Bài toán ổn định hóa hệ phương trình vi phân phi tuyến có trễ

Líi c£m ìnTæi xin b y tä láng bi¸t ìn tîi GS... Lyapunov v ¸n nay ¢ trð th nh mët h÷îng nghi¶n cùu khæng thº thi¸u trong lþ thuy¸t ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n, lþ thuy¸t h» thèng v ùng döng...

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ––––––––––––––––––––

NGUYỄN MINH TRANG

BÀI TOÁN ỔN ĐỊNH HÓA

HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

PHI TUYẾN CÓ TRỄ

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS TSKH VŨ NGỌC PHÁT

THÁI NGUYÊN - 2016

Líi cam oan

Tæi xin cam oan nëi dung trong luªn v«n Th¤c s¾ chuy¶n ng nh To¡n gi£i t½chvîi · t i "B i to¡n ên ành hâa h» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n phi tuy¸n

câ tr¹" ÷ñc ho n th nh bði nhªn thùc cõa tæi, khæng tròng l°p vîi luªnv«n, luªn ¡n v  c¡c cæng tr¼nh ¢ cæng bè

Th¡i Nguy¶n, th¡ng 4 n«m 2016

Ng÷íi vi¸t Luªn v«n

Nguy¹n Minh Trang

Líi c£m ìn

Tæi xin b y tä láng bi¸t ìn tîi GS TSKH Vô Ngåc Ph¡t, ng÷íi ¢ ànhh÷îng chån · t i v  tªn t¼nh h÷îng d¨n, cho tæi nhúng nhªn x²t quþ b¡u

º tæi câ thº ho n th nh luªn v«n

Tæi công xin b y tä láng bi¸t ìn ch¥n th nh tîi pháng Sau ¤i håc, c¡cth¦y cæ gi¡o d¤y cao håc chuy¶n ng nh To¡n gi£i t½ch tr÷íng ¤i håc s÷ph¤m - ¤i håc Th¡i Nguy¶n ¢ gióp ï v  t¤o i·u ki»n cho tæi trong suètqu¡ tr¼nh håc tªp v  nghi¶n cùu khoa håc

Nh¥n dàp n y tæi công xin gûi líi c£m ìn ch¥n th nh tîi gia ¼nh, b¤n b±

¢ luæn ëng vi¶n, cê vô, t¤o måi i·u ki»n thuªn lñi cho tæi trong suèt qu¡tr¼nh håc tªp

Th¡i Nguy¶n, th¡ng 4 n«m 2016

Ng÷íi vi¸t luªn v«n

Nguy¹n Minh Trang

Möc löc

1.1 H» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n i·u khiºn 4

1.2 B i to¡n ên ành hâa 5

1.2.1 Ph÷ìng ph¡p h m Lyapunov 8

1.2.2 B i to¡n ên ành hâa 9

1.3 C¡c bê · bê trñ 9

2 B i to¡n ên ành hâa h» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n phi tuy¸n câ

2.1 H» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n câ tr¹ 112.2 H» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n phi tuy¸n ætænæm câ tr¹ 142.3 H» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n phi tuy¸n khæng ætænæm câ tr¹ 27

lþ to¡n, kÿ thuªt, Nâi mët c¡ch h¼nh t÷ñng, mët h» thèng ÷ñc gåi l  ên

ành t¤i tr¤ng th¡i c¥n b¬ng n o â n¸u c¡c nhi¹u nhä cõa c¡c dú ki»n ho°cc§u tróc ban ¦u cõa h» thèng khæng l m cho h» thèng thay êi nhi·u sovîi tr¤ng th¡i c¥n b¬ng â Sü nghi¶n cùu b i to¡n ên ành h» thèng ÷ñcb­t ¦u tø cuèi th¸ k XIX bði nh  to¡n håc V Lyapunov v  ¸n nay ¢ trð

th nh mët h÷îng nghi¶n cùu khæng thº thi¸u trong lþ thuy¸t ph÷ìng tr¼nh

vi ph¥n, lþ thuy¸t h» thèng v  ùng döng Tø nhúng n«m 60 cõa th¸ k XX,song song vîi sü ph¡t triºn cõa lþ thuy¸t i·u khiºn v  do nhu c¦u nghi¶ncùu c¡c t½nh ch§t ành t½nh cõa h» thèng i·u khiºn, ng÷íi ta b­t ¦u nghi¶ncùu t½nh ên ành c¡c h» i·u khiºn d¤ng ˙x(t) = f(t, x(t), u(t)), t ≥ 0(0.1) b ito¡n ên ành hâa cõa h» l  t¼m h m i·u khiºn ng÷ñc: u(t, x) = h(t, x) sao

cho h» ëng lüc ˙x(t) = f(t, x(t), h(t, x(t))) = F (t, x(t)) l  ên ành ho°c ên

ành ti»m cªn t¤i tr¤ng th¡i c¥n b¬ng Trong c¡c b i to¡n ên ành hâa têngqu¡t, h» i·u khiºn (0.1) th÷íng ÷ñc mæ h¼nh hâa vîi c¡c t¡c ëng cõa i·ukhiºn ng÷ñc, cõa c¡c nhi¹u i·u khiºn v  quan s¡t, Nh÷ vªy möc ½ch cõav§n · ên ành hâa mët h» thèng i·u khiºn l  t¼m c¡c h m i·u khiºn ng÷ñcsao cho h» thèng ¢ cho ùng vîi i·u khiºn â trð th nh h» thèng ên ành

÷ñc t¤i tr¤ng th¡i c¥n b¬ng Cì sð to¡n håc cõa b i to¡n ên ành hâa l  lþthuy¸t ên ành Lyapunov Düa tr¶n nhúng k¸t qu£ ¢ bi¸t cõa t½nh ên ànhLyapunov ng÷íi ta ¢ nghi¶n cùu, ph¡t triºn v  ùng döng v o gi£i b i to¡n

ên ành hâa c¡c h» thèng i·u khiºn

Nëi dung cõa b£n luªn v«n ÷ñc tr¼nh b y trong hai ch÷ìng

Ch÷ìng 1 tr¼nh b y cì sð to¡n håc h» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n i·u khiºn,ph÷ìng ph¡p h m Lyapunov trong lþ thuy¸t ên ành, b i to¡n ên ành hâa

v  c¡c bê · li¶n quan

Ch÷ìng 2 tr¼nh b y b i to¡n h» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n phi tuy¸n câ tr¹, h»ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n phi tuy¸n ætænæm câ tr¹, h» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n phituy¸n khæng ætænæm câ tr¹

λmax(A) = max{Reλ : λ ∈ λ(A)}.

η(A) Chu©n phê cõa ma trªn ÷ñc x¡c ành bði:

η(A) = pλmax(ATA)

µ(A) ë o cõa ma trªn A x¡c ành bði :

Ch֓ng 1

Cì sð to¡n håc

Ch÷ìng n y tr¼nh b y mët sè ki¸n thùc cì sð to¡n håc v· h» ph÷ìng tr¼nh

vi ph¥n i·u khiºn, ph÷ìng ph¡p h m Lyapunov, b i to¡n ên ành hâa v c¡c bê · bê trñ Nëi dung ch÷ìng n y ÷ñc tr¼nh b y tø t i li»u [1], [2]

1.1 H» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n i·u khiºn

H» ph÷ìng tr¼nh i·u khiºn mæ t£ bði ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n hay ríi r¤cd¤ng:

˙x(t) = f (t, x(t), u(t)), t ≥ 0,x(k + 1) = f (k, x(k), u(k)), k = 0, 1, 2,

trong â x(t)(x(k)) ∈ Rn l  v²ctì tr¤ng th¡i, u(t)(u(k)) ∈ Rm, n ≥ m, l v²ctì i·u khiºn v  h m f(t, x, u) :R+×Rn×Rm →Rn C¡c èi t÷ñng i·ukhiºn trong c¡c mæ h¼nh i·u khiºn h» ëng lüc ÷ñc mæ t£ nh÷ nhúng dúli»u ¦u v o câ t¡c ëng quan trång, ð mùc ë n y ho°c mùc ë kh¡c, câ thº

l m £nh h÷ðng ¸n sü vªn h nh ¦u ra cõa h» thèng Nh÷ vªy, ta hiºu mët

h» thèng i·u khiºn l  mët mæ h¼nh to¡n håc ÷ñc mæ t£ bði ph÷ìng tr¼nhto¡n håc biºu thà sü li¶n h» v o - ra :

u(t) → ˙x = f (t, x, u) → x(t)

Mët trong nhúng möc ½ch ch½nh cõa b i to¡n i·u khiºn h» thèng l  t¼m

i·u khiºn (¦u v o) sao cho h» thèng (¦u ra) câ nhúng t½nh ch§t m  tamong muèn Thæng th÷íng, vi»c chuyºn mët h» thèng câ i·u khiºn tø vàtr½ n y sang và tr½ kh¡c câ thº thüc hi»n b¬ng nhi·u ph÷ìng ph¡p d÷îi t¡c

ëng bði c¡c i·u khiºn kh¡c nhau C«n cù v o nhúng möc ½ch cö thº cõah» thèng ¦u ra ng÷íi ta x¡c ành c¡c b i to¡n i·u khiºn kh¡c nhau: b ito¡n i·u khiºn ÷ñc, b i to¡n ên ành hâa, b i to¡n i·u khiºn tèi ÷u, v.v Trong luªn v«n n y chóng ta ch¿ x²t b i to¡n ên ành hâa

1.2 B i to¡n ên ành hâa

B i to¡n ên ành hâa l  b i to¡n ên ành (ên ành Lyapunov) c¡c h» i·ukhiºn Do â cì sð to¡n håc cõa b i to¡n ên ành hâa l  lþ thuy¸t ên ànhLyapunov Düa tr¶n nhúng k¸t qu£ ¢ bi¸t cõa t½nh ên ành Lyapunov ng÷íi

ta ¢ nghi¶n cùu, ph¡t triºn v  ùng döng v o gi£i b i to¡n ên ành hâa c¡ch» thèng i·u khiºn T½nh ên ành l  mët trong nhúng t½nh ch§t quan trångcõa lþ thuy¸t ành t½nh c¡c h» ëng lüc v  ÷ñc sû döng nhi·u trong c¡c l¾nhvüc cì håc, vªt lþ to¡n, Nâi mët c¡ch h¼nh t÷ñng, mët h» thèng ÷ñc gåi

l  ên ành t¤i mët tr¤ng th¡i c¥n b¬ng n o â n¸u c¡c nhi¹u nhä cõa c¡c dú

nhi·u so vîi tr¤ng th¡i c¥n b¬ng â Sü nghi¶n cùu b i to¡n ên ành h» thèng

÷ñc b­t ¦u tø cuèi th¸ k¿ XIX bði nh  to¡n håc V Lyapunov v  ¸n nay

¢ trð th nh mët h÷îng nghi¶n cùu khæng thº thi¸u trong lþ thuy¸t ph÷ìngtr¼nh vi ph¥n, lþ thuy¸t h» thèng v  ùng döng Tr÷îc ti¶n ta ph£i °t b ito¡n ên ành (ên ành Lyapunov) cho h» ëng lüc khæng câ i·u khiºn X²th» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n

˙x(t) = f (t, x(t)), t ≥ 0 (1.1)

ành ngh¾a 1.2.1 Nghi»m x(t) cõa h» (1.1) gåi l  ên ành n¸u vîi måi

sè  > 0, t0 ≥ 0 s³ tçn t¤i δ > 0 (phö thuëc , t0) sao cho b§t k¼ nghi»my(t), y(t0) = y0 cõa h» thäa m¢n ky0 − x0k < 0 th¼ s³ nghi»m óng b§t ¯ngthùc

ky(t) − x(t)k < , ∀t ≥ t0.Nâi c¡ch kh¡c, nghi»m x(t) l  ên ành khi måi nghi»m kh¡c cõa h» câ gi¡ tràban ¦u õ g¦n vîi gi¡ trà ban ¦u cõa x(t) th¼ v¨n õ g¦n nâ trong suètthíi gian t ≥ t0

ành ngh¾a 1.2.2 Nghi»m x(t) cõa h» (1.1) gåi l  ên ành ti»m cªn n¸u nâ

l  ên ành v  câ mët sè δ > 0 sao cho vîi ky0 − x0k < δ th¼

limt→∞ky(t) − x(t)k = 0

Ngh¾a l , nghi»m x(t) l  ên ành ti»m cªn n¸u nâ ên ành v  måi nghi»m y(t)kh¡c câ gi¡ trà ban ¦u y0 g¦n vîi gi¡ trà ban ¦u x0 s³ ti¸n g¦n tîi x(t) khi

t ti¸n tîi væ còng

Nhªn x²t r¬ng b¬ng ph²p bi¸n êi (x − y) 7→ z, (t − t0) 7→ τ h» ph÷ìng tr¼nh(1.1) s³ ÷ñc ÷a v· d¤ng

H» (1.1) l  ên ành n¸u vîi b§t k¼  > 0, t0 ∈ R+ s³ tçn t¤i sè δ > 0 (phöthuëc v o , t0 ) sao cho b§t k¼ nghi»m x(t): x(t0) = x0 thäa m¢n kx0k < δvîi måi t ≥ t0 th¼ kx(t)k < , ∀t ≥ 0

H» (1.1) l  ên ành ti»m cªn n¸u h» l  ên ành v  câ mët sè δ > 0 sao chon¸u kx0k < δ th¼

limt→∞kx(t)k = 0

ành ngh¾a 1.2.3 H» (1.1) l  ên ành mô n¸u tçn t¤i c¡c sè M > 0, δ > 0sao cho måi nghi»m cõa h» (1.1) vîi x(t0) = x0 thäa m¢n

u(t) = h(t, x(t)) sao cho h» âng:

˙x(t) = f (t, x(t), h(t, x(t))) = F (t, x(t))

l  ên ành ti»m cªn (ho°c ên ành mô) Nh÷ vªy möc ½ch cõa v§n · ên

ành hâa h» thèng i·u khiºn l  t¼m c¡c h m i·u khiºn ng÷ñc sao cho h»thèng ¢ cho ùng vîi i·u khiºn â trð th nh h» thèng ên ành

1.2.1 Ph÷ìng ph¡p h m Lyapunov

º gi£i b i to¡n ên ành c¡c h» phi tuy¸n ng÷íi ta hay dòng ph÷ìng ph¡p

h m Lyapunov Ph÷ìng ph¡p n y düa v o sü tçn t¤i cõa mët lîp h m trìn

°c bi»t gåi l  h m Lyapunov m  t½nh ên ành cõa h» ÷ñc thû trüc ti¸p quad§u cõa ¤o h m theo nghi»m (h m v¸ ph£i) cõa h» ¢ chọ

X²t h» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n phi tuy¸n (1.1) Tr÷îc h¸t ta x²t lîp h m K

l  tªp c¡c h m li¶n töc t«ng ch°t ặ) : R+ → R+, ă0) = 0 H m V (t, x) :

R+×Rn → R gåi l  h m Lyapunov n¸u:

i) V (t, x) l  h m x¡c ành d÷ìng theo ngh¾a

∃ặ) ∈ K : V (t, x) ≥ ăkxk), ∀(t, x) ∈ R+×Rn.ii) ¤o h m theo nghi»m l  khæng ¥m:

iii) ∃ặ) ∈ K : V (t, x) ≤ b(kxk), ∀(t, x) ∈R+×Rn

iv) ∃γ(.) ∈ K : DfV (t, x) ≤ −γ(kxk), ∀x ∈ Rn \ 0,

th¼ gåi l  h m Lyapunov ch°t

ành lþ 1.2.4 N¸u h» phi tuy¸n khæng døng (1.1) câ h m Lyapunov th¼ h»

l  ên ành N¸u h m Lyapunov â l  ch°t th¼ h» l  ên ành ti»m cªn

1.2.2 B i to¡n ên ành hâa

X²t h» i·u khiºn mæ t£ bði h» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n







˙x(t) = f (t, x(t), u(t)), t ≥ 0,x(0) = x0

(1.3)

ành ngh¾a 1.2.5 H» (1.3) gåi l  ên ành hâa ÷ñc n¸u tçn t¤i h m h(x) :

Rn → Rm sao cho h» âng :

x(t) = f (t, x(t), h(x(t))), t ≥ 0,

l  ên ành ti»m cªn (ho°c ên ành mô) H m u(t) = h(x(t)) th÷íng gåi l 

h m i·u khiºn ng÷ñc

Tr÷íng hñp h» (1.3) l  h» tuy¸n t½nh ˙x = Ax + Bu th¼ h» l  ên ành ho¡

÷ñc n¸u tçn t¤i ma trªn K sao cho h» âng ˙x(t) = (A + BK)x(t) l  ên ànhti»m cªn, ho°c nâi c¡ch kh¡c l  n¸u ma trªn (A + BK) l  ên ành (t.l gi¡trà ph¦n thüc cõa c¡c gi¡ trà ri¶ng cõa ma trªn l  ¥m)

1.3 C¡c bê · bê trñ

Bê · 1.3.1 ( B§t ¯ng thùc ma trªn Cauchy)

(i) Gi£ sû S ∈ Rn×n l  mët ma trªn èi xùng x¡c ành d÷ìng v  Q ∈ Rn×n,

ta câ:

2 < Qy, x > − < Sy, y >≤< QS−1QTx, x >, ∀y, x ∈ Rn

(ii) Gi£ sû N ∈Rn×n l  mët ma trªn èi xùng x¡c ành d÷ìng, ta câ:

±2xTy ≤ xTN x + yTN−1y, ∀x, y ∈Rn

Bê · 1.3.2 Cho ma trªn h¬ng Z = ZT > 0 b§t k¼ v  c¡c ¤i l÷ñng h, h, 0 <

h < h sao cho c¡c t½ch ph¥n sau l  x¡c ành th¼ ta câ:

tRt−hx(s)ds);

−h

tRt+sx(τ )dτ ds)TZ(

−hR

−h

tRt+sx(τ )dτ ds

Bê · 1.3.3 ( Bê · Schur)

Cho c¡c ma trªn X, Y, Z, trong â Y = YT > 0, X = XT, ta câ

Ch֓ng 2

B i to¡n ên ành hâa h» ph÷ìng tr¼nh

vi ph¥n phi tuy¸n câ tr¹

Ch÷ìng n y tr¼nh b y b i to¡n ên ành hâa h» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n phituy¸n ætænæm câ tr¹ v  h» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n phi tuy¸n khæng ætænæm câtr¹ Nëi dung tr¼nh b y tø t i li»u [3], [4]

N¸u [a, b] = [−r, 0], ta °t C = C([−r, 0],Rn) vîi chu©n trong C

kφkc = sup

t∈[−r,0]

kφ(t)k

Vîi t0 ∈ R, A ≥ 0 v  x ∈ C([t0− r, t0+ A],Rn), th¼ vîi b§t k¼ t ∈ [t0, t0+ A]

ta x¡c ành ÷ñc xt ∈ C nh÷ sau: xt(θ) = x(t + θ), −r < θ < 0

D¤ng têng qu¡t cõa h» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n câ tr¹ l 

trong â x(t) ∈Rn, f : R× C →Rn, xt : C → Rn

Tø (2.1) ta th§y r¬ng ¤o h m cõa bi¸n tr¤ng th¡i x t¤i t phö thuëc v o

t v  x(s) vîi t − r ≤ s < t Nh÷ vªy, º x¡c ành ÷ñc tr¤ng th¡i x(t) ð thíi

iºm t ≥ t0 ta c¦n bi¸t tr¤ng th¡i ban ¦u tr¶n kho£ng ë d i r, tùc l 

trong â φ ∈ C Hay x(t0 + φ) = φ(θ), −r ≤ θ ≤ 0

Vîi mët sè A > 0, mët h m x ÷ñc gåi l  nghi»m cõa (2.1) tr¶n [t0−r, t0+A] n¸u trong kho£ng n y x l  h m li¶n töc v  thäa m¢n RFDE (RetardedFunctional Differential Equation) (2.1) v  (t, xt) n¬m trong mi·n x¡c ànhcõa h m f N¸u nghi»m công thäa m¢n i·u ki»n ban ¦u (2.2) ta nâi nâ l nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh RFDE (2.1) vîi i·u ki»n ban ¦u (2.2), hay ìngi£n l  nghi»m t¤i (t0, φ)

Ta k½ hi»u x(t0, φ, f ) khi c¦n ch¿ rã nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh (2.1) vîi

i·u ki»n ban ¦u (t0, φ) Gi¡ trà cõa x(t0, φ, f ) t¤i t k½ hi»u x(t; t0, φ, f ) N¸ukhæng g¥y nh¦m l¨n ta s³ t¤m qu¶n i f v  vi¸t x(t0, φ) ho°c x(t; t0, φ).T÷ìng tü nh÷ ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n th÷íng ta công câ cæng thùc nghi»md¤ng t½ch ph¥n cõa h» (2.1) v  (2.2) l 

xt0 = φ

x(t) = φ(0) +

tZ

t 0

f (s, xs)ds, t ≥ t0

Ta công câ ành ngh¾a v· ên ành cho h» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n phi tuy¸n

câ tr¹ t÷ìng tü nh÷ cho h» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n th÷íng

ành ngh¾a 2.1.1 Nghi»m x(t) = 0 cõa h» (2.1) ÷ñc gåi l  ên ành n¸u

∀ > 0, ∀t0 > 0 ·u tçn t¤i δ = δ(t0, ) > 0 sao cho måi nghi»m x(t, t0, φ)thäa m¢n kxt0k < 0 th¼

Tr÷íng hñp V (t, xt) l  h m Lyapunov v  thäa m¢n th¶m i·u ki»n:

iii) ∃ặ) ∈ K : V (t, xt) ≤ b(kxtk), ∀(t, xt) ∈ R+× C

iv) ∃γ(.) ∈ K : DfV (t, xt) ≤ −γ(kxtk), ∀x ∈ Rn\ 0,

th¼ gåi l  h m Lyapunov ch°t

Ta câ ti¶u chu©n ên ành cho h» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n câ tr¹ sau:

ành lþ 2.1.3 N¸u tçn t¤i h m Lyapunov V (t, xt) v  c¡c sè λ1, λ2 > 0 saocho thäa m¢n c¡c i·u ki»n sau:

2.2 H» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n phi tuy¸n ætænæm câ tr¹

X²t h» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n phi tuy¸n ætænæm câ tr¹

(2.3)

trong â x(t) ∈ Rn l  v²ctì tr¤ng th¡i, u(t) ∈Rm l  v²ctì i·u khiºn, A, D v 

B l  c¡c ma trªn câ sè chi·u t÷ìng ùng th½ch hñp v  φ(t) ∈ C1([−h2, 0];Rn)

l  h m ban ¦u vîi chu©n kφkC 1 = max{supt∈[−h2,0]kφ(t)k, supt∈[−h2,0]k ˙φ(t)k}

H m tr¹ h(t), thäa m¢n i·u ki»n sau:

0 < h1 ≤ h(t) ≤ h2, t ≥ 0, (2.4)

ð â h1, h2 l  c¡c h¬ng sè tr¹ cho tr÷îc

ành ngh¾a 2.2.1 Cho α > 0 H» (2.3) vîi u(t) = 0 l  α - ên ành n¸u tçnt¤i mët sè d÷ìng β > 0 sao cho måi nghi»m x(t, φ) cõa h» thäa m¢n i·uki»n sau:

kx(t, φ)k ≤ βe−αtkφkC1, ∀t ∈ R+

ành ngh¾a 2.2.2 Cho α > 0 H» (2.3) l  α - ên ành hâa n¸u tçn t¤i h m

i·u khiºn ng÷ñc u(t) = Kx(t) sao cho h» âng

1[λmax(P−1S1P−1) + λmax(P−1S3P−1)]

R1, R2, b§t ký ma trªn Y sao cho b§t ¯ng thùc ma trªn (LMI) sau thäa m¢n:

λe

−αtkφkC1, t ∈ R+.Chùng minh Chóng ta k½ hi»u

i=1

Vi(t, xt), t ≥ 0,

ð â

V1(t, xt) =xT(t)P−1x(t),

V2(t, xt) =

tZ

t−h 1

e2α(s−t)xT(s)Q1x(s)ds +

tZ

t−h(t)

e2α(s−t)xT(s)Q2x(s)ds

+

t−h 1Z

t−h 2

e2α(s−t)xT(s)Q3x(s)ds,

V3(t, xt) =

0Z

−h 1

tZ

t+s

e2α(τ −t)˙xT(τ )S1˙x(τ )dτ ds +

−h 1Z

−h 2

tZ

t+s

e2α(τ −t)˙xT(τ )S2˙x(τ )dτ ds,

V4(t, xt) =

0Z

−h 1

tZ

t+s

e2α(τ −t)xT(τ )S3x(τ )dτ ds +

−h 1Z

−h 2

tZ

t+s

e2α(τ −t)xT(τ )S4x(τ )dτ ds,

V5(t, xt) =

0Z

−h1

0Z

θ

tZ

t+s

e2α(τ +s−t)˙xT(τ )R1˙x(τ )dτ dsdθ

+

−h 1Z

−h 2

0Z

θ

tZ

Ta câ

2xT(t)P−1f (t, x(t)) ≤ xT(t)P−1P−1x(t) + fT(t, x(t))f (t, x(t))

≤ xT(t)P−1P−1x(t) + a2xT(t)FTF x(t) (2.8)

t−h 1

˙xT(s)S1˙x(s)ds

− e−2αh2

t−h 1Z

˙xT(s)S2˙x(s)ds; (2.12)

V4(t, xt) ≤ −2αV4(t, xt) + xT(t)[h1S3 + (h2 − h1)S4]x(t)

− e−2αh1

tZ

t−h 1

xT(s)S3x(s)ds

− e−2αh2

t−h 1Z

−h 1

tZ

t+θ

˙xT(s)R1˙x(s)dsdθ

− e−4αh2

−h 1Z

−h2

tZ

tZ

t−h1

˙xT(s)S1˙x(s)ds

− e−2αh2

t−h1Z

t−h2

˙xT(s)S2˙x(s)ds − e−2αh1

tZ

t−h1

xT(s)S3x(s)ds

− e−2αh2

t−h 1Z

t−h 2

xT(s)S4x(s)ds − e−4αh1

0Z

−h 1

tZ

t+θ

˙xT(s)R1˙x(s)dsdθ

− e−4αh2

−h 1Z

−h 2

tZ

t−h2

˙xT(s)S2˙x(s)ds

= e−2αh2

t−h(t)Z

t−h2

˙xT(s)S2˙x(s)ds − e−2αh2

t−h1Z

t−h 2

˙x(s)ds)Te−2αh2S2(

t−h(t)Z

t−h(t)

˙x(s)ds)Te−2αh2S2(

t−h 1Z

t−h 2

x(s)ds)Te−2αh2S4(

t−h1Z

t−h 2

x(θ)dθ)Te−2αh2S4(

t−h 1Z

t+θ

˙x(s)dsdθ)Te−4αh1R1(

0Z

−h 1

tZ

t−h 1

x(θ)dθ]Te−4αh1R1[h1x(t) −

tZ

t+θ

˙xT(s)R2˙x(s)dsdθ

≤ − 2

h22 − h2

1(

−h 1Z

−h2

tZ

t+θ

˙x(s)dsdθ)Te−4αh2R2(

−h 1Z

−h2

tZ

t−h 1Z

t−h 2

x(θ)dθ]T

× e−4αh2R2[(h2 − h1)x(t) −

t−h 1Z

˙

V (t, xt) + 2αV (t, xt) ≤ ξT(t)Ωξ(t), t ≥ 0, (2.25)trong â

ξ(t) = [x(t), x(t − h(t)), x(t − h2), x(t − h1),

tZx(θ)dθ, (

t−h 1Zx(θ)dθ), ˙x(t)]T,

diag{P, P, P, P, P, P, P }

v  °t

v  sû döng Bê · Schur (Bê · 1.3.3), ta nhªn ÷ñc i·u ki»n Ω < 0 l  t÷ìng

÷ìng vîi i·u ki»n (2.6) Do â, tø i·u ki»n (2.6), chóng ta câ

˙

V (t, xt) + 2αV (t, xt) ≤ 0, ∀t ≥ 0 (2.27)L§y t½ch ph¥n 2 v¸ cõa (2.27) tø 0 ¸n t ta ÷ñc

λkx(t, φ)k2 ≤ V (t, xt) ≤ V (0, x0)e−2αt ≤ Ae−2αtkφk2C1,