Chuyên đề bồi dưỡng hsg toán 7 Chuyên đề 1: Bài toán về tính chất của dãy tỉ số bằng nhau: 1... Dạng 7: A + B = 0 Vận dụng tính chất không âm của giá trị tuyệt đối dẫn đến phương pháp b
Trang 1Chuyên đề bồi dưỡng hsg toán 7 Chuyên đề 1: Bài toán về tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:
1 Kiến thức vận dụng :
- a c a d b c .
b = ⇔d =
-Nếu a b = =d c e f thì a b = =d c e f =b d a b e± ±± ±f với gt các tỉ số dều có nghĩa
- Có a b = =d c e f = k Thì a = bk, c = d k, e = fk
Bài 1: Cho a c
c =b Chứng minh rằng: a22 c22 a
b c b
+ = +
Bài 2: Cho a,b,c ∈ R và a,b,c ≠ 0 thoả mãn b2 = ac Chứng minh rằng:
c
a
=
2 2
( 2012 ) ( 2012 )
+ +
Bài 3: Chøng minh r»ng nÕu
d
c b
a = th×
d c
d c b a
b a
3 5
3 5 3 5
3 5
−
+
=
− +
Bài 4: BiÕt a22 b22 ab
c d cd
+ với a,b,c, d ≠0 Chứng minh rằng :
a c
b =d hoặc a d
b = c
Bài 5 : Cho tØ lÖ thøc
d
c b
a = Chøng minh r»ng:
22 22
d c
b a cd
ab
−
−
= vµ 22 22
2
d c
b a d c
b a
+
+
=
+ +
Bài 6 : Cho d·y tØ sè b»ng nhau:
d
d c b a c
d c b a b
d c b a a
d c b
TÝnh
c b
a d b a
d c a d
c b d c
b a M
+
+ + +
+ + +
+ + +
+
=
Bài 7 : a) Chøng minh r»ng:
NÕu
c b a
z c
b a
y c
b a
x
+
−
=
− +
= + + 2 2 4 4 Th× x+2a y+z = 2x+b y−z = 4x−c4y+z b) Cho:
d
c c
b b
a
=
= Chøng minh:
d
a d c b
c b
+ +
+
Bài 8: Cho y+x z+t = z+t y+x =t+x z+ y = x+ y t +z
chøng minh r»ng biÓu thøc sau cã gi¸ trÞ nguyªn P x z t y t y x z x z y t y t x z
+
+ + +
+ + +
+ + +
+
=
Bài 9 : Cho 3 số x , y , z khác 0 thỏa mãn điều kiện : y z x+ −x = z x y+ −y = x y z+ −z
Hãy tính giá trị của biểu thức : B = 1 x 1 y 1 z
+ + +
÷ ÷ ÷
Bài 10 : a) Cho các số a,b,c,d khác 0 Tính
Trang 2T =x2011 + y2011 + z2011 + t2011
Biết x,y,z,t thỏa mãn:
+ + +
b) Tìm số tự nhiên M nhỏ nhất có 4 chữ số thỏa mãn điều kiện:
M = a + b = c +d = e + f
Biết a,b,c,d,e,f thuộc tập N* và 14
22
a
b = ; 11
13
c
d = ; e f =1713 b) Cho 3 số a, b, c thỏa mãn :
2009 2010 2011
Tính giá trị của biểu thức : M = 4( a - b)( b – c) – ( c – a )2
Một số bài tương tự
Bài 11: Cho d·y tØ sè b»ng nhau:
2012a b c d a 2012b c d a b 2012c d a b c 2012d
TÝnh
c b
a d b a
d c a d
c b d c
b a M
+
+ + +
+ + +
+ + +
+
=
Bài 12: Cho 3 số x , y , z, t khác 0 thỏa mãn điều kiện :
y z t nx+ + −x = z t x ny+ + −y =t x y nz+ + −z = x y z nt+ + −t ( n là số tự nhiên)
và x + y + z + t = 2012 Tính giá trị của biểu thức P = x + 2y – 3z + t Bài 1: Tìm cặp số (x;y) biết : 1+3y 1+5y 1+7y= =
Bài 3 : Cho a b c
b = =c a và a + b + c ≠ 0; a = 2012.
Tính b, c
Bài 4 : Tìm các số x,y,z biết : y x+ +x 1= x z+ +y 2 = x y+ −z 3= x y z+ +1
Bài 5 : Tìm x, biết rằng: 1 2 1 4 1 6
x
y x
z z
x
y y
z
x
+ +
=
− +
= + +
= + + 1 1 2 (x, y, z ≠ 0)
Bài 7 : T×m x, y, z biÕt
216
3 64
3 8
=
= vµ 2x2 + 2y2 −z2 = 1
Bài 8 : Tìm x , y biết : 2 1 4 5 2 4 4
x
Bài 9: Cho dãy tỉ số bằng nhau: 1 2 3 2008
a = a = a = = a
CMR: Ta có đẳng thức:
2008
1
a a a a a
Trang 4Bài 1: Tỡm x biết
a) x + 2x + 3x + 4x + … + 2011x = 2012.2013
2011 2010 2009 2008
x− + x− − x− = x−
Bài 2 Tỡm x nguyờn biết
1.3 3.5 5.7 + + + + (2x 1)(2x 1) = 99
b) 1- 3 + 3 2 – 3 3 + ….+ (-3) x = 91006 1
4
−
Bài 1 : Tỡm x biết :
a) x− 2011 = −x 2012 b) x− 2010 + −x 2011 2012 =
Bài 2 : a) Tìm x biết x− 1 + x+ 3 = 4
b) Tìm x biết: x2 + 6x− 2 = x2 + 4
c) Tìm x biết: 2x+ 3 − 2 4 −x = 5
Bài 3 : a)Tìm các giá trị của x để: x+ 3 + x+ 1 = 3x
b) Tỡm x biết: 2x− − = 3 x 2 −x
Bài 4 : tỡm x biết :
a) x− ≤ 1 4 b) x− 2011 2012 ≥
Dạng : Sử dụng BĐT giỏ trị tuyệt đối
Bài 1 : a) Tỡm x ngyờn biết : x− + − + − + − = 1 x 3 x 5 x 7 8
b) Tỡm x biết : x− 2010 + −x 2012 + −x 2014 = 2
Bài 2 : Tỡm x nguyờn biết : x− + − + 1 x 2 + −x 100 = 2500
Bài 3 : Tỡm x biết x+ + + + 1 x 2 + +x 100 = 605x
Bài 4 : Tìm x, y thoả mãn: x 1− + − + − + −x 2 y 3 x 4 = 3
Bài 5 : Tỡm x, y biết : x− 2006y + −x 2012 ≤ 0
Bài 6 : Tìm các số nguyên x thoả mãn.
2004 = − + −x 4 x 10 + +x 101 + +x 990 + +x 1000
Trang 5Dạng chứa lũy thừa của một số hữu tỉ
Bài 1: Tỡm số tự nhiờn x, biết :
a) 5x + 5x+2 = 650 b) 3x-1 + 5.3x-1 = 162
Bài 2 : Tỡm cỏc số tự nhiờn x, y , biết:
a) 2x + 1 3y = 12x b) 10x : 5y = 20y
Bài 3 : Tỡm m , n nguyờn dương thỏa món :
a) 2m + 2n = 2m +n b) 2m – 2n = 256
Bài 4 : Tỡm x , biết : ( ) 1 ( ) 11
x− + − −x + =
x− y + −y =
Bài 6 : Tỡm x, y biết :
a) x+ + 5 (3y− 4) 2012 = 0 b) (2x− 1) 2 + 2y x− − = − 8 12 5.2 2
Chuyờn đề 4: Giỏ trị nguyờn của biến , giỏ trị của biểu thức :
Bài 1: a) Tìm các số nguyên tố x, y sao cho: 51x + 26y = 2000
b) Tìm số tự nhiên x, y biết: 7 (x− 2004 ) 2 = 23 −y2
c) Tìm x, y nguyên biết: xy + 3x - y = 6
d) Tìm mọi số nguyên tố thoả mãn : x2-2y2=1
Bài 2 a) Tỡm cỏc số nguyờn thỏa món : x – y + 2xy = 7
b) Tỡm x y, ∈ Ơ biết: 25 −y2 = 8(x− 2012) 2
Bài 3 a) Tìm giá trị nguyên dơng của x và y, sao cho: 1 1 1
x + =y 5 b) Tìm các số a, b, c nguyên dơng thoả mãn :
a3 + 3a2 + 5 = 5b và a+ 3 = 5c
Bài 4: Tìm các cặp số nguyên tố p, q thoả mãn:
2
5 p + 2013 5 = p +q
Bài 5 : Tìm tất cả các số nguyên dơng n sao cho: 2n − 1 chia hết cho 7
Bài 1 Tìm số nguyên m để:
a) Giá trị của biểu thức m -1 chia hết cho giá trị của biểu thức 2m + 1 b) 3m− 1 < 3
Bài 2 a) Tìm x nguyên để 6 x+ 1 chia hết cho 2 x− 3
b) Tìm x∈Z để A∈ Z và tìm giá trị đó
A =
3
2 1 +
−
x
x
Bài 3: Tỡm x nguyờn để 2012 5
1006 1
x x
+ + ∈ Z
Chuyờn đề 5 : Giỏ trị lớn nhất , giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức:
Bài 1: Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của cỏc đa thức sau:
a) P(x) = 2x2 – 4x + 2012
b) Q(x) = x2 + 100x – 1000
Trang 6Bài 2 : Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của cỏc biểu thức sau:
a) A = - a2 + 3a + 4 b) B = 2 x – x2
Bài 3 : Tỡm giỏ trị lớn nhất của cỏc biểu thức sau:
a) P = 2
2012
4 2013
x + x+ b) Q =
2012 2012
2013 2011
a a
+ +
Bài 1 : Tỡm GTNN của biểu thức :
a) P = ( x – 2y)2 + ( y – 2012)2012
b) Q = ( x + y – 3)4 + ( x – 2y)2 + 2012
2013 (x− 2) + − (x y) + 3
Bài 4 : Cho phân số:
5 4
2 3
−
+
=
x
x
C (x ∈ Z) a) Tìm x ∈ Z để C đạt giá trị lớn nhất, tìm giá trị lớn nhất đó
b) Tìm x ∈ Z để C là số tự nhiên
Bài 5 : Tìm số tự nhiên n để phân số
3 2
8 7
−
−
n
n
có giá trị lớn nhất
Bài 1: Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức
a) A = ( x – 2)2 + y x− + 3
b) B = 2012− −2011x 2010
Bài 2 : Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của cỏc biểu thức
a) A= −x 2011 + −x 2012
b) B= −x 2010 + −x 2011 + −x 2012
c) C = x− + − + 1 x 2 + −x 100
Chuyờn đề 6 : Dạng toỏn chứng minh chia hết
Bài 1 : Chứng minh rằng : Với mọi số nguyờn dương n thỡ :
3n+ − 2n+ + − 3n 2nchia hết cho 10
Bài 2 : Chứng tỏ rằng:
A = 75 (42004 + 42003 + + 42 + 4 + 1) + 25 là số chia hết cho 100
Bài 3 : Cho m, n ∈ N* và p là số nguyờn tố thoả món:
1
−
m
p
= m p+n(1) Chứng minh rằng : p2 = n + 2
Bài 4: a) Số A= 10 1998 − 4 có chia hết cho 3 không ? Có chia hết cho 9 không ? b) Chứng minh rằng: A= 36 38 + 41 33 chia hết cho 7
Bài 5 :
a) Chứng minh rằng: 3n+ 2 − 2n+ 4 + 3n + 2n chia hết cho 30 với mọi n nguyên dơng
b) Chứng minh rằng: 2a - 5b + 6c 17 nếu a - 11b + 3c 17 (a, b, c ∈ Z)
Bài 6 : a) Chứng minh rằng: 3a+ 2b 17 ⇔ 10a+b 17 (a, b ∈ Z )
b) Cho đa thức f(x) =ax2 +bx+c (a, b, c nguyên)
Trang 7CMR nếu f(x) chia hết cho 3 với mọi giá trị của x thì a, b, c đều chia hết cho 3
Bài 7 : a) Chứng minh rằng 102006 53
9
+ là một số tự nhiờn
b) Cho 2n + 1 là số nguyên tố (n > 2) Chứng minh 2n − 1 là hợp số
Chuyờn đề 7 : Bất đẳng thức
1.Kiến thức vận dụng
* Kỹ thuật làm trội : Nếu a1 < a2 < a3 <… < an thỡ n a1 < a1 + a2 + … + an < nan
⇔ < + + + <
* a(a – 1) < a 2 < a( a+1) 2
a a a a a
⇔ < <
* a 2 + 2.ab + b 2 = ( a + b) 2 ≥ 0 , * a 2 – 2 ab + b 2 = ( a – b) 2 ≥ 0 với mọi a,b
Bài 1: Cho a, b, c > 0 Chứng tỏ rằng:
a c
c c b
b b a
a M
+
+ +
+ +
= không là số nguyên.
Bài 2 Chứng minh rằng : a b+ ≥ 2 ab (1) , a b c+ + ≥ 3 3abc (2) với a, b, c ≥ 0
Bài 3 : Với a, b, c là cỏc số dương Chứng minh rằng
a) (a b)(1 1) 4
a b
+ + ≥ (1) b) (a b c)(1 1 1) 9
a b c
+ + + + ≥ (2)
Bài 4 : a) Cho z, y, z là các số dơng.
Chứng minh rằng: 2x+x y+z +2y+y z+x +2z+z x+y ≤ 43
b) Cho a, b, c thoả mãn: a + b + c = 0 Chứng minh rằng: ab+bc+ca≤ 0
Bài 5: Tỡm giỏ trị của x trong dóy tớnh sau:
655 ) 47 ( ) 42 (
) 12 ( ) 7 ( )
2
(x+ + x+ + x+ + + x+ + x+ =
b)
15
2 14
2 13
2 12
2 11
2+ + + + = + + +
x
a,
327
2
+
x
+
326
3 +
x
+
325
4 +
x
+
324
5 +
x
+
5
349 +
x
=0 c) Cho các số x, y, z, t thoả mãn : xyzt=1
x xy xyz y yz yzt z zt ztx t tx txy
Bài 5: (1 điểm): Cho x, y, z, t ∈ N *.Chứng minh rằng: M x xy z x yy t y zz t x zt t
+ +
+ + +
+ + +
+ + +
=
cú giỏ trị khụng phải là số tự nhiờn
Bài 6: a) Tỡm x biết : x + (x+1) + (x+2) + (x+3) + … + (x+2009) = 2009.2010
b) Tớnh M = 1.2+2.3+3.4+ … + 2009 2010
Trang 84)
x
1 49 47
1
5
.
3
1
3
.
1
1 + + + = 5)
2 100 97
1
7 4
1 4 1
6)
101
5 2 101 97
4
9
.
5
4
5
.
1
100
1 1
4
1 1 3
1 1 2
1
−
−
−
5
1 2 100 99
4 3 3
.
2
2
.
1 + + + + = x− 9)
5
1 1 ) 2 )(
49
2 1 ( 2 + 2 + + 2 −x = −
Bài 18: Tìm số tự nhiên n biết: ( 2 1) 20042003
10
1 6
1 3
+ + + + +
n n
* Dạng 3: Tìm x, y, z biết
1) x + y + z = 0 2) 3x− 5 + 2y− 7 = 0
3
1 3 2
5 2 2
1
3
1 ( ) 2
1 ( ) 1 (x− 2 + y− 2 + z− 2 =
5) 1 − 2x + 2 − 3y + 3 − 4y = 0 6) x− 1 + (x− 1 )(x+ 1 ) = 0
5 Dạng 5: Xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối hàng loạt:
)
D(x C(x) B(x)
A(x) + + = (1)
Điều kiện: D(x) ≥ 0 kéo theo A(x) ≥ 0 ;B(x) ≥ 0 ;C(x) ≥ 0
Do vậy (1) trở thành: A(x) + B(x) + C(x) = D(x)
Bài 5.1: Tìm x, biết:
a) x+ 1 + x+ 2 + x+ 3 = 4x b) x+ 1 + x+ 2 + x+ 3 + x+ 4 = 5x− 1
2
1 5
3
2 + + + + =
+ d) x+ 1 , 1 + x+ 1 , 2 + x+ 1 , 3 + x+ 1 , 4 = 5x
Bài 5.2: Tìm x, biết:
101
100
101
3 101
2 101
+
100 99
1
4 3
1 3
2
1 2
.
1
+
99 97
1
7 5
1 5
3
1 3
.
1
+
401 397
1
13 9
1 9
5
1 5
.
1
+
6 Dạng 6: Dạng hỗn hợp:
Bài 6.1: Tìm x, biết:
a)
5
4 2
1
1
2
1
2 + x− = x +
4
3
x x
Bài 6.2: Tìm x, biết:
Trang 9a)
5
1 2
1
1
5
2 4
3 1 2
4
3
2
Bài 6.3: Tìm x, biết:
a) x x − =x
4
3
2
4
3 2 2
1
−
=
−
4
3 2 2
x
Bài 6.4: Tìm x, biết:
a) 2x− 3 −x+ 1 = 4x− 1 b) x− 1 − 1 = 2 c) 3x+ 1 − 5 = 2
7 Dạng 7: A + B = 0
Vận dụng tính chất không âm của giá trị tuyệt đối dẫn đến phương pháp bất đẳng thức
* Nhận xét: Tổng của các số không âm là một số không âm và tổng đó bằng 0 khi và chỉ khi các
số hạng của tổng đồng thời bằng 0
* Cách giải chung: A+ B = 0
0
0
≥ +
⇒
≥
≥
B A B
A
B2: Khẳng định: A+ B = 0
=
=
⇔
0
0
B A
Bài 7.1: Tìm x, y thoả mãn:
a) 3x− 4 + 3y+ 5 = 0 b) 0
25
9 = + +
− y y
x c) 3 − 2x + 4y+ 5 = 0
Bài 7.2: Tìm x, y thoả mãn:
7
2
4
3
13
23 17
11 5 , 1 4
3 2
1 3
2 − + x + − + y = c) x− 2007 + y− 2008 = 0
* Chú ý1: Bài toán có thể cho dưới dạng A+ B ≤ 0 nhưng kết quả không thay đổi
* Cách giải: A + B ≤ 0 (1)
0 0
0
≥ +
⇒
≥
≥
B A
B
A
(2)
Từ (1) và (2) ⇒ A + B = 0
=
=
⇔
0
0
B A
Bài 7.3: Tìm x, y thoả mãn:
a) 5x+ 1 + 6y− 8 ≤ 0 b) x+ 2y + 4y− 3 ≤ 0 c) x− y+ 2 + 2y+ 1 ≤ 0
Bài 7.4: Tìm x, y thoả mãn:
a) 12x+ 8 + 11y− 5 ≤ 0 b) 3x+ 2y + 4y− 1 ≤ 0 c) x+ y− 7 + xy− 10 ≤ 0
Trang 10* Chú ý 2: Do tính chất không âm của giá trị tuyệt đối tương tự như tính chất không âm của luỹ
thừa bậc chẵn nên có thể kết hợp hai kiến thức ta cũng có các bài tương tự
Bài 7.5: Tìm x, y thoả mãn đẳng thức:
a) x− y− 2 + y+ 3 = 0 b) x− 3y2007 + y+ 42008 = 0
c) (x+ y)2006 + 2007y− 1 = 0 d) x−y− 5 + 2007(y− 3)2008 = 0
Bài 7.6: Tìm x, y thoả mãn :
a) (x− 1) (2 + y+ 3)2 = 0 b) 2(x− 5)4 + 5 2y− 75 = 0
2
1 4 2
2
1 2 1 3
2000
=
+
−
x
Bài 7.7: Tìm x, y thoả mãn:
a) x− 2007 + y− 2008 ≤ 0 b) 0
3
2 10 3
7 5
≤ + +
−y y x
25
6 5
4 2008
2007 2
1
4
3
2
1 2006 + + ≤
x− y d) 2007 2x−y2008+ 2008y− 42007 ≤ 0
1) T×m x, y biÕt : ( 2x – 5) 2008+ ( 3y + 4)2010 ≤ 0
II – Tìm cặp giá trị ( x; y ) nguyên thoả mãn đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối:
1 Dạng 1: A + B =m với m≥ 0
* Cách giải:
* Nếu m = 0 thì ta có A+ B = 0
=
=
⇔
0
0
B A
* Nếu m > 0 ta giải như sau:
m
B
A+ = (1)
Do A ≥ 0 nên từ (1) ta có: 0 ≤ B ≤m từ đó tìm giá trị của B và A tương ứng
Bài 1.1: Tìm cặp số nguyên ( x, y) thoả mãn:
a) x− 2007 + x− 2008 = 0 b) x− y− 2 + y+ 3 = 0 c) (x+ y)2 + 2y− 1 = 0
Bài 1.2: Tìm cặp số nguyên ( x, y) thoả mãn:
a) x− 3y5 + y+ 4 = 0 b) x− y− 5 +(y− 3)4 = 0 c) x+ 3y− 1 + 3y+ 2 = 0
Bài 1.3: Tìm cặp số nguyên (x, y ) thoả mãn:
a) x+ 4 + y− 2 = 3 b) 2x+ 1 + y− 1 = 4 c) 3x + y+ 5 = 5 d) 5x + 2y+ 3 = 7
Bài 1.4: Tìm cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn:
a) 3x− 5 + y+ 4 = 5 b) x+ 6 + 4 2y− 1 = 12 c) 2 3x + y+ 3 = 10 d) 3 4x + y+ 3 = 21
Bài 1.5: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn:
Trang 11a) y2 = 3 − 2x− 3 b) y2 = 5 − x− 1 c) 2y2 = 3 − x+ 4 d) 3y2 = 12 − x− 2
3 -
Sử dụng phương pháp bất đẳng thức:
Bài 1: Tìm x, y thoả mãn đẳng thức:
a) x− y−2 + y+3 =0
x-y-2 =0 x=-1
<=>
y+3 =0 y= -3
Bài 2: Tìm x, y thoả mãn :
a) (x−1) (2 + y+3)2 =0
Bài 3: Tìm x, y thoả mãn:
a) x−2007 + y−2008 ≤ 0
Bài 4: Tìm x thoả mãn:
a) x+5 + 3−x =8
2 Dạng 2: A + B <m với m > 0.
* Cách giải: Đánh giá
m
B
A+ < (1)
0 0
0
≥ +
⇒
≥
≥
B A
B
A
(2)
Từ (1) và (2) ⇒ 0 ≤ A + B <m từ đó giải bài toán A+ B =k như dạng 1 với 0 ≤k <m
Bài 2.1: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn:
a) x + y ≤ 3 b) x+ 5 + y− 2 ≤ 4 c) 2x+ 1 + y− 4 ≤ 3 d) 3x + y+ 5 ≤ 4
Bài 2.2: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn:
a) 5x+ 1 + y− 2 ≤ 7 b) 4 2x+ 5 + y+ 3 ≤ 5 c) 3x+ 5 + 2y− 1 ≤ 3 d) 3 2x+ 1 + 4 2y− 1 ≤ 7
3 Dạng 3: Sử dụng bất đẳng thức: a +b ≥ a+b xét khoảng giá trị của ẩn số.
Bài 3.1: Tìm các số nguyên x thoả mãn:
a) x− 1 + 4 −x = 3 b) x+ 2 + x− 3 = 5 c) x+ 1 + x− 6 = 7 d) 2x+ 5 + 2x− 3 = 8
Bài 3.2: Tìm các cặp số nguyên ( x, y) thoả mãn đồng thời các điều kiện sau.
a) x + y = 4 và x+ 2 + y = 6 b) x +y = 4 và 2x+ 1 + y−x = 5
c) x –y = 3 và x + y = 3 d) x – 2y = 5 và x + 2y− 1 = 6
Bài 3.3: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn đồng thời:
a) x + y = 5 và x+ 1 + y− 2 = 4 b) x – y = 3 và x− 6 + y− 1 = 4
c) x – y = 2 và 2x+ 1 + 2y+ 1 = 4 d) 2x + y = 3 và 2x+ 3 + y+ 2 = 8
Trang 124 Dạng 4: Kết hợp tính chất không âm của giá trị tuyệt đối và dấu của một tích:
* Cách giải : A(x).B(x) = A(y)
Đánh giá: A(y) ≥ 0 ⇒ A(x).B(x) ≥ 0 ⇒n≤ x≤m tìm được giá trị của x
Bài 4.1: Tìm các số nguyên x thoả mãn:
a) (x+ 2)(x− 3)< 0 b) (2x− 1)(2x− 5)< 0 c) (3 − 2x)(x+ 2) > 0 d) (3x+ 1)(5 − 2x)> 0
Bài 4.2: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn:
a) (2 −x)(x+ 1)= y+ 1 b) (x+ 3)(1 −x)= y c) (x− 2)(5 −x)= 2y+ 1 + 2
Bài 4.3: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn:
a) (x+ 1)(3 −x)= 2y + 1 b) (x− 2)(5 −x)− y+ 1 = 1 c) (x− 3)(x− 5)+ y− 2 = 0
5 Dạng 5: Sử dụng phương pháp đối lập hai vế của đẳng thức:
* Cách giải: Tìm x, y thoả mãn đẳng thức: A = B
Đánh giá: A≥m (1)
Đánh giá: B≤m (2)
Từ (1) và (2) ta có:
=
=
⇔
=
m B
m A B A
Bài 5.1: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn:
2 3
1
2 + − = − +
c) (2 6) 2
10 5
+
−
=
+
+
x
Bài 5.2: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn:
8 1
2
3
+
−
=
− +
+
y x
x b) x+3+ x−1= y−216+ y+2
12 5
3
1
+ +
=
− +
+
y x
+
−
= +
−
−
y y
x
Bài 5.3: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn:
a) ( )
3 1
14 7
2 2
− +
−
= +
−
+
y y
y
5 2 3
20 4
2 2
+ +
= + +
y x
c) 2 2007 3 20086 2
+
−
= +
−
y
+ +
= + + +
y y
x
V – Tìm giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của một biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối:
1 Dạng 1: Sử dụng tính chất không âm của giá trị tuyệt đối:
* Cách giải chủ yếu là từ tính chất không âm của giá trị tuyệt đối vận dụng tính chất của bất đẳng thức để đánh giá giá trị của biểu thức: