Ổn định mũ hệ phương trình vi phân suy biến dương

Lời cam đoanTôi xin cam đoan nội dung trong luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tíchvới đề tài "ỔN ĐỊNH MŨ HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN SUY BIẾN DƯƠNG" được hoàn thành bởi nhận thức của t

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

—————————————————

NGUYỄN VĂN NHƯNG

ỔN ĐỊNH MŨ HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

SUY BIẾN DƯƠNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - Năm 2017

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học

GS TSKH VŨ NGỌC PHÁT

Thái Nguyên - Năm 2017

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan nội dung trong luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tíchvới đề tài "ỔN ĐỊNH MŨ HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

SUY BIẾN DƯƠNG" được hoàn thành bởi nhận thức của tôi, không trùnglặp với luận văn, luận án và các công trình đã công bố

Thái Nguyên, tháng 4 năm 2017

Người viết Luận văn

Nguyễn Văn Nhưng

Trưởng khoa chuyên môn Người hướng dẫn khoa học

GS.TSKH Vũ Ngọc Phát

Lời cảm ơn

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới GS TSKH Vũ Ngọc Phát, người đã địnhhướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn, cho tôi những nhận xét quý báu đểtôi có thể hoàn thành luận văn

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng Sau Đại học, các thầy

cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích trường Đại học Sư phạm Đại học Thái Nguyên đã giúp đỡ và tạo điều kiện cho tôi trong suốt quá trìnhhọc tập và nghiên cứu khoa học

-Nhân dịp này tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè

đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quátrình học tập

Thái Nguyên, tháng 4 năm 2017

Người viết luận văn

Nguyễn Văn Nhưng

Mục lục

1.1 Hệ phương trình vi phân 4

1.2 Hệ phương trình vi phân có trễ 5

1.3 Bài toán ổn định Lyapunov 7

1.4 Hệ phương trình tuyến tính suy biến dương 9

1.4.1 Hệ phương trình vi phân tuyến tính suy biến dương 9

1.4.2 Hệ phương trình rời rạc tuyến tính suy biến dương 11

1.5 Các bổ đề bổ trợ 18

2 Tính dương của hệ suy biến có trễ 192.1 Hệ vi phân tuyến tính suy biến 192.2 Hệ rời rạc tuyến tính suy biến 22

3.1 Hệ vi phân tuyến tính suy biến 263.2 Hệ rời rạc tuyến tính suy biến 31

Mở đầu

Trong lý thuyết định tính các hệ động lực, bài toán ổn định và ổn định hóa

có vai trò rất quan trọng Sự nghiên cứu bài toán ổn định hệ thống đã trở thànhmột hướng nghiên cứu không thể thiếu trong lý thuyết phương trình vi phân,

lý thuyết hệ thống và ứng dụng Một trong lớp các hệ suy biến hiện nay cũngđang được quan tâm nghiên cứu là hệ suy biến dương có trễ, mà bài toán ổnđịnh cho các hệ này phức tạp hơn đối với các hệ thông thường Hệ dương là các

hệ xuất phát từ các điều kiện ban đầu dương có nghiệm luôn dương Đối vớicác hệ dương, đặc biệt là hệ suy biến dương, đòi hỏi các kỹ thuật đặc biệt màđối với các hệ thông thường không thể áp dụng được Bài toán ổn định cho các

hệ dương không có trễ được nghiên cứu bởi nhiều tác giả trong và ngoài nước,tuy nhiên cho tới nay còn ít kết quả về ổn định cho các hệ suy biến dương cótrễ Trong luận văn này chúng tôi nghiên cứu bài toán ổn định của hệ tuyếntính suy biến dương có trễ Trước tiên, chúng tôi trình bày các điều kiện cần và

đủ để hệ phương trình tuyến tính suy biến là dương Sau đó sử dụng phươngpháp phân tích phổ, trình bày các điều kiện đủ để hệ là ổn định mũ, các điềukiện này được trình bày thông qua nghiệm của bất đẳng thức ma trận tuyến

Chương 1 trình bày cơ sở toán học hệ phương trình vi phân tuyến tính, hệphương trình vi phân suy biến, hệ suy biến dương Bài toán ổn định Lyapunov,phương pháp hàm Lyapunov

Chương 2 trình bày các kết quả về tính dương của hệ phương trình vi phântuyến tính, hệ vi phân tuyến tính suy biến, hệ rời rạc tuyến tính suy biến.Chương 3 trình bày về tính ổn định mũ của hệ phương trình vi phân tuyếntính, hệ rời rạc tuyến tính suy biến dương

Một số ký hiệu viết tắt

Rn0,+ Không gian véctơ không âm trong Rn

Rm×n Tập các ma trận cấp thực ( m × n.)

N Tập các số nguyên không âm

C([−h, 0],Rn) Không gian các hàm liên tục xác định trên [−h, 0]

In Là ma trận đơn vị cấp n

x  0 Ký hiệu véctơ không âm

B ∈ Rn×n Được gọi là ma trận Matzler nếu các phần tử

của đường chéo là không âm

B  0 Ma trận không âm

||A|| Ký hiệu chuẩn của ma trận A

|x| Ký hiệu module của véctơ x, |x| = (|x1| , |x2| , , |xn|)

Q Kí hiệu ma trận đơn thức dương nếu các hàng, cột

của ma trận chỉ có một phần tử dương còn lại bằng không

Chương 1

Cơ sở toán học

Chương này trình bày một số kiến thức cơ sở toán học về hệ phương trình

vi phân điều khiển, phương pháp hàm Lyapunov, bài toán ổn định hóa và các

bổ đề bổ trợ Nội dung chương này được trình bày từ tài liệu [1-3]

ii) x(t) thỏa mãn phương trình vi phân.

Giả sử f (t, x) liên tục trên I × D, khi đó nghiệm x(t) được cho bởi dạng tíchphân sau:

∃K > 0 : kf (t, x1) − f (t, x2)k ≤ Kkx1 − x2k, ∀t ≥ 0

Khi đó với mỗi (t0, x0) ∈ I × D sẽ tìm được số b > d > 0 sao cho hệ (1.1) luôn

có nghiệm duy nhất trên khoảng [t0 − d, t0 + d]

Định lý 1.1.2 ( Định lý Caratheodory) Giả sử f (t, x) là hàm đo được theo

t ∈ I và liên tục theo x ∈ D Nếu tồn tại hàm khả tích m(t) trên (t0, t0 + b)

sao cho

kf (t, x)k ≤ m(t), ∀(t, x) ∈ I × D

Khi đó hệ (1.1) có nghiệm trên khoảng [t0, t0 + β] nào đó

Định lý (1.1.2) cho ta điều kiện tồn tại đủ nghiệm mà không duy nhất

1.2 Hệ phương trình vi phân có trễ

Chúng ta nhận thấy rằng các quá trình xảy ra trong tự nhiên thường có liênquan đến quá khứ Các hệ phương trình có phụ thuộc trễ thể hiện được đặc

điểm phụ thuộc vào quá khứ này của hệ thống, phần dưới đây sẽ trình bày một

số khái niệm cơ bản cho hệ có trễ Xét một hệ thống phụ thuộc vào quá khứvới độ trễ h (0 ≤ h < +∞)

Hàm x(t) được gọi là nghiệm của phương trình vi phân có trễ (1.2) trên

[t0 − h, t0 + A] nếu tồn tại t0 ∈ R và A > 0 sao cho:

1.3 Bài toán ổn định Lyapunov.

Xét hệ phương trình vi phân (1.1) trong đó x(t) ∈ Rn là véc tơ trạng tháicủa hệ.f : R+× Rn → Rn là hàm véc tơ cho trước, giả sử f(t,x) thỏa mãn điềukiện bài toán Cauchy hệ (1.1) với điều kiện ban đầu x(t0) = x0, t0 > 0,luôn cónghiệm dạng tích phân cho bởi công thức:

ta xét hệ (1.1) với giả thiết nghiệm 0 tức là f (t, 0) = 0, t ∈ R+ ta nói hệ (1.1)

ổn định thay vì nói nghiệm 0 của hệ ổn định

Định nghĩa 1.3.1 Hệ (1.1) được gọi là ổn định nếu với

Định nghĩa 1.3.3 Hệ (1.1) được gọi là ổn định mũ nếu tồn tại các số M>0,

α > 0 sao cho mọi nghiệm của hệ (1.1) với

x(t0) = x0,

thỏa mãn :

kx(t)k ≤ M e−α(t−t0 )kx0k, t ≥ t0

Tức là nghiệm 0 của hệ không những ổn định tiệm cận mà mọi nghiệm của nótiến tới 0 nhanh với tốc độ theo hàm số mũ.

Định nghĩa 1.3.4 Cho số dương α > 0 Hệ (1.1) được gọi là α− ổn định nếutồn tại số dương N > 0 sao cho với bất kì điều kiện đầu ϕ(t) nghiệm x(t, ϕ)

1.4 Hệ phương trình tuyến tính suy biến dương

1.4.1 Hệ phương trình vi phân tuyến tính suy biến dương

Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính suy biến dạng

(1.5)

trong đó x(t) ∈ Rn là véctơ trạng thái, A0, A1 ∈ Rn×n là các ma trận hằng sốcho trước Ma trận E ∈ Rn×n suy biến sao cho rankE = r ≤ n, h là hằng sốtrễ Hàm điều kiện ban đầu ϕ(t) : [−h, 0] → C([−h, 0], Rn)

Định nghĩa 1.4.1 i) Cặp(E, A0)được gọi là chính quy nếudet(sE −A0) 6= 0.ii) Cặp (E, A0) được gọi là xung tự do nếu deg(det(sE − A0) 6= 0)= rank E

iii) Hệ (1.5) được gọi là chính quy và xung tự do nếu cặp (E, A0) là chính quy

và xung tự do

Với các giả thiết chính quy và xung tự do hệ (1.5) luôn có duy nhất nghiệm.Như hệ phương trình vi phân các khái niệm về ổn định cho hệ (1.5) được địnhnghĩa tương tự:

Định nghĩa 1.4.2 Hệ(1.5) được gọi là ổn định tiệm cận (ổn định mũ) nếu hệ

là chính quy và xung tự do và ổn định tiệm cận (ổn định mũ)

Ta có khái niệm hệ dương như sau:

Định nghĩa 1.4.3 Hệ(1.5) được gọi là dương nếu với điều kiện đầu dương

Biến đổi tọa độ y1(t) = Q−1x(t) = [y1(t), y2(t)] Trong đó y1(t) ∈ Rr, y2(t) ∈

Rn−r Hệ (1.5) được đưa về hệ sau:

trong đó: A01 = A01− A02A−104A03, A11 = A11− A02A−104A13,

A12 = A12− A02A−104A14

Định nghĩa 1.4.4 Ma trận Q gọi là đơn thức dương nếu các hàng, cột của

ma trận chỉ có 1 phần tử là dương, còn lại là bằng không

Mệnh đề 1.4.5 Giả sử rằng (E, A0) là chính quy và xung tự do Q là ma trậnđơn thức dương và detA04 6= 0 khi đó hệ (1.5) dương khi và chỉ khi hệ (1.6)dương

Chứng minh Giả sử hệ (1.5) dương thì ta có y(t) = Q−1x(t) và từ hệ (1.5)

Q−1 > 0 ⇔ Q là ma trận đơn thức khi đóy(t) ≥ 0, t ≥ 0 Ngược lại giả sử (1.5)

là dương tức là y(t) ≥ 0, t ≥ 0 ta có x(t) = Qy(t) ≥ 0, t ≥ 0 vì Q > 0

1.4.2 Hệ phương trình rời rạc tuyến tính suy biến dương

Tương tự như hệ phương trình vi phân tuyến tính suy biến dương (1.5) taxét hệ phương trình rời rạc tuyến tính suy biến dương sau:

(1.7)

trong đó x(k) ∈ Rn, k ∈ N là véctơ trạng thái A0, A1 ∈ Rn×n, ma trận E ∈

Rn×n là suy biến và rank E = r < n; h(k) là hàm trễ thỏa mãn điều kiện:

0 < h(k) ≤ τ, k ∈ N,

hàm ban đầuϕ(·) : {−τ, · · · , 0} → Rnvới chuẩnkϕk = max

k∈{−τ,−(τ −1), ,0}kϕ(k)k

Tương tự như hệ vi phân (1.5) ta có các định nghĩa sau

Định nghĩa 1.4.6 (i) Hệ (1.7) là chính qui nếu det(zE − A0) 6= 0

(ii) là xung rời rạc nếu deg(det(zE − A0)) = rank(E) = r

Định nghĩa 1.4.7 Hệ (1.7) là dương nếu với điều kiện ban đầu dương:

(ii)x(k+1; ϕ) = A01x(k; ϕ)+ ¯A1x(k−h(k); ϕ)+ ¯A2x(k+1−h(k+1); ϕ), k ∈ N.

(iii) x(k; αϕ) = αx(k; ϕ), ∀α > 0, k ∈ N

Chứng minh (i) Ta sẽ chứng minh (i) bằng phương pháp qui nạp toán học

Để đơn giản ta ký hiệu x(k) := x(k; ϕ) cho k = 0 và sẽ chứng minh P1x(0) =x(0) − ¯A2x(−h(0)) Theo phép đổi biến y(k) = Q−1x(k) = [y1(k), y2(k)] trong

= αx(k + 1; ϕ)

điều này chứng minh (iii) đúng với k + 1 Mệnh đề được chứng minh

1.5 Các bổ đề bổ trợ

Bổ đề 1.5.1 ([2]) Cho A ∈ Rn×n khi đó eAt > 0, với t > 0 nếu và chỉ nếu A

là ma trận Metzler Hơn nữa ma trận nghich đảo của ma trận dương là dươngnếu và chỉ nếu nó là ma trận đơn thức

Bổ đề 1.5.2 ([3]) Nếu A ∈ Rn×n và A ≥ 0, M > 0 là ma trận đơn thức dươngthì A = M AM¯ −1 ≥ 0

Bổ đề 1.5.3 ([1]) Hệ không có điều khiển (1.4), t.l A1 = 0, là ổn định tiệmcận nếu tồn tại ma trận P ∈Rn×n sao cho

Chương 2

Tính dương của hệ suy biến có trễ

Trong chương này chúng tôi trình bày điều kiện cần và đủ để hệ tuyến tính

vi phân và rời rạc suy biến có trễ là dương Nội dung chương này trình bày từtài liệu [4, 5]

2.1 Hệ vi phân tuyến tính suy biến

Xét hệ (1.5) trong đó A0, A1 ∈ Rn×n là các ma trận hằng số cho trước Matrận E ∈ Rn×n suy biến sao cho rankE = r ≤ n, h là hằng số trễ Hàm điềukiện ban đầu ϕ(t) : [−h, 0] → C([−h, 0], Rn) Định lý sau cho điều kiện cần và

đủ để hệ là dương

Định lý 2.1.1 Giả sử các điều kiện như trong bổ đề (1.5.1) là dương Hệ tuyếntính (1.5) là dương khi và chi khi A01 là Metzler và A1  0, −A−104A03  0 trongđó

Chứng minh Điều kiện cần: Giả sử hệ (1.5) là dương xem xét phương trìnhthứ nhất của hệ (1.5) trên [−h, 0] với điều kiện ban đầu

ψ1(0) = 0, ψ1(t) = 0, t ∈ [−h, 0], ψ2(t) = 0, t ∈ [−h, 0],

trong đó ej, j = 1, 2, , r là kí hiệu véctơ thứ j của cơ sở chính tắc trong Rr

Do đó ta có nghiệm trong [0, h], y1(t) = eA01 (t)ei, i = 1, 2, , r là dương thỏamãn eA01 (t), t ∈ [0, h] là dương Theo bổ đề (1.5.1) thì ma trận A01 là ma trậnMetzler Tiếp theo ta chứng minh A11, A12 là ma trận không âm, giả sử tồn tạichỉ số i, j sao cho [A11]ij < 0, lấy điều kiện đầu

Lý luận tương tự như trên ta có A12  0 Tiếp theo ta đi chứng minh ma trận

−A−104A03, −A−104A13, −A−104A14 là ma trận không âm Xem xét phương trình thứ

2 của hệ (1.5) trên [0, h] Lấy điều kiện đầu

ψ1(−h) = ei, ψ1(t) = 0, t ∈ [−h, 0], ψ2(t) = 0, t ∈ [−h, 0]

Nghiệm y2(0) = −A−104A13ei  0, i = 1, 2, , r với −A−104A13  0

Lấy điều kiện đầu:

eA01 (t−s)A12y2(s−h)  0,∀0 ≤ s ≤ t ≤ hdo phép lấy tích phân là đơn điệu nên

ta có:y1  0, t ∈ [0, h] Mặt khác từ −A−104A03  0, −A−104A13  0, −A−104A14 

0, y1(t)  0, y1(t − h)  0, y2(t − h)  0, t ∈ [0, h] và từ phương trình (1.5) tacó:

y2(t) = −A−104[A03y1(t) + A13y1(t − h) + A14y2(t − h)]  0

Do đó nghiệm y(t) là dương trên [0, h] Sử dụng phương pháp như trước hệ sẽdương trên [h, 2h], [2h, 3h], Định lý được chứng minh xong

2.2 Hệ rời rạc tuyến tính suy biến

Xét hệ (1.7) trong đó A0, A1 ∈ Rn×n, ma trận E ∈ Rn×n là suy biến vàrankE = r < n; h(k) là hàm trễ thỏa mãn điều kiện:

Chứng minh Điều kiện cần

Giả sử rằng hệ (1.1) là dương Sử dụng bổ đề (1.5.1) cho lời giải tại k = 0, 1

thì ta có

x(0) =P1x(0) + ¯A2x(−h(0)) = P1ϕ(0) + ¯A2ϕ(−h(0))  0,x(1) =A01x(0) + ¯A1x(−h(0)) + ¯A2x(1 − h(1))

Vì vậy, từ tính không âm của ma trậnHkéo theo A¯

2 = H3  0, H1  0, H2  0

và A01 = H1P1; A¯1 = H1A¯2 + H2

Điều kiện đủ

Giả sử rằng A¯2  0, và tồn tại ma trận H1  0, H2  0 thỏa mãn A01 =

H1P1, ¯A1 = H1A¯2 + H2 sử dụng phương pháp quy nạp toán học, ta thấy rằng

hệ (1.1) là dương, từ điều kiện ban đầu ϕ(k)  0, k ∈ {−τ, −(τ − 1), , 0} ta

có : x(k)  0, với mọi k ∈ N thật vậy, với k = 1, ta có

Sử dụng giả thiết quy nạp x(k)  0, x(k − h(k))  0, x(k + 1 − h(k + 1))  0

và A¯

2  0, H1  0, H2  0, ta thu được

x(k + 1) = H1x(k) + H2x(k − h(k)) + ¯A2x(k + 1 − h(k + 1))  0

Định lý được chứng minh

Chương 3

Tính ổn định mũ của hệ suy biến

Trong phần này ta trình bày điều kiện đủ để hệ tuyến tính vi phân, rời rạcsuy biến là ổn định mũ Nội dung chương này trình bày từ tài liệu [4, 5]

3.1 Hệ vi phân tuyến tính suy biến

Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính suy biến dương (1.5) trong đó matrận E ∈ Rn×n suy biến sao cho rankE = r ≤ n, h là hằng số trễ Hàm điềukiện ban đầu ϕ(t) : [−h, 0] → C([−h, 0], Rn), và

Định lý 3.1.1 Cho α > 0 giả sử (E, A0) là chính quy và xung tự do các matrận A01, A11, A12, A03, A04, A13, A14 được xác định như trong bổ đề (1.5.1) thỏamãn điều kiện ||A−104A14|| < 1 Khi đó hệ (1.5) là α− ổn định nếu tồn tại mộtvéctơ λ ∈ Rn sao cho λT[αE + Ae 0 + A1eαh] ≤ 0

Chứng minh Theo giả thiết hệ (1.5) được viết lại như sau:

˙

V (t, yt) = αλTeαtEy(t) + λe TeαtE ˙ey(t) + λTA1eα(s+h)y(t) − λTA1eαty(t − h)

= αλTeαtEy(t) + λe Teαty(t)A0y(t) + λTeα(s+h)A1y(t)

V (t, yt) ≥ λTeαtEy(t) ≥ βee αtky1(t)k, (3.4)trong đó β = mini=1,2,3, ,nλi Kết hợp với (3.3),(3.4) ta được

ky1(t)k ≤ γ

βe

−αtkψk := υeαhkψke−αt, ∀t ≥ 0 (3.5)

Tiếp theo ta sẽ chứng minh thành phần thứ 2 y2(t) của hệ là ổn định mũ với

sự giống nhau về tỉ lệ α Ta kí hiệu p(t) = −A−104A03y1(t) − A−104A13y1(t − h)

kA−104A03kky1(t)k + kA−104A13kky1(t − h)k ≤ υ1kψke−αt, ∀t ≥ 0 Trong đó

υ1 = υeαh(kA−104A03kky1(t)k + kA−104A13k) Hơn nữa từ phương trình thứ 2 của(3.1) ta có

y2(t) = −A−104A14y2(t − h) − A−104A03y1(t) − A−104A13y1(t − h)

= −A−114A14y2(t − h) + p(t)

Do đó ta có

ky2(t)k ≤ kA−104A14k + ky2(t − h)k + kp(t)k, ∀t ≥ 0 (3.9)Đặt σ := max(υeαh(kA−104A03k + kA−104A13k); eαh) Nếu t ∈ [0, h] thì t − h ∈[−h, 0] Từ (3.9) ta có

ky2(t)k ≤ kA−104A14kkψk + kp(t)k ≤ (kA−104A14kσ + σ)kψke−αt (3.10)

Nếu t ∈ [h, 2h] thì t − h ∈ [0, h] Từ (3.9) và (3.10) ta có

ky2(t)k ≤ (kA−104A14k2σ + kA−104A14kσ + σ)kψke−αt

Giả sử rằng ∀t ∈ [(k − 1)h, kh], thì

ky2(t)k ≤ (σ + σkA−104A14k + + σ(kA−104A14k)k)kψke−αt

Do đó, khi t ∈ [kh, (k + 1)h], t − h ∈ [(k − 1)h, kh], theo giả thiết quy nạp từ(3.9) và (3.10) ta được

ky2(t)k ≤ (σ + σkA−104A14k + + σ(kA−104A14k)k)kψke−αt+ kp(t)k

≤ (σ + σkA−104A14k + + σ(kA−104A14k)k+1)kψke−αt

Nếu kA−104A14k < 1, theo giả thiết ta có được

ky2(t)k ≤ kψke−αt(σ + σkA−104A14k + + σ(kA−104A14k)k + )

≤ σkψke

−αt

Từ (3.5) đến (3.11) ta kết luận rằng ky(t)k < N |ψke−αt, t ≥ 0

Ta có điều phải chứng minh

12