LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC: Một số tính chất của phũ phẳng (bao gồm full file latex)

MỤC LỤC Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i Lời c£m ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 B£ng k‰ hi»u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Mở đƒu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Chương 1. Mºt sŁ ki‚n thøc cơ b£n v• môđun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1. Mºt sŁ kh¡i ni»m cơ b£n v• môđun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2. Hàm tß Hom và Hàm tß Tenxơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3. Môđun nºi x⁄, môđun x⁄ £nh và môđun phflng . . . . . . . . . 13 1.4. Môđun Ext . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.5. Vành Coherent. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.6. Giới h⁄n thu“n Giới h⁄n nghịch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.7. Sơ đồ pushout, pullback . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Chương 2. Phı cıa môđun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.1. Kh¡i ni»m phı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.2. Mºt sŁ t‰nh ch§t cıa phı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Chương 3. Mºt sŁ t‰nh ch§t cıa phı phflng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.1. Định nghĩa và v‰ dụ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.2. T‰nh ch§t cıa phı phflng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.3. C¡c định lý quan trọng cıa phı phflng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 K‚t lu“n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 Tài li»u tham kh£o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC HUẾTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

HUẾ, 2015

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các số liệu và kếtquả nghiên cứu ghi trong luận văn là trung thực, được các đồng tác giả cho phép sửdụng và chưa từng được công bố trong bất kỳ một công trình nào khác

Họ tên tác giảPhan Thọ

Tôi cũng xin cảm ơn sự quan tâm, giúp đỡ, động viên của quý thầy cô giáo vàbạn bè trong suốt thời gian tôi làm khóa luận.

Huế, Ngày 21 tháng 7 năm 2015Học viên thực hiện

Phan Thọ

MỤC LỤC

Lời cam đoan i

Lời cảm ơn ii

Mục lục 1

Bảng kí hiệu 2

Mở đầu 3

Chương 1 Một số kiến thức cơ bản về môđun 6

1.1 Một số khái niệm cơ bản về môđun 6

1.2 Hàm tử Hom và Hàm tử Tenxơ 11

1.3 Môđun nội xạ, môđun xạ ảnh và môđun phẳng 13

1.4 Môđun Ext 18

1.5 Vành Coherent 25

1.6 Giới hạn thuận - Giới hạn nghịch 26

1.7 Sơ đồ pushout, pullback 27

Chương 2 Phủ của môđun 32

2.1 Khái niệm phủ 32

2.2 Một số tính chất của phủ 34

Chương 3 Một số tính chất của phủ phẳng 47

3.1 Định nghĩa và ví dụ 47

3.2 Tính chất của phủ phẳng 48

3.3 Các định lý quan trọng của phủ phẳng 55

Kết luận 61

Tài liệu tham khảo 62

N ≤ M N là môđun con của M

N < M N là môđun con thực sự của M

N ≤e M N là môđun con cốt yếu (lớn) của M

N ≤⊕ M N là hạng tử trực tiếp của M

N  M N là môđun con đối cốt yếu (bé) của M

N ≤max N là môđun cực đại của M

M(I) Tổng trực tiếp của |I| các bản sao của môđun M

MI Tích trực tiếp của |I| các bản sao của môđun M

M∗ HomR(MR, R)

MỞ ĐẦU

Lý thuyết vành và môđun là một bộ phận của lý thuyết đại số kết hợp, đã và đangđược phát triển mạnh mẽ, với sự quan tâm của nhiều nhà toán học Một trong cáchướng nghiên cứu của lý thuyết này là việc nghiên cứu “phủ phẳng” của môđun.Trước hết, chúng tôi xin đề cập đến môđun nội xạ Khái niệm môđun nội xạ đượcBear giới thiệu vào năm 1940 Tiêu chuẩn Baer về môđun nội xạ phát biểu rằng: “MộtR-môđun E là nội xạ khi và chỉ khi với mọi iđêan I của vành R, và với mọi đồng cấuR-môđun β : I −→ E thì tồn tại đồng cấu R-môđun α : R −→ E sao cho: αi = β ,với i là đồng cấu bao hàm.”

Từ khái niệm nội xạ ban đầu, nhiều khái niệm và kết quả mới đã được hình thành

và nghiên cứu Chẳng hạn, Eckmann và Schopf đã chứng minh được sự tồn tại củacác bao nội xạ của môđun trên bất kỳ vành kết hợp R và Matlis nghiên cứu định lýcấu trúc của môđun nội xạ trên vành Noetherian Các khái niệm môđun nội xạ vàbao nội xạ đóng một vai trò quan trọng trong lý thuyết vành và môđun, và đã cómột tác động rất lớn về đại số đồng điều và đại số giao hoán

Tiếp theo, khái niệm của một môđun phẳng được giới thiệu bởi J.P.Serre trongbài báo [10] nổi tiếng của ông năm 1956 Trong đó, môđun phẳng định nghĩa nhưsau: một R-môđun phải B được gọi là môđun phẳng nếu hàm tử B ⊗R− là hàm tửkhớp Tức là với mọi dãy khớp ngắn các R-môđun trái:

0 //M f //N g //P //0thì dãy cảm sinh tương ứng từ hàm tử B ⊗R−

0 //B ⊗RM 1⊗ R f //B ⊗RN 1⊗ R g //B ⊗RP //0

là dãy khớp

Tại thời điểm đó, khái niệm phủ xạ ảnh đối ngẫu với bao nội xạ bắt đầu đượcnghiên cứu Trong đó, bao nội xạ của R-môđun M kí hiệu là E(M ) được định nghĩa làmôđun nội xạ E bé nhất chứa M , một số sách còn định nghĩa: đơn cấu α : M −→ Eđược gọi là bao nội xạ của môđun M nếu E là môđun nội xạ và α là đơn cấu cốt yếu(tức là Imα≤eE) Còn phủ xạ ảnh của môđun M kí hiệu là P (M ) được định nghĩa

là : môđun xạ ảnh P và toàn cấu β : P −→ M gọi là phủ xạ ảnh của môđun M nếu

P là môđun xạ ảnh và β là toàn cấu đối cốt yếu (tức là Kerβ  P )

Trong năm 1959 ở Đại học Chicago đã có luận án của H Bass và sau đó là bàibáo [4] nghiên cứu về phủ xạ ảnh của một môđun Ông đặc trưng lớp vành R trong

đó mỗi môđun có một phủ xạ ảnh và đó chính là vành hoàn chỉnh Ông đã chứngminh rằng mỗi phủ xạ ảnh cũng là phủ phẳng (mặc dù Bass đã không sử dụng thuậtngữ này)

Điều này mặc nhiên đặt ra câu hỏi là :“mỗi môđun có một phủ phẳng hay không? ”.Câu hỏi này đã không được trả lời tường minh cho đến năm 1981 [8] Trong côngtrình của E Enochs thì chỉ chứng minh rằng nếu một môđun có một tiền phủ phẳng,thì nó có một phủ phẳng Điều này làm tăng thêm động lực cho việc nghiên cứu cácvấn đề này Tuy nhiên, việc này rất khó và tiến triển rất chậm cho đến năm 1995, J

Xu trong [11] đã chứng minh rằng phủ phẳng tồn tại trên vành Nơte giao hoán cóchiều Krull hữu hạn Tác phẩm của ông đã giúp cho nhiều người biết đến vấn đề này,

và đóng góp vào việc tìm ra giải pháp cho việc chứng minh giả thuyết trên Vấn đềnày quan trọng đến mức khi nói đến đối ngẫu về sự tồn tại của bao nội xạ, người ta

có lúc đã nghĩ đến phủ phẳng Mãi cho đến năm 2001, L Bican, R El Bashir và E.Enochs trong [14] đã chứng minh được giả thuyết trên là đúng

Với lý do như trên và mong muốn tìm hiểu thêm về “phủ phẳng” , hơn nữa được

sự định hướng của thầy giáo hướng dẫn GS.TS Lê Văn Thuyết, tôi đã mạnh dạn chọn

đề tài “Một số tính chất của phủ phẳng” để tiến hành nghiên cứu với hi vọng cóthể tìm hiểu sâu hơn về các tính chất của chúng và mục tiêu là nêu ra các bước củaviệc giải quyết giả thuyết trên

Mục tiêu của luận văn là trình bày, làm rõ một số tính chất của phủ phẳng Đặcbiệt, tập trung chứng minh được tính chất “mọi môđun đều có một phủ phẳng” Nộidung nghiên cứu của luận văn là về một số tính chất của phủ phẳng Dự kiến vớimục tiêu và nội dung này, luận văn được chia là hai chương:

Chương 1: Trình bày một số kiến thức cơ bản về môđun, môđun nội xạ, môđun xạảnh, môđun phẳng, môđun Ext, vành coherent, giới hạn thuận, giới hạn ngược, .Chương 2: Trình bày định nghĩa và một số đặc điểm, tính chất, ví dụ của phủphẳng Các định lý quan trọng của phủ phẳng,

Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song trong quá trình nghiên cứu và trình bày khótránh khỏi các sai sót, mong quý độc giả góp ý thêm để luận văn được hoàn thiện hơn.

Huế, Ngày 21 tháng 7 năm 2015Học viên thực hiện

Phan Thọ

CHƯƠNG 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ MÔĐUN

Trong chương này chúng tôi chủ yếu trình bày một số kiến thức cơ bản về môđun,môđun nội xạ, môđun xạ ảnh, môđun phẳng, môđun Ext, vành coherent, giới hạnthuận, giới hạn ngược,

Hầu hết các kiến thức được trình bày trong chương này được trích chủ yếu từ[1], [2], [3] theo cách tóm tắt lại những kết quả chính Do đó, một số chứng minh các

Bổ đề, Mệnh đề, Định lý không trình bày lại Nếu các độc giả muốn tham khảo cácchứng minh có thể xem trong những tài liệu đã nêu ở trên

Trong suốt luận văn này, vành được nhắc đến luôn là vành kết hợp có đơn vị

1 6= 0, các R-môđun đều unita và khi nói đến môđun ta hiểu là môđun phải

1.1 Một số khái niệm cơ bản về môđun

1.1.1 Đồng cấu môđun

Định nghĩa 1.1.1 (Đồng cấu) Cho hai R-môđun M, N Một đồng cấu R-môđun

từ M vào N là một ánh xạ φ thỏa mãn các điều kiện

φ(x + y) = φ(x) + φ(y)φ(rx) = rφ(x)với mọi x, y ∈ M, r ∈ R

Một đồng cấu R-môđun được gọi đơn giản là một đồng cấu nếu không cần thiết phảichỉ rõ vành cơ sở

Định nghĩa 1.1.2 (Đơn cấu, toàn cấu) Cho M, N là hai R-môđun phải, đồngcấu φ : M −→ N được gọi là đơn cấu (toàn cấu) nếu nó là đơn ánh (tương ứng toànánh) Đồng cấu φ gọi là đẳng cấu nếu nó vừa là đơn cấu, vừa là toàn cấu

Định nghĩa 1.1.3 (Ảnh, hạt nhân) Đối với một đồng cấu môđun φ : M −→ N ,

ta kí hiệu

Imφ = φ(M ),Kerφ = {x ∈ M |φ(x) = 0} = φ−1(0)

và gọi Imφ, Kerφ lần lượt là ảnh và hạt nhân của φ.

Định nghĩa 1.1.4 (Đối nhân, đối ảnh) Cho M, N là hai R-môđun phải và f làđồng cấu R-môđun từ M vào N Ta gọi

Coker (f ) = N/Im (f ) , Coim (f ) = M/Ker (f )tương ứng là đối nhân và đối ảnh của f

Cho MR và kí hiệu HomR(MR, R) là tập gồm tất cả các đồng cấu R-môđun từ

MR → RR

Mệnh đề 1.1.1 ([1], Mệnh đề 3.1.8) HomR(MR, R) cùng với hai phép toán cộng vànhân môđun xác định như sau trở thành R-môđun trái

(α + β)(m) := α(m) + β(m),(rα)(m) := rα(m),

với mọi m ∈ M , r ∈ R và α, β ∈ HomR(MR, R)

Định nghĩa 1.1.5 (Môđun đối ngẫu) R-môđun trái HomR(MR, R) và gọi làmôđun đối ngẫu của môđun MR, kí hiệu là M∗, các phần tử của M∗ gọi là các dạngtuyến tính trên M Môđun đối ngẫu của M∗, kí hiệu: M∗∗ = HomR(M∗, R), là mộtR-môđun phải và được gọi là môđun song đối ngẫu của M

Tiếp theo, ta có các định lý về đồng cấu và đẳng cấu

Định lý 1.1.2 ([1], Mệnh đề 3.2.1) (Định lý về đồng cấu) Mỗi đồng cấu củacác môđun phải α : A −→ B đều có thể phân tích được α = α0ν, trong đó đồng cấu

ν : A −→ A/Ker(α) là toàn cấu chính tắc, còn α0 là đơn cấu xác định bởi

α0 : A/Ker (α) −→ B

a + Ker (α) 7−→ α (a)Đơn cấu α0 là đẳng cấu khi và chỉ khi α là toàn cấu

Hệ quả 1.1.3 ([1], Hệ quả 3.2.2) Cho α : AR −→ BR là đồng cấu R-môđun Khiđó: A/Ker(α) ∼=Im(α)

Định lý 1.1.4 ([1], Định lý 3.2.3) (Định lý thứ nhất về đẳng cấu) Nếu B ≤ AR

và C ≤ AR thì (B + C) /C ∼= B/B ∩ C

Định lý 1.1.5 ([1], Định lý 3.2.4) (Định lý thứ hai về đẳng cấu) Nếu C ≤

B ≤ AR thì A/B ∼= (A/C) / (B/C)

1.1.2 Tích trực tiếp và tổng trực tiếp của các môđun

Trong lí thuyết môđun, ta không chỉ nghiên cứu môđun đã cho nhờ sự phân tích nóthành những môđun đơn giản mà còn xây dựng những môđun mới từ các môđun đãcho Đó chính là các cấu trúc của tích trực tiếp và tổng trực tiếp các môđun

Định nghĩa 1.1.6 (Tích trực tiếp) Cho một họ những R-môđun phải {Ai}i∈Ivới I 6= ∅ Khi đó tích Descartes Q

i∈I

Ai = {(ai)i | ai ∈ Ai} cùng với phép cộng vàphép nhân vô hướng theo thành phần:

(ai)i∈I + (bi)i∈I = (ai+ bi)i∈I;r(ai)i∈I = (rai)i∈I

là một R-môđun phải, gọi là tích trực tiếp của họ {Ai}i∈I

Trường hợp Ai = A với mọi i ∈ I ta kí hiệu Q

Ai | (ai)i∈I có giá hữu hạn } được gọi là tổng trực tiếp ngoài của

họ {Ai}i∈I, được kí hiệu là L

i∈I

Ai.Trường hợp Ai = A với mọi i ∈ I ta kí hiệu L

i∈I

Ai = A(I).Với mỗi j ∈ I, đồng cấu ηj : Aj −→ L

i∈I

Ai xác định bởi aj −→ (ai)i∈I =( , 0, aj, 0, ) là một phép nhúng

Định nghĩa 1.1.9 (Tổng trực tiếp trong) Một R-môđun phải M được gọi làtổng trực tiếp trong của họ {Mi}i∈I những môđun con của nó nếu

Định nghĩa 1.1.10 (Hạng tử trực tiếp) Một môđun con K của M được gọi làhạng tử trực tiếp của M , kí hiệu K ≤⊕ M nếu tồn tại một môđun con H của M saocho K ⊕ H = M Khi đó H được gọi là môđun con phụ của K trong M

Phần tử e ∈ R được gọi là một lũy đẳng của R nếu e2 = e

1.1.3 Môđun con cốt yếu và đối cốt yếu

Định nghĩa 1.1.11 (Môđun con cốt yếu và môđun con đối cốt yếu)

1) Một môđun con K của môđun M được gọi là cốt yếu (lớn) trong M , kí hiệu

K ≤e M , nếu K ∩ X 6= 0 với mỗi môđun con X 6= 0 của M

2) Một môđun con K của môđun M được gọi là đối cốt yếu (nhỏ) trong M , kíhiệu K  M , nếu K + X = M với X là môđun con của M thì X = M

Định nghĩa 1.1.12 (Đơn cấu cốt yếu, toàn cấu đối cốt yếu)

1) Đơn cấu f : K −→ M được gọi là cốt yếu nếu Im(f ) ≤e M

2) Toàn cấu g : M −→ N được gọi là đối cốt yếu nếu Ker(g)  M

Sau đây là các tính chất của môđun con cốt yếu và đối cốt yếu

Mệnh đề 1.1.6 ([1], Mệnh đề 2.1.9) Cho M là R-môđun phải và K ≤ N ≤ M ,

0 −→ M −→ N −→ P −→ 0được gọi là dãy khớp ngắn.

Định nghĩa 1.1.14 (Sơ đồ giao hoán) Một biểu đồ các R-môđun phải được gọi

là giao hoán nếu hợp thành bất kì các R-đồng cấu môđun trong sơ đồ sao cho cùnggốc và cùng ngọn thì bằng nhau, nói riêng, tam giác

Bổ đề 1.1.8 ([1], Bổ đề 6.2.1) Cho f : M −→ N và f0 : N −→ M là các đồng cấu môđun sao cho f ◦ f0 = 1N Khi đó f là toàn cấu, f0 là đơn cấu và M = Kerf ⊕ Imf0.Định nghĩa 1.1.15 (Dãy khớp chẻ ra)

R-1) Nếu f : M −→ N và f0 : N −→ M là các đồng cấu R-môđun sao cho f ◦f0= 1N,thì chúng ta nói rằng f là toàn cấu chẻ ra, còn f0 là đơn cấu chẻ ra

2) Một dãy khớp ngắn

0 −→ M1 −→ Mf −→ Mg 2 −→ 0được gọi là chẻ ra nếu f là đơn cấu chẻ ra, còn g là toàn cấu chẻ ra

Định nghĩa 1.1.16 (Dãy khớp thuần túy) Một dãy khớp ngắn các R-môđuntrái

0 −→ M −→ N −→ P −→ 0được gọi là khớp thuần túy nếu với mọi R-môđun phải A, ta có dãy khớp

0 −→ A ⊗RM −→ A ⊗RN −→ A ⊗RP −→ 0Trong trường này M được gọi là môđun con thuần túy của N

Tiếp theo ta có một định lý để kiểm tra một môđun con thuần túy

Định lý 1.1.9 ([3], Định lý 3.65) Cho λ : A0 −→ A là đơn cấu R-môđun Khi đó, A0

là môđun con thuần túy của A nếu và chỉ nếu, cho bất kì sơ đồ giao hoán với F0, F1

là các R-môđun tự do hữu hạn sinh thì tồn tại một ánh xạ F0 −→ A0 là cho sơ đồsau giao hoán:

Định nghĩa 1.2.1 Cho N là R-môđun Xét tương ứng :

F = HomR(−, N ) : Mod(R) −→ Mod(R)Với mỗi R-môđun M thì F (M ) = HomR(M, N )

Với mỗi đồng cấu R-môđun f : M1 −→ M2 thì

F (f ) = HomR(f, N ) : HomR(M2, N ) −→ HomR(M1, N )

α 7−→ f∗(α) = αfLúc đó; F là được gọi là hàm tử Hom đối với biến thứ nhất

Định nghĩa 1.2.2 Cho M là R-môđun Xét tương ứng :

F = HomR(M, −) : Mod(R) −→ Mod(R)Với mỗi R-môđun N thì F (N ) = HomR(M, N )

Với mỗi đồng cấu R-môđun f : N1 −→ N2 thì

F (f ) = HomR(M, f ) : HomR(M, N1) −→ HomR(M, N2)

α 7−→ f∗(α) = f αLúc đó; F là được gọi là hàm tử Hom đối với biến thứ hai

Nhận xét 1 Hàm tử HomR(M, −) là hàm tử hiệp biến, còn hàm tử HomR(−, N )

Với mỗi đồng cấu R-môđun f : M1 −→ M2 thì

F (f ) = f ⊗ N : M1 ⊗ N −→ M2⊗ N

x ⊗ y 7−→ f (x ⊗ y) = f (x) ⊗ y ∀x ∈ M1, y ∈ NLúc đó; F là được gọi là hàm tử Tenxơ đối với biến thứ nhất

Định nghĩa 1.2.4 Cho M là R-môđun Xét tương ứng :

F = M ⊗ − : Mod(R) −→ Mod(R)Với mỗi R-môđun N thì F (N ) = M ⊗ N

Với mỗi đồng cấu R-môđun f : N1 −→ N2 thì

F (f ) = M ⊗ f : M ⊗ N1 −→ M ⊗ N2

x ⊗ y 7−→ f (x ⊗ y) = x ⊗ f (y) ∀x ∈ M, y ∈ N1Lúc đó; F là được gọi là hàm tử Tenxơ đối với biến thứ hai

Nhận xét 3 Hàm tử Tenxơ M ⊗ − và − ⊗ N là hàm tử hiệp biến.

Mệnh đề 1.2.2 ([3], Theorem 2.10) Hàm tử Tenxơ M ⊗ − và − ⊗ N là các hàm tửkhớp phải với mọi R-môđun M, N

Nhận xét 4 Hàm tử M ⊗ − và − ⊗ N nói chung là không khớp trái

1.3 Môđun nội xạ, môđun xạ ảnh và môđun phẳng

Định nghĩa 1.3.1 (Môđun nội xạ) Một môđun E được gọi là nội xạ nếu vớimỗi R-đơn cấu α : N → M , với mỗi R-đồng cấu β : N → E đều tồn tại R-đồng cấu

γ : M → E sao cho β = γ ◦ α Tức là, ta có biểu đồ sau giao hoán:

P −→ 0 và với mỗi đồng cấu R-môđun β : M −→ E thì tồn tại đồng cấu R-môđun

γ : N −→ E sao cho sơ đồ sau giao hoán:

Ví dụ 1 Mọi môđun nội xạ là môđun nội xạ thuần túy.

Định nghĩa 1.3.3 (Môđun tự do) Một môđun F được gọi là tự do nếu nó đẳngcấu với tổng trực tiếp R(I) của |I| bản sao của R; một cách tương đương, F có một

cơ sở {xi|i ∈ I}; nghĩa là F = P

Định nghĩa 1.3.4 (Môđun xạ ảnh) Một môđun P được gọi là xạ ảnh nếu vớimỗi R-toàn cấu α : M → N , với mỗi R-đồng cấu β : P → N đều tồn tại R-đồng cấu

Hệ quả 1.3.6 ([3],Theorem 3.13) Nếu A là một môđun con của môđun B với B/A

là xạ ảnh thì A là một hạng tử trực tiếp của B Mọi dãy khớp ngắn 0 −→ A −→

B −→ P −→ 0, với P xạ ảnh là chẻ ra

Định lý 1.3.7 ([1], Định lý 3.4.7) Một môđun P là R-môđun xạ ảnh nếu và chỉ nếu

P đẳng cấu với hạng tử trực tiếp của một R-môđun tự do nào đó

Định nghĩa 1.3.5 (Môđun phẳng) Một môđun B được gọi là phẳng nếu với mọiđơn cấu R-môđun f : M −→ N thì đồng cấu cảm sinh 1 ⊗ f : B ⊗ M −→ B ⊗ N làđơn cấu

Bổ đề 1.3.8 ([2], Lemma 19.14) R-môđun trái M là phẳng nếu và chỉ nếu M∗ =HomZ(M, Q/Z) là nội xạ

Nhận xét 5 (i) Tổng trực tiếp của các môđun xạ ảnh là môđun xạ ảnh, và tíchtrực tiếp của các môđun nội xạ là môđun nội xạ

(ii) Môđun tự do =⇒ môđun xạ ảnh =⇒ môđun phẳng Tuy nhiên, chiều ngược lạinói chung không đúng.

Trong phần giới thiệu chúng tôi đã nhắc đến định nghĩa bao nội xạ, bây giờ chúngtôi sẽ trình bày định nghĩa tổng quát cho khái niệm bao

Định nghĩa 1.3.6 (Bao) Cho X là lớp các R-môđun trái và M là R-môđun trái.Một R-môđun X ∈ X được gọi là X -bao của M nếu có một R-đồng cấu ϕ : M −→ Xthỏa:

(1) Với mọi đồng cấu ϕ0 : M −→ X0 với X0 ∈ X thì tồn đồng cấu f : X −→ X0sao cho ϕ0= f ϕ

là một X -tiền bao

(ii) Trong định nghĩa của bao, nếu thay X là lớp các R-môđun trái bởi lớp cácR-môđun nội xạ, lớp các R-môđun nội xạ thuần túy thì ta được các kháiniệm bao nội xạ, bao nội xạ thuần túy

(iii) Bao nội xạ của R-môđun M được kí hiệu là E(M ), còn bao nội xạ thuần túycủa R-môđun M được kí hiệu là P E(M )

Đối ngẫu với khái niệm bao là khái niệm phủ Khái niệm tổng quát của phủ chúngtôi sẽ trình bày trong các chương tiếp theo Còn bây giờ, chúng tôi chỉ nhắc lại kháiniệm phủ xạ ảnh là một trường hợp đặc biệt của phủ

Định nghĩa 1.3.7 (Phủ xạ ảnh) Một toàn cấu P −→ M −→ 0 được gọi là phủπ

xạ ảnh của môđun M nếu P là xạ ảnh và Ker(π)  P Phủ xạ ảnh của môđun Mđược kí hiệu là P (M )

Tiếp theo, chúng tôi có các kết quả liên quan đến bao nội xạ và phủ xạ ảnh.Mệnh đề 1.3.9 ([1], Mệnh đề 3.5.3) Cho M là R-môđun phải Giả sử p : P −→ M

là phủ xạ ảnh của M Nếu Q là xạ ảnh và q : Q −→ M là toàn cấu thì Q có phântích Q = P0⊕ P00 sao cho

Ta có p là toàn cấu đối cốt yếu và ph = q là toàn cấu nên h là toàn cấu Vì P là xạảnh nên h là chẻ ra, nghĩa là tồn tại đơn cấu g : P −→ Q sao cho hg = 1P và từ đó

Q = Im(g)⊕ Ker(h) Đặt P0 = Im(g) và P00= Ker(h) Ta có ngay 1) do g là đơn cấu.Ngoài ra 2) đúng vì ph = q Ta có M = q(Q) = p(Im(g)⊕Ker(h))= q(Im(g))= q(P0),

Mệnh đề 1.3.10 ([1], Mệnh đề 3.5.3) Cho M là R-môđun phải Giả sử ι : M −→ E

là bao nội xạ của M Nếu Q là nội xạ và q : M −→ Q là đơn cấu thì Q có phân tích

Q = E0⊕ E00 sao cho

1) E00 ∼= E.

2) Im(q) ≤ E0

3) q : M −→ E0 là một bao nội xạ đối với M

Mệnh đề 1.3.11 ([1], Mệnh đề 3.5.4) Mọi môđun đều có một bao nội xạ Nó duynhất và sai khác một phép đẳng cấu

Chứng minh Cho M là R-môđun phải Tồn tại Q nội xạ mà M ≤ Q Đặt tập

Γ = { N ≤ Q| M ≤eN }

Áp dụng bổ đề Zorn ta có phần tử cực đại E của tập này Gọi E0 là Q-phần bù của

E (lúc đó E0 là cực đại với tính chất E ∩ E0 = 0) thì (E ⊕ E0) /E0≤eQ/E0 Ta có

Vậy h là đơn cấu, do đó M ≤e E = Im(g) = h((E ⊕ E0) /E0) ≤e h(Q/E0) Suy ra

M ≤e h(Q/E0) Do tính cực đại của E, ta có h((E ⊕ E0) /E0) = h(Q/E0) Và do h làđơn cấu nên (E ⊕ E0) /E0 = Q Từ đó E là nội xạ Vậy ta có thể nhúng M −→ E làbao nội xạ của M Tính duy nhất là do mệnh đề 1.3.10 Mệnh đề 1.3.12 ([1], Mệnh đề 3.5.5) Giả sử π1 : P −→ M và π2 : Q −→ M là cácphủ xạ ảnh của M Khi đó tồn tại một đẳng cấu φ : P −→ Q sao cho π2φ = π1.Chứng minh Theo tính chất xạ ảnh của P , thì tồn tại đồng cấu φ : P −→ Q saocho π2φ = π1 Ta để ý rằng Ker(π1)  P , Ker(π2)  Q Từ đó ta có Ker(φ)  P

và φ là toàn cấu Nhưng vì Q là xạ ảnh nên φ là toàn cấu chẻ ra, nghĩa là Ker(φ) làhạng tử trực tiếp của P và do đó Ker(φ) = 0 Vậy, φ là một đẳng cấu 

Từ mệnh đề trên, chúng tôi thấy rằng nếu phủ xạ ảnh của môđun tồn tại thì nó

là duy nhất sai khác một phép đẳng cấu Từ đó, chúng tôi cũng phỏng đoán rằngnếu phủ của môđun tồn tại thì nó là duy nhất sai khác một phép đẳng cấu Để làm

rõ phỏng đoán này chúng tôi sẽ làm rõ trong chương kế tiếp

1.4 Môđun Ext

1.4.1 Phức - Đồng cấu nối

Định nghĩa 1.4.1 (Phức, phức đối xích)

1) Phức các R-môđun là dãy các R-môđun và dãy các đồng cấu

(X∗) · · · //Mi+1di+1 //Mi di //Mi−1 //· · ·

sao cho Im(di+1) ⊆ Ker(di), với mọi i ∈ Z Lúc đó : Hi(X∗) = Ker(di)/Im(di+1)được gọi là đồng điều thứ i của dãy (X∗)

2) Phức đối xích của các R-môđun là dãy các R-môđun và dãy các đồng cấu

(X∗) · · · //Mi−1di−1 //Mi di //Mi+1 //· · ·sao cho Im(di−1) ⊆ Ker(di), với mọi i ∈ Z Lúc đó : Hi(X∗) = Ker(di)/Im(di−1)được gọi là đối đồng điều thứ i của dãy (X∗)

Định nghĩa 1.4.2 (Đồng cấu phức) Cho hai phức:

(Y ) · · · //Yi+1 d0i+1 //Yi d0i //Yi−1 //· · ·

và họ các đồng cấu R-môđun : f = (fi)i∈Z : X −→ Y , tức là fi : Xi −→ Yi Lúc đó,

f : X −→ Y được gọi là đồng cấu phức từ X vào Y nếu : fi.di+1 = d0i+1.fi+1, với mọi

i ∈ Z

Định nghĩa 1.4.3 (Dãy khớp ngắn giữa các phức) Cho các phức A, B, C :

0 −→ A−→ Bf −→ C −→ 0gđược gọi là dãy khớp ngắn giữa các phức nếu :

0 −→ An −→ Bfn n gn

−→ Cn −→ 0

là dãy khớp ngắn với mọi n ∈ Z

Định lý 1.4.1 ([3], Theorem 6.2) Cho dãy khớp ngắn các phức :

0 −→ A−→ Bf −→ C −→ 0gKhi đó, với mọi n, tồn tại đồng cấu:

∂n : Hn(C) −→ Hn−1(A)

z00+ Bn(C) −→ fn−1−1 dn.gn−1(z00) + Bn−1(A)trong đó Bn(C) = Im(d00n+1), Bn−1(A) = Im(dn)

Định nghĩa 1.4.4 (Đồng cấu nối) Cho dãy khớp ngắn các phức:

0 //A f //B g //C //0Ánh xạ ∂n : Hn(C) −→ Hn−1(A) được xác định trong định lý 1.4.1 được gọi là đồngcấu nối của dãy khớp trên

1.4.2 Giải thức tự do - giải thức xạ ảnh - giải thức nội xạ

Định nghĩa 1.4.5 (Giải thức tự do - xạ ảnh - nội xạ) Cho M là một R-môđun1) Nếu có 1 dãy khớp các R-môđun :

Định lý 1.4.2 ([3], Theorem 3.8, 3.28) Cho M là một R-môđun Khi đó

1) Luôn tồn tại giải thức tự do của M

2) Luôn tồn tại giải thức nội xạ của M

Chứng minh

1) Giả sử X là tập sinh của môđun M Gọi F0 = R(X) là môđun tự do và π :

F0 −→ M là toàn cấu Với mọi x ∈ M thì x = P

0 //F0 π //M //0

là giải thức tự do của M (lúc đó M là môđun tự do)

Nếu Ker(π) 6= 0 thì ta gọi X1 là tập sinh của Ker(π) và đặt F1 = R(X1 ) làR-môđun tự do

• Nếu Ker(d0) = 0 thì ta được dãy :

với  là đơn cấu

Nếu Im() = E0 thì dãy

0 //M  //E0 //0

là giải thức nội xạ của M (M là nội xạ)

Nếu Im() 6= E0 thì gọi E1 = E(E0/Im()), thì ta có dãy

0 //M  //E0 p0//E0/Im ()1 //E1

trong đó, p0 là toàn cấu chính tắc, 1 là phép nhúng

Gọi d0 = 1.p0 ta được dãy:

0 //M  //E0 d0 //E1

• Nếu Im(1) = E1 thì dãy :

0 //M  //E0 d0 //E1 //0

là giải thức nội xạ của M

• Nếu Im(1) 6= E1 thì tiếp tục quá trình này ta thu được dãy:

0 //M  //E0 d0 //E1 d1 //E2 //· · ·

Nhận xét 7 (i) Do giải thức tự do luôn tồn tại nên giải thức xạ ảnh luôn tồn tại.(ii) Trong chứng minh tồn tại giải thức tự do, nếu ta gọi X là hệ sinh tối tiểu của

M , X1 là hệ sinh tối tiểu của Ker(π), thì giải thức tự do thu được gọi là giảithức tự do tối tiểu Tương tự, giải thức nội xạ được xây dựng trong chứng minh(2) của định lý 1.4.2 được gọi là giải thức nội xạ tối tiểu

(iii) Hai giải thức tự do tối tiểu của cùng một môđun M ( tương ứng hai giải thứcnội xạ tối tiểu) đều đẳng cấu với nhau

là một phức đối xích các R-môđun Khi đó

ExtiR(M, N ) = Ker(d∗i)/Im(d∗i−1) , ∀i ∈ Zđược gọi là môđun Ext thứ i của M, N

Nhận xét 8 (i) ExtiR(M, N ) là các R-môđun

(ii) ExtiR(M, N ) = 0 nếu i < 0

(iii) Ext0R(M, N ) = HomR(M, N ).

(iv) Bằng cách nhìn đối ngẫu, ta có thể xây dựng môđun ExtiR(M, N ) như sau: Cho

M, N là các R-môđun Xét giải thức nội xạ tối tiểu của môđun N :

(v) Định nghĩa ExtiR(M, N ) không phụ thuộc vào việc chọn giải thức xạ ảnh của

M hay giải thức nội xạ của N

Tiếp theo, chúng tôi có một vài tính chất cơ bản của Ext

Mệnh đề 1.4.3 ([3], Theorem 7.6, 7.7) Cho M và N là các R-môđun Khi đó

1) Nếu M là R-môđun xạ ảnh thì ExtiR(M, N ) = 0, ∀i > 0

2) Nếu N là R-môđun nội xạ thì ExtiR(M, N ) = 0, ∀i > 0

Mệnh đề 1.4.4 ([3], Theorem 7.3) Cho M là môđun và dãy khớp ngắn các môđun :

R-0 −→ N0 −→ Nf −→ Ng 00 −→ 0Nhờ đồng cấu nối ta thu được dãy khớp dài như sau:

0 −→ HomR(M, N0) −→ HomR(M, N ) −→ HomR(M, N00) −→ Ext1R(M, N0) −→Ext1R(M, N ) −→ Ext1R(M, N00) −→ Ext2R(M, N0) −→ Ext2R(M, N ) −→ Ext2R(M, N00)

Nhờ đồng cấu nối ta thu được dãy khớp dài như sau:

0 −→ HomR(M00, N ) −→ HomR(M, N ) −→ HomR(M0, N ) −→ Ext1R(M00, N ) −→Ext1R(M, N ) −→ Ext1R(M0, N ) −→ Ext2R(M00, N ) −→ Ext2R(M, N ) −→ Ext2R(M0, N )

A bởi C là chẻ ra

Hệ quả 1.4.9 ([3], Corollary 7.12) Nếu Ext1R(C, A) = 0 với mọi R-môđun A thì C

là xạ ảnh; nếu Ext1R(C, A) = 0 với mọi R-môđun C thì A là nội xạ

Định nghĩa 1.4.8 (Lớp trực giao) Cho L là lớp các R-môđun và RM là lớp cácR-môđun trái Đặt

L⊥ =X ∈RM Ext1R(L, X) = 0, L ∈ L

⊥L =X ∈RM Ext1R(X, L) = 0, L ∈ L Khi đó, L⊥ được gọi là lớp trực giao phải của L, còn ⊥L được gọi là lớp trực giaotrái của L

1.5 Vành Coherent

Định nghĩa 1.5.1 (Đóng đối với sự mở rộng) Cho X là lớp các R-môđun trái,

X được gọi là đóng đối với sự mở rộng nếu với mọi dãy khớp ngắn các R-môđun:

0 −→ M −→ N −→ L −→ 0 mà M và L thuộc X thì N ∈ X

Định nghĩa 1.5.2 Một R-môđun hữu hạn sinh M được gọi là finitely presentednếu có một dãy khớp F1 −→ F0 −→ M −→ 0 trong đó F1, F0 là các R-môđun tự dohữu hạn sinh (tức là, tồn tại một R-môđun tự do F0 hữu hạn sinh và một toàn cấuR-môđun ϕ : F0 −→ M mà Ker(ϕ) là R-môđun hữu hạn sinh)

Định nghĩa 1.5.3 (Vành coherent) Một vành R được gọi là vành coherent phảinếu mọi iđêan phải hữu hạn sinh là finitely presented

Ví dụ 3 Mọi vành Noetherian phải là coherent phải Vành các đa thức có số biến

vô hạn là vành coherent phải nhưng không Noetherian phải

Định lý 1.5.1 ([2], Theorem 19.20) Với bất kỳ vành R thì các điều kiện sau là tươngđương:

1) R là vành coherent phải

2) Tích của các R-môđun trái phẳng là phẳng

Bổ đề 1.5.2 ([12], Lemma 3.1.4) Nếu R là vành coherent phải và E là R-môđunphải nội xạ thì HomZ(E, Q/Z) là R-môđun trái phẳng

Bổ đề 1.5.3 ([12], Lemma 3.1.6) Giả sử R là vành coherent phải Nếu F là R-môđuntrái phẳng và P E(F ) là bao nội xạ thuần túy của F thì P E(F ) là phẳng Hơn nữa,

P E(F )/F cũng là phẳng

1.6 Giới hạn thuận - Giới hạn nghịch

Định nghĩa 1.6.1 (Hệ thuận) Cho I là một tập thứ tự và C là một phạm trù.Một hệ thuận trong C với tập chỉ số I là một hàm tử F : I −→ C sao cho: với mỗi

i ∈ I có một vật Fi và khi i, j ∈ I thỏa i ≤ j thì có một cấu xạ ϕij : Fi −→ Fj thỏa:(i) ϕii : Fi −→ Fi là đồng nhất với mọi i ∈ I

ii Nếu i ≤ j ≤ k thì có sơ đồ giao hoán

Kí hiệu: F =Fi, ϕij là một hệ thuận trong C

Định nghĩa 1.6.2 (Giới hạn thuận) Cho F = Fi, ϕij là một hệ thuận trong

C Giới hạn thuận của hệ này được kí hiệu lim

→ Fi, là một vật và một họ cấu xạ

αi : Fi −→ lim

→ Fi với αi = αjϕij mỗi khi i ≤ j thỏa mãn: cho mỗi vật X và mọi

họ cấu xạ fi : Fi −→ X với fi = fjϕij mỗi khi i ≤ j, tồn tại duy nhất một cấu xạ

Định lý 1.6.1 ([3], Theorem 2.17) Cho Ai, ϕij là hệ thuận với tập chỉ số I, cho

λi là phép nhúng thứ i, λi : Ai −→` Ai, và cho lim−→Ai = (` Ai)/S Khi đó, ta có1) lim

−→Ai chứa tất cả λi(ai) + S;

2) λi(ai) + S là 0 nếu và chỉ nếu ϕit(ai) = 0 với t ≥ i

Tương tự, ta có định nghĩa đối ngẫu với giới hạn thuận.

Định nghĩa 1.6.3 (Hệ nghịch) Cho I là một tập thứ tự và C là một phạm trù.Một hệ nghịch trong C với tập chỉ số I là một hàm tử phản biến F : I −→ C sao cho:với mỗi i ∈ I có một vật Fi và khi i, j ∈ I thỏa i ≤ j thì có một cấu xạ ψji : Fj −→ Fithỏa:

(i) ψii : Fi −→ Fi là đồng nhất với mọi i ∈ I

ii Nếu i ≤ j ≤ k thì có sơ đồ giao hoán

Định nghĩa 1.6.4 (Giới hạn nghịch) Cho F = nFi, ψjio là một hệ nghịch trong

C Giới hạn nghịch của hệ này được kí hiệu lim

← Fi, là một vật và một họ cấu xạ

αi : lim

← Fi −→ Fi với αi = ψijαj mỗi khi i ≤ j thỏa mãn: cho mỗi vật X và mọi

họ cấu xạ fi : X −→ Fi với fi = ψijfj mỗi khi i ≤ j, tồn tại duy nhất một cấu xạ

1.7 Sơ đồ pushout, pullback

Trong mục trên nếu tập I gồm ba điểm thì giới hạn thuận thường gọi là pushout,còn giới hạn nghịch gọi là pullback Do đó, ta có các định nghĩa sau:

Định nghĩa 1.7.1 (Pushout) Cho f : X −→ Y và g : X −→ Z là các đồng cấuR-môđun

β : Z −→ F sao cho αf = βg và thỏa mãn: với G là R-môđun và α0 : Y −→ G,

β0 : Z −→ G là các đồng cấu R-môđun với α0f = β0g thì tồn tại duy nhất một đồngcấu R-môđun ϕ : F −→ G thỏa ϕα = α0 và ϕβ = β0

Ví dụ 4 Cho f : X −→ Y và g : X −→ Z là hai đồng cấu R-môđun Nếuđặt tập T = {(f (x) , −g (x)) ∈ Y ⊕ Z : x ∈ X} thì (Y ⊕ Z) /T cùng với các ánh xạ

α (y) = (y, 0) + T và β (z) = (0, z) + T là một pushout của f và g

Thật vậy, dễ dàng kiểm tra được T là môđun con của Y ⊕Z Đặt F = (Y ⊕ Z) /T ,với đồng cấu α, β đã cho ta có: với mọi x ∈ X thì α ◦ f (x) = (f (x) , 0) + T =(f (x) , 0) − (f (x) , −g (x)) + T = (0, g (x)) + T = β ◦ g (x) nên α ◦ f = β ◦ g Giả sử

G là R-môđun với các đồng cấu α0 : Y −→ G và β0 : Z −→ G sao cho α0◦ f = β0◦ g.Xác định tương ứng ϕ : F −→ G thỏa ϕ ((y, z) + T ) = α0(y) + β0(z) Để kiểm tra ϕxác định ta giả sử (y1, z1) − (y2, z2) ∈ T , lúc đó y1− y2 = f (x) và z1− z2 = −g (x) vớimọi x ∈ X Suy ra, α0(y1) − α0(y2) = (α0◦ f ) (x) = (β0◦ g) (x) = −β0(z1) + β0(z2)nên α0(y1) + β0(z1) = α0(y2) + β0(z2) Do đó, ϕ hoàn toàn xác định Dễ dàng kiểmtra được ϕ là đồng cấu R-môđun và thỏa ϕ ◦ α = α0 và ϕ ◦ β = β0 Để chứng minhtính duy nhất của ϕ ta giả sử tồn tại ψ : F −→ G sao cho ψ ◦ α = α0 và ψ ◦ β = β0.Khi đó, ψ ((y, z) + T ) = ψ ((y, 0) + T ) + ψ ((0, z) + T ) = (ψ ◦ α) (y) + (ψ ◦ β) (z) =

α0(y) + β0(z) = ϕ ((y, z) + T ) nên ϕ = ψ

Mệnh đề 1.7.1 ([3], Lemma 3.21) Giả sử ta có sơ đồ giao hoán với các hàng là khớp

Khi đó, X là pushout của B và P ứng với i và β.

Chứng minh Đầu tiên, ta thấy rằng X = α(P ) + j(B) Thật vậy, với x ∈ X thì

τ (x) = σ(p) với p ∈ P Hơn nữa, x − α(p) ∈ Ker(τ ) = Im(j) nên tồn tại b ∈ B để

x − α(p) = j(b) Do đó, x = α(p) + j(b) nên X = α(P ) + j(B) Vì sơ đồ là giao hoánnên j ◦ β = α ◦ i Giả sử G là R-môđun với các đồng cấu α0 : P −→ G và β0 : B −→ Gsao cho α0 ◦ i = j0 ◦ β Xác định tương ứng ϕ : X −→ G thỏa ϕ (α (p) + j (b)) =

α0(p) + j0(b) Để chứng minh ϕ là xác định, ta sẽ chỉ ra rằng nếu α (p) + j (b) = 0thì α0(p) + j0(b) = 0 Thật vậy, nếu α (p) + j (b) = 0 thì 0 = τ (α (p)) = σ (p) Do đó,

p = i(m) với m ∈ M , khi đó 0 = α (i (m)) + j (b) = j (β (m)) + j (b) Nhưng vì j làđơn cấu nên β (m) + b = 0 hay b = −β (m) Từ đó, ta có

α0(p) + j0(b) = α0(i (m)) + j0(−β (m)) = (α0◦ i − j0◦ β) (m) = 0

Do đó, ϕ là xác định Dễ dàng kiểm tra được ϕ là đồng cấu R-môđun thỏa ϕ ◦ α = α0

và ϕ ◦ j = j0 Bây giờ, ta chỉ còn chứng minh tính duy nhất của ϕ Giả sử φ là mộtđồng cấu khác từ X −→ G thỏa φ ◦ α = α0 và φ ◦ β = β0 Khi đó

trong đó L = Coker(f ) và K = Coker(g)

Tương tự, ta có khái niệm đối ngẫu với pushout

Định nghĩa 1.7.2 (Pullback) Cho f : X −→ Z và g : Y −→ Z là các đồng cấuR-môđun

X

f

Y g //ZKhi đó, pullback của f và g là một R-môđun B cùng với đồng cấu α : B −→ X và

β : B −→ Y sao cho f α = gβ và thỏa mãn: với C là R-môđun và α0 : C −→ X,

β0 : C −→ Y là các đồng cấu R-môđun với f α0 = gβ0 thì tồn tại duy nhất một đồngcấu R-môđun ϕ : C −→ B thỏa αϕ = α0 và βϕ = β0

Nhận xét 11 Hơn nữa, nếu f và g là toàn cấu, thì ta có sơ đồ giao hoán mà hàng

2) Tích R-mơđun trái phẳng phẳng

Bổ đề 1.5.2 ([12], Lemma 3.1.4) Nếu R vành coherent phải E R-mơđunphải nội xạ HomZ(E, Q/Z) R-môđun trái phẳng

Bổ đề 1.5.3 ([12],... ([12], Lemma 3.1.6) Giả sử R vành coherent phải Nếu F R-môđuntrái phẳng P E(F ) bao nội xạ túy F P E(F ) phẳng Hơn nữa,

P E(F )/F phẳng