Bài tập Toán lớp 11: Đạo hàm

 Hai đường thẳng song song với nhau thì hệ số góc của chúng bằng nhau..  Hai đường thẳng vuông góc nếu tích hệ số góc của chúng bằng 1... b Chứng minh rằng các tiếp tuyến khác của đồ

ĐẠO HÀM KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1.1. Các quy tắc: Cho u u x  ;v v x  ;C : là hằng số

 u v ' u v' '

  u v 'u v v u'  '   C u  C u 



 Nếu y f u u u x ,     y x  y u u x 

1.2. Các công thức:

  C  0 ;  x  1

  x n  n x n1   u n  n u n1.u , n, n2

u



 sinx cosx  sinu u cos u

 cosx  sinx  cosu  u.sinu

u



u



1.3. Công thức tính gần đúng: f x 0  x f x 0  f x 0 x

1.4. Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong

Tiếp tuyến của đồ thị  C :y f x  tại M x 0 ; y0 , có phương trình là:

  0 0 0

'

 Khi biết hệ số góc của tiếp tuyến: Nếu tiếp tuyến của đồ thị  C :y f x  có hệ số góc là

k thì ta gọi M x0 0 ;y0là tiếp điểm  f x' 0 k (1)

 Giải phương trình (1) tìm x0 suy ra y0  f x 0

 Phương trình tiếp tuyến phải tìm có dạng: y k x x   0y0

Chú ý:

 Hệ số góc của tiếp tuyến tại M x y 0, 0   C là k  f x 0 tan Trong đó  là góc giữa chiều dương của trục hoành và tiếp tuyến.

 Hai đường thẳng song song với nhau thì hệ số góc của chúng bằng nhau.

 Hai đường thẳng vuông góc nếu tích hệ số góc của chúng bằng 1.

 Biết tiếp tuyến đi qua điểm A x y 1; 1:

 Viết phương trình tiếp tuyến của y f x  tại M x0 0 ; y0 :

  0 0 0  

 Vì tiếp tuyến đi qua A x y 1; 1y1  f x'  0 x1x0 f x   0 *

 Giải phương trình(*) tìm x0 thế vào (1) suy ra phương trình tiếp tuyến

Bài 1: Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

0,5

4 3

c)

4 3 2

Bài 2: Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a) y (2x 3)(x5  2 )x ; b) yx x(2 1)(3x2);

x

1

x y x





 ; e)

3

y x



 ; f)

2

1 1

y

x

 



2

y

x



1

y x

x

  

1

x y





2 2

1 1

x x y

x x

 



  .

Bài 3: Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a) y(2x3 3x2 6x1)2; b) 2 1 5

y



  c) y  ( x2   x 1) (3 x2   x 1)2; d)

2 1

x

e) y 1 2 x x 2 ; f) y  x2  1 1x2 ;

g) y  x x x ; h) y3 3x 3x1;

i)

2

3 2 1

3

x

y

x



   

2 1

Bài 4: Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

sin

y

sin cos

y





x x

y

2 cos 2 sin 2

2 cos 2 sin





d) y4sin cos 5 sin 6x x x; e) sin 2 cos 2

sin 2 cos 2

y





y





2

x

2 2

1 tan

1 tan

x y

x





y  x x; m) y(sinxcosx)3;

n) ysin32xcos32x; o) ysin cos3 x; p) ysin cos cos32 2 x

q)

2

cot cos

2

x y

x

    



Bài 5: a) Cho hàm số  

x

x x

f

sin 1

cos

























4 '

; 2 '

; '

; 0

f f

f

b) Cho hàm số  

x

x x

f

2

sin 1

cos





Bài 6: Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a) y3 sin 4xcos4x 2 sin6xcos6x; b) ycos4x2cos2x 3 sin4x2sin2x3; c) y3 sin 8xcos8x 4 cos6x2sin6x6sin4x ; d) 6sin4 63cos4 41

y



tan 1 sin

4 2 sin

x

x y

x



g) sin sin 2 sin 3 sin 4

cos cos 2 cos3 cos 4

y





Bài 7: Cho hàm số yxsinx chứng minh:

a) xy2y' sin x x 2cosx y 0; b) ' tan

cos

y

Bài 8: Cho các hàm số: f x sin4 xcos4 x , g x sin6 xcos6x Chứng minh:

  2 '  0

'

3f x  g x 

Bài 9: a) Cho hàm số y x 1 x 2 Chứng minh: 2 1x2.y' y

b) Cho hàm số ycot 2x Chứng minh: 2

Bài 10: Giải phương trình y' 0 biết:

cos sin

c) y 3sin 2x4 cos 2x10x; d) ym1 sin 2 x2cosx2mx

Bài 11: Cho hàm số 1 3   2

3

y x  m x mx Tìm m để:

a) y' 0 có hai nghiệm phân biệt ;

b) y' có thể viết được thành bình phương của nhị thức;

c) y' 0 ,   x ; d) y' 0 ,  x 1 ; 2 ; e) y' 0 ,  x 0

Bài 12: Cho hàm số 1 3   2

3

y  mx  m x mx Xác định mđể:

a) y' 0 ,   x

b) y' 0 có hai nghiệm phân biệt cùng âm;

c) y' 0 có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện: x12  x22  3

Bài 13: Cho hàm số 2 6 2

2

y

x



 Xác định mđể hàm số có y' 0,  x 1 ; 

Bài 14: Cho hàm số ymx4(m29)x210 (1) (m là tham số) Xác định m để hàm số có ' 0

y  có 3 nghiệm phân biệt

Bài 15: Cho hàm số  C :y x22x3 Viết phương trình tiếp với  C :

a) Tại điểm có hoành độ x0 2 ;

b) Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng: 4x y  9 0 ;

c) Vuông góc với đường thẳng: 2x4y2011 0 ; d) Biết tiếp tuyến đi qua điểm A1 ; 0

Bài 16: Cho hàm số : 3 1  

1

x

x





a) Viết phương trình tiếp tuyến của  C tại điểm M 1 ; 1 ;

b) Vết phương trình tiếp tuyến của  C tại giao điểm của  C với trục hoành;

c) Viết phương trình tiếp tuyến của  C tại giao điểm của  C với trục tung ;

d) Viết phương trình tiếp tuyến của  C bết tiếp tuyến song song với đường thẳng

 d : 4x y  1 0 ;

e) Viết phương trình tiếp tuyến của  C biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng

  : 4x y  8 0

Bài 17: Cho hàm số: yx33x2  C

a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị  C tại điểm I1 ; 2 

b) Chứng minh rằng các tiếp tuyến khác của đồ thị  C không đi qua I

Bài 18: Cho hàm số y 1 x x2  C Tìm phương trình tiếp tuyến với  C :

a) Tại điểm có hoành độ 0 1

2

b) Song song với đường thẳng:  d :x2y0

Bài 19: Cho hàm số y x 33mx2 m1x1 1  , m là tham số thực Tìm các giá trị của m để tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x  1 đi qua điểm A 1 ;2

Bài 20: Cho hàm số 3 1  1

1

x y x





 Tính dện tích của tam giác tạo bởi các trục tọa độ và tiếp tuyến của đồ thị của hàm số (1) tại điểm M2 ; 5

Bài 21: Cho hàm số y 3x3 4  C Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị  C biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng  d : 3y x  6 0 góc 300

Bài 22: Cho hàm số y  x3 3x29x5  C Trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị  C , hãy tìm tiếp tuyến có hệ số góc lớn nhất

Bài 23: Cho hàm số 2 1  

1

x

x





 Gọi I1 ; 2 Tìm điểm M C sao cho tiếp tuyến của

 C tại M vuông góc với đường thẳng IM

Bài 24: (*) Cho hàm số 2  

1





x

x Tìm điểm M  C , biết tiếp tuyến của  C tại M cắt hai trục tọa độ tại A B, và tam giác OAB có diện tích bằng 1

2

Bài 25: (*) Cho hàm số:  

1

x

x



 Viết phương trình tiếp tuyến   của  C sao cho  

và hai đường  d1 :x1 ; d2 :y1cắt nhau tạo thành một tam giác cân (Dự bị D 2 - 2007)

Bài 26: Cho hàm số 1  

1

x

 

 Chứng minh rằng qua điểm A1; 1  kẻ được hai tiếp tuyến với C và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau

Bài 27: (*) Cho hàm số 1 3 2  

3

y x  x  x C Qua điểm 4 4;

9 3

  có thể kẻ được mấy tiếp tuyến đến đồ thị  C Viết phương trình các tiếp tuyến ấy

Bài 28: (*) Cho hàm số 2 2 2 ( )

1

x



 Gọi I1 ; 0 Chứng minh rằng không có tiếp tuyến nào của  C đi qua điểm I (Dự bị B 2 - 2005).

Bài 29: (*) Cho hàm số y  x4 2x21  C Tìm tất cả các điểm thuộc trục tung sao cho từ đó

có thể kẻ được ba tiếp tuyến với đồ thị  C