máy tính bỏ túi 2007

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI KHU VỰC GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CASIONĂM 2007 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Lớp 12 THPT Thời gian: 150 phút không kể thời gian giao đề Ngày thi:13/3/2007 Chú ý: - Đề t

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI KHU VỰC GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CASIO

NĂM 2007

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Lớp 12 THPT

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày thi:13/3/2007

Chú ý: - Đề thi gồm 3 trang

- Thí sinh làm bài trực tiếp vào bản đề thi này

Điểm của toàn bài thi Các giám khảo

(Họ, tên và chữ ký)

Số phách

(Do Chủ tịch Hội đồng chấm thi ghi)

Bằng số Bằng chữ

Giám khảo 1:

Giám khảo 2:

Qui định: Học sinh trình bày vắn tắt cách giải, công thức áp dụng, kết quả tính toán vào ô trống liền

kề bài toán Các kết quả tính gần đúng, nếu không có chỉ định cụ thể, được ngầm định chính xác tới

4 chữ số phần thập phân sau dấu phẩy

Bài 1 Cho các hàm số f(x) =ax− 1 + 1 , (x≠ 0 ) Giá trị nào của a thoả mãn hệ thức

6f[f( − 1 )] +f− 1 ( 2 ) = 3

Bài 2 Tính gần đúng giá trị cực đại và cực tiểu của hàm số

5 4

1 7 2 )

2 + +

+

−

=

x x

x x x

Bài 3 Tìm nghiệm gần đúng (độ, phút, giây) của phương trình

sinxcosx+ 3 (sinx− cosx) = 2

Bài 4 Cho dãy số { }u n với 1 cos

n n

n u

n

(a) Hãy chứng tỏ rằng, với N = 1000, có thể tìm ra cặp hai chỉ số l,m lớn hơn N sao cho

[u m−u l]≥ 2

(b) Với N = 1000 000 điều nói trên còn đúng hay không ?

(c) Với các kết quả tính toán như trên Em có dự đoán gì về giới hạn của dãy số đã cho (khi n → ∞)

Bài 5 Tìm hàm số bậc 3 đi qua các điểm A(-4 ; 3), B(7 ; 5), C(-5 ; 6), D(-3 ; -8) và tính khoảng cách

giữa hai điểm cực trị của nó

Bài 6 Khi sản xuất vỏ lon sữa bò hình trụ, các nhà thiết kế luôn đặt mục tiêu sao

cho chi phí nguyên liệu làm vỏ hộp (sắt tây) là ít nhất, tức là diện tích toàn phần

của hình trụ là nhỏ nhất Em hãy cho biết diện tích toàn phần của lon khi ta muốn có

thể tích của lon là 314cm3

Bài 7 Giải hệ phương trình:







+

= +

+

= +

y y

x x

x y

y x

2 2

2

2 2

2

log 2 log 72 log

log 3 log log

Bài 8 Cho tam giác ABC vuông tại đỉnh A(-1; 2 ; 3) cố định, còn các đỉnh B và C di chuyển trên

đường thẳng đi qua 2 điểm M(-1 ; 3 ; 2), N(1 ; 1 ; 3) Biết rằng góc ABC bằng 30 0 Hãy tính tọa độ đỉnh B

Bài 9 Cho hình tròn tâm O bán kính 7,5cm, hình viên phân AXB, hình chữ

nhật ABCD với hai cạnh AD = 6,5cm và DC =12cm có vị trí như hình bên

a) Số đo radian của góc AOB là bao nhiêu ?

b) Tìm diện tích hình AYBCDA

Bài 10 Tính tỉ số giữa cạnh của khối đa diện đều 12 mặt (hình ngũ giác đều) và

bán kính mặt cầu ngoại tiếp đa diện đó

NĂM 2007

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Lớp 12 THPT Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi:13/3/2007

SƠ LƯỢC CÁCH GIẢI VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC

1

- Có:

1

1 )) 1 (

−

=

a f

f

f− 1 ( 2 ) =a

- Giải phương trình tìm a:

a2 − ( 1 + 3 )a − ( 6 − 3 ) = 0

1

1 )) 1 (

−

=

a f

f

f− 1 ( 2 ) =a

+

2

3 2 28 3

1

2 , 1

−

± +

=

a

+ a1 ≈ 3 , 8427

a2 ≈ − 1 , 1107

0,5 0,5 2,0 1,0 1,0

2 Áp dụng đạo hàm để tìm cực trị f f ((x x))≈≈−250,,40344035

CD

2,5

3 Theo cách giải phương trình lượng giác

1

2

67 54' 33'' 360

202 5' 27 '' 360

2,5 2,5

4

Chọn MODE Rad, chọn trong 10 số tiếp theo

N có:

a) m = 1005 , l = 1002

b) m = 1000007, l = 1000004

c) Áp dụng định nghĩa giới hạn của dãy

a) u1005− u1002 〉 ,2 2179 〉 2

b) u1000007− u1000004 〉 ,2 1342 〉 2

c) Giới hạn không tồn tại

2,0 2,0 1,0

5

Tìm các hệ số của hàm số bậc 3:

f(x) =ax3 +bx2 +c x +d ,(a≠ 0)

Tìm các điểm cực trị, tìm khoảng cách giữa

chúng

; 110123

1320

a

1320

−

c

kc ≈ 105 , 1791

1,50 1,50 2,0

6

Gọi r và h theo thứ tự là bán kính và chiều

cao hộp sữa Khi ấy thể tích hộp sữa là

2

V =πr h và diện tích vỏ hộp là

2

S = πr + πr h Từ đây, bằng phép thế, ta

2

S r

r

π

= + và đạt giá trị nhỏ nhất

khi S'( )r = 0, tức là khi 4 r 6282 0

r

= 3 157 ≈ 3 , 6834

π

r

7414 , 255 628

=

r r

S π

2,0 3,0

- Áp dụng công thức đổi sang cơ số 10 của

logarit, ta có:

2 log

3 log 3 log2 = cho hệ phương trình







+

= +

+

+

= +

y y

x x

x y

y x

2 2

2

2 2

2

log 2

log 3 log 2 3

log 3 log log

- Suy ra: y = 2x

2log13 1

2 −

=

x

2log23 1

2 −

=

y

x ≈ 0 , 4608

y ≈ 0 , 9217

1,5 1,5

1,0 1,0

8

Tìm tọa độ đỉnh B nhờ xác định tỷ số điểm

B chia đoạn MN

Điểm B chia MN theo tỷ số

3

3

1 ±

−

=

k

Tọa độ của B là :

3

3 2

1 ±

−

=

x

3

3 2

7 ±

=

3

3 2

7 ±

=

z

2,0 1,0 2,0

9 r

AB AOB

2 2

S =S V tr −(S Ch.nh −S V.ph)

∠AOB ≈ 1 , 8546rad

S ≈ 73 , 5542

2,0 3,0

10

Trước hết cần chỉ ra rằng tỷ số này bằng

3

108 cos 2 1 2

0 +

=

k

(Xem thêm lời giải chi tiết kèm theo)

k ≈ 0 , 7136 5,0

Lời giải bài số 10:

Giả sử các mặt hình ngũ giác đều có độ dài cạnh bằng a Ta thấy mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện được xác định bởi 4 đỉnh bất kỳ không đồng phẳng Ta có thể tính ra được bán kính R của quả cầu ngoại tiếp đa diện dựa trên 4 điểm là: một đỉnh tùy ý và 3 đỉnh khác nằm trên ba cạnh kề với đỉnh này

Rõ ràng, 4 điểm đã nói lập thành một “ hình chóp cân” có đáy là tam giác đều và 3 mặt bên là những tam giác cân bằng nhau Cạnh của tam giác đều ở đáy lại là đường chéo của mặt ngũ giác đều, cho nên tính được nhờ định lý hàm số cô-sin, cụ thể là

b = 2a2 − 2a2 cos 108 0 =a 2 ( 1 − cos 108 0 )

Bán kính vòng tròn ngoại tiếp tam giác đều được tính qua cạnh theo công thức:

3

) 108 cos 1 ( 2 3

30 cos 2

0 0

−

=

=

r

Số đo góc a giữa cạnh của hình chóp cân và mặt phẳng đáy được xác định nhờ công thức:

3

) 108 cos 1 ( 2 cos

0

−

=

=

a

r a

Lưu ý rằng đường vuông góc hạ từ đỉnh của “hình chóp cân” xuống mặt đáy của nó sẽ đi qua tâm của mặt cầu ngoại tiếp đa giác, cho nên bán kính R của mặt cầu này được xác định từ công thức

a

a

R

sin

2

= , và do đó

3

108 cos 2 1 2 cos

1 2 sin

R a

Dùng máy tính ta tính được k ≈ 0 , 7136441807