Công đoạn A có thể thực hiện bởi n cách;công đoạn B có thể thực hiện bởi m cách.. Khi đó, công việc được thực hiện bởi n.m cách... Hỏi có bao nhiêu cách chọn, biết rằng học
Trang 1Phần I ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH
LƯỢNG GIÁC Công thức lượng giác
1 Trên đường tròn lượng giác gốc A, cho điểm M có số đo cung AM là α thì
tan α = sin α
cosα (α ≠ π/2 + kπ)π) cot α =
cosα (α kπ)π)sin α
2 Các tính chất
Với mọi α ta có: –1 ≤ sin α ≤ 1 hay |sin α| ≤ 1; –1 ≤ cos α ≤ 1 hay |cos α| ≤ 1
3 Các hằng đẳng thức lượng giác cơ bản
sin² α + cos² α = 1 tan α cot α = 1
1 + tan² α = 12
1sin α
4 Các công thức liên hệ cung
cos(–α) = cos α cos(π – α) = –cos α cos(π + α) = –cos αsin(–α) = –sin α sin(π – α) = sin α sin(π + α) = –sin αtan(–α) = –tan α tan(π – α) = –tan α tan(π + α) = tan αcot(–α) = –cot α cot(π – α) = –cot α cot(π + α) = cot αcos(π/2 + α) = –sin α cos(π/2 – α) = sin α
sin(π/2 + α) = cos α sin(π/2 – α) = cos α
tan(π/2 + α) = –cot α tan(π/2 – α) = cot α
cot(π/2 + α) = –tan α cot(π/2 – α) = tan α
5 Công thức cộng
cos(a + b) = cosa.cosb – sina.sinb cos(a – b) = cosa.cosb + sina.sinbsin(a + b) = sina.cosb + cosa.sinb sin(a – b) = sina.cosb – cosa.sinbtan (a + b) = tan a tan b
6 Công thức nhân đôi
sin 2a = 2sin a cos a
cos 2a = cos² a – sin² a = 2cos² a – 1 = 1 – 2sin² a
2[cos (α + β) + cos (α – β)]sin (α + β) + sin (α – β)]
9 Công thức biến đổi tổng thành tích
cos α + cos β = 2cosα βcosα β
Bài 1 Tìm tập xác định của các hàm số sau
a y = cos x + sin x b y = tan 2x c y = tan² x + cot x
Trang 2 h y = sin x tan (x + π/4) i y = cot (2x – π/3)
Cách xác định tính chẵn, lẻ của hàm số lượng giác
Bước 1 Tìm tập xác định D; với mọi x thuộc D → –x thuộc D
Bước 2 Tính f(–x); so sánh với f(x) Có một trong 3 kπ)hả năng
Nếu f(–x) = f(x) → hàm số chẳn
Nếu f(–x) = –f(x) → hàm số lẻ
Nếu tồn tại xo sao cho f(–xo) ≠ f(xo) & f(–xo) ≠ –f(xo) thì tính f(–xo), f(xo) → hàm số kπ)hông chẳn kπ)hông lẻ
Bài 2 Xét tính chẳn, lẻ của các hàm số sau
d y = –2 tan² x e y = sin |x| + x² f y = |2x + 1| + |2x – 1|
Bài 3 Lập bảng biến thiên của hàm số
a y = –sin x + 1 trên đoạn [cos (α + β) + cos (α – β)]–π; π]
b y = –2cos (2x + π/3) trên đoạn [cos (α + β) + cos (α – β)]–2π/3; π/3]
Bài 4 Tìm GTLN, GTNN của các hàm số
a y = 2 sin (x – π/2) + 3 b y = 3 – 2 cos 2x c y = –1 – cos² (2x + π/3)
d y = 3 cos 4x 2 2 e y = cos x + sin x f y = sin² x – 4sin x + 3
Bài 5 Tìm GTLN, GTNN của các hàm số
a y = sin x trên đoạn [cos (α + β) + cos (α – β)]–π/2; π/3] b y = cos x trên đoạn [cos (α + β) + cos (α – β)]–π/2; π/2]
c y = sin x trên đoạn [cos (α + β) + cos (α – β)]π/6; 3π/4] d y = cos (πx / 4) trên đoạn [cos (α + β) + cos (α – β)]1; 3]
Bài 6 Giải các phương trình sau
a 3 cos x sin x 2 b cos x 3 sin x1
d 3sin x – 3 cos 3x = 1 + 4 sin³ x e 4sin4 x + 4cos4 (x + π/4) = 1
f cos 4x – sin 3x = 3 (cos 3x – sin 4x) g tan x – 3cot x = 4(sin x + 3 cos x)
h 3(1 cos 2x)
2cos x
= sin x i 2sin 2x + 2sin² x = 1
Bài 7 Giải các phương trình sau
a 2 cos² x + 5sin x – 4 = 0 b 2 cos 2x – 8 cos x + 5 = 0
c 2 cos x cos 2x = 1 + cos 2x + cos 3x d 2 (sin4 x + cos4 x) = 2 sin 2x – 1
e cos (4x/3) = cos² x f (3 + tan² x) cos x = 3
g 5 tan x – 2 cot x – 3 = 0 h 6sin² 3x + cos 12x = 4
Bài 8 Giải các phương trình sau
a 2 sin² x – 5 sin x cos x – cos² x = –2 b sin² x – sin 2x – (2 3 + 3) cos² x = 0
c 4 sin² x + 3sin 2x – 2 cos² x = 4 d 6 sin x – 2 cos³ x = 5 sin 2x cos x
e sin² x + sin 2x – 2cos² x = 1/2
Bài 9 Giải các phương trình sau
a 3(sin x + cos x) + 2sin 2x + 3 = 0 b sin 2x – 12(sin x – cos x) = –12
c 2(cos x + sin x) – 4 sin x cos x – 1 = 0 d cos x – sin x – 2sin 2x – 1 = 0
Bài 10 Giải các phương trình sau
a cos 2x + 3 cos x + 2 = 0 b 2 + cos 2x = – 5 sin x
c 6 – 4cos² x – 9sin x = 0 d 2 cos 2x + cos x = 1
e 4sin4 x + 12cos² x = 7 g 3sin² x + cos4 x – 1 = 0
Bài 11 Giải các phương trình sau
a 4(sin 3x – cos 2x) = 5(sin x – 1) b 1 + sin (x/2) sin x – cos (x/2) sin² x = 2 cos² (π/4 – x/2)
c 1 + 3 tan x = 2 sin 2x d (2cos 2x – 8cos x + 7) cos x = 1
e sin 2x (cot x + tan x) = 4 cos² x f 2 cos² 2x + cos 2x = 4 sin² 2x cos² x
g cos 3x – cos 2x – 2 = 0 h 4 sin x + 2 cos x = 2 + 3 tan x
i sin 2x + 2 tan x – 3 = 0 j sin² x + sin² 3x = 3cos² 2x
kπ) tan³ (x – π/4) = tan x – 1 l sin 2x – cos 2x = 3 sin x + cos x – 2
m sin 2x + cos 2x + tan x = 2 n cos 3x – 2 cos 2x + cos x = 0
Trang 3Bài 12 Giải các phương trình sau
a 2sin² x + 2sin 2x = 3 – 2cos² x b cos³ x – sin³ x = cos x + sin x
c sin x sin 2x + 2sin 3x = 6 cos³ x d sin³ x + cos³ x – 2(sin5 x + cos5 x) = 0
e sin³ (x – π/4) = 2 sin x f 3cos4 x – sin² 2x + sin4 x = 0
Bài 13 Giải các phương trình sau
a cos³ x + sin³ x = sin 2x + sin x + cos x b 2 cos³ x + cos 2x + sin x = 0
c 1 + sin³ x + cos³ x = (3/2) sin 2x d 6 (cos x – sinx) + sin x cos x + 6 = 0
e sin³ x – cos³ x = 1 + sin x cos x f 1 1 sin x cos x 10
cos x sin x 3
g 2tan x + 3tan² x + 4tan³ x + 2cot x + 3cot² x + 4cot³ x = 18
h 2 (1 + cot² x) + 2 tan² x + 5 tan x + 5 cot x + 4 = 0
i cos³ x – sin³ x + 1 = 0
j 2cos 2x + sin² x cos x + cos² x sin x = 2(sin x + cos x)
Bài 14 Giải các phương trình sau
a sin 2x + 2cos 2x = 1 + sin x – 4cos x b sin 2x – cos 2x = 3sin x + cos x – 2
c sin² x + sin² 3x – 3cos² 2x = 0 d cos 3x cos³ x – sin 3x sin³ x = cos³ 4x + 1/4
e sin4 (x/2) + cos4 (x/2) – 1 + 2sin x = 0 f cos 3x – 2cos 2x + cos x = 0
g sin6 x + cos6 x = sin4 x + cos4 x h sin4 x + cos4 x = cos² x
i 3sin 3x – 3 cos 9x – 4sin³ 3x + 1 = 0 j cos x + sin x = sin x (1 – cos x)
kπ) sin² (x/2 – π/4) tan² x – cos² (x/2) = 0 l cot x – tan x + 4sin x = 1/sin x
m sin x cos x + cos x + 2sin² x + sin x – 1 = 0 n sin 3x = cos xcos 2x (tan² x + tan 2x)
o cos 3x – 4cos 2x + 3cos x = 4 p sin² 3x – cos² 4x = sin² 5x – cos² 6x
q 5(sin x cos3x sin 3x)
2 Quy tắc nhân: Giả sử công việc bao gồm hai công đoạn A và B Công đoạn A có thể thực hiện bởi n cách;công đoạn B có thể thực hiện bởi m cách Khi đó, công việc được thực hiện bởi n.m cách
Trang 4+ Trong kπ)hai triển nhị thức Newton bậc n có n + 1 số hạng Trong mỗi số hạng thì tổng số mũ của a và b là
n Số hạng tổng quát thứ kπ) + 1 là Tkπ)+1 = kπ) n kπ) kπ)
A và B là 2 biến cố độc lập kπ)hi và chỉ kπ)hi P(A.B) = P(A).P(B)
Bài 1 Bạn X vào siêu thị để mua một áo sơ mi cỡ 40 hoặc 41 Cỡ 40 có 3 màu kπ)hác nhau, cỡ 41 có 4 màu
kπ)hác nhau Hỏi X có bao nhiêu cách chọn?
Bài 2 Cho tập A = {0; 1; 2; 3; 4} Có bao nhiêu số chẵn mà mỗi số gồm ba chữ số kπ)hác nhau chọn trong số
các phần tử của A?
Bài 3 Từ tập A = {1; 2; 3; 4; 5} hỏi có thể lập được bao nhiêu số có 7 chữ số sao cho chữ số 1 xuất hiện ba
lần, còn các chữ số kπ)hác xuất hiện một lần?
Bài 4 Bạn X mời hai bạn nam và ba bạn nữ dự tiệc sinh nhật Bạn định xếp nam, nữ ngồi riêng trên các
chiếc ghế, xếp theo một hàng dài Hỏi X có bao nhiêu cách xếp đặt?
Bài 5 Trong mặt phẳng cho 7 điểm A, B, C, D, E, M, N kπ)hác nhau Có bao nhiêu vectơ nối hai điểm trong
các điểm đó?
Bài 6 Từ tập A = {0; 1; 2; 3; 4; 5} có thể lập được bao nhiêu số có 4 chữ số kπ)hác nhau?
Bài 7 Cho 7 điểm phân biệt kπ)hông tồn tại ba điểm thẳng hàng Từ 7 điểm trên có thể lập được bao nhiêu
tam giác?
Bài 8 Một lớp có 30 học sinh Cần chọn một bạn làm lớp trưởng, một bạn làm lớp phó và một bạn làm thư
kπ)ý Hỏi có bao nhiêu cách chọn, biết rằng học sinh nào cũng có kπ)hả năng làm lớp trưởng, lớp phó hoặc thư kπ)ý như nhau
Bài 9 Tìm số tự nhiên n, nếu 6n – 6 + 3
n
C ≥ 3
n 1
C
Bài 10 Từ 7 chữ số {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} có thể lập được bao nhiêu số gồm 5 chữ số đôi một kπ)hác nhau
a Nếu số đó là số lẻ
b Nếu số đó là số chẵn
c số đó kπ)hông chia hết cho 10
Bài 11 Trong kπ)hai triển 3 3 10
x
, với x > 0, tìm số hạng kπ)hông chứa x
Bài 12 Tìm hệ số của x8 trong kπ)hai triển [cos (α + β) + cos (α – β)]1 + x²(1 – x)]8
Bài 13 Cho kπ)hai triển: (1 + 2x)10 = ao + a1x + a2x² + + a10x10 Tìm hệ số lớn nhất
Bài 14 Tìm số hạng
a thứ 13 trong kπ)hai triển (3 – x)25
b thứ 18 trong kπ)hai triển (2 – x²)25
c kπ)hông chứa x trong kπ)hai triển (x + 1/x)12
d kπ)hông chứa x trong kπ)hai triển (x x3 914)12
x
e hữu tỉ trong kπ)hai triển của ( 3 15)6
f đứng chính giữa trong kπ)hai triển của (1 + x)10
g chứa x³ trong kπ)hai triển của (11 + x)11
Bài 15 Tìm hệ số của số hạng chứa
a x4 trong kπ)hai triển (x/3 – 3/x)12
b x8 trong kπ)hai triển (2/x³ + x²)9
c x5 trong kπ)hai triển (1 + x + x² + x³)10
d x³ trong kπ)hai triển (x² – x + 2)10
e x³ trong kπ)hai triển S(x) = (1 + x)³ + (1 + x)4 + (1 + x)5 + + (1 + x)50
f x³ trong kπ)hai triển S(x) = (1 + 2x)³ + (1 + 2x)4 + (1 + 2x)5 + + (1 + 2x)22
Trang 5Bài 16 Tính tổng
Bài 17 Có bao nhiêu số tự nhiên lẻ có 6 chữ số đôi một kπ)hác nhau nhỏ hơn 600000
Bài 18 Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số đôi một kπ)hác nhau và chia hết cho 5
Bài 19 Với các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên mà mỗi số có 5 chữ số kπ)hác nhau và phải có chữ số 5
Bài 20 Với các số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 có thể lập được bao nhiêu số chẵn có 3 chữ số kπ)hác nhau và kπ)hông lớn hơn 789
Bài 21 Một nhóm học sinh gồm 10 nam, 6 nữ Chọn ra một tổ gồm 8 người Hỏi có bao nhiêu cách chọn để tổ có nhiều nhất là 5 nữ
Bài 22 Một lớp học có 40 học sinh, lớp cần cử ra một ban cán sự lớp gồm một lớp trưởng, một lớp phó và 3
ủy viên Hỏi có mấy cách lập ra ban cán sự lớp
Bài 23 Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 học sinh A, B, C, D và E vào một băng ghế dài sao cho
a Bạn C ngồi chính giữa
b Hai bạn A và E ngồi hai đầu ghế
Bài 24 Một hộp đựng 4 viên bi đỏ, 5 viên bi trắng và 6 viên bi vàng Người ta chọn ra 4 viên bi từ hộp đó Hỏi có bao nhiêu cách chọn để trong số bi lấy ra kπ)hông có đủ ba màu
Bài 25 Trong một phòng có hai bàn dài, mỗi bàn có 5 ghế Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho 10 hoc sinh gồm 5 nam và 5 nữ Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi nếu:
a Các học sinh ngồi tùy ý
b Các học sinh nam ngồi một bàn và các học sinh nữ ngồi bàn còn lại
Bài 26 Có 5 nhà toán học nam, ba nhà toán học nữ và bốn nhà vật lý nam Lập một đoàn công tác 3 người cần có cả nam và nữ, cần có cả nhà toán học và nhà vật lý Có bao nhiêu cách chọn
Bài 27 Một đội văn nghệ có 20 người, trong đó có 10 nam và 10 nữ Có bao nhiêu cách chọn ra năm người sao cho
a Có đúng hai nam
b Có ít nhất hai nam và ít nhất một nữ
Bài 28 Chọn ngẫu nhiên một số nguyên dương nhỏ hơn 9 Tính xác suất để
a Số được chọn là số nguyên tố
b Số được chọn chia hết cho 3
Bài 29 Có 9 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 9 Chọn ngẫu nhiên ra 2 tấm thẻ Tính xác suất để tích của hai số trên hai tấm thẻ là một số chẵn
Bài 30 Tìm xác suất để kπ)hi gieo con xúc xắc 6 lần độc lập, kπ)hông lần nào xuất hiện mặt có số chấm là một số chẵn
Bài 31 Một bình chứa 16 viên bi, trong đó có 7 viên bi trắng, 6 viên bi đen, 3 viên bi đỏ Lấy ngẫu nhiên 10 viên bi Tìm xác suất để rút được 5 viên bi trắng, 3 viên bi đen và 2 viên bi đỏ
Bài 32 Một đoàn tàu có 7 toa đổ ở một sân ga Có 7 hành kπ)hách từ sân ga lên tàu, mỗi người độc lập với nhau chọn một cách ngẫu nhiên lên một toa Tìm xác suất để có một kπ)hách lên mỗi toa tàu
Bài 33 Gieo 2 con súc sắc một cách ngẫu nhiên Tính xác suất của biến cố “ Các mặt xuất hiện có số chấm bằng nhau”
Bài 34 Gieo ngẫu nhiên đồng thời 4 đồng xu Tính xác suất để ít nhất hai đồng xu lật ngửa
Bài 35 Một bình đựng 5 viên bi xanh và 3 viên bi đỏ kπ)hác nhau về màu sắc lấy ngẫu nhiên một viên bi, rồilấy tiếp một viên bi nữa Tính xác suất của biến cố: “lấy lần thứ hai được một viên bi xanh”
Bài 36 Hai hộp chứa các quả cầu Hộp thứ nhất chứa 5 quả đỏ và 5 quả xanh, hộp thứ 2 chứa 4 quả đỏ và 6quả xanh Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp một quả Tính xác suất sao cho hai quả
Bài 37 Mọt hộp chứa 10 quả cầu đỏ được đánh số từ 1 đến 10 và 20 quả cầu xanh được đánh số từ 1 đến 20.Lấy ngẫu nhiên một quả Tìm xác suất sao cho quả được chọn
a có ghi số chẵn b màu đỏ c màu đỏ và ghi số chẵn d màu xanh hoặc ghi số lẻ
Trang 6Bài 38 Một tổ có 7 nam và 3 nữ Chọn ngẫu nhiên ba người Tìm xác suất sao cho 3 người đó
a đều là nữ b kπ)hông ai là nữ c ít nhất một người là nữ d có đúng một người nữ
CẤP SỐ CỘNG
1 Định nghĩa: Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn), trong đó, kπ)ể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạngđều là tổng của số hạng đứng ngay trước nó với một số kπ)hông đỗi gọi là công sai Gọi d là công sai, theo định nghĩa ta có: un+1 = un + d (n = 1, 2, )
Khi d = 0 thì cấp số cộng có các số hạng đều bằng nhau
2 Số hạng tổng quát CSC
Định lí: Số hạng tổng quát un của một cấp số cộng có số hạng đầu u1 và công sai d được cho bởi công thức:
un = u1 + (n – 1)d
3 Tính chất các số hạng của cấp số cộng
Định lí: Trong một cấp số cộng, mỗi số hạng kπ)ể từ số hạng thứ hai (và trừ số hạng cuối cùng đối với cấp số cộng hữu hạn), đều là trung bình cộng của hai số hạng kπ)ề bên nó, tức là kπ) 1 kπ) 1
4 Tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng
Sn = n(u1 u )n n[cos (α + β) + cos (α – β)]2u1 (n 1)d]
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1 Xác định số hạng cần tìm trong mỗi cấp số cộng dưới đây:
a 2, 5, 8, Tìm u15
b 2 3, 2, 2 3, Tìm u20
Bài 2 Xác định cấp số cộng có công sai là 3, số hạng cuối là 12 và có tổng bằng 30.
Bài 3 Cho cấp số cộng 2 5 3
Bài 4 Tìm cấp số cộng có 5 số hạng biết tổng là 25 và tổng các bình phương của chúng là 165.
Bài 5 Tìm 3 số tạo thành một cấp số cộng biết số hạng đầu là 5 và tích số của chúng là 1140.
Bài 6 Tìm chiều dài các cạnh của một tam giác vuông biết chúng tạo thành một cấp số cộng với công sai là
25
Bài 7 Cho cấp số cộng (un) Biết u1 + u4 + u7 + u10 + u13 + u16 = 147 Tính u1 + u6 + u11 + u16
Bài 8 Một cấp số cộng (an) có a3 + a13 = 80 Tìm tổng S15 của 15 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó
Bài 9 Một cấp số cộng có 11 số hạng Tổng của chúng là 176 Hiệu của số hạng cuối và số hạng đầu là 30
Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng đó
Bài 10 Cho cấp số cộng (an) có a1 = 4, d = –3 Tính a10
Bài 11 Tính u1, d trong các cấp số cộng sau đây:
Bài 12 Cho cấp số cộng (un) có u3 = –15, u14 = 18 Tính tổng của 20 số hạng đầu tiên
Bài 13 Cho cấp số cộng (un) có u1 = 17, d = 3 Tính u20 và S20
Bài 14 Cho cấp số cộng (un) có a10 = 10, d = –4 Tính u1 và S10
Bài 15 Cho cấp số cộng (un) có u6 = 17 và u11 = –1 Tính d và S11
Bài 16 Cho cấp số cộng (un) có u3 = –15, u4 = 18 Tìm tổng của 20 số hạng đầu tiên
Khi q = 0 thì cấp số nhân là một dãy số dạng u1, 0, 0, , 0,
Khi q = 1 thì cấp số nhân là một dãy số dạng u1, u1, , u1,
Nếu u1 = 0 thì với mọi q, cấp số nhân là dãy số 0, 0,
2 Số hạng tổng quát của CSN
Định lí: Số hạng tổng quát của một cấp số nhân được cho bởi công thức un = u1.qn–1
Trang 7BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1.
a Tìm các số hạng của cấp số nhân có 6 số hạng biết u1 = 243 và u6 = 1
b Cho cấp số nhân có q = 1/4, S6 = 2730 Tìm u1 và u6
Bài 2 Cho cấp số nhân có u3 = 18 và u6 = –486 Tìm số hạng đầu tiên u1 và công bội q của CSN đó
Bài 3 Tìm u1 và q của cấp số nhân biết: 4 2
Bài 4 Tìm u1 và q của cấp số nhân (un) có: u3 = 12, u5 = 48
Bài 5 Tìm u và q của cấp số nhân (un) biết: 1 2 3
Bài 7 Tổng 3 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng là 21 Nếu số thứ hai trừ đi 1 và số thứ ba cộng thêm 1
thì ba số đó lập thành một cấp số nhân Tìm ba số đó
GIỚI HẠN DÃY SỐ
A Lý thuyết
+ Nếu |un| < vn với mọi n, lim vn = 0 thì lim un = 0
+ lim un = L → lim|un| = |L| + lim un = L → 3 3
n
lim u L+ lim un = L, un > 0 với mọi n → L > 0 và lim un L
+ Với cấp số nhân mà |q| < 1 thì S = lim (u1 + u1q + u1q² + + u1qn–1) =
n
u (1 q ) ulim
+ lim |un| = +∞ → lim (1/un) = 0
+ lim qn = 0 nếu |q| < 1 + lim 1kπ) 0
n với mọi kπ) > 0+ lim nkπ) = +∞ với mọi kπ) > 0 + lim qn = +∞ nếu q > 1
+ lim un = L thì lim (kπ).un) = kπ).L + lim un = L, lim vn = M thì lim (un + vn) = L + M
+ lim un = L, lim vn = M thì lim (un.vn) = L.M
+ lim un = L, lim vn = M ≠ 0 thì lim (un / vn) = L / M
Trang 8Bài 7 Tính các giới hạn sau:
a lim [cos (α + β) + cos (α – β)]1 – 1/3 + 1/9 – + (–1/3)n] b lim (2 + 0,3 + 0,3² + 0,3³ + + 0,3ⁿ)
3x 1lim
3x 1lim
Tìm các giới hạn sau:
a lim f (x)x 1 b lim f (x)x 3 c lim f (x)x 2
Trang 9Bài 6 Cho hàm số f(x) =
2
1 2x , x 15x 4, x 1
Tính các giới hạn sau
a lim f (x)x 0 b lim f (x)x 3 c lim f (x)x 1
Bài 7 Tìm các giới hạn sau
3
x 52
x 24
Trang 10Bài 4 Cho hàm số f(x) =
Xét tính liên tục của hàm số trên tập xác định
Bài 5 Tìm a để hàm số liên tục tại xo
Bài 6 Chứng minh rằng phương trình x³+ 3x² + 5x – 1 = 0 có ít nhất một nghiệm trong (0; 1)
Bài 7 Chứng minh phương trình x³ – 3x + 1 = 0 có 3 nghiệm phân biệt.
Bài 8 Chứng minh phương trình x5 – 3x4 + 5x – 2 = 0 có ít nhất 3 nghiệm phân biệt trong kπ)hoảng (–2; 5)
Bài 9 Chứng minh các phương trình sau luôn có nghiệm
a cos x + m cos 2x = 0 b m(2x² – 3x + 1) + 4x – 3 = 0
Bài 10 Chứng minh rằng các phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt
ĐẠO HÀM
1 Định nghĩa đạo hàm tại một điểm
+ Cho hàm số y = f(x) xác định trên kπ)hoảng (a; b) và xo thuộc (a; b)
+ Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại xo thì nó liên tục tại điểm đó
2 Ý nghĩa của đạo hàm
+ f′(xo) là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại M (xo; f(xo))
+ Khi đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại M (xo; f(xo)) là y = f′(xo)(x – xo) + yo
3 Qui tắc tính đạo hàm
+ (C)′ = 0; x′ = 1; (xn)′ = n.xn–1 với mọi số thực n
+ (u + v)′ = u′ + v′; (u.v)′ = u′.v + v′.u; (u / v)′ = (u′v – v′u) / v²; (kπ)u)′ = kπ)u′; (1/v)′ = –v′ / v² (v ≠ 0)
+ Đạo hàm của hàm số hợp: Nếu u = g(x) có đạo hàm tại x là u′ (x) và hàm số y = f(u) có đạo hàm tại u là f′(u) thì hàm số hợp y = f(g(x)) có đạo hàm tại x là y′ = f′(u).u′(x)
4 Đạo hàm của hàm số lượng giác
+ Giới hạn cơ bản
6 Đạo hàm cấp cao f(n) (x) = [cos (α + β) + cos (α – β)]f(n –1) (x)]′ với n ≥ 2
VẤN ĐỀ 1: Tính đạo hàm bằng định nghĩa
Để tính đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm xo bằng định nghĩa ta thực hiện các bước
Bước 1: Giả sử ∆x là số gia của đối số tại xo Tính ∆y = f(xo + ∆x) – f(xo)
Bước 2: Tính
o
x x
ylimx