CÁC VẤN ĐỀ THƯỜNG GẶP TRONG BÀI TOÁN HÀM SỐVấn đề 1:Tiếp tuyến với đồ thị của hàm số Cho hàm số y=fx có đồ thị C 1 Phương trình tiếp tuyến vớiC tại điểm Mxo,yo M∈C Có dạng: y-yo=f/xo.x-
Trang 1CÁC VẤN ĐỀ THƯỜNG GẶP TRONG BÀI TOÁN HÀM SỐ
Vấn đề 1:Tiếp tuyến với đồ thị của hàm số
Cho hàm số y=f(x) có đồ thị (C)
1) Phương trình tiếp tuyến với(C) tại điểm M(xo,yo) (M∈(C))
Có dạng: y-yo=f/(xo).(x-xo) (1)
2) Phương trình tiếp tuyến với(C) có hệ số góc k đi qua M(xo,yo)
Có dạng: y-yo=k.(x-xo)
PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
1.Phương pháp giải tích:
Các dạng khác nhau của bài toán:
+ Cho xo.Tính yo=f(xo) và f/(xo)
+ Cho yo.Giải phương trình :f(xo)=yo để có xo⇒ f/(xo)
+ Cho hệ số góc k của tiếp tuyến.Giải PT:f/(x)=k ⇒xo rồi tính f(xo)=yo
+ Cho bằng điều kiện khác thì khai thác điều kiện để viết (1) thành phương trình theo
xo.Giải để có xo rồi tính yo=f(xo), k=f/(xo)
2.Phương pháp đại số:
Phương trình tiếp tuyến (d) có dạng: y=kx+m
+Lập phương trình hoàng độ điểm chung của (C) và (D): f(x)=kx+m (2)
đưa về dạng mẫu mực
* Trường hợp (2) là PT bậc hai:
điều kiện tiếp xúc : a và ∆=0 ; tìm được m
* Trường hợp (2) là phương trình bậc ba, bốn hoặc dạng khác:
Điều kiện tiếp xúc ⇔ hoàng độ tiếp điểm là nghiệm của hệ:
F(x)=k(x-xo)+yo và f/(x)=k (3)
Khử k tìm được x; thế vào (2) tìm được k
Chú ý:+Hai đồ thị (C): y=f(x) và (C/): y=g(x) tiếp xúc với nhau tại Mo(xo,yo) khi và chỉ khi Mo là điểm chung của(C) và (C/) và tại Mo hai đường (C) và (C/) nhận chung một tiếp tuyến (∆): f(xo)=g(xo) và f/(xo)=g/(xo)
+Cho hai đường thẳng (D1):y= a1x+b1 ; (D2):y= a2x+b2
-(D1) cùng phương (D2) ⇔ a1=a2
-(D1) vuông góc (D2) ⇔ a1.a2= -1
-Góc (Ox,D) = α thì hệ số góc của (D) là :k = tgα
Vấn đề 2 : Điểm cố định của họ đồ thị
Cho đồ thị (C) có phương trình :y= f(x,m) với m là tham số.Tìm điểm cố định mà họ đồ thị (Cm) đều đi qua
PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
-Biến đổi phương trình y = (x,m) ra dạng một đa thức theo biến số m ,rồi đồng nhất hệ số 2 vế
Các trường hợp gặp :
+Phương trình bậc nhất theo biến m : Am + B = 0
≠0
Trang 2Tọa độ điểm cố định thỏa hệ : A= 0 và B= 0
+Phương trình bậc hai theo biến m: Am2+ Bm2 + C = 0
Tọa độ điểm cố định thỏa hệ : A = 0 và B = 0 và C = 0
Vấn đề 3: Sự tương giao của hai đồ thị
Cho hàm số y = f(x) có độ thị (C) và y = g(x) có đồ thị (C/).Xét sự tương giao của hai đồ thị (C) và (C/)
PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
+ Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (C/) : f(x)=g(x) (1)
+ Giải phương trình (1) :
-Nếu phương trình (1) có n nghiệm thì (C) và (C/) có n giao điểm
-Nếu PT (1) vô nghiệm thì (C) và (C/) không kắt nhau
*Điều kiện tiếp xúc của hai đồ thị:
(C) tiếp xúc với (C/) ⇔ a và ∆=o
+Nếu phương trình (1) là phương trình bậc ba, bốn hoặc dạng khác thì ta sử dụng điều kiện tiếp xúc : f(x) = g(x) và f/(x) = g/(x)
Vấn đề 4: Họ đồ thị tiếp xúc với một đường cố định
Bài toán :Cho họ đồ thị (Cm) có phương trình y = f(x,m).Chứng minh (C) luôn tiếp xúc với một đường (L) cố định
PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN :
*Trường hợp 1: Đường (L) là một đường thẳng: y = ax + b hay là một Parabol:
y = ax2+ bx +c (a ) Khi đó:Ta lập phương trình hoành độ giao điểm của
(Cm): y = f(x,m) với phương trình đường (L):y = g(x)
f(x,m) = g(x) (1)
Điều kiện tiếp xúc là phương trình (1) có nghiệm kép với mọi m; ta sẽ xác định được g(x)
*Trường hợp 2: Đường (L) chưa biết hình dạng thì ta phân tích:
y = f(x,m) = g(x) + h(x,m)
Để có hàm g(x) độc lập với m ta làm như sau:
Khử tham số m từ hệ : y = f(x,m) và f/
m(x,m) = 0 Sẽ được hàm g(x);trong đó f/
m(x,m) là đạo hàm với biến m của hàm y = f(x,m).Vì h(x,m) = 0 có nghiệm kép với mọi m nên (Cm) luôn tiếp xúc với (L) : y = g(x) cố định
*trường hợp 3: Chứng minh (Cm) tiếp xúc với môt đường thẳng cố định tại một điểm cố định
Ta làm như sau: +Tìm điểm cố định M0(x0,y0) mà (Cm) : y = f(x,m) đi qua
+Chứng minh f/(x0,m) = C với mọi m
+Kết luận:(Cm) luôn tiếp xúc với đường thẳng cố định có phương trình
y = C(x – xo) +yo tại điểm cố định M0(x0,y0)
vấn đề 5: Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị
bài toán:dùng đồ thị (C): y = f(x) để biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình E(x,m) = 0
≠ο
≠0
Trang 3PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
Biến đổi phương trình E(x,m) thành một trong các dạng sau:
+Dạng 1: E(x,m) = a(m) với a(m) là một biểu thức của m khi đó đường thẳng (∆) : y = a(m) vuông góc với trục Oy tại điểm M(0,a(m))
+Dạng 2:E(x,m) = kx + b(m) với k là một hằng số (k ≠ 0) ,b(m) là một biểu thức của m.Khi đó (∆) : y = kx + b(m) cùng phương với đường thẳng y = kx và (∆) cắt 0y tại điểm (0,b(m))
+Dạng 3:E(x,m) = m(x-xo) +yo với xo,yo là các hằng số.Khi đó (∆) có hệ số góc là m và luôn đi qua điểm cố định M(xo,yo)
*Trong cùng mặt phẳng (0xy) ta vẽ (C) : y = f(x) và ta vẽ thêm các đường (D): y = a(m) hay y = kx + b(m) hay y = m(x-xo) +yo Khi m thay đổi nhìn số điểm chung của (C) và (D) để kết luận số nghiệm của phương trình E(x,m) = 0
vấn đề 6:Bài toán quĩ tích
PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
*Để tìm quĩ tích của một điểm M(x,y) di động trên mặt phẳng tọa độ, thường ta làm như sau:
+Tìm tọa độ của điểm M theo tham số m
Gỉa sử M(x = f(m),y = g(m))
+Khử tham số m từ hệ trên, ta thiết lập hệ thức liên hệ giữa x và y độc lập với tham số m: h(x,y) = 0 hay y = f(x)
+Giới hạn quỹ tích (nếu có)
+Kết luận :Qũi tích của điểm M là phần của đường (L) ứng với các điểm thỏa điều kiện của phần giới hạn để điểm M tồn tại:
M(y = f(x),x∈D(là miền giá trị của x))
Các trường hợp đặc biệt: Nếu tọa độ M có dạng