i

c Giá tr R làm cho công su t cu n dây c c đ i

3 Kh o sát s bi n thiên c a công su t vào giá tr c a R

II S thay đ i L trong m ch R-L-C m c n i ti p v i cu n dây thu n c m

1 Có hai giá tr L1  L2cho cùng giá tr công su t

2 Kh o sát s bi n thiên c a công su t theo c m kháng

3 Giá tr ZLđ hi u đi n th ULmax

4 Có hai giá tr L1  L2 cho cùng giá tr UL,giá tr L đ ULmax tính theo L1 và L2

5 Giá tr ZLđ hi u đi n th ULRrmax

III S thay đ i C trong m ch R-L-C m c n i ti p

1 Có hai giá tr C1  C2cho cùng giá tr công su t

2 Kh o sát s bi n thiên c a công su t theo dung kháng

3 Giá tr ZCđ hi u đi n th UCmax

4 Có hai giá tr C1  C2 cho cùng giá tr ULvà giá tr ZCđ UCmax tính theo C1 và C2

5 Giá tr ZCđ hi u đi n th UCRrmax

IV S thay đ i  trong m ch R-L-C m c n i ti p

1 Giá tr  làm cho Pmax

2 Kh o sát s bi n thiên công su t theo 

3 Có hai giá tr 1  2cho cùng công su t và giá tr  làm cho Pmax tính theo 1 và 2

4 Giá tr  làm cho hi u đi n th ULmax

5 Giá tr  làm cho hi u đi n th Ucmax

I S thay đ i R trong m ch R-L-C m c n i ti p:

Xét m ch đi n xoay chi u có hi u hi u th hai đ u n đ nh : u  U 0 cos( t  u)

R là m t bi n tr , các giá tr R0, L và C không đ i

G i R td = R + R 0

1 Có hai giá tr R 1  R 2 cho cùng m t giá tr công su t

- Công su t tiêu th trên m ch là : 2 2

td td

td L C

U

- Vì P1 = P2 = P nên ta có th xem nh công su t trong ph ng trình trên là m t s

không đ i ng v i hai giá tr R1 và R2 Khai tri n bi u th c trên ta có:

PR  R U  P Z  Z 

- N u có 2 giá tr c a đi n tr cho cùng m t giá tr công su t thì ph ng trình b c 2 trên có hai nghi m phân bi t R1 và R2 Theo đ nh lý Viète (Vi-et):

2

td td

- T đó ta th y r ng có 2 giá tr R1 và R2khác nhau cho cùng giá tr công su t

2 Giá tr c a R làm cho công su t c c đ i

a Giá tr R làm công su t toàn m ch c c đ i

2

td td

L C

td L C

td

td

R

R



td

td

A R

R



  , áp d ng b t đ ng th c Cauchy(Côsi) cho A

- Ta th y r ng Pmax khi Amin=> “ =” x y ra V y: Rtd  ZLZC

- Khi đó giá tr c c đ i c a công su t là:

max

P

V i R1td và R2tdlà hai giá tr c a R cho cùng giá tr công su t

L u ý: Khi ZLZC R0thì giá tr bi n tr R < 0, khi đó giá tr bi n tr làm cho công su t toàn m ch c c đ i là R = 0

b Giá tr R làm cho công su t c a R c c đ i

0

R

L C

L C

R

C

Trang 4

- t m u th c c a bi u th c trên là :

0

2

- Áp d ng b t đ ng th c Cauchy cho A ta đ c:

L C

- Ta th y r ng PRmax khi Aminngh a là d u “ =” ph i x y ra, khi đó:

0 ( L C)

- Công su t c c đ i c a bi n tr R là: max 2 2 2

R

L C

U P



c Giá tr R làm cho công su t cu n dây c c đ i, c ng đ dòng đi nc c đ i,

hi u đi n th cu n dây c c đ i, hi u đi n th t đi n c c đ i

- Ta có :

0

L C

U I



- Vì R0; ZL; ZCvà U là các đ i l ng không đ i nên mu n đ t giá tr c c đ i thì ch c n

c ng đ dòng đi n qua m ch c c đ i T bi u th c c a dòng đi n ta th y r ng Imax khi giá tr c a bi n tr R = 0

3 Kh o sát s bi n thiên c a công su t vào giá tr c a R

- th y rõ h n s ph thu c c a công su t toàn m ch vào giá tr c a bi n tr R

ng i ta th ng dùng ph ng pháp kh o sát hàm s :

- Ta có công su t toàn m ch theo bi n thiên theo bi n tr R cho b i hàm s :

2 2

0

td td

td L C

td

U

 

- o hàm P theo bi n s Rtd ta có:

2 2

( )

L C td

td L C



0

B ng bi n thiên :

R 0

0

L C

Z Z R +

P’(R) + 0 -

P(R)

2

max

U P





2

0 ( L C)

U



  0

th c a P theo R td :

Nh n xét đ th :

 T đ th ta th y r ng có hai giá tr R 1 và R 2 cho cùng m t giá tr c a công su t

 Công su t đ t giá tr c c đ i khi R ZLZC R0 0

 Trong tr ng h p R ZLZC R00 thì đ nh c c đ i n m ph n R< 0

do đó ta th y r ng công su t c a m ch s l n nh t khi R = 0

 N u R 0 = 0 thì đ th xu t phát t g c t a đ và ta luôn có giá tr R làm cho công su t c a toàn m ch c c đ i là R ZLZC

K t lu n:

 V i ph ng pháp kh o sát hàm s đ thu đ c các k t qu ph n 1 và 2 s

không hi u qu b ng ph ng pháp dùng tính ch t c a hàm b c 2 và b t đ ng

th c Cauchy

 Tuy nhiên t vi c kh o sát này ta có th bi t đ c s bi n thiên c a P theo

bi n tr R nh m đ nh tính đ c giá tr c a công su t s t ng hay gi m khi thay đ i đi n tr

II S thay đ i L trong m ch R-L-C m c n i ti p v i cu n dây thu n c m

Xét m ch đi n xoay chi u có hi u hi u th hai đ u n đ nh : u  U 0 cos( t  u)

L là m t cu n dây thu n c m có giá tr thay đ i

R và C không đ i

1 Có hai giá tr L 1  L 2 cho cùng giá tr công su t

- Vì có hai giá tr c a c m kháng cho cùng giá tr công su t nên:

P

R

O

Pmax

R=ZL - ZC - R0

2 max

U P





2

0 ( L C)

U



C

Trang 6

ZL 0 ZL = ZC +

P’(ZL) + 0 - P(ZL)

2

max

U P

R



2

2 2 C

U



 0

- Khai tri n bi u th c trên ta thu đ c :





(loại) (nhận)

- Suy ra : 1 2

1 2 2

2 2

L L C

C





2 Kh o sát s bi n thiên c a cơng su t theo c m kháng Z L

- Ta cĩ cơng su t tồn m ch là:

2

U



  , v i R, C là các h ng s , nên cơng su t c a m ch là m t hàm s theo bi n s ZL

- o hàm c a P theo bi n s ZL ta cĩ:

2

c L

L C



- B ng bi n thiên

- th c a cơng su t theo Z L :

P

ZL

O

Pmax

ZL = ZC

2 max

U P

R



2

2 2 C

U





- Nh n xét đ th :

 Có hai giá tr c a c m kháng cho cùng m t giá tr công su t

 Công su t c a m ch c c đ i khi 1 2

2

L L

L C

  , v i ZL1; ZL2là hai giá

tr c a c m kháng cho cùng m t giá tr công su t

K t lu n: T vi c kh o sát s bi n thiên s thay đ i công su t vào giá tr c a ZLs cho phép đ nh tính đ c s t ng hay gi m c a P theoZL T đó ta có th tiên đoán đ c s thay đ i c a công su t theo giá tr c a ZLtrong m t s bài toán

3 Giá tr Z L đ hi u đi n th U Lmax

- Ta có hi u đi n th trên cu n dây là : 2 2

L C

U

  , trong đó R; ZC

và U là các h ng s không đ i Ta có th dùng ph ng pháp kh o sát hàm s này theo bi n s là ZL Tuy nhiên v i cách kh o sát hàm s s r t ph c t p V i ph ng pháp dùng gi n đ Vecto bài toán này có th gi i d

h n và rút ra nhi u k t lu n h n

- Theo gi n đ vect và đ nh lý hàm s sin trong tam

giác ta có :

L

   

const

L

- Do cos và U là các giá tr không đ i nên hi u đi n th

ULmax khi sin( ) 1

2



- Theo h th c c a tam giác vuông ta có: 2

RC C L

U  U U , t

Z Z  R  Z

- Tóm l i:

 Khi 2 C2

L

C

Z

Z



2 2

max

C L

R





 Khi ULmax thì hi u đi n th t c th i hai đ u m ch luôn nhanh pha h n uRC

m t góc 900

4. Có hai giá tr L 1  L 2 cho cùng giá tr U L , giá tr L đ U Lmax tính theo L 1 và L 2

- Khi có hai giá tr c a L cho cùng m t giá tr hi u đi n th :

i

UR

URC

U

O

UC

UL







Trang 8

- Bình ph ng và khai tri n bi u th c trên ta thu đ c:

- Theo k t qu ph n trên khi hi u đi n th gi a hai đ u cu n dây c c đ i thì

2 2

Z Z  R  Z v i giá tr Z L là giá tr làm cho U Lmax Thay vào bi u th c trên:

L C L L C L C L L C

- Ti p t c khai tri n bi u th c trên ta thu đ c:

2 2

(ZL ZL)ZL2Z ZL L (ZL ZL)

- Vì L1  L2nên đ n giàn bi u th c trên ta thu đ c: 1 2

1 2

1 2

L

L L

giá L là giá tr là cho ULmax

5 Giá tr Z L đ hi u đi n th U LRrmax

- Khi R và L m c n i ti p nhau thì :

2 2

2 2

2 2

L

L





L

MT



 , ta th c hi n vi c kh o sát hàm s MT theo bi n s ZLđ tìm giá tr c a ZL sao cho MTminkhi đó giá tr c a ULrmax o hàm c a MT theo

bi n s ZLta thu đ c :

'

2 2 2

L

L

MT Z





- Cho MT’(ZL) = 0 ta có : 2 2 2

0

C L C L C

Z Z  Z Z  Z R  Nghi m c a ph ng trình b c hai

này là:

1 2

2 2

2 2

4

0 2

4

0 2

L

L

Z

Z





L p b ng bi n thiên ta có:

ZL

0

2 2

4 2

L

 + MT’(ZL)

- 0 +

MT (ZL)

2

2 2

4 2

C C

R

[

- T b ng bi n thiên ta th y r ng MT đ t giá tr nh nh t nên ULRđ t giá tr l n nh t

Ta thu đ c k t qu sau:

Khi

2 2

4 2

L

2 2

2 R 4

RLM

C C

U U



III. S thay đ i C trong m ch R-L-C m c n i ti p

Xét m ch đi n xoay chi u có hi u hi u th hai đ u n đ nh :

0 cos( u)

u  U  t 

R là đi n tr L là m t cu n dây thu n c m không đ i

và C có giá tr thay đ i

Z  R  Z  Z  R  Z  Z do đó ta th y r ng bài toán thay đ i giá tr C c ng gi ng nh bài toán thay đ i giá tr L Do đó khi th c hi n vi c

kh o sát ta c ng th c hi n t ng t thu đ c các k t qu sau:

1 Có hai giá tr C 1  C 2 cho cùng giá tr công su t

V i hai giá tr C1 và C2 cho cùng giá tr công su t ta có

0

1 2 0

1 2

2

1 2

2

2

2

C C

C C C

L









V i giá tr C0 là giá tr làm cho công su t m ch c c đ i

2. Kh o sát s bi n thiên c a công su t theo dung kháng

- B ng bi n thiên:

ZC 0 ZC = ZL +

P’(ZC) + 0 -

P(ZC)

2

max

U P

R



2

2 2 L

U



 0

C

Trang 10

- th c a công su t theo giá tr ZC

:

3 Giá tr Z C đ hi u đi n th U Cmax

- Khi 2 L2

C

L

Z

Z



L CM

U

R



 uRL vuông pha v i hi u đi n th hai đ u m ch

4 Có hai giá tr C 1  C 2 cho cùng giá tr U C , giá tr Z C đ U Cmax tính theo C 1 và C 2

- Khi có hai giá tr C = C1ho c C = C2cho cùng giá tr UC thì giá tr c a C làm cho

UCmax khi

1 2

C



5 Giá tr Z C đ hi u đi n th U RCmax

- Khi

2 2

4 2

C

2 2

2 R 4

RCM

L L

U U



  ( V i đi n tr R và t đi n m c

g n nhau)

IV S thay đ i  trong m ch R-L-C m c n i ti p

1 Giá tr  làm cho P max

2

U

C





, t công th c này ta th y r ng công su t c a

m ch đ t giá tr c c đ i khi: 0

0 L

LC



U P R



- Khi đó Zmin= R và hi u đi n th gi a hai đ u m ch và c ng đ dòng đi n qua m ch

đ ng pha nhau

2 Có hai giá tr  1   2 cho cùng công su t và giá tr  làm cho P max tính theo 1

và 2 :

- N u có hai giá tr t n s khác nhau cho m t giá tr công su t thì:

P

ZC

O

Pmax

ZL = ZC

2 max

U P

R



2

2 2 L

U





2 2

- Bi n đ i bi u th c trên ta thu đ c :

(1)







- Vì 1  2nên nghi m (1) b lo i

- Khai tri n nghi m (2) ta thu đ c : 1 2

1 LC

  

- Theo k t qu ta có : 2

0 1 2

1 LC

    v i 0là giá tr c ng h ng đi n

3 Kh o sát s bi n thiên công su t theo 

2

U

C





- Vi c kh o sát hàm s P theo bi n s  b ng vi c l y đ o hàm và l p b ng bi n thiên

r t khó kh n vì hàm s này t ng đ i ph c t p Tuy nhiên, ta có th thu đ c k t qu

đó t nh ng nh n xét sau:

 Khi  = 0 thì Z C 1

C



1 LC

   thì m ch c ng h ng làm cho công su t trên m ch

c c đ i

 Khi   thì ZL L  làm cho P = 0

- T nh ng nh n xét đó ta d dàng thu đ c s bi n thiên và đ th :

 0 0 1

LC

   +

P()

2 U R

0 0

Trang 12

- Nh n xét đ th :

 T đ th ta th y r ng s có hai giá tr 1≠ 2 cho cùng m t giá tr công

su t, đi u này phù h p v i nh ng bi n đ i ph n trên

4 Giá tr  làm cho hi u đi n th U Lmax

- Ta có : L . L . L

L

Z Z

Z

2 2

2

2

1

L

A







  

- Bi n đ i bi u th c A ta thu đ c :

2 2

1 1

R A

- Ta ti p t c đ t 2

1 0 x

L



2 2

1

- L y đ o hàm c a A theo bi n s x ta thu đ c: A x '( ) R2 2 1 x

- Cho A’(x) = 0 ta thu đ c 2 2 2

2

x

L





C

   khi đó ta thu b ng bi n thiên:

x

0

2 2 2

2

LC R C L



∞ A’(x) - 0 +

A(x)

Amin

LC

P

Pmax

- Thay giá tr x vào bi u th c đã đ t ta thu đ c hi u đi n th c c đ i c a cu n dây là:

2

2

C





2 2

2 4

LM

U L U

R LC R C





C

   thì Amin khi x = 0 do A làm hàm s b c 2 có h s

2

1

0 a

C

  nên hàm s có c c ti u ph n âm, do đó x = 0 làm cho Amintrong mi n xác

đ nh c a x Khi đó  r t l n làm cho ZLr t l n làm cho I = 0 Do đó không th tìm giá

tr  làm cho ULmax

5 Giá tr  làm cho hi u đi n th U cmax

- T ng t nh cách làm trên ta c ng thu đ c k t qu t ng t khi thay đ i giá tr  làm cho UCmax là:

2

L R

L C

2 2

2 4 CM

U L U



R

C 