Ổn định và điều khiển hệ phương trình nơron có trễ

Lời cam đoanTôi xin cam đoan nội dung trong luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giảitích với đề tài "ỔN ĐỊNH VÀ ĐIỀU KHIỂN HỆ PHƯƠNG TRÌNHNƠRON CÓ TRỄ " được hoàn thành bởi nhận thức của

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

—————————————————

LÊ THỊ NGỌC HOA

ỔN ĐỊNH VÀ ĐIỀU KHIỂN

HỆ PHƯƠNG TRÌNH NƠRON CÓ TRỄ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - Năm 2017

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học

GS TSKH VŨ NGỌC PHÁT

Thái Nguyên - Năm 2017

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan nội dung trong luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giảitích với đề tài "ỔN ĐỊNH VÀ ĐIỀU KHIỂN HỆ PHƯƠNG TRÌNHNƠRON CÓ TRỄ " được hoàn thành bởi nhận thức của tôi, không trùnglặp với luận văn, luận án và các công trình đã công bố

Thái Nguyên, tháng 4 năm 2017

Người viết Luận văn

Lê Thị Ngọc Hoa

Lời cảm ơn

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới GS TSKH Vũ Ngọc Phát, người đã địnhhướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn, cho tôi những nhận xét quý báu đểtôi có thể hoàn thành luận văn

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng Sau Đại học, cácthầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích trường Đại học sư phạm

- Đại học Thái Nguyên đã giúp đỡ và tạo điều kiện cho tôi trong suốt quátrình học tập và nghiên cứu khoa học

Nhân dịp này tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè

đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quátrình học tập

Thái Nguyên, tháng 4 năm 2017

Người viết luận văn

Lê Thị Ngọc Hoa

Mục lục

1.1 Hệ phương trình vi phân 3

1.2 Hệ phương trình vi phân có trễ 5

1.3 Lý thuyết ổn định Lyapunov 6

1.4 Hệ phương trình vi phân điều khiển 10

1.5 Mô hình mạng nơron có trễ 11

1.6 Bài toán ổn định hóa 12

1.7 Các bổ đề bổ trợ 14

2 Ổn định và ổn định hóa hệ nơron có trễ 162.1 Ổn định hệ phương trình nơron có trễ 162.2 Ổn định hóa hệ phương trình nơron có trễ 242.3 Một số ví dụ 29

Một số ký hiệu viết tắt

R+ Tập hợp các số thực không âm

Rn Không gian Euclid n chiều

< x, y > hoặc xTy Tích vô hướng của 2 véctơ x, y

kxk Chuẩn véctơ Euclid của x

kxtk Chuẩn đoạn quĩ đạo trễ xt : kxtk = sup

λ(A) Giá trị riêng của A

λmax(A) Giá trị riêng lớn nhất của A:

λmax(A) = max{Reλ : λ ∈ λ(A)}

λmin(A) Giá trị riêng nhỏ nhất của A:

λmin(A) = min{Reλ : λ ∈ λ(A)}

C([0, t],Rn) Tập các hàm liên tục trên [0, t] giá trị trong Rn

C1([0, t],Rn) Tập các hàm khả vi liên tục trên [0, t] giá trị trong Rn

L2([0, t],Rn) Tập các hàm khả tích bậc 2 trên [0, t] giá trị trong Rn

A ≥ 0 Ma trận xác định không âm

A > 0 Ma trận xác định dương

diag{x1, , xn} Ma trận chỉ có số hạng đường chéo x1, , xn

LM I Bất đẳng thức ma trận tuyến tính

Mở đầu

Trong lý thuyết định tính các hệ động lực, bài toán ổn định và điều khiển

có vai trò rất quan trọng Nghiên cứu bài toán ổn định và bài toán điều khiểncác hệ động lực đã trở thành một trong những hướng nghiên cứu không thểthiếu trong lý thuyết hệ thống và ứng dụng Hệ mạng tế bào thần kinh (nơron)

là các mô hình toán sinh học được mô tả trong nhiều lĩnh vực ứng dụng như

xử lý tín hiệu, nhận dạng mẫu và liên kết tế bào thần kinh Các mô hìnhnơron có trễ là phổ biến và có nhiều ứng dụng thực tế Bởi vậy, việc nghiêncứu tính ổn định và ổn định hóa của hệ nơron có trễ là vấn đề quan trọng,cho đến nay đang được nhiều nhà nghiên cứu trong và ngoài nước quan tâm,

và đã thu được nhiều kết quả quan trọng Trong luận văn này, chúng tôi trìnhbày một số kết quả nghiên cứu gần đây về tính ổn định và ổn định hóa chomột số lớp hệ nơron có trễ Các hệ nơron xét trong luận văn là các hệ có trễtổng quát, các hệ nơron với các hàm kích hoạt khác nhau, trong đó độ trễ

là các hàm số liên tục và bị chặn trên khoảng hữu hạn Phương pháp hàmLyapunov kết hợp với các kỹ thuật bất đẳng thức ma trận tuyến tính được

sử dụng linh hoạt để giải bài toán ổn định và ổn định hóa

Nội dung của bản luận văn được trình bày trong hai chương.

Chương 1 trình bày cơ sở toán học: hệ phương trình vi phân tuyến tính, hệphương trình điều khiển, hệ phương trình nơron có trễ, bài toán ổn định và

ổn định hóa

Chương 2 trình bày các điều kiện đủ về tính ổn định và ổn định hóa hệ nơron

có trễ

Khi đó, nghiệm của x(t) của (1.1) cho bởi dạng tích phân:

∃k > 0 : kf (t, x1) − f (t, x2)k ≤ k kx1 − x2k , ∀t ≥ 0

Khi đó, với mỗi (t0, x0) ∈ I × D sẽ tìm được số b > d > 0 sao cho hệ (1.1)luôn có duy nhất nghiệm x(t) trên khoảng [t0 − d, t0 + d]

Định lý 1.1.2 (Định lý Caratheodory) Giả sử là hàm f(t,x) đo được theo

t ∈ I và liên tục theo x ∈ D Nếu tồn tại hàm khả tích m(t) trên (t0, t0 + β)

sao cho kf (t, x(t))k ≤ m(t) mọi (t, x) ∈ I × D thì hệ (1.1) có nghiệm trênkhoảng (t0, t0 + β) , β > 0

Chú ý rằng, định lý Caratheodory chỉ khẳng định sự tồn tại nghiệm chứkhông duy nhất

Định lý 1.1.3 (Định lý tồn tại nghiệm trên R+) Giả sử hàm f(.) là bị chặn

kf (t, x)k ≤ M và thỏa mãn điều kiện Lipschitz:

kf (t, x1) − f (t, x2)k ≤ k kx1 − x2k , ∀x1, x2 ∈ Rn, ∀t ≥ 0

Khi đó, hệ (1.1) có nghiệm duy nhất x(t) xác định trên R+

1.2 Hệ phương trình vi phân có trễ.

Chúng ta nhận thấy rằng các quá trình xảy ra trong tự nhiên thường cóliên quan đến quá khứ Các hệ phương trình có phụ thuộc trễ thể hiện đượcđặc điểm phụ thuộc vào quá khứ này của hệ thống, phần dưới đây sẽ trìnhbày một số khái niệm cơ bản cho hệ có trễ

Xét một hệ thống phụ thuộc vào quá khứ với độ trễ h (0 ≤ h < +∞)

Vớix(t)là một hàm liên tục, kí hiệuxt(δ) = x (t + δ) , ∀δ ∈ [−h, 0] là nghiệmtrên đoạn trễ và khi đó chuẩn được xác định bởi công thức:

trong đó L (t, ϕ) là tuyến tính theo ϕ

Giả sử t0 = 0, ϕ ∈ C ([−h, 0] ,Rn) cho trước và f (t, ϕ) liên tục Khi đó,

nghiệm x(t) của hệ (1.2) cho bởi dạng tích phân:

x (t) = ϕ (t) , t ∈ [−h, 0] ,x(t) = ϕ (0) +

Xét một hệ thống mô tả bởi phương trình vi phân (1.1), giả thiết f(t,x) làhàm thoả mãn các điều kiện sao cho bài toán Cauchy hệ (1.1) với điều kiệnban đầu luôn có nghiệm trên [0, +∞] Khi đó, dạng tích phân của nghiệmđược cho bởi:

Định nghĩa 1.3.1 Nghiệm 0 của hệ (1.1) được gọi là ổn định nếu:

Với hệ (1.2) ta luôn giả thiết f (t, 0) = 0, ∀t ∈ R+ Điều đó đảm bảo cho

hệ (1.2) luôn có nghiệm 0

Các khái niệm ổn định cho phương trình vi phân có trễ (1.2) được địnhnghĩa tương tự cho hệ phương trình vi phân không có trễ

Định nghĩa 1.3.4 Hệ (1.2) được gọi là ổn định nếu với mọi ε > 0, tồn tại

δ > 0 sao cho với mọi ϕ(.)mà kϕk < δ thì nghiệm x(t) của hệ (1.2) thỏa mãn

kx (t)k < ε, ∀t ∈R+

Định nghĩa 1.3.5 Hệ (1.2) được gọi là ổn định tiệm cận nếu nó ổn định và

lim

t→∞kx (t)k = 0

Định nghĩa 1.3.6 Cho α > 0 Hệ (1.2) làα−ổn định nếu tồn tại số N > 0,

sao cho với mọi ϕ ∈ C ([−h, 0] ,Rn) ,thì nghiệm x (t, ϕ)của hệ thỏa mãn điềukiện:

kx (t, ϕ)k ≤ N kϕke−αt, t ≥ 0

Để giải bài toán ổn định ta sử dụng phương pháp hàm Lyapunov

Xét lớp hàm K là tập các hàm liên tục tăng chặt

ặ) : R+ →R+, ă0) = 0

Định nghĩa 1.3.7 Hàm V (t, x) : R+×Rn → R gọi là hàm Lyapunov của

hệ phương trình vi phân (1.1) nếu: V (t, x), V (t, 0) = 0, là hàm khả vi, liêntục theo (t, x) và thỏa mãn các điều kiện sau:

i) V (t, x) là hàm xác định dương theo nghĩa:

∃ặ) ∈ K : V (t, x) ≥ ăkxk), ∀(t, x) ∈R+×Rn

ii) DfV (t, x) = ∂V∂t + ∂V∂xf (t, x) ≤ 0, ∀(t, x) ∈R+ ×Rn

Nếu hàm Lyapunov và thoả mãn thêm điều kiện:

Lyapunov của hệ phương trình vi phân có trễ (1.2) nếu: V (t, xt), V (t, 0) = 0,

là hàm khả vi, liên tục theo (t, xt) và thỏa mãn các điều kiện sau:

i) V (t, xt) là hàm xác định dương theo nghĩa:

sao cho:

(i)λ1kx(t)k2 ≤ V (t, xt) ≤ λ2kxtk2,(ii)DfV (t, xt) ≤ 0,

với mọi nghiệm của hệ là ổn định và bị chặn tức là:

1.4 Hệ phương trình vi phân điều khiển

Hệ phương trình điều khiển mô tả bởi phương trình vi phân

˙x(t) = f (t, x(t), u(t)), t ≥ 0, (1.4)

trong đó x(t) ∈ Rn là véctơ trạng thái, u(t) ∈ Rm, n ≥ m,là véctơ điều khiển

và hàm f (t, x, u) : R+×Rn×Rm →Rn Các đối tượng điều khiển trong các

mô hình điều khiển hệ động lực được mô tả như những dữ liệu đầu vào có tácđộng quan trọng, ở mức độ này hoặc mức độ khác, có thể làm ảnh hưởng đến

sự vận hành đầu ra của hệ thống Như vậy, ta hiểu một hệ thống điều khiển

là một mô hình toán học được mô tả bởi phương trình toán học biểu thị sự

liên hệ vào - ra :

u(t) → ˙x = f (t, x, u) → x(t)

Một trong những mục đích chính của bài toán điều khiển hệ thống là tìm điềukhiển (đầu vào) sao cho hệ thống (đầu ra) có những tính chất mà ta mongmuốn, như tính điều khiển được, tính ổn định hóa, tính tối ưu, vv

trong đó x(t) = [x1(t), x2(t), , xn(t)]T ∈ Rn là vectơ trạng thái,

u(.) ∈ L2([0, t],Rn) là véc tơ điều khiển, n là số nơron và

f (x(t)) =[f1(x1(t)), f2(x2(t)), , fn(xn(t))]T,g(x(t)) =[g1(x1(t)), g2(x2(t)), , gn(xn(t))]T,c(x(t)) =[c1(x1(t)), c2(x2(t)), , cn(xn(t))]T,

là các hàm kích hoạt; A = diag{a1, a2, , an}, ai > 0, i = 1, , n, là ma trậnđường chéo dương và W0, W1, W2, B là các ma trận hằng số cho trước có sốchiều thích hợp, hàm trễ h(t), k(t) thỏa mãn điều kiện:

0 ≤ h1 ≤ h(t) ≤ h2, 0 ≤ k(t) ≤ k, ∀t ≥ 0 (1.6)

Hàm ban đầu φ(t) ∈ C([−d, 0],Rn), d = max{h2, k} Ta giả sử các hàmkích hoạt của hệ là f (.), g(.), c(.) thỏa mãn điều kiện: tồn tại các số dương

1.6 Bài toán ổn định hóa

Bài toán ổn định hóa là bài toán ổn định (ổn định Lyapunov) các hệ điềukhiển Do đó, cơ sở toán học của bài toán ổn định hóa là lý thuyết ổn địnhLyapunov Dựa trên những kết quả đã biết của tính ổn định Lyapunov người

ta đã nghiên cứu, phát triển và ứng dụng vào giải bài toán ổn định hóa các

hệ thống điều khiển

Bài toán ổn định hóa hệ điều khiển (1.4) là tìm hàm điều khiển ngược (cóthể phụ thuộc vào biến trạng thái mà người ta thường gọi là hàm điều khiểnngược): u(t) = h(x(t)) sao cho hệ đóng:

˙x(t) = f (t, x(t), h(x(t))) = F (t, x(t))

là ổn định tiệm cận (hoặc ổn định mũ) Như vậy, mục đích của vấn đề ổn địnhhóa hệ thống điều khiển là tìm các hàm điều khiển ngược sao cho hệ thống

đã cho ứng với điều khiển đó trở thành hệ thống ổn định

Đối với hệ tuyến tính:

.

x (t) = Ax + Bu, t ≥ 0, (1.9)

trong đó x ∈ Rn, u ∈ Rm Bài toán ổn định hóa là tìm hàm điều khiển ngược

u(t) = Kx(t) sao cho hệ đóng

˙x(t) = (A + BK)x(t), t ≥ 0

là ổn định tiệm cận Trước tiên ta trình bày một số tiêu chuẩn cơ sở để

hệ tuyến tính trên là ổn định hóa được Ta nói ma trận A là ổn định nếu

có giá trị riêng là λ = −2, −1 nên là ma trận ổn định Vậy hệ là ổn định hóađược, với hàm điều khiển ngược là u(t) = Kx(t).

Ta nhắc lại, hệ điều khiển tuyến tính (1.9) là điều khiển được về 0 toàn cục(GNC), nếu rank[B, AB, , An−1B] = n

Định lý 1.6.2 Hệ (1.9) gọi là ổn định hóa được nếu nó là điều khiển được







Ta thấy hệ x (t) = Ax. là ổn định, do đó hệ là ổn định hóa được với K = 0

Tuy nhiên, ta thấy hệ không là GNC vì:

rank[B, AB] = rank

Chương 2

Ổn định và ổn định hóa hệ nơron có trễ

Chương này trình bày các tiêu chuẩn về tính ổn định và ổn định hóa hệphương trình nơron có trễ Nội dung trình bày từ tài liệu [3], [4]

Sau đây là định lý cho ta điều kiện đủ để hệ nơron (1.8) là α-ổn định.

Định lý 2.1.1 Cho α > 0 Giả sử tồn tại các ma trận đối xứng xác địnhdương P, Q, R, S, ba ma trận đường chéo dương Di, i = 0, 1, 2, và các ma trận

Nj, j = 1, , 4 thỏa mãn bất đẳng thức ma trận tuyến tính (LMI)

Khi đó hệ (1.8) là α-ổn định Hơn nữa, nghiệm x(t, φ) của hệ thỏa mãn:

˙

V1(t, xt) =2xT(t)P ˙x(t),

˙

V2(t, xt) =xT(t)Qx(t) − e−2αh1xT(t − h1)Qx(t − h1) − 2αV2(t, xt),

ζT(t) = [xT(t) xT(t − h(t)) xT(t − h1) ˙xT(t)],

N = [N1N2N3N4]

Nhận xét 2.1.3 Định lý (2.1.1) cho các điều kiện đủ về ổn định mũ hệ nơron

có trễ đưới dạng các LMI Để tìm các nghiệm các LMI này ta có thể sử dụngcác kỹ thuật thuật toán giải LMI trong quyển sách [2]

2.2 Ổn định hóa hệ phương trình nơron có trễ

Xét hệ nơron điều khiển có trễ (1.5), trong đó f (.), g(.), c(.) là các hàmkích hoạt và các hàm trễ h(.), k(.) thỏa mãn điều kiện (1.6)

Chúng ta đưa ra các điều kiện đủ về ổn định cho hệ nơron điều khiển (1.5).

Để cho đơn giản hóa các công thức chứng minh, ta đưa vào các kí hiệu sau:

Kết luận chung

Luận văn đã trình bày được các vấn đề sau:

• Trình bày và hiểu các khái niệm hệ phương trình vi phân, hệ phươngtrình vi phân điều khiển, hệ phương trình nơron có trễ, phương pháphàm Lyapunov trong việc giải bài toán ổn định hóa và các bổ đề liênquan

• Trình bày các điều kiện đủ về tính ổn định và ổn định hóa hệ nơron cótrễ với các chứng minh chi tiết và ví dụ minh họa

Tài liệu tham khảo

Tài liệu Tiếng Việt

[1] Vũ Ngọc Phát (2001), Nhập môn lý thuyết điều khiển toán học, NXB ĐạiHọc Quốc Gia, Hà Nội

Tài liệu Tiếng Anh

[2] Gahinet P., Nemirovski A., Laub A.J., Chilali M (1995), LMI ControlToolbox for Use with MATLAB, The MathWorks Inc, Massachusetts.[3] Kharitonov V (2013), Time-Delay Systems: Lyapunov Functionals andMatrices, Birkhauser, Berlin

[4] Thuan M.V., Phat V.N (2012), "New criteria for stability and lization of neural networks with mixed interval time- varying delays",Vietnam Joural of Mathematics, 40(1), pp 79-93