TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC: CÁC ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP HAI CHO NHỮNG BÀI TOÁN VỚI RÀNG BUỘC BẤT ĐẲNG THỨC

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠMTRẦN ĐỨC THỊNH CÁC ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP HAI CHO NHỮNG BÀI TOÁN VỚI RÀNG BUỘC BẤT ĐẲNG THỨC TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HUẾ,

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

TRẦN ĐỨC THỊNH

CÁC ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP HAI CHO NHỮNG BÀI TOÁN VỚI RÀNG BUỘC BẤT ĐẲNG THỨC

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HUẾ, 2014

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐẠO TÀO ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

TRẦN ĐỨC THỊNH

CÁC ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP HAI CHO NHỮNG BÀI TOÁN VỚI RÀNG BUỘC BẤT ĐẲNG THỨC

Chuyên ngành: Giải Tích

Mã số: 60 46 01 02

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa họcPGS-TS PHAN NHẬT TĨNH

HUẾ 2014

LỜI NÓI ĐẦU

Tối ưu hóa là một ngành toán học ứng dụng đã và đang đượcnhiều người quan tâm, nghiên cứu, tìm hiểu và ứng dụng vào thựctiễn Bài toán tối ưu là kết quả của việc mô hình hóa những vấn

đề nảy sinh từ thực tế, chúng có thể được diễn đạt dưới dạng toánhọc là tìm biến số thỏa mãn những điều kiện nhất định đồng thờilàm cho một hàm số cho trước đạt giá trị cực tiểu (hay cực đại).Năm 1965, A Ya Dubovitskii và A A Mylyutin đã đưa ra lýthuyết các điều kiện tối ưu dưới ngôn ngữ giải tích hàm và cho taphương pháp giải tích hàm hiệu quả để nghiên cứu các bài toán tối

ưu và điều khiển Công trình nổi tiếng của Dubovitskii- Mylyutinđánh dấu một bước phát triển quan trọng của lý thuyết tối ưuhóa Do nhu cầu của kinh tế và kĩ thuật, lý thuyết tối ưu hóa pháttriển ngày càng mạnh mẽ và thu được nhiều kết quả quan trọng.Người ta thường quan tâm nghiên cứu các điều kiện tối ưucấp 1, cấp 2, và cấp cao hơn Nếu các điều kiện cần cấp 1 đượcdùng cho việc tìm ra tập tất cả các điểm dừng thì các điều kiệncần cấp 2 lại rất hiệu quả trong việc loại bỏ các điểm dừng khôngtối ưu Chúng giúp ta xác định được điểm đã cho là một cực tiểu(hay là một cực đại) Cuối cùng nhờ vào điều kiện đủ ta tìm đượcnghiệm của bài toán tối ưu Do đó điều kiện tối ưu cấp 2 tỏ ra rấthữu ích trong việc tìm nghiệm của bài toán tối ưu Sau các điềukiện tối ưu cấp 2 kiểu Fritz John và Kuhn-Tucker thì lý thuyếtcác điều kiện tối ưu cấp 2 được mở rộng ra rất nhiều hướng khácnhau đặc biệt là các bài toán với ràng buộc bất đẳng thức và ràngbuộc tập hợp

Với mong muốn được tìm hiểu, nghiên cứu thêm về các điềukiện tối ưu và được sự gợi ý, hướng dẫn của PGS.TS Phan NhậtTĩnh, tôi chọn đề tài: Các điều kiện tối ưu cấp 2 cho những bàitoán với ràng buộc bất đẳng thức làm đề tài nghiên cứu cho luậnvăn

Về mặt cấu trúc, luận văn được chia làm 3 chương:

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị.

Chương 2: Điều kiện tối ưu cấp 2 cho bài toán với ràng buộc bấtđẳng thức trong trường hợp khả vi liên tục

Chương 3: Điều kiện tối ưu cấp 2 cho bài toán với ràng buộc bấtđẳng thức trong trường hợp Lipschitz địa phương

Tuy đã có nhiều cố gắng nhưng do thời gian và khả năng cóhạn nên các vấn đề trong khóa luận vẫn chưa được trình bày sâusắc và không thể tránh khỏi có những sai sót trong cách trình bày.Mong được sự góp ý xây dựng của thầy cô và các bạn Em xinchân thành cảm ơn!

Chương 1.

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ.

1.1 Bài toán tối ưu và các khái niệm cực tiểu

Xét bài toán tối ưu với ràng buộc bất đẳng thức, đẳng thức vàràng buộc tập sau

R, i = 1, 2, , m và hj: X → R, j = 1, 2, , q gọi là hàm ràngbuộc Tập chấp nhận được là

C =x ∈ X

fi(x) ≤ 0, i = 1, 2, , m; hj(x) = 0, j = 1, 2, , q Với mỗi x ∈ C, tập chỉ số tích cực I(x), tập chỉ số không tích cực

J (x) được định nghĩa tương ứng như sau

I(x) =i ∈ {1, 2, , m}

fi(x) = 0

J (x) =i ∈ {1, 2, , m}

fi(x) < 0 Trong trường hợp bài toán (P) không có ràng buộc đẳng thức ta

kí hiệu bài toán là (P )

Định nghĩa 1.1 Xét bài toán (P) và x ∈ C là điểm chấp nhậnđược Ta có các khái niệm sau

a) Điểm chấp nhận được x được gọi là cực tiểu địa phương củabài toán (P) nến tồn tại lân cận U của x sao cho f0(x) ≥

f0(x), ∀x ∈ C ∩ U

b) Điểm chấp nhận được x được gọi là cực tiểu địa phươngchặt của bài toán (P) nến tồn tại lân cận U của x sao cho

tồn tại số thực dương A = A(d, z) và ε = ε(d, z) sao cho

f0(x + td + 0.5t2z) ≥ f0(x) + Aktd + 0.5t2zk2, ∀t ∈ [0, ε)trong đó x + td + 0.5t2z là một điểm chấp nhận được

1.2 Hàm thực khả vi và định lý giá trị trung bình

Định nghĩa 1.2 ([7] Tr 200) Cho X ⊂ Rnlà tập mở và f là mộthàm nhận giá trị thực xác định trên X (tức là f : X → R, sau này

để đơn giản ta nói f là hàm thực xác định trên X) Hàm f đượcgọi là khả vi tại x ∈ X nếu với mọi x ∈ Rn sao cho x + x ∈ X tacó

f (x + x) = f (x) + ht(x), xi + α(x, x) kxk

trong đó t(x) là một véctơ n chiều, và α là một hàm thực của xsao cho lim

f (y) − f (x) = h∇f (x + t(y − x)) , y − xi

1.3 Gradient suy rộng trong không gian Banach

Cho X là tập mở trong không gian Banach E và f : X → R Kíhiệu E∗ là không gian tôpô đối ngẫu của E, h·, ·i là tích vô hướnggiữa E∗ và E Ta có các khái niệm và tính chất sau

Định nghĩa 1.3 Hàm f : X → R được gọi là Lipschitz địaphương tại x ∈ X nếu tồn tại lân cận U của x và hằng số L > 0sao cho

|f (x1) − f (x2)| ≤ Lkx1− x2k, ∀x1, x2∈ U (1.1)Nếu bất đẳng thức (1.1) đúng với mọi phần tử của tập V ⊂ X và

L độc lập với biến x thì ta nói f Lipschitz trên V

Định nghĩa 1.4 [3] Giả sử f : X → R là hàm Lipschitz địaphương tại x ∈ X với hằng số K (lúc đó để đơn giản ta sẽ nói fLipschitz gần x với hằng số K) Với mỗi v ∈ X, ta gọi đạo hàmtheo hướng suy rộng của f tại x theo hướng v, kí hiệu f0(x, v),được định nghĩa như sau

Định nghĩa 1.5 [3] Dưới vi phân Clarke (hay Gradient suy rộngClarke), của f tại x, kí hiệu ∂Cf (x), là một tập con của X∗ xácđịnh bởi

∂Cf (x) =ξ ∈ X∗

f0(x, v) ≥ hξ, vi, ∀v ∈ X

1.4 Jacobi suy rộng trên Rn

Định nghĩa 1.6 ([10] Tr 15) Cho f : Rn → Rn là hàm véctơLipschitz địa phương tại x Jacobi suy rộng Clarke của hàm véctơ

f tại x, kí hiệu ∂f (x) được định nghĩa như sau

∂f (x) = conlim

i→∞∇f (xi) |xi∈ Ω, xi → xo,trong đó Ω là tập các điểm mà tại đó f khả vi

Định nghĩa 1.7 ([6] Definition 2.1) Cho f : Rn→ R khả vi saocho ∇f Lipschitz địa phương trên Rnvà x ∈ Rn Ma trận Hessiansuy rộng của f tại x, kí hiệu là ∂2f (x) được định nghĩa như sau

∂2f (x) = co

nlim ∇2f (xi) xi∈ Ω, xi → xo,trong đó Ω là tập các điểm mà tại đó f khả vi 2 lần Nói cáchkhác nó là Jacobi suy rộng Clarke của ∇f tại x

1.5 Đạo hàm theo hướng

Với R là tập các số thực, ta kí hiệu R = R ∪ {+∞} ∪ {−∞}.Bên cạnh các phép toán thông thường ta thừa nhận 0.(±∞) =(±∞).0 = 0

Định nghĩa 1.8 [10] Cho X ⊂ Rn và f : X → R Đạo hàmtheo hướng (Dini) trên và dưới của hàm f tại x ∈ X theo hướng

u ∈ Rn, kí hiệu f+0 (x, d) và f−0 (x, d), là phần tử thuộc R, đượcđịnh nghĩa như sau

f+0 (x, u) = lim sup

t→0 +

f (x + tu) − f (x)

thì f được gọi là khả vi Gâteaux tại x ∈ X Ta thường kí hiệu

∇Gf (x)u bằng h∇Gf (x), ui

Định nghĩa 1.10 [4] Giả sử hàm f : X → R với X là tập mởtrong Rnkhả vi tại điểm x ∈ X Đạo hàm cấp 2 theo hướng (Dini)của f tại x ∈ X theo hướng u ∈ Rn, kí hiệu f00(x, u), là phần tửthuộc R được định nghĩa như sau

Hàm f được gọi là khả vi cấp 2 theo hướng (Dini) trên X nếu

f00(x, u) tồn tại với mọi x ∈ X và bất kì hướng u ∈ Rn

Định nghĩa 1.11 ([12] Definition 4) Cho X là một tập mở trongkhông gian Banach E Giả sử f : X → R là hàm Lipschitz địaphương Đạo hàm cấp 2 theo hướng Hadamard dưới của f tại xtheo hướng d ∈ E, kí hiệu fH00−(x, d), là phần tử thuộc R đượcđịnh nghĩa như sau

Định nghĩa 1.12 [12] Cho X là một tập mở trong không gianBanach E Giả sử f : X → R là hàm Lipschitz địa phương Đạohàm cấp 2 theo hướng Hadamard của f tại x theo hướng d ∈ E,

kí hiệu fH00(x, d), là phần tử thuộc R được định nghĩa như sau



=⇒ f (y) ≥ f (x)hoặc

∀y ∈ X

f (y) < f (x)



=⇒ h∇f (x), y − xi < 0Hàm f được gọi là giả lồi trên X nếu f giả lồi tại mọi x ∈ X.Định nghĩa 1.15 [4] Xét hàm f : X → R với X là tập mở trong

Rn, khả vi tại x ∈ X và khả vi cấp 2 theo hướng tại x ∈ X theo

mọi hướng y − x sao cho y ∈ X, f (y) < f (x), h∇f (x), y − xi = 0.

Ta gọi f là giả lồi cấp 2 (gọi tắt 2-giả lồi) tại x ∈ X nếu với mọi

y ∈ X ta có:

f (y) < f (x) =⇒ h∇f (x), y − xi ≤ 0

f (y) < f (x), h∇f (x), y − xi = 0 =⇒ f00(x, y − x) < 0.Giả sử f khả vi trên X và khả vi cấp 2 theo hướng tại mọi

x ∈ X theo mọi hướng y − x sao cho y ∈ X, f (y) < f (x),h∇f (x), y − xi = 0 Ta gọi f là 2-giả lồi trên X nếu nó 2-giả lồitại mọi x ∈ X Từ định nghĩa này ta có mọi hàm giả lồi khả viđều là 2-giả lồi Điều ngược lại không đúng (Ví dụ ??)

Định nghĩa 1.16 [4] Cho X ⊂ Rn là tập mở, hàm f : X → Rkhả vi tại x ∈ X và khả vi cấp 2 theo hướng tại x ∈ X theo mọihướng y − x sao cho y ∈ X, f (y) < f (x), h∇f (x), y − xi = 0 Tagọi f là 2-giả lồi chặt tại x ∈ X nếu với mọi y ∈ X, y 6= x, ta có

f (y) ≤ f (x) =⇒ h∇f (x), y − xi ≤ 0

f (y) ≤ f (x), h∇f (x), y − xi = 0 =⇒ f00(x, y − x) < 0.Mỗi hàm 2-giả lồi chặt là 2- giả lồi

Định nghĩa 1.17 ([12] Definition 7) Cho X là tập mở và f : X →

R Lipschitz địa phương tại x ∈ X Hàm f được gọi là giả lồi cấp

2 (gọi tắt là 2-giả lồi) tại x ∈ X nếu với mọi y ∈ X ta có

f (y) < f (x) =⇒ f0(x, y − x) ≤ 0,

f (y) < f (x), f0(x, y − x) = 0 =⇒ fH00−(x, y − x) < 0.Hàm f được gọi là giả lồi cấp 2 trên X nếu f giả lồi cấp 2 tại mọi

x ∈ X

1.7 Một số khái niệm và tính chất cơ bản khác

Định nghĩa 1.18 [12] Xét X là tập mở Ta nói một hàm f : X →

R là chính quy tại x ∈ X nếu f Lipschitz gần x, tồn tại đạo hàm

f0(x, d) theo mọi hướng d ∈ X và

f0(x, d) = f0(x, d), ∀d ∈ X

Chương 2.

ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP HAI CHO BÀI TOÁN VỚI RÀNG BUỘC BẤT ĐẲNG THỨC

∃{dk} → d, ∃{tk} → 0+: x + tkdk∈ S, ∀k oĐịnh nghĩa 2.3 [9] Cho hàm thực f : Rn → R khả vi liên tục,

và ánh xạ đạo hàm ∇f : Rn→ Rn là hàm véc tơ liên tục Ta nóirằng một tập con đóng và bị chặn ∂2f (x) ⊂ M (Rn, Rn) là mộtgiả Hessian của f tại x ∈ Rn nếu nó là một giả Jacobi của ∇f tại

x Khi đó ta nói rằng hàm f có giả Hesian ∂∗2f (x) tại x

Định lý 2.5 (Điều kiện cần cơ bản cấp 2, [4] Theorem 5) Cho

X ⊂ Rn là tập mở, fi(i = 0, 1, , m) là các hàm thực xác địnhtrên X Giả sử x là một cực tiểu địa phương của bài toán (P );hàm fi(i ∈ J (x)) liên tục tại x; hàm fi(i ∈ {0} ∪ I(x)) là khả

vi liên tục; và hàm fi(i ∈ I0(x, d)) khả vi cấp 2 theo hướng tại

x theo mọi hướng tới hạn d ∈ Rn Khi đó với mọi hướng tới hạn

d ∈ Rn không tồn tại z ∈ Rn thỏa mãn hệ bất phương trình sau

h∇fi(x), zi + fi00(x, d) < 0, i ∈ I0(x, d) (2.12)Định lý 2.6 (Điều kiện cần đối ngẫu cấp 2, [4]) Cho X là tập

mở trong không gian Rn, fi(i = 0, 1, , m) là các hàm thực xácđịnh trên X Giả sử x là một cực tiểu địa phương của bài toán(P ); hàm fi(i ∈ J (x)) liên tục tại x; hàm fi(i ∈ {0} ∪ I(x)) làkhả vi liên tục; và hàm fi(i ∈ I0(x, d)) khả vi cấp 2 theo hướng tại

x theo mọi hướng tới hạn d ∈ Rn Khi đó với mỗi hướng tới hạn

d tồn tại những nhân tử Lagrange không âm λ0, λ1 , λm, khôngđồng thời bằng 0 sao cho

Ta thấy rằng các nhân tử Lagrange trong điều kiện cần cấp 2phụ thuộc vào hướng Trong các ví dụ sau ta so sánh Định lý 2.6với Định lý 2.7 (Định lý 3.1 của Jeyakumar, Wang [9]) mà trong

đó các hàm là khả vi liên tục và các nhân tử Lagrange không phụthuộc vào hướng

Xét bài toán với ràng buộc bất đẳng thức, ràng buộc đẳng thức

C =x ∈ X

fi(x) ≤ 0, i = 1, , m; hj(x) = 0, j = 1, , q Định nghĩa 2.4 Cho x là một điểm chấp nhận được Ta nói rằnga) Điều kiện chính quy độc lập tuyến tính cấp 1 (LICQ) thỏamãn tại x (kí hiệu LICQ(x)) nếu các Gradient sau là độc lậptuyến tính {∇fi(x), i ∈ I(x), ∇hj(x), j = 1, 2, , q} b) Điều kiện chính quy Mangasarian-Fromovitz cấp 1 (MFCQ)thỏa mãn tại x (kí hiệu MFCQ(x)) nếu các Gradient {∇hj(x),

j = 1, 2, , q} độc lập tuyến tính và tồn tại d ∈ Rnsao choh∇fi(x), di < 0, i ∈ I(x) và h∇hj(x), di = 0, j = 1, 2, , q

Nếu x là một cực tiểu địa phương của bài toán (P) thì tồn tạivéctơ

Nó được gọi là điều kiện cần Fritz-John [7]

Ta giả sử rằng có thêm MFCQ(x) hoặc LICQ(x) khi đó ta có

λ0 > 0, điều kiện thêm vào để λ0 > 0 ta gọi chung là điều kiệnchính quy cấp 1, gọi tắt là (H1) Khi đó điều kiện (FJ) trở thành:Tồn tại một véctơ λ∗1, , λ∗m, µ∗1, , µ∗q
∈ Rm+q không đồngthời bằng 0 sao cho

Nó được gọi là điều kiện tối ưu Kuhn-Tucker [7]

Từ đây về sau ta giả sử (H1) luôn thỏa mãn, do đó luôn tồntại ít nhất một nhân tử Lagrange (λ, µ) Với mỗi nhân tử Lagrange

+ và µ ∈ Rq thìL(., λ, µ) có giả Hessian ∂∗2L(x, λ, µ) tại x Nếu điều kiện chínhquy cấp 1 thỏa mãn tại x thì tồn tại λ∗i ≥ 0, λ∗

Cho X là tập lồi mở khác rỗng trên Rn, ta kí hiệu C1,1(X)

là lớp các hàm thực f khả vi trên X và ∇f Lipschitz địa phươngtrên X (tức là, thoả mãn tính chất Lipschitz trong lân cận củamỗi một điểm x ∈ X) Do ∇f khả vi trên X nên đạo hàm suyrộng Clarke (hay ma trận Jacobi suy rộng) xác định trên X.Định lý 2.8 ([6] Theorem 3.2) Cho C(λ) được định nghĩa nhưcông thức (2.17) và T C(λ), x
là nón tiếp xúc với C(λ) tại x Giả

sử rằng bài toán (P) với giả thiết các hàm thuộc lớp C1,1 đạt cựctiểu địa phương tại x Nếu điều kiện chính quy cấp 1 thỏa tại xthì với mỗi nhân tử (λ, µ) ∈ Rm+× Rq và mỗi d ∈ T C(λ), x
, tồntại một ma trận M ∈ ∂2

xxL(x, λ µ) sao cho hM d, di ≥ 0 Trong đó

∂2

xxL(x, λ, µ) là ma trận Hesian suy rộng của L(., λ, µ) tại x.Chú ý 2.1 ([6] Remark 3.3) Nếu điều kiện (H1) không được thỏamãn thì tồn tại λ0, λ1, , λm, µ1, µ2, , µq không đồng thời bằng

0 thỏa mãn điều kiện Fritz-John và nếu hàm Lgrange được xác địnhbởi L(x, λ0, λ, µ) = λ0f (x) +

ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP HAI CHO BÀI TOÁN VỚI RÀNG BUỘC BẤT ĐẲNG THỨC

fi(x) ≤ 0, i = 1, 2, , m Định nghĩa 2.1 Xét toán (P ) với fi, i = 0, 1, , m, cáchàm...

Xét tốn với ràng buộc bất đẳng thức, ràng buộc đẳng thức

C =x ∈ X

fi(x) ≤ 0, i = 1, , m; hj(x) = 0, j = 1, , q Định nghĩa 2.4 Cho x điểm chấp... có ràng buộc đẳng thức ta

kí hiệu toán (P )

Định nghĩa 1.1 Xét toán (P) x ∈ C điểm chấp nhậnđược Ta có khái niệm sau

a) Điểm chấp nhận x gọi cực tiểu địa phương củabài toán