Tóm tắt luận văn Thạc sĩ Toán học: Nhị thức Newton và một số ứng dụng

Luận văn trình phương pháp xây dựng chứng minh công thức theo trình tự lịch sử, thì mục đích chính của luận văn là việc mở rộng, chứng minh sự đúng đắn của công thức nhị thức Newton với số mũ bất kỳ thông qua khai triển về chuỗi, sự hội tụ của chuỗi lũy thừa.

NGUYỄN ĐÌNH ĐỘ - C00806

NHỊ THỨC NEWTON

VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

CHUYÊN NGÀNH: Phương pháp toán sơ cấp

MÃ SỐ: 8 46 01 13NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS NGUYỄN CÔNG SỨ

Hà Nội - Năm 2018

PHẦN MỞ ĐẦU

Nhị thức Newton đã được đưa vào giảng dạy trong chươngtrình phổ thông trung học từ rất lâu Tuy nhiên do hạn chế vềthời lượng, khối lượng và cả nội dung kiến thức, nên nhị thứcNewton với học sinh phổ thông lâu nay đơn giản chỉ là cách xâydựng công thức tổng quát từ các trường hợp cụ thể và rèn luyện

kỹ năng sử dụng các công thức đó trong việc giải các bài toán cóliên quan Trong khi thực tế thì công thức nhị thức Newton làđóng góp đáng kể của nhiều nhà toán học trước đó Và sau cùng

là Newton vào kho tàng toán học của nhân loại cả về phươngdiện lý thuyết lẫn thực tế tính toán, cả trong lĩnh vực toán học

sơ cấp lẫn toán cao cấp

Cũng đã có một vài luận văn thạc sĩ đề cập đến lĩnh vực này,nhưng chỉ dừng lại ở các phương pháp xây dựng công thức nhịthức với số mũ nguyên và vận dụng nó vào việc giải bài toán sơcấp trong chương trình trung học phổ thông

Luận văn này ngoài việc trình bày phương pháp xây dựngchứng minh công thức theo trình tự lịch sử, thì mục đích chínhcủa luận văn là việc mở rộng, chứng minh sự đúng đắn của côngthức nhị thức Newton với số mũ bất kỳ thông qua khai triển vềchuỗi, sự hội tụ của chuỗi lũy thừa Ngoài việc mở rộng công thứcnhị thức Newton, tác giả cũng đề cập đến ý nghĩa toán học tolớn của công thức trong lĩnh vực tính toán các giá trị của hàm

số siêu việt,hàm số lượng giác (sin x, cos x)

Các vấn đề trên được trình bày đầy đủ và hệ thống trongChương 1 và Chương 2 của luận văn từ trang 05 đến trang 49.Chương 3 của luận văn dành riêng để giới thiệu ứng dụng khaitriển công thức nhị thức Newton trong việc giải một số bài toán

sơ cấp nâng cao có liên quan đến việc tính tổng các biểu thức tổhợp, đến việc xét tính chia hết, việc tìm số dư trong phép chiacác số lớn Những bài toán này cũng thường gặp trong các lĩnhvực khác của khoa học toán ứng dụng Đặc biệt là các mã đại số

và mật mã trong lý thuyết mã

Chương 1

KHÁI NIỆM CƠ BẢN

1.1 VÀI NÉT LỊCH SỬ VỀ XÂY DỰNG CÔNG THỨCNHỊ THỨC NEWTON

1.1.1 Vài nét lịch sử

Cần phải nói rằng trước Newton rất lâu rất nhiều các nhàtoán học đã quan tâm đến việc nâng một nhị thức lên lũy thừa.Vào 1303 trong bài viết của nhà toán học Trung Quốc (Chu Sinh)người ta đã gặp bảng sau:

Cứ theo các số trên thì ta thấy đó là bảng các hệ số của khaitriển nhị thức cấp từ 0 đến 8, mặc dù nhà toán học này khôngnói gì cho hệ số tiếp theo, nhưng theo cùng cách lập bảng củaông thì dễ dàng lập được hàng tiếp theo Tính quy luật ở đây là:Tổng hai số cách nhau trong cùng một hàng bằng số đứng giữachúng ở hàng dưới

Đặc biệt trong công trình cuối cùng về tam giác số học và các

tính chất của nó được công bố năm 1665 của Pascal (sau khi tác

giả đã chết) mang tên “Luận văn về tam giác số học” được coi là

công trình biết đến rộng rãi nhất trong các nhà toán học làm cho

tam giác số học mang tên là tam giác Pascal Về phương diện

lịch sử thì tên gọi đó không đúng bởi lẽ như trình bày trên thì

tam giác số học được xét đến bởi các nhà toán học Ấn Độ, Trung

Quốc, Ả Rập trước Pascal rất lâu

1.1.2 Xây dựng công thức khai triển nhị thức Newton

với số mũ dương

Giả sử rằng cần nhân m lần các nhị thức (1 + x), hay nói cách

khác đó là nâng (1+x) lên lũy thừa cấp m Lặp lại cách làm như

Đa thức phải của (1.2) được gọi là công thức khai triển nhị thức

Newton Còn các hệ số của đa thức này gọi là hệ số nhị thức

1.2 KIỂM TRA CÔNG THỨC KHAI TRIỂN NHỊTHỨC NEWTON VỚI SỐ MŨ BẤT KỲ

1.2.1 Kiểm tra công thức khai triển nhị thức Newton

với số mũ nguyên âm

Để kiểm tra công thức (1.2) với số mũ nguyên âm, ta bắt đầu

từ trường hợp m = −1 Nếu công thức (1.2) đúng với m = −1thì ta có:

(1 + x)−1= 1

1 + x = 1 − x + x2− x3+ x4− x5+ x6 (1.3)Như vậy có thể nói rằng phương trình (1.3) đúng đắn với cácgiá trị của x mà |x| < 1 Sự đúng đắn này được hiểu là khi lấytổng đại số ở vế phải của (1.3) đến một vị trí nào đó của chuỗi

1 − x + x2− x3+ x4− x5+ · · · thì dù kết quả nhận được khôngbằng (1 + x)−1= 1

1 + x nhưng sự khác nhau sẽ nhỏ tùy ý nếu sốphần tử được chọn đủ lớn Ngoài ra x càng gần với 1 về giá trịtuyệt đối thì chuỗi lớn (1.3) nhận được kết quả gần đúng tốt.1.2.2 Kiểm tra công thức khai triển nhị thức Newton

với số mũ không nguyên

1

2 12 − 1
12 − 2
1.2.3 · x3+ · · ·Tiếp tục như vậy ta được

phải đúng với mọi x mà chỉ đúng với các giá trị x thỏa mãn

|x| < 1 (nó đúng với cả x = ±1) Với |x| > 1 công thức (1.4)không còn đúng

1.3 CHỨNG MINH CÔNG THỨC KHAI TRIỂN NHỊTHỨC NEWTON

Công thức nhị thức Newton:

(1 + x)m = 1+m

1x+

m(m − 1)1.2 ·x2+m(m − 1) (m − 2)

1.2.3 ·x3+· · ·

(1.5)1.3.1 Chứng minh công thức khai triển nhị thức New-

ton với số mũ nguyên

Đầu tiên sử dụng tiêu chuẩn Dalembert để chứng minh rằngchuỗi bên phải của (1.5) hội tụ thậm chí hội tụ tuyệt đối với điềukiện |x| < 1 đến hàm F(x) Còn nếu |x| > 1 thì chuỗi phân kỳ.Sau đó chỉ ra rằng F (x) = (1 + x)m và như vậy công thức nhịthức đúng

1.3.2 Chứng minh công thức khai triển nhị thức

New-ton với số mũ không nguyên

Như vậy chúng ta đi đến cùng việc chứng minh khẳng địnhcủa Newton tức là đã chứng minh được rằng

(1 + x)m = 1+m

1x+

m(m − 1)1.2 ·x2+m(m − 1) (m − 2)

1.2.3 ·x3+· · ·đúng với m bất kỳ và với |x| < 1

Chương 2

MỘT VÀI ỨNG DỤNG QUAN TRỌNG CỦA CÔNG THỨC KHAI TRIỂN NHỊ THỨC NEWTON

2.1 ỨNG DỤNG CỦA NHỊ THỨC NEWTON TRONGKHAI TRIỂN THÀNH CHUỖI CỦA MỘT VÀIHÀM ĐẶC BIỆT

2.1.1 Khai triển thành chuỗi của một vài hàm vô tỷ

1 + x = (1 + x)

−1 = 1 − x + x2− x3+ x4 .1

sin 2x = 2 sin x · cos x

cos 2x = cos2x− sin2x

sin 3x = 3cos2x· sin x − sin3x

cos 3x = cos3x− 3 cos x · sin2x

sin 4x = 4cos3x· sin x − 4 cos x · sin3x

cos 4x = cos4x− 6cos2x· sin2x+ sin4x

sin 5x = 5cos4x· sin x − 10cos2x· sin3x+ sin5x

cos 5x = cos5x− 10cos3x· sin2x+ 5 cos x · sin4x

Từ đó ta đưa ra quy luật bằng cách viết các kết quả trên theo sơ

đồ trong bảng sau

Từ bảng trên ta thấy các hệ số tương ứng với các hệ số trongkhai triển nhị thức Newton nếu không quan tâm đến dấu và đitheo chiều mũi tên





sin 4xcos 4x hệ số 1 4 6 4 1







sin 5xcos 5x hệ số 1 5 10 10 5 1Như vậy biểu thức sin mx và cos mx là hai nửa của cùng mộtcông thức trong khai triển nhị thức Newton

Từ các thực nghiệm trên ta có thể đi đến kết luận sau: Nếukhai triển biểu thức (sin x + cos x)m dưới dạng công thức nhịthức thì các phần tử ở vị trí lẻ ghép dấu theo quy luật đan dấu(+, −, +, − ) cho ta công thức của cos mx (hàm chẵn) và các

vị trí chẵn cùng với việc ghép dấu như trên cho ta công thức khaitriển sin mx (hàm lẻ)

2.1.3 Khai triển thành chuỗi và tính giá trị hàm logarit

Từ logarit với cơ số tự nhiên ta có thể dễ dàng viết nó dướidạng chuỗi và từ đó có thể tính logarit với cơ số bất kỳ Ta xuấtphát từ logarit với cơ số b =1 + 1

n

n

(n là số tự nhiên đủ lớn).Đặt

logbN = y ⇒ by = N ⇒



1 + 1n

ny

= N (2.1)

Ta sẽ cố gắng từ phương trình (2.1) để tìm y hay tìm logarit cơ

số b của N

Đầu tiên lấy căn bậc n cả 2 vế của (2.1) và sau đó khai triển

1 +y

n ≈ N1n ⇒ y ≈ n ·Nn1 − 1.Như vậy để tính được y lại cần phải lấy căn bậc n của số N (hay

định này cần có chứng minh chặt chẽ vì đó là chuỗi vô hạn, tức

là chứa vô hạn phần tử) Như vậy chúng ta nhận được biểu thứcgần đúng

log(1+ 1

n)n(1 + x) = logbN = ythì

A xác định trong dãy phép thử Bernoulli là phân phối nhị thứctức là

Trong thực tế thống kê nhiều khi cần xác định một giá trị k0

nào đó sao cho P (k0) đạt giá trị lớn nhất Số k0 được gọi là sốlần xuất hiện có khả năng nhất trong dãy n phép thử độc lập, vínhư số câu trả lời đúng trong một đề thi trắc nghiệm gồm n câuhỏi của một thí sinh trả lời hú họa (phương pháp Random) .Tức là nếu một đề thi trắc nghiệm 50 câu, mỗi câu 4 phương

án học sinh trả lời ngẫu nhiên thì khả năng đúng hy vọng vẫn cóthể là 12 câu với số điểm vào khoảng từ 2 đến 2,5 (?)

Thành thử với đề thi trắc nghiệm kiểu này thì dưới 2,5 điểmmới được coi là điểm liệt (?)

c Kỳ vọng hay số lần trung bình xảy ra biến cố A trong dãy

và kiểm định giả thuyết trong thống kê ứng dụng

d Phương sai hay độ sai lệch khỏi giá trị trung bình phân phốinhị thức

Đã biết trong lý thuyết xác suất phương sai của đại lượngngẫu nhiên X được tính theo biểu thức

V (X) = E (X − E(X))2 với E(X) là kỳ vọng

Trường hợp X có phân phối nhị thức thì

Ví dụ 3.1 (ĐH khối A 2003) Tìm hệ số của số hạng chứa x8

trong khai triển nhị thức Newton của 1

3.1.2 Tìm số hạng trung gian trong khai triển một nhị

3.1.3 Tìm số hạng của nhị thức với số mũ không nguyên

theo điều kiện cho trước

Ví dụ 3.3 (ĐH Khối D 2004) Tìm số hạng không chứa x trongkhai triển

(x + 1)2007 = C20070 x2007+ C20071 x2006+ + C20072007

Bây giờ nếu đạo lấy đạo hàm thì chỉ được 2007C0

2007x2006 trongkhi đó đề đến 2008 do đó ta phải nhân thêm với x vào đẳng thứctrên rồi mới dùng đạo hàm

x(x + 1)2007 = C20070 x2008+ C20071 x2007+ + C20072007x

⇔ (x + 1)2006(2008x + 1) = 2008C20070 x2007+ 2007C20071 x2006+

+ C20072007.Thay x = 1 vào ta tìm được tổng là 2009 · 22006 

Ví dụ 3.5 (CĐ Giao thông III 2003)

3.2.2 Tính tổng liên quan đến số phức

Ví dụ 3.6 Tính tổng

A= C20090 − C20092 + C20094 − C20096 + + C20092004− C20092006+ C20092008

B = −C20091 + C20093 − C20095 + C20097 − − C20092005+ C20092007− C20092009.Lời giải Xét khai triển

(1+x)2009 = C20090 +xC20091 +x2C20092 + .+x2008C20092008+x2009C20092009.Cho x = −i ta có

(1 − i)2009

= C20090 + iC12009+ i2C20092 + + i2008C20092008+ i2009C20092009

= C20090 − C20092 + C20094 − C20096 + + C20092004− C20092006+ C20092008
+ −C20091 + C20093 − C20095 + C20097 − − C20092004+ C20092007− C20092009

i.Mặt khác

2 − i

√22

B = −C20091 + C20093 − C20095 + C20097 − − C20092005+ C20092007− C20092009

= −21004

3.3 CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC TỔ HỢP

Ví dụ 3.7 (ĐH Hàng Hải-2000) Chứng minh rằng

C2n0 + 32C2n2 + 34C2n4 + + 32nC2n2n= 22n−1 22n+ 1
.Lời giải

(1 + x)2n = C2n0 + C2n1 x+ C2n2 x2+ + C2n2n−1x2n−1+ C2n2nx2n

(3.1)(1 − x)2n = C2n0 − C2n1 x+ C2n2 x2+ − C2n2n−1x2n−1+ C2n2nx2n

(3.2)Lấy (3.1)+ (3.2) ta được

(1 + x)2n+ (1 − x)2n= 2C2n0 + C2n2 x2+ + C2n2nx2nChọn x = 3 suy ra

⇔ 2

2n 22n+ 1

0 2n+ C2n2 32+ + C2n2n32n

⇔ 22n−1(22n+ 1) = C2n0 + C2n2 32+ + C2n2n32n

⇒ đpcm



(x + 1)n= Cn0+ Cn1x+ + Cn

nxn.Với x = 1 thì

Cn1+ 2Cn2+ + nCnnxn−1= n (1 + x)n−1

Nếu x = 1

⇒ Cn1+ 2Cn2+ + nCnn= n · 2n−1

⇒ 1n Cn1+ 2Cn2+ + nCnn
= 2n−1

Vậy chứng minh với n > 2, n ∈ N thì 2n−1 < n! Thật vậy

Ví dụ 3.10 Chứng minh rằng p là số nguyên tố và p 6 2 thì

2p−1− 1
pLời giải Vì p 6 2 nên

p = 1 + 1 = 2)

= p + p(p − 1)

p(p − 1) (p − 2)3! + + p

= p



2 +p− 12! +

Kết luận

Luận văn với đề tài “Nhị thức Newton và một số ứng dụng”

đã giải quyết các vấn đề sau:

1 Xây dựng và chứng minh công thức khai triển nhị thứcNewton với số mũ bất kỳ

2 Ứng dụng nhị thức Newton khai triển chuỗi sin x, cos x,chuỗi logarit, và ứng dụng trong lý thuyết xác suất

3 Giới thiệu ứng dụng khai triển công thức nhị thức Newtontrong việc giải một số bài toán sơ cấp nâng cao có liên quanđến việc tính tổng các biểu thức tổ hợp, xét tính chia hết,tìm số dư trong phép chia các số lớn

Tài liệu tham khảo

[8] T Koshy (2009), Catalan Numbers with Applications, OxfordUniversity Press

[9] L Lovász, J Pelikán and K Vesztergombi (2003), DisreteMethematics: Elementary and Beyond, Springer

[10] R Merris (2003), Combinatorics, Second Edition, John &Sons, Inc., Publication