Luận văn thạc sĩ toán học tính Taut yếu và siêu nồi của miền Hartogs Banach

Lý do chọn đề tài Lý thuyết các không gian phức hyperbolic được Kobayashi xây dựng lần đầu tiên vào những năm 70 của thế kỷ 20, là một trong những hướng nghiên cứu quan trọng của giải tí

NGUYỄN NGỌC THÀNH

TÍNH TAUT YẾU VÀ SIÊU LỒI CỦA

MIỀN HARTOGS BANACH

LUẬN VẰN THẠC SĨ TOÁN HỌC • • •

HÀ NỘI, 2015

NGUYỄN NGỌC THÀNH

TÍNH TAUT YẾU VÀ SIÊU LỒI CỦA

MIỀN HARTOGS BANACH

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS LÊ TÀI THU

HÀ NỘI, 2015

Em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn TS.Lê Tài Thu Thầy đã giao đề tài và tận tình hướng dẫn em trong quá trình hoàn thành luận văn này.

Nhân dịp này em xin gửi lời cám ơn của mình tời toàn bộ các thầy

cô giáo trong Khoa Toán và Phòng Sau Đại học đã giảng dạy và giúp đỡ chúng em trong suốt quá trình học tập tại đây đồng thời, tôi xin cảm

ơn các bạn trong lớp cao học K17 Toán Giải Tích đợt 2 đã nhiệt tình giúp đỡ tôi trong quá trình học tập tại lớp

Hà Nội, tháng 8 năm 2015

T ác g iả

N g u y ễ n N g ọ c T h à n h

Tôi xin cam đoan Luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn trực tiếp của TS Lê Tài Thu.

Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 8, năm 2015

T ác g iả

N g u y ễ n N g ọ c T h à n h

Lời cám ơn

Lời cam đoan

Mục lục

C h ư ơ n g 1

Giả khoảng cách kobayashi

Không gian hyperbolic

Không gian hyperbolic đầy

1.1.4. Không gian Taut

Biểu diễn tích phân của giả khoảng cách Kobayashi trên đa tạp

Biểu diễn tích phân của giả khoảng cách Kobayashi trên không gian phức

1 2 2

Hàm điều hòa dưới và đa điều hòa dưới

Hàm điều hòa dưới

Hàm đa điều hòa dưới

Biểu diễn tích phân của giả khoảng cách Kobayashi

iiiiii3777 9 9 9

10

10

12 12 12

131414 1515

K Ế T L U Ậ N

T ài liệu th a m k h ảo

4243

M ở đ ầu

1 Lý do chọn đề tài

Lý thuyết các không gian phức hyperbolic được Kobayashi xây dựng lần đầu tiên vào những năm 70 của thế kỷ 20, là một trong những hướng nghiên cứu quan trọng của giải tích phức Trong những năm gần đây,

lý thuyết này đã thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học trên thế giới Một số kết quả sâu sắc và đẹp đẽ của lý thuyết này đã được chứng minh bởi Kobayashi, Kwack, Noguchi, Zaidenberg, Demailly, Những công trình nghiên cứu đó đã thúc đẩy hướng nghiên cứu này phát triển mạnh mẽ và đã hình thành nên một chuyên ngành mới của giải tích toán học, đó là giải tích phức hyperbolic Trong những năm gần đây, lý thuyết này đã tìm thấy những mối liên hệ bất ngờ và sâu sắc với những lĩnh vực khác của toán học, đặc biệt là bài toán thác triển ánh xạ chỉnh hình trong giải tích phức và bài toán về tính hữu hạn của tập tấ t cả các ánh xạ phân hình giữa hai lớp nào đó các không gian phức Theo quan điểm của A Weil, s Lang và p Vojta, bài toán sau cùng này có liên quan m ật thiết với hình học đại số và hình học số học Có thể nói giải tích phức hyperbolic đang là một lĩnh vực nghiên cứu nằm ở chỗ giao nhau của nhiều bộ môn lớn của toán học: Hình học vi phân phức, Giải

Với những lý do trên, chúng tôi đã lựa chọn đề tài nghiên cứu về tính chất hình học của miền Hartogs trong không gian giải tích Banach Trong đó, chúng tôi tập trung nghiên cứu về tính ta u t và tính siêu lồi Với tên đề tài là: “Tính ta u t yếu và siêu lồi của miền Hartogs Banach”.

2 M ục đích ngh iên cứu

Hệ thống lại một số kết quả đã biết về tính ta u t và tính siêu lồi của miền Hartogs trong không gian phức sau đó mở rộng một số kết quả sang không gian giải tích Banach

3 N h iệm vụ n gh iên cứu

Nghiên cứu các dấu hiệu nhận biết tính hyperbolic, hyperbolic đầy của không gian phức

Nghiên cứu tính ta u t và tính siêu lồi của miền Hartogs trong không gian phức

Nghiên cứu tính ta u t yếu và tính siêu lồi của miền Hartogs trong không gian gian Banach

4 Đ ối tư ợng và phạm vi n gh iên cứu

Đối tượng nghiên cứu là tính ta u t và tính siêu lồi của miền Hartogs trong không gian phức

Tính ta u t yếu và tính siêu lồi của miền Hartogs trong không gian Banach

Phạm vi nghiên cứu là miền Hartogs trong không gian phức và miền Hartogs trong không gian Banach

5 P h ư ơn g pháp n gh iên cứu

Sử dụng kiến thức và phương pháp nghiên cứu của giải tích

Thu thập, tổng hợp các bài báo, công trình nghiên cứu trong và ngoài nước

6 D ự kiến kết quả ngh iên cứu

Hệ thống lại một số kết quả đã biết về tính ta u t và tính siêu lồi của miền Hartogs trong không gian phức

K iến th ứ c ch u ẩn bị

1.1 K h ôn g gian h yp erb olic, h yp erb olic đầy và ta u t

Trong chương này chúng tôi giới thiệu một số định nghĩa, khái niệm

và các kết quả đã biết Cụ thể, chúng tôi tìm hiểu về những vấn đề sau:

• Không gian hyperbolic, hyperbolic đầy và tau t

• Biểu diễn tích phân của giả khoảng cách Kobayashi

• Hàm điều hòa dưới và đa điều hòa dưới

Trên D ta xét metric Bergman - Poincaré P d cho bởi

ii) Giả sử X là không gian phức, p và q là hai điểm tùy ý của X Xét

dãy điểm pữ — P , P I , ,pk — q của X, dãy điểm a i,a 2, €: D và dãy

ánh xạ chỉnh hình / i , /2, fk € Hol ( D , x ) sao cho:

Ta gọi tập hợp {p0,pi, ,Pk, Oi, o2, ak, /1, /2, /fc} là một dây chuyền chỉnh hình nối p và q trong X

Với mỗi dây chuyền chỉnh hình như trên, ta lập tổng ^2 P d {0, ữj) Đặt

p và q có thể có

Dễ thấy hàm dx '■ X X X —> M là một giả khoảng cách và gọi là giả

khoảng cách Kobayashi trên không gian phức X

iii) Giả khoảng cách Kobayashi có các tính chất sau:

+ ) dx là hàm liên tục và xác định tô pô của X

+ ) N ế u / : X —» y i à ánh xạ chỉnh hình giữa hai không gian phức thì f giảm khoảng cách, nghĩa là:

1.1.2 K h ô n g g ia n h y p e rb o lic

Các định nghĩa sau (xem Kobayashi [12] )

Đ ịn h n g h ĩa 1.1 Không gian phức X được gọi hyperbolic nếu giả khoảng

cách Kabayashi dx là khoảng cách trên X, tức là:

dx {p, q) = 0 ^ p = q, Vp, q <E X

B arth [2] đã chứng minh, nếu dimX < oo và dx là khoảng cách trên

X thì dx xác định tô pô của X.

Như vậy không gian phức (hữu hạn chiều) X là hyperbolic khi và chỉ

khi giả khoảng cách Kobayashi dx là khoảng cách trên X.

1.1.3 K h ô n g g ia n h y p e rb o lic đ ầy

Đ ịn h n g h ĩa 1.2 Không gian hyperbolic X được gọi hyperbolic đầy nếu

mọi dãy Cauchy đối với dx đều hội tụ trong X.

Kobayashi [12] đã chứng minh rằng, nếu X là không gian phức hữu hạn chiều thì X là hyperbolic đầy khi và chỉ khi mọi tập con đóng bị chặn trong X đều là compact

1.1.4 K h ô n g g ia n T a u t

Giả sử X, Y là các không gian phức Trên Hol(X, Y) ta trang bị tô

pô compact mở Các định nghĩa sau (xem Wu[18] và Kiernan [9])

Đ ịn h n g h ĩa 1.3

i) Dãy c Hol (X , Y ) được gọi là phân kỳ compact nếu với mỗi tập con compact K của X, mỗi tập con compact L của Y, tồn tại jo € N sao cho f j (K ) n L = 0 , với mọi j > j ữ.

ii) Họ Hol(X, Y) được gọi là họ chuẩn tắc nếu mỗi dãy { /i} ^ ! chứa một dãy con hoặc hội tụ đều trên mỗi tập con compact hoặc phân kỳ compact.

Đ ịn h n g h ĩa 1.4 Không gian phức X được gọi là ta u t nếu họ Hol(M,X) là chuẩn tắc với mỗi không gian phức M

Kaup [8] đã chứng minh rằng không gian phức X là ta u t nếu và chỉ

nếu họ Hol (Dn, x ) là chuẩn tắc với mọi n > 1.

Sau đó Barth [1] đã chứng minh khẳng định mạnh hơn là không gian phức X là ta u t khi và chỉ khi họ Hol(D, X) là chuẩn tắc

Kiernan [9] đã chứng tỏ rằng không gian phức X là ta u t thì X là hyperbolic và nếu X là hyperbolic đầy thì X là taut Các khẳng định ngược lại đều không đúng

Ta có thể dễ dàng chỉ ra một miền bị chặn trong c n mà không là miền tau t Đồng thời Rosay [4] đã xây dựng một miền trong c 3 là ta u t

mà không là hyperbolic đầy

1.2 B iểu diễn tích phân của giả khoảng cách K obayashi

1.2.1 B iểu d iễ n tíc h p h â n c ủ a g iả k h o ả n g cách K o b a y a sh i t r ê n

đ a tạ p

Royden [14] đã xây dựng trên mỗi đa tạp phức X giả mêtric vi phân

Royden - Kobayashi Fx trên không gian tiếp xúc TX như sau:

Fx {x,v) = inf { ị , 3 f e Hol(Dr, M ) s a o c h o f ( 0) = x , f ' ( e o) = v}

Royden đã đưa ra công thức biểu diễn giả khoảng cách Kobayashi trên đa tạp

trong đó ílp q là tập hợp tấ t cả các đường cong liên tục từng khúc nối p với q, tham số hóa bởi t € [0, 1].

Ngoài ra, Royden đã chứng minh rằng:

i) Fx là hàm nửa liên tục trên trên TM.

ii) X là hyperbolic khi và chỉ‘ khi với mỗi p ẽ X , tồn tại lân cận mở

u của p trong X và hằng số c > 0 sao cho Fx (X, V) > C.H (X, V) với mọi

Mở rộng kết quả của Royden sang không gian phức ta có:

Đ ịn h n g h ĩa 1.5 Giả sử X là không gian phức, TX là không gian tiếp xúc Zariski của X, e0 = Q - \ z =0 £ T 0 D r sao cho I f ' (u) = V. Nón Royden -

Kobayashi Fx được xác định:

ConX : = {t> G T X ; 3<p £ Hoỉ (Dr, X ) ,3 u G TữDr sao cho V — If1 (u )}

Giả metric vi phân Royden - Kobayashi Fx là hàm trên TX được xác

định như sau:

Đ ịn h lý 1.1 Không gian phức X là hyperbolic khi và chỉ khi với mỗi

p e X , tồn tại lân cận mở u của p trong X và hằng số c > 0 sao cho

Fx (x , v ) > C.H (x , v ) với mọi V € TxX và với mọi X G u , trong đó H

là metric Finsler trên TX.

1.2.2 B iểu d iễ n tíc h p h â n c ủ a g iả k h o ả n g cách K o b a y a sh i t r ê n

k h ô n g g ia n p h ứ c

Venturini [16] cũng đã đưa ra một công thức biểu diễn giả khoảng cách Kobayashi trên không gian phức

Giả sử X là không gian phức, X e X và £ G Jk{X)x giả metric

Venturini được định nghĩa như sau:

1.3 H àm điều hòa dưới và đa điều hòa dưới

1.3.1 H à m đ iề u h ò a dư ới

Đ ịn h n g h ĩa 1.6 Giả sử íỉ là một tập con mở trong IRn

Hàm u : ri —»■ [—oo,+oo) , u Ỷ ~ ° ° trên mọi thành phần liên thông

của íỉ được gọi là điều hòa dưới trong íỉ nếu u thỏa mãn hai điều kiện sau:

(i) u là nửa liên tục trên trên tức là tập ị z G Q : u (z) < s} là mở

với mỗi số thực s

(ii) Với mỗi tập con mở compact tương đối G của íỉ, với mỗi hàm

h : G —»• M điều hòa trong G và liên tục trên G sao cho u < h trên dG

thì u < h trong G.

1.3.2 H à m đ a đ iề u h ò a dưới

Đ ịn h n g h ĩa 1.7 Giả sử Q là một tập con mở trong c n.

Hàm ip : íỉ —> [—00, +oo) được gọi là đa điều hòa dưới trong íỉ nếu (f

thỏa mãn hai điều kiện sau:

(i) <p là nửa liên tục trên trên íỉ và ip Ỷ ~ 00 trên mọi thành phần

liên thông của ri

(ii) Với mỗi điểm z ữ € và mỗi đường thẳng phức l (£) = z ữ + w.^

đi qua z° (ở đó w € Cn,£ G c , hạn chế ip lên đường thẳng này, tức là hàm <p ° l (£) hoặc là điều hòa dưới hoặc = — oo trên mọi thành phần liên thông của tập mở {£ £ c : ỉ (£) G ri}.

Ta có tiêu chuẩn đa điều hòa dưới sau:

Hàm : s~2 —>> [—00, +oo) nửa liên tục trên trên miền Q c c n là đa

điều hòa dưới trên khi và chỉ khi: Với mọi 2° G và mỗi w € Cn, tồn tại r 0 = r 0 (z ° , w ) sao cho

2 tĩ (p{zữ) < Y~ f ụ>{z° + wreu)dt với mọi r < r0.

0

Hàm đa điều hòa dưới tp thuộc lớp c 2 (ri), là miền trong Cn cần và

đủ là tại mỗi điểm z £ đối với w G Cn tùy ý ta có bất đẳng thức sau:

Đ ịn h n g h ĩa 1.8 Giả sử X là không gian phức Một hàm đa điều hòa

dưới trên X là hàm ip : X —> [—00, +00) thỏa mãn: Với mỗi z ẽ X tồn tại lân cận u của z và một ánh xạ song chỉnh hình h : и —>• V, với V là

một không gian con phức đóng của một miền G nào đó trong Cn, và tồn

tại một hàm đa điều hòa dưới íp : G —>• [—00, +00) sao cho ip\ự — ĩpoh.

Để ý rằng định nghĩa trên không phụ thuộc vào việc chọn bản đồ địa phương

J E Fornaess và R Narasimhan [5] đã chứng minh rằng: Hàm nửa

liên tục trên Ц) : X —> [—00, +00) là đa điều hòa dưới khi và chỉ khi Ц) о /

là điều hòa dưới hoặc = — 00 với mọi ánh xạ chỉnh hình / : D —»■ X

trong đó D là đĩa đơn vị mở trong c

Ký hiệu PSH(X) là tập tấ t cả các hàm đa điều hòa dưới trên không gian phức X

Đ ịn h n g h ĩa 1.9 Giả sử X là không gian phức Hàm ip : X —> M gọi là vét cạn đa điều hòa dưới nếu <p~l ([— 00, c]) là compact với mọi

E n V С {z e V : <p (z) = - 00} {E п V = {z G V : (fi (z) = - 00})

Đ ịn h n g h ĩa 1.11 Giả sử Ц) là hàm nửa liên tục trên trên không gian

phức X Miền (X ) được xác định bởi:

n v ( X ) = {{z, Л) G X X С : |A| < e"^W} с X X с

được gọi là miền Hartogs

T ín h ta u t y ếu và siêu lồi củ a m iền

H a r to g s B a n a ch

Việc nghiên cứu các tính chất hình học của miền Hartogs trong không gian phức hữu hạn chiều dưới góc độ của giải tích phức hyperbolic đã đạt được nhiều kết quả Tuy nhiên việc khảo sát một cách hệ thống các tính chất hình học của miền Hartogs trong không gian giải tích Banach

vô hạn chiều còn ít được quan tâm Ta có thể thấy ngay rằng sẽ xuất hiện những khó khăn lớn về m ặt kỹ thuật khi chuyển từ việc nghiên cứu miền Hartogs hữu hạn chiều lên vô hạn chiều Chẳng hạn đối với miền Hartogs trong không gian giải tích Banach ta không có được tính compact địa phương cũng như không xây dựng được khái niệm ta u t theo kiểu Wu cho lớp miền này

Mục đích đầu tiên của chương này là mở rộng các kết quả của Sibony sang trường hợp không gian và nghiên cứu tính ta u t và tính siêu lồi của miền Hartogs trong không gian phức

Mục đích thứ hai là nghiên cứu tính hyperbolic, hyperbolic đầy, ta u t

yếu và tính siêu lồi của miền Hartogs trong không gian giải tích Banach.Trước hết, chúng tôi nhắc lại một số tiêu chuẩn để nhận biết tính hyperbolic, hyperbolic đầy và tính ta u t trong không gian phức.

2.1 T iêu chuẩn h yp erb olic, h yp erb olic đầy và Taut

tro n g không gian phức

Trong phần này, chúng tôi giới thiệu một số tiêu chuẩn để nhận biết tính hyperbolic, hyperbolic đầy và ta u t trong không gian phức

Kobayashi [12] đã đưa ra một số tiêu chuẩn nhận biết tính hyperbolic

và hyperbolic đầy:

Đ ịn h lý 2.1 Giả sử X là không gian phức con của không gian phức Y.

(1) Nếu Y là hyperbolic thì X cũng là hyperbolic;

(2) Nếu Y là hyperbolic đầy và X là đóng thì X là hyperbolic đầy

Đ ịn h lý 2.2 Giả X, Y là các không gian phức và f : X Y là ánh xạ chỉnh hình Giả sử Y ’ là không gian con của Y và X ' = / -1 (Ì'') Nếu

X và Y ’ là hyperbolic đầy thì X ’ cũng là hyperbolic đầy.

Đ ịn h lý 2.3 Giả sử X là không gian phức Nếu tồn tại họ các điểm

pa € X và các số dương ôa sao cho, với mỗi a, ỏa - lăn cận:

u a = { q e X : d x (Va, q) < ổa }

là hyperbolic và {Ua} là phủ mở của X thì X là hyperbolic.

Đặc biệt, nếu mỗi p E X , tồn tại số dương ố sao cho ố - lân cận

u (p,ô) = {q e X : dx (p , q) < ổ}

là hyperbolic thì X là hyperbolic.

Đ ịn h lý 2.4 Giả sử X là không gian phức Nếu tồn tại số dương ỏ

sao cho với mỗi p € X , ỏ - lân cận u(p, ô) là hyperbolic đầy thì X là hyperbolic đầy.

Đ ịn h lý 2.5 Giả sử X là không gian phức và 7Ĩ : X —»■ X là ánh xạ phủ

(1) Nếu p,q € X và p,q G X với Iĩ(p) = p và Iĩ(q) = q

dx{p ,q ) = inf d± {p,q)

q

ở đó infimun được lấy với mọi q G X sao cho 7ĩ(q) = q.

(2) X là hyperbolic (hyperbolic đầy) nếu và chỉ nếu X là hyperbolic (hyperbolic đầy);

(3) Nếu X ỉà hyperbolic thì 7Ĩ : ( X , d ỵ ) —> ( X , d x ) là đẳng cự địa phương và dỵ = 7 r * dỵ ■

Đ ịn h lý 2.6 Giả sử 7T : X —>• Y là ánh xạ chỉnh hình giữa các không

gian phức Với mỗi y g Y và ỗ > 0, tập u(y; ỗ) = u € Y : dy (y , u ) < ỏ Nếu với mỗi y e Y tồn tại số ỏ > 0 sao cho 7T_1 (u (y,ỗ)) ỉà hyperbolic thì X là hyperbolic.

Eastwood [3] đã chứng minh được định lý sau:

Đ ịn h lý 2.7 Giả sứ lĩ : X —> Y là ánh xạ chỉnh hình giữa các không

gian phức Nếu Y là hyperbolic (hyperbolic đầy) và Y có phủ mở {Ui} sao cho với mỗi 7T_1 (Ui) là hyperbolic (hyperbolic đầy) thì X là hyperbolic (hyperbolic đầy).

Đ ịn h lý 2.8 Giả sử X là không gian hyperbolic đầy và f là hàm chỉnh

hình bị chặn ở trên X Thế thì không gian con mở

ở trong Y sao cho Vp n X là hyperbolic đầy.

ii) A được gọi là Cartier divisor ở trong không gian phức Y nếu với

mỗi điểm X G A có lân cận V ở trong Y sao cho A n V được xác định

bởi f = 0, ở đó f là hàm chỉnh hình ở trên V

Đ ịn h lý 2.9 Giả sử Y là không gian phức và Ả là Cartier divisor của

Y Thế thì

(1) Y - Ả là hyperbolic đầy địa phương ở trong Y;

(2) Nếu Y là hyperbolic (hyperbolic đầy) thì Y - Ả là hyperbolic (hy­ perbolic đầy).

Wu [19] đưa ra định nghĩa:

Đ ịn h n g h ĩa 2.2

i) Không gian phức X với hàm khoảng cách ố xác định tô pô của X

được gọi là ổ - tight nếu Hol(D, X) là đồng liên tục với ỏ.

ii) Không gian phức X được gọi là tight nếu nó là ỏ - tight với một ố.

C h ú ý 2.1 Nếu X là hyperbolic thì nó là dx - tight.

Kiernan [9] đã chứng minh được:

Đ ịn h lý 2.10 Không gian phức X là hyperbolic nếu và chỉ nếu nó là

tight.

U rata [17] sử dụng bổ đề Brody để chứng minh được định lý sau:

Đ ịn h lý 2.11 Giả sử X là không gian phức với hàm độ dài E và G =

Aut(X, E) ỉà nhóm tự đẳng cấu chỉnh hình Giả sử X / G là compact Khi

đó X là hyperbolic đầy nếu nó không chứa đường thẳng phức h : c — > X .

Đ ịn h n g h ĩa 2.3 Không gian phân thớ (X, 7T,M) gồm các không gian

phức X, M và toàn ánh chỉnh hình 7T : X —> M

Ký hiệu:Xr = 7T_1 (r) , X u = 7T_1 {U) với r € M, u c l

Đ ịn h lý 2.12 Giả sử (X, 7Ĩ , R ) là không gian phẫn thớ với thớ hyperbolic

compact Nếu R là hyperbolic (hyperbolic đầy) và mỗi thành phần liên thông của X r là hyperbolic (hyperbolic đầy) thì X là hyperbolic (hyperbolic đầy).

Do Due Thai and Nguyen Le Huong [15] đã đưa ra tiêu chuẩn sau để nhận biết tính taut

Đ ịn h lý 2.13 Giả sử 7Ĩ : X —¥ Y là ánh xạ chình hình riêng giữa các

không gian phức sao cho với mỗi y e Y tồn tại một lân cận Uy sao cho

7T_1 (Uy) là taut Khi đó nếu Y là taut thì X cúng là taut.

H ệ q u ả 2.1 Giả sử ĨT : X —)■ Y là ánh xạ chỉnh hình hữu hạn riêng

giữa các không gian phức Nếu Y là taut thì X củng là taut.

Zaidenberg [20] đã tổng quát hóa định lý Eastwood [3] như sau: