LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC: MÔĐUN HẦU COHENMACAULAY VÀ HỆ SỐ HILBERT (bao gồm full file latex)

BẢNG KÍ HIỆURP Địa phương hóa của R đối với R \ P MP Địa phương hóa của M đối với R \ P SpecR Tập hợp tất cả các iđêan nguyên tố của R M axR Tập hợp tất cả các iđêan cực đại của R AssRM

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC HUẾTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS CAO HUY LINH

Huế, năm 2015

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các số liệu

và kết quả nghiên cứu ghi trong luận văn là trung thực, được các đồng tácgiả cho phép sử dụng và chưa từng công bố trong bất kỳ một công trình nàokhác

Học viên thực hiệnTrần Thị Thanh Thảo

mà chúng tôi đã tham khảo sử dụng trong luận văn.

Tôi cũng xin cảm ơn sự quan tâm, giúp đỡ, động viên của quý thầy côgiáo và bạn bè trong suốt thời gian tôi làm luận văn

Huế, ngày 30 tháng 7 năm 2015Học viên thực hiện

Trần Thị Thanh Thảo

MỤC LỤC

Lời cam đoan i

Lời cảm ơn ii

Mục lục 1

Bảng kí hiệu 3

Mở đầu 4

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 6

1.1 Vành các thương và địa phương hóa 6

1.2 Tập Ass và tập Supp 9

1.3 Dãy chính quy và độ sâu 12

1.4 Chiều của vành và môđun 13

1.5 Hệ tham số 14

1.6 Vành và môđun Cohen-Macaulay 15

1.7 Vành và môđun phân bậc 17

1.8 Hàm Hilbert của môđun phân bậc 20

Chương 2 Môđun hầu Cohen-Macaulay và hệ số Hilbert 22 2.1 Định nghĩa môđun hầu Cohen-Macaulay 22

2.2 Ví dụ 24 2.3 Các tính chất của môđun hầu Cohen - Macaulay 24

2.4 Hệ số Hilbert của vành hầu Cohen-Macaulay 28Kết luận 34Tài liệu tham khảo 35

BẢNG KÍ HIỆU

RP Địa phương hóa của R đối với R \ P

MP Địa phương hóa của M đối với R \ P

Spec(R) Tập hợp tất cả các iđêan nguyên tố của R

M ax(R) Tập hợp tất cả các iđêan cực đại của R

AssR(M ), Ass(M ) Tập hợp tất cả các iđêan nguyên tố liên kết của MSupp(M ) Tập hợp {P ∈ Spec(R)|MP 6= 0}

annR(x) Linh hóa tử của x

depth(I, M ) Độ sâu của M ứng với iđêan I

ZDR(M ) Tập tất cả các ước của không của M

HM Hàm Hilbert-Samuel của iđêan I trong môđun M

ei = ei(I, M ) Hệ số Hilbert

n(I, M ) Chỉ số Hilbert

reg(M ) = reg0(M ) Chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford của M

HIi(M ) Đối đồng điều địa phương thứ i của M ứng với iđêan I

MỞ ĐẦU

Trong cuốn sâch [9], "Commutative Algebra", Matsumura đê phât biểurằng nếu R lă vănh Noether giao hoân vă M lă R-môđun hữu hạn sinh thì

depth(P, M ) = depth(P RP, MP) (∗)với bất kì P ∈ Supp(M ) [[9], (15C), p 97] Rất không may, phât biểu trínkhông đúng Trong cuốn sâch [3], Eisenbud đê chỉ ra một ví dụ để chứng

tỏ phât biểu của Matsumura lă sai (xem [3], Lemma 18.1, p 448) Sau đó,Matsumura cũng đê sửa lại phât biểu trín trong cuốn sâch [10], "CommutativeRing Theory", lă depth(P, M ) ≤ depth(P RP, MP) [[10], Exercise 16.5, p 132].Năm 1998, Yang Han [4] đê gọi lớp vănh thỏa mên đẳng thức (∗) lă D-vănh(D-ring) Năm 2006, Ming-Chang Kang [6] đê nhận thấy rằng lớp môđun thỏamên tính chất (∗) có nhiều tính chất tốt gần với môđun Cohen-Macaulay vẵng gọi lớp môđun năy lă hầu Cohen-Macaulay (almost Cohen-Macaulay).Mục đích của luận văn lă nghiín cứu môđun hầu Cohen-Macaulay vă hệ

số Hilbert của nó ứng với iđían tham số

Lớp môđun Cohen-Macaulay có nhiều tính chất tốt vă đóng vai trò quantrọng trong đại số giao hoân Khi nghiín cứu lớp môđun hầu Cohen-Macaulaychúng ta cũng sẽ thấy được một số tính chất tương tự như môđun Cohen-Macaulay Gần đđy, một số kết quả của hệ số Hilbert, số mũ rút gọn, chỉ

số chính quy, chỉ số Hilbert của môđun hầu Cohen-Macaulay được nghiíncứu như [1], [5], Tương tự như vậy, câc tính chất năy cũng đúng cho môđunCohen-Macaulay vă được phât hiện bởi Yang Han

Kết quả chính của luận văn lă tổng quan lại một số tính chất của môđunhầu Cohen-Macaulay mă được trình băy trong băi bâo [6] Ngoăi ra, chúngtôi đạt được một số kết quả liín quan đến tính triệt tiíu của hệ số Hilbertcủa môđun hầu Cohen-Macaulay ứng với iđían tham số Định lí sau đđy lă

kết quả chính mà chúng tôi đã đạt được.

Định lí 2.4.10 Cho (R, m) là vành Noether địa phương hầu Cohen-Macaulayvới số chiều d ≥ 3 và q là iđêan tham số Nếu depth(Gq(R)) ≥ d − 2 vàreg(Gq(R)) ≤ 1 thì ed−i = 0, ∀i = 0, , d − 3

Đây là một kết quả mới mà chúng tôi đạt được trong luận văn Phương phápchính mà chúng tôi sử dụng là dựa vào một kết quả của Brodmann-Linh [1]

về chỉ số chính quy để ước lượng chỉ số Hilbert

Luận văn được chia làm hai chương Trong Chương 1, chúng tôi trình bàymột số khái niệm và tính chất liên quan đến chương sau Những khái niệm

đó bao gồm: vành các thương và địa phương hóa, tập Ass và tập Supp, dãychính quy và độ sâu, chiều của vành và môđun, hệ tham số, vành và môđunCohen-Macaulay, vành và môđun phân bậc, hàm Hilbert của môđun phânbậc Trong Chương 2, chúng tôi trình bày lại các tính chất của môđun hầuCohen-Macaulay Phần cuối của Chương 2, chúng tôi đã đưa ra một điều kiệncủa môđun hầu Cohen-Macaulay để các hệ số Hilbert triệt tiêu

Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song trong quá trình nghiên cứu và trình bàykhó tránh khỏi các sai sót, mong quý độc giả góp ý thêm để luận văn đượchoàn thiện hơn

Huế, ngày 30 tháng 07 năm 2015

Học viên thực hiệnTrần Thị Thanh Thảo

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày các kiến thức cơ sở để hổ trợtrong chương sau Các khái niệm này bao gồm: vành các thương và địa phươnghóa, tập Ass và tập Supp, dãy chính quy và độ sâu, chiều của vành và môđun,

hệ tham số, vành và môđun Cohen-Macaulay, vành và môđun phân bậc, hàmHilbert của môđun phân bậc

1.1 Vành các thương và địa phương hóa

Với tập hợp các số nguyên Z, kí hiệu Z∗ = Z \ {0} Lúc này, Z∗ có tínhchất 1 ∈ Z∗ và nếu x, y ∈ Z∗ thì xy ∈ Z∗ Một tập có tính chất như thế đượcgọi là tập nhân đóng Tổng quát, ta có định nghĩa của một tập nhân đóngnhư sau:

Định nghĩa 1.1 Cho R là một vành và S ⊂ R, S được gọi là tập nhân đóngnếu

lớp tương đương của ∼ được kí hiệu là S−1R Lúc này, S−1R có cấu trúc làmột vành với các phép toán cộng và nhân như sau:

Ví dụ 1 Cho R = Z, S = Z∗ là tập nhân đóng Lúc đó, S−1R = Q là vànhcác số hữu tỉ

Tổng quát hơn, nếu R là một miền nguyên thì vành các thương S−1R chính

là trường các thương, với S = R \ {0} Và S−1R được xác định như sau:

(m, s) ∼ (m0, s0) ⇔ ∃u ∈ S : u(s0m − sm0) = 0, ∀(m, s), (m0, s0) ∈ M × SPhép cộng trong S−1M và phép nhân vô hướng bởi phần tử của S−1R là

ss0.

thì S−1M là một S−1R-môđun.

Để cho gọn, ta có thể viết MS thay cho S−1M

Nếu P là iđêan nguyên tố của vành R thì S = R \ P là tập nhân đóng và

ta viết MP thay cho MS

Định lý 1.1.1 [[10], Theorem 4.1] Cho R là một vành

1) Mọi iđêan của vành RS có dạng IRS với I là một iđêan của vành R.2) Mọi iđêan nguyên tố của vành RS có dạng pRS với p là một iđêan nguyên

tố của vành R và p ∩ S = ∅

Ví dụ 3 Cho a ∈ R là một phần tử không lũy linh của vành R thì tập

S = {1, a, a2, } là tập nhân đóng Iđêan nguyên tố của RS có dạng pRS với

p là iđêan nguyên tố của R không chứa a

Ví dụ 4 Cho I là một iđêan thực sự của vành R thì tập S = 1 + I = {1 + x |

x ∈ I} là một tập nhân và iđêan nguyên tố của RS là pRS với p là iđêannguyên tố của R mà I + p 6= R

Ví dụ 5 Cho p là iđêan nguyên tố của R thì địa phương hóa Rp là vành địaphương với iđêan cực đại là pRp Lúc này, pRp cũng là iđêan nguyên tố của

Rp

Hơn nữa, các iđêan nguyên tố của Rp có dạng qRp với q là iđêan nguyên

tố của R sao cho q ⊆ p

Định lý 1.1.2 [[10], Corollary 4, p 24] Nếu S ⊂ R là tập nhân và p là iđêannguyên tố của R mà p ∩ S = ∅ thì (RS)pRS = Rp Đặc biệt, nếu p ⊂ q làiđêan nguyên tố của R thì (Rq)pRq = Rp

1.2 Tập Ass và tập Supp

Định nghĩa 1.4 Cho R là một vành và M là R-môđun Iđêan nguyên tố pcủa R được gọi là iđêan nguyên tố liên kết của M nếu tồn tại x ∈ M sao cho

p= annR(x), với annR(x) = {r ∈ R | rx = 0}

Tập hợp tất cả các iđêan nguyên tố của R được kí hiệu là Spec(R)

Tập hợp tất cả các iđêan cực đại của R được kí hiệu là M ax(R)

Lúc này, ta có R 6= 0 ⇔ M ax(R) 6= ∅ ⇔ Spec(R) 6= ∅

Tập hợp gồm tất cả các iđêan nguyên tố liên kết của M được viết là Ass(M )hay AssR(M )

Tập hợp {P ∈ Spec(R)|MP 6= 0} được gọi là giá của M , kí hiệu là Supp(M ).Cho I là một iđêan của R, đặt V (I) = {p ∈ Spec(R) | p ⊃ I}

Nhận xét 1 Nếu M là hữu hạn sinh và giả sử M = Rω1 + + Rωn thì

p∈ Supp(M )

⇔ Mp 6= 0

⇔ ∃i sao cho ωi 6= 0 trong Mp

⇔ ∃i sao cho ann(ωi) ⊂ p

nên Supp(M ) được xem như tập con đóng V (ann(M )) của Spec(R)

Định lý 1.2.1 [[10], Theorem 6.1] Cho R là vành Noether và M là R-môđunkhác không

1) Mọi phần tử cực đại của họ các iđêan F = {ann(x)|0 6= x ∈ M } là mộtiđêan nguyên tố liên kết của M , nên Ass(M ) 6= ∅.

2) Tập các ước của không của M là hợp của tất cả các iđêan nguyên tốliên kết của M

Chứng minh 1) Giả sử phần tử cực đại của F là ann(x) với 0 6= x ∈ M

Ta chứng minh ann(x) là iđêan nguyên tố Rõ ràng ann(x) là iđêan của

R Nếu a, b ∈ R mà ab ∈ ann(x) và b /∈ ann(x) thì abx = 0 và bx 6= 0 màann(x) ⊆ ann(bx) và ann(x) là phần tử cực đại nên ann(x) = ann(bx)

Do đó a ∈ ann(bx) = ann(x) Vậy ann(x) là iđêan nguyên tố liên kếtcủa M

2) Gọi tập tất cả các ước của không của M là G Nếu a ∈ G thì tồn tại

0 6= x ∈ M mà ax = 0 do đó a ∈ ann(x) ∈ F (theo (1)) Nên tồn tại

một iđêan nguyên tố liên kết chứa ann(x) Vậy G ⊆S

P ∈Ass(M )P

Ngược lại, nếu a ∈ S

P ∈Ass(M )P thì P ∈ Ass(M ) sao cho a ∈ P =ann(x), 0 6= x ∈ M Do đó a là ước của không của M

Định lý 1.2.2 [[10], Theorem 6.2] Cho S ⊂ R là tập nhân, N là RS-môđun.Xem Spec(RS) là tập con của Spec(R)

1) Ta có AssR(N ) = AssRS(N )

2) Nếu R là Noether thì mọi R-môđun M ta có

Ass(MS) = Ass(M ) ∩ Spec(RS)

Ngược lại, với P ∈ AssR(N ) thì P ∈ Spec(R) và tồn tại 0 6= x ∈ N :

P = annR(x) Do đó P ∩ S = ∅ nên P RS là iđêan nguyên tố của RS

và P RS = annRS(x) Thật vậy, với ps ∈ P RS thì ps.x = pxs = 0 nên

p

s ∈ annRS(x) Ngược lại, với as ∈ annRS(x) thì as.x = 01 nên tồn tại

t ∈ S : t(ax.1 − s.0) = 0 suy ra tax = 0 hay ta ∈ P = annR(x) mà P làiđêan nguyên tố và t /∈ P nên a ∈ P Do đó as ∈ P RS

Lúc này ta có P ∈ AnnRS(N )

2) Với P ∈ Ass(M ) ∩ Spec(RS) thì P ∈ Spec(RS) và tồn tại 0 6= x ∈

M : P = annR(x) nên P ∩ S = ∅ Nếu as.x = 0MS thì tồn tại t ∈ S :tax = 0M nên ta ∈ P mà t /∈ P nên a ∈ P Do đó annRS(x) = P RS và

P RS ∈ Ass(MS)

Hệ quả 1.2.3 [[10], Corollary, p 38] Cho R là vành Noether, M là R-môđun

và P là iđêan nguyên tố của R ta có

P ∈ AssR(M ) ⇔ P RP ∈ AssRP(MP)

1.3 Dãy chính quy và độ sâu

Định nghĩa 1.5 Cho R là một vành và M là R-môđun Một phần tử x ∈ Rđược gọi là M -chính quy nếu mx 6= 0 với mọi 0 6= m ∈ M

Một dãy x = x1, x2, , xr các phần tử của R được gọi là M dãy, hay M chính quy, nếu x1 là M -chính quy và xi là M/(x1, , xi−1)M -chính quy với

-i = 2, , r và M/(x1, , xr)M 6= 0

Nếu x = x1, x2, , xr là M -dãy thì r được gọi là độ dài của M -dãy x

Định nghĩa 1.6 Cho R là vành Noether, M là R-môđun và I là iđêan củavành R Độ sâu của M ứng với iđêan I là

Định lý 1.3.1 [[7], Theorem 128] Cho (R, m) là vành địa phương, I là iđêancủa R, I ⊂ m và M 6= 0 là R-môđun hữu hạn sinh Nếu depth(I, M ) <depth(m, M ) thì tồn tại iđêan nguyên tố P ⊃ I sao cho depth(P, M ) =

1 + depth(I, M )

Định lý 1.3.2 [[7], Theorem 135] Cho R là vành Noether và I là iđêan của

R, I 6= R thì tồn tại iđêan cực đại m sao cho depth(I, R) = depth(Im, Rm)

Từ định lí trên ta có nếu R là vành Noether và I là iđêan của R, I 6= R, M

là R-môđun thì tồn tại iđêan cực đại m sao cho depth(I, M ) = depth(IRm, Mm)

1.4 Chiều của vành và môđun

Cho P0 ⊃ P1 ⊃ ⊃ Pr là một dãy giảm ngặt các iđêan nguyên tố củavành R và gọi r là độ dài của dãy này Ta định nghĩa chiều (Krull) của vành

và môđun như sau:

Định nghĩa 1.7 Cho R là một vành Chiều của vành R là độ dài lớn nhấtcủa các dãy giảm ngặt các iđêan nguyên tố của R, kí hiệu là dimR Tức là:

dimR = sup{d | ∃P0 ⊃ P1 ⊃ ⊃ Pd là dãy các iđêan nguyên tố của R}

Ví dụ 6 Mọi iđêan nguyên tố của vành các số nguyên Z có dạng pZ với p làcác số nguyên tố Hơn nữa, pZ cũng là iđêan cực đại của Z và mọi dãy giảmcực đại các iđêan nguyên tố của Z có dạng pZ ⊃ 0 nên dimZ = 1

Định nghĩa 1.8 Cho M là R-môđun khác không Chiều của M , kí hiệu làdimRM hay đơn giản dimM , và được định nghĩa là

dimM = dim(R/ann(M ))

với ann(M ) = {r ∈ R | rM = 0}

Nhận xét 2 Mỗi iđêan nguyên tố của vành thương R/ann(M ) có dạngp/ann(M ) với p là iđêan nguyên tố của R chứa ann(M ) Nên chiều của vànhR/ann(M ) là độ dài lớn nhất của các dãy giảm các iđêan nguyên tố của Rchứa ann(M ) Do đó, dimM ≤ dimR

J , với J là iđêan nguyên tố.

Từ định nghĩa iđêan nguyên sơ, iđêan nguyên tố và iđêan cực đại ta có mệnh

đề sau

Mệnh đề 1.5.1 [[11], Lemma and Definition 4.5]Cho I là một iđêan củavành R Khi đó

1) Nếu I là iđêan nguyên sơ thì √

I là iđêan nguyên tố tối tiểu chứa I

2) Nếu √

I là iđêan cực đại thì I là iđêan nguyên sơ

Cho p là iđêan nguyên tố của vành R Khi đó I là iđêan p-nguyên sơ nếu

I là iđêan nguyên sơ và √

I = p Giả sử (R, m) là vành địa phương và I làiđêan m-nguyên sơ của R Khi đó, với mỗi n ∈ N ta có √In = √

1) I là iđêan m-nguyên sơ

2) ∃k > 0 : mk ⊂ I.

3) R/I là R-môđun có độ dài hữu hạn

4) R/I là R-môđun Artin

5) V ar(I) = {m}

Định nghĩa 1.9 1) Cho (R, m) là vành địa phương có chiều d Nếu x1, ,

xd ∈ m sinh ra một iđêan m-nguyên sơ I thì hệ {x1, , xd} được gọi là

hệ tham số của R Khi đó, I = (x1, , xd) được gọi là iđêan tham sốcủa vành R

2) Cho M là một R-môđun hữu hạn sinh có chiều s Khi đó, hệ {y1, , ys} ⊆

m được gọi là hệ tham số của M nếu `(M/(y1, , ys)M ) < ∞

1.6 Vành và môđun Cohen-Macaulay

Định nghĩa 1.10 Cho (R, m) là vành Noether địa phương và M là R-môđunhữu hạn sinh M là môđun Cohen-Macaulay nếu M = 0 hoặc depth(M ) =dim(M ) Vành R là vành Cohen-Macaulay nếu nó được xem như là môđunCohen-Macaulay trên chính nó

Định lý 1.6.1 [[10], Exercise 16.1, p 132] Cho (R, m) là vành Noether địaphương, M 6= 0 là R-môđun hữu hạn sinh, và a1, , ar ∈ m là một M -dãy.Đặt M0 = M/(a1, , ar)M thì dim(M0) = dim(M ) − r

Định lý 1.6.2 [[10], Theorem 17.3] Cho R là vành Noether địa phương và

M là R-môđun hữu hạn

1) Nếu M là môđun Cohen-Macaulay thì với mỗi P ∈ Ass(M ) ta có

dim(R/P ) = dim(M ) = depth(M )

2) Nếu a1, , ar ∈ m là một M -dãy và đặt M0 = M/(a1, , ar) thì M làmôđun Cohen-Macaulay khi và chỉ khi M0 là môđun Cohen-Macaulay.3) Nếu M là môđun Cohen-Macaulay thì MP là môđun Cohen-Macaulaytrên vành RP với mọi P ∈ Spec(R), và nếu MP 6= 0 thì depth(P, M ) =depthRP(MP)

Chứng minh 1)

Ta có dimM = sup{dimR/P | P ∈ AssM }

≥ inf {dimR/P | P ∈ AssM } ≥ depthM

nên dim(R/P ) = dim(M ) = depth(M )

2) Từ định nghĩa, ta có depthM0 = depthM − r và dimM0 = dimM − rsuy ra điều phải chứng minh

3) Ta chỉ cần xét trường hợp MP 6= 0 khi P ⊃ ann(M ) Lúc này ta códimMP ≥ depthMP ≥ depth(P, M ) nên ta chỉ cần chỉ ra rằng dimMP =depth(P, M )

Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp trên depth(P, M ) Nếu depth(P, M ) = 0thì P chứa trong một iđêan nguyên tố liên kết của M , mà P ⊃ ann(M )

và kết quả của (1) tất cả các iđêan nguyên tố liên kết của M là cực tiểu,

do đó P là một iđêan nguyên tố liên kết của M Nên MP = 0, do đó

i∈ZRi sao cho RiRj ⊂ Ri+j với mọi i, j ∈ Z.

Để thuận tiện, ta thường nói vành phân bậc thay cho vành phân bậc khôngâm

Một vành R được gọi là phân bậc không âm (hay N-phân bậc) nếu Rn =

0, ∀n < 0

Một phần tử x ∈ R có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng x = P

n∈Zxn với

xn ∈ Rn và chỉ có hữu hạn các thành phần xn 6= 0 Mỗi hạng tử xn được gọi

là thành phần thuần nhất bậc n của x Phần tử x ∈ R được gọi là phần tửthuần nhất nếu tồn tại n ∈ N sao cho x ∈ Rn

Từ định nghĩa vành phân bậc ta có nhận xét sau:

Nhận xét 3 Cho R =L

n≥0Rn là vành phân bậc

1) R0 luôn là một vành con của R