LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC: NGHIỆM VISCOSITY ĐỐI VỚI BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU

ĐẠI HỌC HUẾTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠMBÙI THỊ KIM HOA NGHIỆM VISCOSITY ĐỐI VỚI BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫ

ĐẠI HỌC HUẾTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

BÙI THỊ KIM HOA

NGHIỆM VISCOSITY ĐỐI VỚI BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU

Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH

Mã số: 60460102

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

PGS.TS NGUYỄN HOÀNG

Thừa Thiên Huế, năm 2016

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiêncứu của riêng tôi, các số liệu và kết quả nghiêncứu ghi trong Luận văn là trung thực, đượcđồng tác giả cho phép và chưa từng công bốtrong bất kì một công trình nào khác

Tác giả

Bùi Thị Kim Hoa

LỜI CẢM ƠN

Trong quá trình học tập và làm luận văn tốt nghiệp, tôi đã nhận được sự khích

lệ và hỗ trợ của nhiều thầy cô, bạn bè và người thân Tôi thành thật cảm kích.Trước hết, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Nguyễn Hoàng.Thầy không những là người định hướng đề tài, tận tình hướng dẫn mà còn tạocho tôi động lực vượt qua những khó khăn trong học tập, luôn nhắc nhở tôi giữgìn sức khỏe để học tốt

Tôi cũng xin chân thành cảm ơn tất cả quý thầy, cô khoa Toán của TrườngĐại học Sư phạm Huế đã tận tình giảng dạy và truyền đạt những kiến thức bổích trong suốt khóa học tại Trường Đại học Sư phạm Huế

Chân thành cảm ơn các Bạn, Anh Chị học viên Cao học khóa 23, đặc biệt làcác Anh, Chị chuyên ngành Toán Giải tích và cũng như tất cả bạn bè của tôi đãluôn hỗ trợ tôi suốt quá trình tôi học tập

Cuối cùng tôi xin cảm ơn Ba, Mẹ và toàn thể gia đình tôi-những người đãđộng viên tôi rất nhiều và cũng là động lực giúp tôi hoàn thành Luận văn này.Mặc dù đã cố gắng hết sức nhưng Luận văn sẽ không tránh khỏi những thiếusót Tôi rất mong các thầy cô giáo cùng các bạn đánh giá, góp ý để Luận vănđược hoàn chỉnh hơn

Bùi Thị Kim Hoa

Mục lục

1.1 Các khái niệm cơ bản của giải tích 6

1.1.1 Hàm nửa liên tục 6

1.1.2 Hàm liên tục Lipschitz 6

1.1.3 Tập lồi và hàm lồi 6

1.1.4 Hàm nửa lõm 8

1.1.5 Hàm đa trị 8

1.2 Trên vi phân và dưới vi phân 9

1.2.1 Vi phân một phía 9

1.2.2 Vi phân trên của hàm nửa lõm 10

1.2.3 Hàm marginal 11

1.3 Nghiệm của phương trình vi phân 12

1.3.1 Nghiệm cổ điển của phương trình vi phân thường 12

1.3.2 Nghiệm viscosity của phương trình Hamilton-Jacobi 13

Chương 2 Những bài toán điều khiển tối ưu 15 2.1 Bài toán Mayer 15

2.1.1 Mở đầu 15

2.1.2 Giới thiệu bài toán Mayer 18

2.1.3 Hàm giá 202.1.4 Những điều kiện tối ưu 332.2 Bài toán Bolza 46

hp, qi hay p.q Tích vô hướng của hai vector p và q trong Rn

| | hay k.k Chuẩn Euclid thông thường trong Rn

[x, y] Đoạn [x, y] = {λx + (1 − λ)y, λ ∈ [0, 1]}

Du(x) Gradient của hàm u tại x

D+u(x), D−u(x) Vi phân trên và vi phân dưới của hàm u tại x

∇V (t, x) ∇V (t, x) = (Vx1(t, x), Vx2(t, x), , Vxn(t, x))

SCL(Ω) Tập các hàm nửa lõm với môđun tuyến tính trên Ω

C1,1(Ω) Tập các hàm thuộc C1,1(Ω) và có đạo hàm cấp 1 Lipschitz

L1(Ω) Tập các hàm khả tích trên Ω

LỜI NÓI ĐẦU

Lịch sử phát triển điều khiển tự động được ghi nhận từ trước công nguyên,bắt đầu từ đồng hồ nước có phao điều chỉnh Ktesibios ở Hy Lạp Hệ điều chỉnhnhiệt độ đầu tiên do Cornelis Drebble (1572-1633) người Hà Lan sáng chế Hệđiều chỉnh mức đầu tiên là của P olzunou người Nga (1756) Hệ điều chỉnh tốc

độ ứng dụng trong công nghệ đầu tiên là của J ame W att (1769) Thế chiến lầnthứ hai đòi hỏi sự phát triển về lý thuyết và ứng dụng để có những máy bay lái

tự động, những hệ điều khiển vị trí của pháo, điều khiển các loại vũ khí khác,điều khiển tự động rada

Những năm 1950, các phương pháp toán học và phân tích đã phát triển vàứng dụng nhanh chóng Các nguyên lý cực đại P ontryagin (1956), phương phápquy hoạch động Bellman (1957) của lý thuyết điều khiển tối ưu hiện đại lànhững phương pháp rất hiệu quả để giải quyết nhiều bài toán Vào năm 1766,Euler và Lagrangre đưa ra phương pháp biến phân cổ điển Từ những năm

1980, máy tính số bắt đầu sử dụng rộng rãi, cho phép điều khiển các đối tượngkhác nhau Các nguyên tắc điều khiển thích nghi, điều khiển bền vững, điềukhiển mở, các “hệ thông minh” ra đời và được áp dụng hiệu quả vào thựctiễn

Lý thuyết điều khiển tối ưu là một phần mở rộng của phép tính biến phân, làmột phương pháp tối ưu hóa cho các lý thuyết điều khiển phát sinh Điều khiểntối ưu có thể được xem như là một chiến lược điều khiển trong lý thuyết điềukhiển tự động Lý thuyết điều khiển tối ưu có quan hệ mật thiết với phươngtrình Hamilton - Jacobi; hàm giá là nghiệm viscosity của bài toán Cauchy củaphương trình Hamilton - Jacobi

Các nghiên cứu ngày càng trở nên quan trọng và bức thiết hơn do nhu cầuứng dụng của lý thuyết điều khiển tối ưu vào các lĩnh vực khác như điều khiển

học, khoa học-kỹ thuật, quản lý kinh tế-tài chính nên việc nghiên cứu các

mô hình điều khiển tối ưu mới cùng với phương pháp giải trong từng lĩnh vực

đã và đang được nhiều tác giả trong và ngoài nước quan tâm

Dựa vào phương pháp tiếp cận trên, dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS.TSNguyễn Hoàng, tôi chọn đề tài “Nghiệm viscosity đối với bài toán điềukhiển tối ưu”

Trong luận văn này tôi sẽ mô tả cách tiếp cận bài toán điều khiển, tập trungchú ý tính nửa lõm và kì dị của nghiệm Điều khiển tối ưu có ứng dụng rộngrãi, đa dạng, tôi không đưa ra cách giải quyết trọn vẹn bài toán mà chọn mộtvài bài toán mẫu và phát biểu định lý trong trường hợp đó Tôi sẽ trình bày vềbài toán điều khiển tối ưu với thời gian hạn chế và không hạn chế về mặt khônggian, đó là các bài toán Mayer và Bolza

Cuốn luận văn được chia thành ba chương:

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Chương này trình bày ngắn gọn các kiến thức cơ bản về hàm liên tục Lipschitz,hàm lồi, hàm nửa lõm, hàm đa trị; trên vi phân và dưới vi phân của hàm nửalõm và các kết quả về nghiệm cổ điển của phương trình vi phân thường, nghiệmviscosity của phương trình Hamilton-Jacobi nhằm phục vụ cho những chứngminh ở chương sau

Chương 2 Những bài toán điều khiển tối ưu

Chương này dành để trình bày các kết quả về sự tồn tại và duy nhất của điềukhiển tối ưu, tính chất của hàm giá V , nguyên lý cực đại Pontryagin của bàitoán điều khiển tối ưu với thời gian giới hạn và không gian không hạn chế đó làcác bài toán Mayer và Bolza

Chương 3 Một số ví dụ áp dụng

Chương này dành để trình bày các kết quả về điều kiện cần và đủ để tồn tạiđiều khiển tối ưu cho bài toán Bolza dạng đơn giản và khảo sát ví dụ minh họa

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

1.1 Các khái niệm cơ bản của giải tích

Cho X là tập con khác rỗng của Rn

Định lý 1.1.1 (Định lý Rademacher) Nếu hàm f : X → R là hàm liên tụcLipschitz địa phương thì f khả vi hầu khắp nơi trên X

1.1.3 Tập lồi và hàm lồi.

Định nghĩa 1.1.4

(i) Một tập C ⊂ Rn là tập lồi nếu với mọi x0, x1 ∈ C, đoạn thẳng [x0, x1] đượcchứa trong C

(ii) Một hàm L : C −→ R, với C ⊂ Rn lồi, được gọi là lồi nếu

λL(x) + (1 − λ)L(y) ≥ L(λx + (1 − λ)y), ∀ x, y ∈ C, λ ∈ [0, 1]

(iii) Một hàm L : C −→ R, với C ⊂ Rn lồi, được gọi là lồi chặt nếu

λL(x) + (1 − λ)L(y) > L(λx + (1 − λ)y), ∀ x, y ∈ C, λ ∈ (0, 1)

(iv) Một hàm L : C −→ R được gọi là lõm nếu −L là lồi

Định lý 1.1.2 Một hàm L : A −→ R, với A ⊂ Rn lồi mở, là lồi nếu và chỉ nếu

nó liên tục và thỏa mãn

L(x + h) + L(x − h) − 2L(x) ≥ 0với mọi x, h sao cho x ± h ∈ A

Định nghĩa 1.1.5 Cho V ⊂ Rn là một tập lồi Với ¯v ∈ V, nón trực giao với Vtại ¯v là tập hợp

Định lý 1.1.3 Cho S ⊂ Rn là một tập compact và đặt T = coS Khi đó

max

x∈S x.p = σT(p), ∀ p ∈ Rn.Định lý 1.1.4 Cho V, M ⊂ Rn là những tập lồi, với V compact Hai tính chấtsau là tương đương:

(i) ∃ ¯v ∈ V : M ⊂ NV(¯v);

(ii) σV(tp0+ (1 − t)p1) = tσV(p0) + (1 − t)σV(p1), ∀ p0, p1 ∈ M, ∀ t ∈ [0, 1].Định lý 1.1.5 Cho v ∈ L1([0, T ], Rn) sao cho v(t) ∈ C hầu khắp nơi, với

C ⊂ Rn là một tập đóng và lồi Khi đó

1T

Nếu ω(h) = C2h thì hàm nửa lõm được gọi là hàm nửa lõm với môđun tuyếntính Hằng số C được gọi là hằng số nửa lõm của u trên X

Một hàm v được gọi là nửa lồi trên X nếu −v là nửa lõm

Định lý 1.1.6 Cho A ⊂ Rn là một tập mở Một hàm u : A → R là nửa lõmvới môđun tuyến tính nếu và chỉ nếu nó liên tục trên A và tồn tại C ≥ 0 saocho

u(x + h) + u(x − h) − 2u(x) ≤ C |h|2,với x, h ∈ Rn sao cho [x − h, x + h] ⊂ A

Định nghĩa 1.1.10 Cho Γ : Rm Rn là một hàm đa trị.

(i) Γ được gọi là có giá trị đóng (tương ứng lồi, compact) nếu Γ(x) là đóng (tươngứng lồi, compact) với mỗi x ∈ Rm

(ii) Γ được gọi là đo được nếu với mỗi tập mở A ⊂ Rn, ảnh ngược của Γ cho bởiA

là đóng Khi đó Γ đo được và có giá trị đóng

1.2 Trên vi phân và dưới vi phân

Cho A ⊂ Rn là một tập mở

Định nghĩa 1.2.1 Cho u : A → R là một hàm xác định trên tập mở A ⊂ Rn

Vi phân trên của hàm u tại điểm x, kí hiệu là D+u(x) và được định nghĩa là:

D+u(x) = {p ∈ Rn : lim sup

y→x

u(y) − u(x) − hp, y − xi

| y − x | ≤ 0}.

Một cách tương tự, vi phân dưới của hàm u tại điểm x được định nghĩa là:

D−u(x) = {p ∈ Rn : lim inf

(ii) D+u(x) và D−u(x) đều là tập không rỗng nếu và chỉ nếu u khả vi tại x, trongtrường hợp này ta có

D+u(x) = D−u(x) = {Du(x)}

Định nghĩa 1.2.2 Cho u : A → R là một hàm Lipschitz địa phương Mộtvectơ p ∈ Rn được gọi là một građien tới được của u tại x ∈ A nếu có một dãy{xk} ⊂ A\{x} sao cho u khả vi tại xk với mỗi k ∈ N, và

lim

k→∞xk = x, lim

k→∞Du(xk) = p

Tập hợp tất cả các građien tới được của của u tại x được ký hiệu bởi D∗u(x)

Sau đây là một số mệnh đề và định lý liên quan đến hàm nửa lõm cần thiếtcho chương 2 Các chứng minh xem ở tài liệu [2]

Mệnh đề 1.2.1 Cho u : A → R là hàm nửa lõm với môđun ω và cho x ∈ A.Khi đó, một vector p ∈ Rn thuộc D+u(x) nếu và chỉ nếu

u(y) − u(x) − hp, y − xi ≤| y − x | ω(| y − x |)với bất kì y ∈ A mà [y, x] ⊂ A

Mệnh đề 1.2.2 Cho u : A → R là hàm nửa lõm với môđun ω và lấy x ∈ A.Khi đó những tính chất sau đúng

(a) Nếu {xk} là một dãy trong A hội tụ đến x và nếu pk ∈ D+u(xk) hội tụ đếnmột vectơ p ∈ Rn, khi đó p ∈ D+u(x)

(b) D∗u(x) ⊂ ∂D+u(x)

(c) D+u(x) 6= ∅

(d) Nếu D+u(x) là tập đơn tử, khi đó u khả vi tại x

(e) Nếu D+u(y) là tập đơn tử với mỗi y ∈ A, khi đó u ∈ C1(A)

Mệnh đề 1.2.3 Cho u : A → R là hàm nửa lõm và lấy x ∈ A Khi đó

D+u(x) = coD∗u(x)

Hệ quả 1.2.1 Cho A ⊂ Rn là một tập lồi mở và u : A → R vừa nửa lồi vànửa lõm với môđun tuyến tính với hằng số C Khi đó u ∈ C1,1(A) với hằng sốLipschitz của Du bằng C

Bổ đề 1.2.1 Với bất kì u ∈ SC((0, T ) × A), ta có

Y

x

D+u(t, x) = ∇+u(t, x) ∀(t, x) ∈ (0, T ) × A

Định lý 1.2.2 Cho một miền mở Ω ⊂ Rn Cho x0 ∈ Ω là điểm kì dị của hàm

u ∈ SCL(Ω) nghĩa là u không khả vi tại x0 Giả sử rằng

Hơn nữa, x(s) 6= x0 với bất kì s ∈ (0, ρ]

Định nghĩa 1.2.3 Cho một hàm u : A → R được gọi là hàm marginal nếu nó

có thể được viết dưới dạng

u(x) = inf

s∈SF (s, x),với S là một không gian tôpô và hàm F : S × A → R trơn theo biến x

Định lý 1.2.3 Cho A ⊂ Rn là một tập mở và S ⊂ Rm là một tập compact.Cho hàm F = F (s, x) và đạo hàm riêng DxF liên tục trên S × A, ta đặt u(x) =min

s∈S F (s, x) Với x ∈ A, ta đặt

M (x) = {s ∈ S : u(x) = F (s, x)}, Y (x) = {DxF (s, x) : s ∈ M (x)}

∅ nếu Y (x) không đơn tử.

1.3 Nghiệm của phương trình vi phân

Định nghĩa 1.3.1 Cho một tập mở Ω ⊂ R × Rn và một hàm F : Ω → Rn, taxét phương trình vi phân

Định lý 1.3.2 (Bất đẳng thức Gronwall) Cho z : [t0, t1] → R là một hàm liêntục tuyệt đối không âm thỏa

z(t) ≤ keL(t−t0 ), ∀ t ∈ [t0, t1]

Định lý 1.3.3 Cho F : Ω → Rn thỏa điều kiện của Định lý 1.3.1 và giả sử thêm

là toán tử Jacobi Fx đối với biến x tồn tại và liên tục đối với x Cho (t0, x0) ∈ Ω

và đặt ˆx(.) = x(.; t0, x0) Lấy I là một khoảng compact để mà ˆx(t) được xác định.Với ¯v ∈ Rn, gọi v(t) là một nghiệm của bài toán Cauchy tuyến tính

v0(t) = Fx(t, ˆx(t))v(t)với điều kiện đầu v(t0) = ¯v Khi đó, với bất kì t ∈ I, ta có

lim

ε→0

x(t; t0, x0 + ε¯v) − ˆx(t)

= 0giới hạn là đều với t ∈ I, |¯v| ≤ 1

1.3.2 Nghiệm viscosity của phương trình Hamilton-Jacobi

Cho Ω ⊂ Rn là một tập mở và H ∈ C(Ω × R × Rn) Ta xét phương trình phituyến tính cấp 1

H(x, u, Du) = 0, x ∈ Ω ⊂ Rn, (1.2)với u : Ω → R

Định nghĩa 1.3.2 Một hàm u ∈ C(Ω) được gọi là một nghiệm dưới viscositycủa phương trình (1.2) nếu, với bất kì x ∈ Ω, ta có

H(x, u(x), p) ≤ 0, ∀ p ∈ D+u(x) (1.3)

Một cách tương tự, một hàm u ∈ C(Ω) được gọi là một nghiệm trên viscositycủa phương trình (1.2) nếu, với bất kì x ∈ Ω, ta có

H(x, u(x), p) ≥ 0, ∀ p ∈ D−u(x) (1.4)Nếu u thỏa cả hai tính chất trên, nó được gọi là một nghiệm viscosity của phươngtrình (1.2)

Định lý 1.3.4 Cho uk ∈ C(Ω) là nghiệm dưới viscosity (tương ứng là nghiệmtrên viscosity) của

Hk(x, uk, Duk) = 0với Hk ∈ C(Ω × R × Rn) Giả sử rằng uk → u và Hk → H là hội tụ đều trêntừng tập con compact của Ω và Ω × R × Rn tương ứng Khi đó u là một nghiệmdưới viscosity (tương ứng là nghiệm trên viscosity) của

H(x, u, Du) = 0

Định lý 1.3.5 Cho H ∈ C([0, T ] × Rn × Rn) thỏa

|H(t, x, p) − H(t, x, q)| ≤ K(|x| + 1)|p − q|, ∀ t, x, p, qvới K > 0 Giả sử rằng với mọi R > 0, tồn tại mR : [0, ∞) → [0, ∞) liên tục,không giảm, với mR(0) = 0 và sao cho

Chương 2

Những bài toán điều khiển tối ưu

Nội dung của chương được trích dẫn ở tài liệu [3]

2.1 Bài toán Mayer

Ta cần một số giả thiết cho hệ điều khiển, sẽ được dùng cho hầu hết các kếtquả của chương

(H0) Tập điều khiển U là tập compact

(H1) Tồn tại K1 > 0 mà |f (x2, u)−f (x1, u)| ≤ K1|x2−x1| với x1, x2 ∈ Rn, u ∈ U

(H2) fx tồn tại và liên tục, hơn nữa tồn tại K2 > 0 sao cho

kfx(x2, u) − fx(x1, u)k ≤ K2|x2− x1| với mỗi x1, x2 ∈ Rn, u ∈ U

Giả thiết (H1) suy ra f Lipschitz theo biến x nên tồn tại duy nhất nghiệm toàncục cho phương trình trạng thái (2.1) với bất kì t0, x và u Theo (H0), (H1) và

(ii) Cho f thỏa (H1) Khi đó, tồn tại c > 0 sao cho

|y(t; t0, x0, u) − y(t; t0, x1, u)| ≤ c|x0− x1|, ∀ t ∈ [t0, t1] (2.4)với mọi u : [t0, t1] → U và với mọi x0, x1 ∈ Rn

(iii) Nếu f thỏa (H1) và (H2), khi đó hằng số c trong (ii) được chọn sao cho

≤ c|x0− x1|2 (2.5)đúng với mọi u : [t0, t1] → U, x0, x1 ∈ Rn và t ∈ [t0, t1]

Chứng minh Để đơn giản, ta đặt y(.) = y(.; t0, x, u) Theo (2.2), ta có

2 dt

2

Định lý 2.1.9 Cho f thỏa giả thiết (H0), (H1), (H2) và g ∈ SCLloc(Rn) Cho

y : [t, T ] → Rn là một quỹ đạo tối ưu tại điểm (t, x) ∈ [0, T ] × Rn Cho τ ∈ (t, T )thỏa f (y(τ ), U ) là một tập compact và lấy ν ∈ {1, 2, · · · , n} sao cho bất kì nóntrực giao với bao lồi f (y(τ ), U ) đều có số chiều bé hơn hoặc bằng ν Khi đódim(D+V (τ, y(τ ))) ≤ ν

Chứng minh Lấy τ ∈ (t, T ), theo Định lý 2.1.7 ta có p ∈ ∇+V (τ, y(τ )) khi vàchỉ khi (H(y(τ ), p), p) ∈ D+V (τ, y(τ )) Giả sử dim(D+V (τ, y(τ ))) = n Khi đódim(∇+V (τ, y(τ ))) = n Thật vậy, nếu dim(∇+V (τ, y(τ ))) < n Khi đó tồn tại

px ∈ ∇+V (τ, y(τ )) và λ1, λ2với λ1 6= λ2sao cho (λ1, px), (λ1, px) ∈ D+V (τ, y(τ )).Khi đó λ1 = H(y(τ ), px) = λ2 (mâu thuẫn) Ta đặt V = −cof (y(τ ), U ) là mộttập lồi, compact và M = ∇+V (τ, y(τ )) Theo Mệnh đề 1.2.3, ta có D+V (τ, y(τ )) =coD∗V (τ, y(τ )) nên D+V (τ, y(τ )) là một tập lồi Theo Định lý 2.1.8, ta có V ∈SCLloc([0, T ]×Rn) và D+V (τ, y(τ )) = coD∗V (τ, y(τ )) nên ta có ∇+V (τ, y(τ )) =co∇∗V (τ, y(τ )) Do đó M = ∇+V (τ, y(τ )) là một tập lồi Đặt S = f (y(τ ), U ) làmột tập compact , V = −cof (y(τ ), U ) = −coS Khi đó, theo Định lý 1.1.3, ta có

σV(p) = max

x∈S x.(−p), hay H(y(τ ), p) = max

u∈U −pf (y(τ ), u) = max

có điều phải chứng minh

Ví dụ 2.1.1 Ta xét phương trình trạng thái y0 = u với u ∈ U = B1 Khi đóquỹ đạo chấp nhận được của bài toán là

y(s; t, x, u) = (s − t)u + x, ∀ s ∈ [t, T ]

ii) Giả sử rằng g : R → R là hàm chẵn trơn với xg0(x) < 0, ∀ x 6= 0.

Nếu x > 0 thì g0(x) < 0 nên quỹ đạo tối ưu là y(s; t, x, u) = x + (s − t)

Nếu x < 0 thì g0(x) > 0 nên quỹ đạo tối ưu là y(s; t, x, u) = x − (s − t)

Nếu x = 0, do g là hàm chẵn nên g(t − s) = g(s − t), do đó quỹ đạo tối ưu lày(s; t, x, u) = ±(s − t)

iii) Ta xét hàm chi phí cuối g(x) = cos(x) và ta giả sử T > π

Trước hết, ta xét thời gian t ∈ [T − π, T ) Ta có nhiều trường hợp khác nhau.Nếu x = 0, khi đó quỹ đạo chấp nhận được t − s ≤ y(s; t, x, u) ≤ s − t vày(s; t, x, u) ⊂ [−π, π] Do đó y(s) = ±(s − t) là quỹ đạo tối ưu

Nếu 0 < |x| ≤ π + t − T , khi đó quỹ đạo chấp nhận được t − s + x ≤ y(s; t, x, u) ≤s−t+x và y(s; t, x, u) ⊂ [−π, π] Do đó quỹ đạo tối ưu là y(s) = x+sgn(x)(s−t).Nếu π + t − T < |x| ≤ π, khi đó quỹ đạo chấp nhận được chứa trong đoạn có độ

dài lớn hơn 2π Do đó những quỹ đạo chấp nhận được với y(t) = x, y(T ) = ±π

là quỹ đạo tối ưu

Ta xét thời gian t < T −π, khi đó quỹ đạo chấp nhận được chứa trong đoạn có độdài lớn hơn 2π Do đó những quỹ đạo chấp nhận được với y(t) = x, y(T ) = ±π

là quỹ đạo tối ưu

−1 các trường hợp còn lại

Xét trường hợp hệ điều khiển tuyến tính và hàm chi phí cuối là hàm lồi Khi

đó hàm giá V của bài toán (MP) thỏa các tính chất như định lý sau

Định lý 2.1.10 Cho f (x, u) = Ax + Bu với A, B theo thứ tự là ma trận cấp

n × n và n × m Giả sử rằng U ⊂ Rm là lồi, compact và hàm chi phí cuối

g : Rn → R là một hàm lồi Khi đó, hàm giá V của bài toán (MP) thỏa điềusau:

(i) V (t, ) là lồi trên Rn, ∀ t ∈ [0, T ];

(ii) V (t, x) nửa lồi địa phương với môđun tuyến tính trên [0, T ] × Rn

Chứng minh (i) Cho x, h ∈ Rn, t ∈ [0, T ) , đặt u−, u+ : [t, T ] → Rn lần lượt

là điều khiển tối ưu cho những điểm (t, x − h) và (t, x + h) Ta định nghĩa

2[y+(s) + y−(s)], s ∈ [t, T ].

Hơn nữa, do tính tối ưu của u+, u− và tính lồi của hàm g,

2V (t, x) − V (t, x − h) − V (t, x + h) ≤ 2g(¯y(T )) − g(y−(T )) − g(y+(T )) ≤ 0,nên V(t, ) là hàm lồi

(ii) Với bất kì r > 0 cố định, ta có thể tìm R > 0 để mà tất cả các quỹ đạo của

hệ thống bắt đầu từ những điểm trong của Br nằm dọc BR cho tới thời gian T

Ta có f thỏa (H0), (H1), g lồi nên g ∈ LiplocRn, theo Định lý 2.1.5 V liên tụcLipschitz trên [0, T ] × BR, ta kí hiệu KV là hằng số Lipschitz Ta lấy x, h ∈ Rn

và t, τ ≥ 0 để mà x ± h ∈ Br và 0 ≤ t − τ < t + τ ≤ T Đặt u− : [t − τ, T ] → U

là điều khiển tối ưu của (t − τ, x − h) Ta định nghĩa

¯u(s) = u−(2s − t − τ ), s ∈ [t, t + τ ]

Ta đặt

y−(.) = y(.; t − τ, x − h, u−) ¯y(.) = y(.; t, x, ¯u)

Theo Định lý 2.1.4, ta có

V (t − τ, x − h) = V (t + τ, y−(t + τ )), V (t, x) ≤ V (t + τ, ¯y(t + τ )) (2.20)Hơn nữa, ta đặt MR = max{|Ax + Bu| : x ∈ BR, u ∈ U } Ta có

Hệ quả 2.1.1 Cho f (x, u) = Ax + Bu với A, B theo thứ tự là ma trận cấp

n × n và n × m Giả sử rằng U ⊂ Rm là lồi và compact và hàm chi phí cuối

g : Rn → R là một hàm lồi và g ∈ SCLloc(Rn) Khi đó V ∈ Cloc1,1([0, T ] × Rn).Chứng minh Theo Định lý 2.1.10 V (t, x) là nửa lồi địa phương với môđun tuyếntính trên [0, T ] × Rn Ta có f thỏa (H0), (H1), (H2) và g ∈ SCLloc(Rn) nên theoĐịnh lý 2.1.8, V ∈ SCLloc([0, T ] × Rn) mà [0, T ] × Rn là lồi mở, áp dụng Hệ quả1.2.1 ta suy ra V ∈ Cloc1,1([0, T ] × Rn)

2.1.4 Những điều kiện tối ưu.

Một kết quả cơ bản của lý thuyết điều khiển tối ưu là nguyên lý cực đạiPontryagin Đối với bài toán Mayer, nó có thể phát biểu theo cách sau

Định lý 2.1.11 Cho hệ điều khiển (f, U ) thỏa (H0), (H1) và g ∈ C(Rn).Giả sử rằng fx tồn tại và liên tục đối với x Cho (t, x) ∈ [0, T ] × Rn, đặt

u : [t, T ] → U là một điều khiển tối ưu cho bài toán (MP) với điểm đầu (t, x) và

ta đặt y(.) = y(.; t, x, u) là quỹ đạo tối ưu tương ứng Với bất kì q ∈ D+g(y(T )),

kí hiệu p : [t, T ] → Rn là nghiệm của hệ phương trình

Khi đó, hầu khắp s ∈ [t, T ], p(s) thỏa mãn

−f (y(s), u(s)).p(s) ≥ −f (y(s), v).p(s), ∀v ∈ U (2.22)Chú ý 2.1.2 Với fxT ở (2.21) là kí hiệu của ma trận chuyển vị của fx Thật vậyphương trình có thể viết lại theo từng thành phần như sau

f (y(s), u(s)) Theo định nghĩa, ta có

lim

h→0

1h

¯ s+h

Z

¯ s−h

|f (y(s), u(s)) − f (y(¯s), u(¯s))| ds = 0

[f (¯x, v) − f (y(s), u(s))]ds + ◦(ε)

= ε[f (¯x, v) − f (¯x, u(¯s))] + ◦(ε)

Theo Định lý 1.3.3, với s > ¯s, suy ra

yε(s) = y(s) + εω(s) + ◦(ε) (2.24)với ω là nghiệm của bài toán tuyến tính







ω0(s) = fx(y(s), u(s))ω(s), s ≥ ¯sω(¯s) = f (¯x, v) − f (¯x, u(¯s))

(2.25)

Nếu ta lấy q ∈ D+g(y(T )) và p là nghiệm của (2.21) ta được p(s).ω(s) là hằng

số với s ∈ [¯s, T ] Vì y là một quỹ đạo tối ưu nên g(yε(T )) ≥ g(y(T )), với mọi

Kết quả trước được gọi là "nguyên lý maximum" bởi vì bất đẳng thức (2.22)

đã chỉ ra rằng −f (y(s), v).p(s) đạt cực đại với v = u(s) Điều kiện cuối p(T )

ở (2.21) được gọi là điều kiện hoành Bất kì cung p(.) thỏa mãn phương trìnhliên hợp (2.21) với điều kiện hoành và bất đẳng thức (2.22) được gọi là cungđối ngẫu liên kết với cặp tối ưu (u, y) xác định duy nhất như là nghiệm củay(s), p(s), phương trình (2.1) và (2.21) trở thành hệ cấp một của cặp (y, p).Định lý 2.1.12 Cho f, U, g như ở Định lý 2.1.11, giả sử (u, y) là một cặp tối

ưu cho điểm (t, x) ∈ [0, T ] × Rn và giả sử p : [t, T ] → Rn là một cung đối ngẫuliên kết với (u, y) Khi đó







ω0(s) = fx(y(s), u(s))ω(s), s ≥ tω(t) = h

(2.26)

Theo Định nghĩa của V ta có g(yε(T )) ≥ V (t, x+εh) với mọi ε > 0 Như ở chứngminh của nguyên lý maximum, ta có g(yε(T )) − g(y(T )) ≥ εp(s).ω(s) + ◦(ε) vớip(s).ω(s) là hằng số và s ∈ [t, T ] Hơn nữa, ta có

V (t, x + εh) − V (t, x) ≤ g(yε(T )) − g(y(T ))

= εp(t).ω(t) + ◦(ε) = p(t).εh + ◦(ε),với số dư ◦(ε) không phụ thuộc vào h Vì h là vectơ đơn vị tùy ý, suy rap(t) ∈ ∇+V (t, x)

Kết quả trên có thể được hiểu như là một tính chất bất biến của vi phân trêncủa V đối với phương trình liên hợp Vi phân dưới cũng thỏa mãn tính chấttương tự với hướng thời gian ngược lại, như kết quả tiếp theo chỉ ra

Định lý 2.1.13 Cho f, U, g như ở Định lý 2.1.11, giả sử (u, y) là một cặp tối

ưu cho điểm (t0, x0) ∈ [0, T ] × Rn và lấy p : [t0, T ] → Rn là một nghiệm bất kìcủa phương trình liên hợp

Mặt khác, do f thỏa (H0), (H1), g ∈ C(Rn) nên g ∈ Liploc(Rn), nên theo Định

lý 2.1.5 V liên tục Lipschitz,

V (t, yε(t)) = V (t, y(t) + εω(t)) + ◦(ε) = V (t, y(t) + εh) + ◦(ε),

do đó

V (t, y(t) + εh) − V (t, y(t) ≥ εp(t).ω(t) + ◦(ε)

Vì h tùy ý nên p(t) ∈ ∇−V (t, y(t)

Hệ quả 2.1.2 Giả sử tính chất (H0), (H1), (H2) thỏa mãn và g ∈ SCLloc(Rn).Giả sử (u, y) là một cặp tối ưu của điểm (t0, x0) và p là cung đối ngẫu liên kếtvới (u, y) Nếu V khả vi tại (t0, x0) khi đó nó khả vi tại (t, y(t)), ∀ t ∈ [t0, T ] và

DV (t, y(t)) = (H(p(t)), p(t)), t ∈ [t0, T ] (2.27)Chứng minh Theo Định lý 2.1.12, p(t0) ∈ ∇+V (t0, y(t0)) V khả vi tại (t0, x0)nên ∇+V (t0, y(t0)) = ∇−V (t0, y(t0)) = {p(t0)} Ta có p(t0) ∈ ∇−V (t0, y(t0)) nêntheo Định lý 2.1.13 suy ra p(t) ∈ ∇−V (t, y(t)), ∀ t ∈ [t, T ] Mặt khác từ Định lý2.1.8 suy ra V nửa lõm Ta có V (t, ) nửa lõm và p(t) ∈ ∇−V (t, y(t)) nên V (t, )khả vi tại x và ∇V (t, y(t)) = p(t) Khi đó theo Bổ đề 1.2.1 suy ra D+V (t, y(t)) làmột đoạn thẳng với các điểm mút là (λ1, p(t)), (λ2, p(t)) với λ1 ≤ λ2 Theo Mệnh

đề 1.2.3, ta có D+V (t, y(t)) = coD∗V (t, y(t)) nên (λi, p(t)) ∈ D∗V (t, y(t)), i =

1, 2 Theo Định lý 2.1.6 V (t, x) là nghiệm viscosity của bài toán (2.13) Do đócác phần tử của D∗V thỏa phương trình (2.13) nên λ1 = λ2 = H(p(t)) Suy ra

D+V (t, y(t)) là đơn tử Do đó V khả vi tại (t, y(t)) và DV (t, y(t)) = (λ1, p(t)) =(H(p(t)), p(t))

Ta giả sử rằng

(H3) Hàm Hamilton H ∈ Cloc1,1(Rn× Rn\{0})

Định lý 2.1.14 Nếu (H3) đúng, khi đó ta có với bất kì (x, p) mà p 6= 0,

Hx(x, p) = −fxT(x, u∗(x, p))p, Hp(x, p) = −f (x, u∗(x, p)), (2.28)

Định nghĩa 2.1.2 Một điều khiển u : [t, T ] → U mà infimum (MP) đạtđược u gọi điều khiển tối ưu cho tốn (MP) với điểm đầu(t, x) Khi nghiệm y(.)... thiệu toán Mayer.

Một toán điều khiển tối ưu bao gồm việc chọn chiến lược điều khiển utrong phương trình trạng thái (2.1) nhằm cực tiểu hóa hàm mục tiêu cho.Bây giờ, ta giới thiệu toán. .. 2

Những toán điều khiển tối ưu< /h2>

Nội dung chương trích dẫn tài liệu [3]

2.1 Bài toán Mayer

Ta cần số giả thiết cho hệ điều khiển, dùng cho hầu hết