.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
Trang 1VÉCTƠ TRONG KHÔNG GIAN
(1) Định nghĩa
Véctơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng Kí hiệu AB
! "!!
chỉ véctơ có điểm đầu là A, điểm
cuối là B.
Các khái niệm về giá của véctơ, sự cùng phương, cùng hướng của hai véctơ, véctơ - không, hai véctơ bằng nhau được định nghĩa tương tự như trong mặt phẳng
(2) Các phép toán của véctơ trong không gian
Các phép toán cộng, trừ hai véctơ tương tự trong mặt phẳng
*Quy tắc trung điểm:
Với M là trung điểm của đoạn thẳng AB, ta có MA
! "!!
+ MB
! "!!
= 0
"
và với O là điểm bất kì ta có
OM
! "!!!
= 1
2 OA
! "!!
+ OB
! "!!
⎛
⎝
⎜⎜⎜ ⎞⎠⎟⎟⎟
*Quy tắc hình bình hành:
Với ABCD là hình bình hành, ta có AC
! "!!
= AB
! "!!
+ AD
! "!!
*Tính chất trọng tâm tam giác:
Với G là trọng tâm tam giác ABC, ta có GA
! "!!
+ GB
! "!!
+ GC
! "!!
= 0
"
và với O là điểm bất kì, ta có
OG
! "!!
=1
3 OA
! "!!
+ OB! "!! + OC! "!!
⎛
⎝
*Ba điểm thẳng hàng:
Với A, B,C thẳng hàng và O là điểm bất kì ta có OA
! "!!
= xOB
! "!!
+ (1 − x)OC
! "!!
(3) Quy tắc hình hộp
Cho hình hộp ABCD.A' B'C ' D' có ba cạnh xuất phát từ đỉnh A là AB, AD, AA' và đường chéo
AC '. Khi đó ta có quy tắc hình hộp là:
Trang 2AC '
! "!!!
= AB
! "!!
+ AD
! "!!
+ AA'
! "!!!
Thông thường ta sẽ đặt
AB
! "!!
= a
!"
, AD! "!! = b
"
, AA'! "!!! = c
"
vậy theo quy tắc
hình hộp, ta có AC'
! "!!!
= a
!"
+ b
"
+ c
"
Chứng minh
Theo quy tắc hình bình hành, ta có
AC '
! "!!!
= AA'
! "!!!
+ AC
! "!!
AC
! "!!
= AB
! "!!
+ AD
! "!!
⎧
⎨
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⇒ AC '
! "!!!
= AB
! "!!
+ AD
! "!!
+ AA'
! "!!!
(4) Khái niệm về ba véctơ đồng phẳng
Xét ba véc tơ a
!"
,b", c" là các véctơ khác véctơ – không Với O là điểm bất kì trong không gian, xét ba
điểm A, B,C thoả mãn OA
! "!!
= a
!"
,OB! "!! = b
"
,OC! "!!
+) Nếu OA,OB,OC cùng nằm trên một mặt phẳng ta nói ba véctơ a
!"
,b", c" đồng phẳng; trường hợp
này giá của a
!"
,b", c" luôn luôn song song với một mặt phẳng
+) Nếu OA,OB,OC không thuộc cùng một mặt phẳng ta nói ba véctơ a
!"
,b", c" không đồng phẳng
(5) Định nghĩa ba véctơ đồng phẳng
Trong không gian ba véctơ được gọi là đồng phẳng nếu giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng
(6) Điều kiện để ba véctơ đồng phẳng
Trong không gian cho hai véc tơ a
!"
,b" không cùng phương và véctơ c
!
Khi đó ba véctơ a!",b", c" đồng
phẳng khi và chỉ khi c
!
= ma
"!
+ nb
! Ngoài ra bộ số (m;n) là duy nhất
*Hệ quả:
Bốn điểm A, B,C, D đồng phẳng khi và chỉ khi
OA
! "!!
= mOB
! "!!
+ nOC
! "!!
+ (1 − m − n)OD
! "!!
+) Ba véctơ a
!"
,b", c" không đồng phẳng khi đó
ma
!"
+ nb
"
+ pc
"
= 0
"
⇔ m = n = p = 0
(7) Biểu diễn một véctơ qua ba véctơ không đồng phẳng
Trong không gian cho ba véctơ không đồng phẳng a
!"
,b", c" Khi đó với mọi véctơ x! ta luôn có
x
!
= ma
"!
+ nb
!
+ pc
! Ngoài ra bộ số (m;n;p) là duy nhất
Trang 3B – BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Câu 1 Cho hình hộp ABCD ′ A ′ B ′ C ′ D Hỏi khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?
A AC'
! "!!!
= AB
! "!!
+ AD
! "!!
+ AA'
! "!!!
B AC'
! "!!!
= AB
! "!!
+ AD
! "!!
+ AC
! "!!
C AC'
! "!!!
= AC
! "!!
+ AB'
! "!!!
+ AD'
! "!!!
D AC'
! "!!!
= AB'
! "!!!
+ AD'
! "!!!
+ AA'
! "!!!
Câu 2 Cho tứ diện ABCD có AB
! "!!
= a
!"
, AC! "!! = b
"
, AD! "!! = c
"
Gọi M, N,O lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng AB,CD, MN Hãy hiểu diễn véctơ AO
! "!!
theo ba véctơ a
!"
,b", c"
A
AO
! "!!
= 1
2(a
!"
+ b"+ c")
C
AO
! "!!
= 1
4(a
!"
+ b
"
+ c
"
)
B
AO
! "!!
= 1
4(a
!"
+ 2b"+ 2c")
D
AO
! "!!
= 1
4(2a
!"
+ b
"
+ c
"
)
Câu 3 Xét ba véc tơ a
!"
,b", c" là các véctơ khác véctơ – không Với O là điểm bất kì trong không gian,
xét ba điểm A, B,C thoả mãn OA
! "!!
= a
!"
,OB! "!! = b
"
,OC! "!! Hỏi khẳng định nào dưới đây là khẳng định sai?
A Nếu OA,OB,OC cùng thuộc một mặt phẳng thì a
!"
,b", c" đồng phẳng
B Nếu OA,OB,OC cùng thuộc một mặt phẳng thì giá của ba véctơ a
!"
,b", c" cùng song song với một mặt phẳng
C Nếu OA,OB,OC không cùng thuộc một mặt phẳng thì a
!"
,b", c" không đồng phẳng
D Nếu OA,OB,OC không cùng thuộc một mặt phẳng thì giá của ba véctơ a
!"
,b", c" cùng song song với một mặt phẳng
Câu 4 Ba véctơ được gọi là đồng phẳng nếu
A Giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng
B Giá của chúng cùng nằm trên một mặt phẳng
Trang 4C Giá của chúng cùng thuộc một đường thẳng
D Giá của chúng cùng thuộc một mặt phẳng và chúng cắt nhau
Câu 5 Cho tứ diện ABCD có M là trung điểm cạnh BC, điểm I thoả mãn
IA
! "!
= −3
7IM
! "!! Hãy
biểu diễn DI
! "!
theo ba véctơ DA
! "!!
, DB! "!!, DC! "!!
A
DI
! "!
= 1
20 14DA
! "!!
+ 3DB
! "!!
+ 3DC
! "!!
⎛
⎝
B
DI
! "!
= 1
10 14DA
! "!!
+ 3DB
! "!!
+ 3DC
! "!!
⎛
⎝
C
DI
! "!
= 1
20 7DA
! "!!
+ 3DB! "!! + 3DC! "!!
⎛
⎝
D
DI
! "!
= 1
10 7DA
! "!!
+ 3DB
! "!!
+ 3DC
! "!!
⎛
⎝
Câu 6 Cho hình hộp ABCD.A' B'C ' D' có AB
! "!!
= a
!"
, AD! "!! = b
"
, AA'! "!!! = c
"
Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng BC ' Hãy biểu diễn véctơ AI
! "!
theo ba véctơ a
!"
,b", c"
A
AI
! "!
= a!"+1
2b
"
+1
2c
"
C
AI
! "!
= a
!"
+1
4b
"
+1
4c
"
B
AI
! "!
= 1
2a
!"
+1
4b
"
+1
4c
"
D
AI
! "!
= 1
2a
!"
+1
2b
"
+1
2c
"
Câu 7 Cho tứ diện ABCD có AB
! "!!
= a
!"
, AC! "!! = b
"
, AD! "!! = c
"
Gọi M là trung điểm cạnh AB, N là điểm trên cạnh CD sao cho ND = 2NC. Gọi O là trung điểm đoạn thẳng MN. Hãy biểu diễn véctơ
AO
! "!!
theo ba véctơ a
!"
,b", c"
A
AO
! "!!
= 1
4a
!"
+1
3b
"
+1
3c
"
C
AO
! "!!
= 1
4a
!"
+1
3b
"
+1
6c
"
B
AO
! "!!
= 1
4a
!"
+1
4b
"
+1
4c
"
D
AO
! "!!
= 1
4a
!"
+1
6b
"
+1
3c
"
Câu 8 Cho lăng trụ tam giác ABC.A' B'C ' có AA'
! "!!!
= a
!"
, AB! "!! = b
"
, AC! "!! = c
"
Hãy biểu diễn véctơ
B'C
! "!!!
theo ba véctơ a
!"
,b", c"
A B'C
! "!!!
= c
"
− b
"
+ a
!"
C B'C
! "!!!
= −c
"
+ b
"
− a
!"
B B'C
! "!!!
= c
"
− b
"
− a
!"
D B'C
! "!!!
= −c
"
+ b
"
+ a
!"
Câu 9 Cho tứ diện SABC có SA
! "!!
= a
!"
, SB! "!! = b
"
, SC! "!! = c
"
Gọi M là trung điểm cạnh SA, N là điểm
thuộc cạnh BC sao cho NC = 3NB Phân tích véctơ MN
! "!!!
theo ba véc tơ a
!"
,b" và c
!
Trang 5A
MN
! "!!!
= 1
2a
!"
+3
4b
"
+1
4c
"
C
MN
! "!!!
= −1
2a
!"
+ 3
4b
"
−1
4c
"
B
MN
! "!!!
= −1
2a
!"
+ 3
4b
"
+ 1
4c
"
D
MN
! "!!!
=1
2a
!"
−3
4b
"
+1
4c
"
Câu 10 Cho tứ diện ABCD Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AB và CD. Trên các cạnh
AD và BC lần lượt lấy các điểm P,Q thoả mãn
AP
! "!!
= 2
3AD
! "!!
, BQ! "!! = kBC! "!! Hãy tìm k để ba véctơ
MP
! "!!
, MN! "!!!, MQ! "!! đồng phẳng
A
k = − 23. B k = 43. C k = 23. D k = − 43.
Câu 11 Cho hình hộp ABCD.A' B'C ' D' Các điểm M, N xác định bởi:
MA
! "!!
= −1
4MD
! "!!
, NA'! "!!! = −2
3NC
! "!!
Tìm cặp số thực (m;n) sao cho MN
! "!!!
= mBD
! "!!
+ nBC '
! "!!!
A
m = − 2
5
n = 3
5
⎧
⎨
⎪⎪
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
⎪
m = 2
5
n = 3
5
⎧
⎨
⎪⎪
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
⎪
m = − 2
5
n = − 3
5
⎧
⎨
⎪⎪
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
⎪
m = 2
5
n = − 3
5
⎧
⎨
⎪⎪
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
⎪
Câu 12 Cho hình chóp S.ABC có M, N là các điểm thoả mãn MS
! "!!
= −2MA
! "!!
, NB! "!! = kNC
! "!!
Tìm k
để ba véctơ AB
! "!!
, MN! "!!!, SC! "!! đồng phẳng
A k = −2. B
k = 12. C k = 2. D k = − 12.
Câu 13 Cho hình hộp ABCD.A' B'C ' D' có AB
! "!!
= a
!"
, AD! "!! = b
"
, AA'! "!!! = c
"
Các điểm P,Q xác định bởi AP
! "!!
= −AD'
! "!!!
,C 'Q! "!!! = −C ' D
! "!!!
Hãy biểu diễn véctơ PQ! "!! theo ba véctơ a
!"
,b" và c
!
A PQ
! "!!
= a
!"
+ 2b
"
+ 2c
"
C PQ
! "!!
= 2a
!"
+ 3b
"
+ 3c
"
B PQ
! "!!
= 2a
!"
+ 2b
"
+ 3c
"
D PQ
! "!!
= a
!"
+ 2b
"
+ 3c
"
Câu 14 Cho tứ diện ABCD có tất cả các cạnh bằng m Các điểm M, N lần lượt là trung điểm của
các cạnh AB và CD. Tính độ dài đoạn thẳng MN.
MN = m
MN = m
3
Câu 15 Cho tứ diện ABCD có tất cả các cạnh bằng a Gọi M là trung điểm của các cạnh AB và
N thuộc cạnh CD thoả mãn ND = 2NC. Tính độ dài đoạn thẳng MN.
Trang 6A
MN = a 196 B MN = a 193 C MN = a 156 D MN = a 153
Câu 16 Cho lăng trụ tam giác ABC.A' B'C ' Gọi I, K lần lượt là trung điểm của BB', A'C'
Điểm M thuộc cạnh B'C ' sao cho MB'
! "!!!
= kMC '
! "!!!
Tìm k để bốn điểm A, I, M, K đồng phẳng
A k = −1. B k = −2. C
k = − 12. D k = −3.
Câu 17 Cho hình hộp ABCD.A' B'C ' D' có AA'
! "!!!
= a
!"
, AB! "!! = b
"
, AD! "!! = c
"
Gọi M, N lần lượt là
trung điểm của các cạnh AA' và B'C ' Hãy biểu diễn MN
! "!!!
theo ba véctơ a
!"
,b", c"
A
MN
! "!!!
= a
!"
+ b
"
+1
2c
"
C
MN
! "!!!
= a!"− b"+1
2c
"
B
MN
! "!!!
=1
2a
!"
− b
"
+1
2c
"
D
MN
! "!!!
=1
2a
!"
+ b"+1
2c
"
Câu 18 Cho tứ diện ABCD có G là trọng tâm của tứ diện Đặt BA
! "!!
= a
!"
,CA! "!! = b
"
, DA! "!! = c
"
Hỏi khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?
A
AG
! "!!
= 1
4(a
!"
+ b
"
+ c
"
)
C
AG
! "!!
= −1
4(a
!"
+ b
"
+ c
"
)
B
AG
! "!!
= 1
3(a
!"
+ b
"
+ c
"
)
D
AG
! "!!
= −1
3(a
!"
+ b
"
+ c
"
)
Câu 19 Cho tứ diện ABCD có G là trọng tâm của tam giác BCD Đặt BA
! "!!
= a
!"
,CA! "!! = b
"
, DA! "!! = c
" Hỏi khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?
A
AG
! "!!
= 1
4(a
!"
+ b
"
+ c
"
)
C
AG
! "!!
= −1
4(a
!"
+ b
"
+ c
"
)
B
AG
! "!!
= 1
3(a
!"
+ b
"
+ c
"
)
D
AG
! "!!
= −1
3(a
!"
+ b
"
+ c
"
)
Câu 20 Cho hình hộp ABCD.A' B'C ' D' tâm O Đặt AB
! "!!
= a
!"
, BC! "!! = b
"
Điểm M xác định bởi
OM
! "!!!
= 1
2(a
!"
− b
"
) Hỏi khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?
A M là tâm của mặt bên ABB' A'.
C M là trung điểm của cạnh BB'.
B M là tâm của mặt bên BCC ' B'.
D M là trung điểm của cạnh CC '.
Câu 21 Cho hình chóp S.ABC có SA
! "!!
= a
!"
, SB! "!! = b
"
, SC! "!! = c
"
và các điểm M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,SC Các điểm P,Q trên các đường thẳng SA, BN sao cho PQ / /MN Hãy biểu diễn véctơ PQ
! "!!
theo ba véctơ a
!"
,b", c"
A
PQ
! "!!
= −1
3a
!"
+1
3b
"
+1
3c
"
PQ
! "!!
= −1
6a
!"
+1
6b
"
+1
6c
"
Trang 7
C
PQ
! "!!
= −1
3a
!"
+1
3b
"
+1
3c
"
PQ
! "!!
= −1
3a
!"
+1
3b
"
+1
3c
"
Câu 22 Cho hình chóp S.ABC có SA
! "!!
= a
!"
, SB! "!! = b
"
, SC! "!! = c
"
và các điểm M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,SC Các điểm P,Q trên các đường thẳng SA, BN sao cho PQ / /CM Hãy biểu diễn véctơ PQ
! "!!
theo ba véctơ a
!"
,b", c"
A
PQ
! "!!
= −2
3a
!"
−2
3b
"
+4
3c
"
C
PQ
! "!!
= 2
3a
!"
+ 2
3b
"
−4
3c
"
B
PQ
! "!!
= 1
3a
!"
+1
3b
"
−2
3c
"
D
PQ
! "!!
= −1
3a
!"
−1
3b
"
+2
3c
"
Câu 23 Cho hình chóp S.ABC có độ dài các cạnh bên SA = 1,SB = 2,SC = 3 và các góc tại đỉnh
S bằng 600, (ASB! = BSC! = CSA! = 600) Gọi H là điểm thuộc mặt phẳng (ABC) thoả mãn
SH ⊥ AB và SH ⊥ AC Đặt SA
! "!!
= a
!"
, SB! "!! = b
"
, SC! "!! = c
"
Hãy biểu diễn véctơ SH! "!! theo ba véctơ
a
!"
,b", c"
A
SH
! "!!
= 26
25a
!"
+ 1
25b
"
− 2
25c
"
C
SH
! "!!
= 26
25a
!"
− 1
25b
"
− 2
25c
"
B
SH
! "!!
= 26
25a
!"
+ 1
25b
"
+ 2
25c
"
D
SH
! "!!
= −26
25a
!"
+ 1
25b
"
+ 2
25c
"
Câu 24 Cho hình chóp SABC có SA = SB = 1,SC = 2 và các góc tại đỉnh A bằng 600. Gọi H
là điểm thuộc đường thẳng SA và N thuộc đường thẳng BC sao cho MN ⊥ SA, MN ⊥ BC Đặt SA
! "!!
= a
!"
, SB! "!! = b
"
, SC! "!! = c
"
Hãy biểu diễn véctơ MN! "!!! theo ba véctơ a!",b", c"
A
MN
! "!!!
= − 6
13a
!"
+10
13b
"
+ 1
13c
"
C
MN
! "!!!
= − 6
11a
!"
+10
11b
"
+ 1
11c
"
B
MN
! "!!!
= − 6
13a
!"
+10
13b
"
− 1
13c
"
D
MN
! "!!!
= − 6
11a
!"
+10
11b
"
− 1
11c
"
Câu 25 Cho tứ diện ABCD có các điểm M, N, P lần lượt thuộc các cạnh BC, BD và AC sao cho
BC = 4BM, AC = 3AP, BD = 2BN Mặt phẳng (MNP) cắt đường thẳng AD tại điểm Q Tính tỉ
số
AQ
AD.
A
AQ
5
2. B
AQ
3
5. C
AQ
2
5. D
AQ
5
3.
-HẾT -
Trang 8ĐÁP ÁN
Trang 9C – LỜI GIẢI CHI TIẾT
Câu 2 Ta có
AO
! "!!
= 1
! "!!!
+ AN
! "!!
⎛
⎝
⎜⎜⎜ ⎞⎠⎟⎟⎟ =12 12a!"+1
2(b
"
+ c
"
)
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥ =
1
4(a
!"
+ b
"
+ c
"
) (C)
Câu 5 Theo giả thiết, ta có:
IA
! "!
! "!!
⇒ DA! "!! − DI! "! = −3
! "!!!
− DI! "!
⎛
⎝
⎜⎜⎜ ⎞⎠⎟⎟⎟
! "!
= DA
! "!!
! "!!!
= DA
! "!!
! "!!
+ DC
! "!!
⎛
⎝
⎜⎜⎜ ⎞⎠⎟⎟⎟
Suy ra
DI
! "!
= 1
20 14DA
! "!!
+ 3DB
! "!!
+ 3DC
! "!!
⎛
⎝
Câu 6 Ta có
AI
! "!
! "!!
+ AC '
! "!!!
⎛
⎝
⎜⎜⎜ ⎞⎠⎟⎟⎟ =12 ! "AB!! + AB
! "!!
+ AD
! "!!
+ AA'
! "!!!
⎛
⎝
!"
+ a
!"
+ b
"
+ c
"
⎛
⎝
⎜⎜⎜ ⎞⎠⎟⎟⎟ = a!"+1
2b
"
2c
"
(A)
Câu 7 Ta có
AO
! "!!
= 1
! "!!!
+ AN! "!!
⎛
⎝
⎜⎜⎜ ⎞⎠⎟⎟⎟, trong đó
AM
! "!!!
= 1
2a
!"
và
AN
! "!!
= AC
! "!!
+ CN
! "!!
= AC
! "!!
+1
3CD
! "!!
= AC
! "!!
+1
3(AD
! "!!
− AC
! "!!
) = 2
3b
"
+1
3c
"
Vì vậy
AO
! "!!
= 1
2
1
2a
!"
+2
3b
"
+1
3c
"
⎛
⎝
⎜⎜
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
⎟⎟= 14a
!"
+1
3b
"
+1
6c
"
(C)
Trang 10Câu 8 Ta có B'C
! "!!!
= AC
! "!!
− AB'
! "!!!
= AC
! "!!
− (AB
! "!!
+ BB'
! "!!!
) = c"− b
"
− a
!"
(B)
Câu 9 Ta có MN
! "!!!
= SN
! "!!
− SM
! "!!
trong đó
SM
! "!!
= 1
2SA
! "!!
= 1
2a
!"
và
SN
! "!!
= SB
! "!!
+ BN
! "!!
= SB
! "!!
+1
4BC
! "!!
= SB
! "!!
+1
4(SC
! "!!
− SB
! "!!
) = 1
4c
"
+ 3
4b
"
Vì vậy
MN
! "!!!
= −1
2a
!"
+3
4b
"
+1
4c
"
(B)
Câu 10 Đặt AB
! "!!
= a
!"
, AD! "!! = b
"
, AC! "!! = c
"
ta có
MN
! "!!!
= AN
! "!!
− AM
! "!!!
= 1
2 AC
! "!!
+ AD
! "!!
⎛
⎝
⎜⎜⎜ ⎞⎠⎟⎟⎟−12! "AB!! = 1
2 c
"
+ b
"
− a
!"
⎛
⎝
⎜⎜⎜ ⎞⎠⎟⎟⎟
Ta có
AP
! "!!
= 2
3 AD
! "!!
⇒ AM
! "!!!
+ MP
! "!!
= 2
3 AD
! "!!
⇒ MP
! "!!
= 2
3b
"
−1
2a
!"
Và BQ
! "!!
= kBC
! "!!
⇒ BM
! "!!!
+ MQ
! "!!
= kBC
! "!!
suy ra
MQ
! "!!
= k(AC
! "!!
− AB
! "!!
) − BM! "!!! = kc
"
− ka
!"
2a
!"
2− k
⎛
⎝
⎜⎜
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
⎟⎟a
!"
+ kc
"
Để ba véctơ MP
! "!!
, MN! "!!!, MQ! "!! đồng phẳng ta phải có:
MN
! "!!!
= xMP
! "!!
+ yMQ
! "!!
2 c
"
+ b
"
− a
!"
⎛
⎝
⎜⎜⎜ ⎞⎠⎟⎟⎟ = x 23b"−1
2a
!"
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥+ y
1
2− k
⎛
⎝
⎜⎜
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
⎟⎟a
!"
+ kc
"
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⇔ −3a
!"
+ 3b
"
+ 3c
"
= (4xb
"
− 3xa
!"
) + (3 − 6k)ya!"+ 6kyc
"
⇔ (3 − 3x + 3y − 6ky)a
!"
+ (4x − 3)b
"
+ (6ky − 3)c
"
= 0
"
⇔
3 − 3x + 3y − 6ky = 0
4x − 3 = 0
6ky − 3 = 0
⎧
⎨
⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
4; y = 34; k = 23.
Chọn đáp án C
Câu 12 Đặt SA
! "!!
= a!", SB! "!! = b", SC! "!! = c" ta có AB
! "!!
= SB! "!! − SA! "!! = b"− a!"; SC! "!! = c" và
MS
! "!!
= −2MA
! "!!
⇒ −SM
! "!!
= −2(SA
! "!!
− SM
! "!!
) ⇒ SM! "!! = 2
3SA
! "!!
= 2
3a
!"
NB
! "!!
= kNC! "!! ⇒ SB! "!! − SN! "!! = k(SC! "!! − SN! "!!) ⇒ (k−1)SN! "!! = kSC! "!!− SB! "!! = kc"− b"
(k−1)MN! "!!! = (k −1)(SN
! "!!
− SM
! "!!
) = kc"− b
"
−2(k−1)
!"
⎧
⎨
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
Để ba véctơ AB
! "!!
, MN! "!!!, SC! "!! đồng phẳng ta phải có: