Sự ổn định của hệ chuyển mạch vi phân đại số tuyến tính với những hệ con ổn định và không ổn định

SỰ ỔN ĐỊNH CỦA HỆ CHUYỂN MẠCH VI PHÂN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH VỚI NHỮNG HỆ CON ỔN ĐỊNH VÀ KHÔNG ỔN ĐỊNH .... Sự ổn định của hệ chuyển mạch vi phân đại số tuyến tính với những hệ con ổn định ..

Trang 1

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn/

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

Trang 2

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS ĐÀO THỊ LIÊN

THÁI NGUYÊN - 2015

Trang 3

LỜI CAM ĐOAN

Tôi cam đoan đây là công trình được tổng hợp, trình bày từ các công trình [15], [17], [19], theo nhận thức của riêng tôi dưới sự hướng dẫn của TS Đào Thị Liên Tài liệu tham khảo và nội dung trích dẫn đảm bảo tính trung thực, sự chính xác và đầy đủ

Thái Nguyên, tháng 08 năm 2015

Tác giả

Nguyễn Phương Anh

Trang 4

LỜI CẢM ƠN

Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm – Đại học

Thái Nguyên, dưới sự hướng dẫn tận tình của cô giáo TS Đào Thị Liên Nhân

dịp này em xin cảm ơn Cô về sự hướng dẫn hiệu quả cùng những kinh nghiệm trong quá trình học tập, nghiên cứu để hoàn thành luận văn

Xin chân thành cảm ơn Phòng Đào tạo, bộ phận Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Toán, các thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm – Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học và Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã giảng dạy và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu khoa học

Xin chân thành cảm ơn Trường Cao Đẳng Sư phạm Hòa Bình, cùng các đồng nghiệp đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi về mọi mặt trong quá trình học tập và hoàn thành bản luận văn này

Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết vì vậy rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn học viên để luận văn này được hoàn chỉnh hơn

Cuối cùng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tôi trong thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn

Thái Nguyên, tháng 8 năm 2015

Tác giả

Nguyễn Phương Anh

Trang 5

MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN i

LỜI CẢM ƠN ii

MỤC LỤC iii

MỞ ĐẦU 1

Chương 1 KIẾN THỨC CƠ SỞ 4

1.1 Hệ phương trình vi phân thường 4

1.2 Hệ phương trình vi phân đại số 7

1.3 Hệ chuyển mạch 15

Chương 2 SỰ ỔN ĐỊNH CỦA HỆ CHUYỂN MẠCH VI PHÂN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH VỚI NHỮNG HỆ CON ỔN ĐỊNH VÀ KHÔNG ỔN ĐỊNH 22

2.1 Đặt vấn đề 22

2.2 Sự ổn định của hệ chuyển mạch vi phân đại số tuyến tính với những hệ con ổn định 22

2.3 Sự ổn định của hệ chuyển mạch vi phân đại số tuyến tính với những hệ con ổn định và không ổn định 25

KẾT LUẬN 39

TÀI LIỆU THAM KHẢO 40

Trang 6

MỞ ĐẦU

Trong khoa học và ứng dụng thực tiễn hiện nay có nhiều bài toán, chẳng hạn mô tả hệ thống chuyển mạch của mạng điện, hệ thống mạng viễn thông, … đòi hỏi phải giải và xét tính ổn định của hệ chuyển mạch vi phân thường dạng:

là phương trình vi phân thường hay hệ chuyển mạch Cũng có nhiều kết quả nghiên cứu như: Wichs, Peleties và Decarlo [18]; Dayawansa và Martin [6] Lý thuyết ổn định của các hệ chuyển mạch đã nhận được sự quan tâm nghiên cứu trong những năm gần đây (có thể kể ra các công trình của Branicky [4]; Zhao

và Spong [23]; Liberzon [11]; Hesspanha, Liberzon, Angeli và Sontag [8]; Kim, Campbell và Liu [9]

Trang 7

Theo Liberzon [11] sự chuyển đổi giữa các hệ con ổn định có thể dẫn đến sự mất ổn định; hệ chuyển mạch là ổn định tiệm cận theo chuyển đổi tùy ý nếu và chỉ nếu các hệ con chia sẻ một hàm Lyapunov chung và sự ổn định được bảo toàn theo chuyển đổi đủ chậm như có thể được hiển thị bởi việc sử dụng các hàm Lyapunov bội (một cho mỗi hệ con)

Tuy nhiên, phương pháp tương tự ít khi được áp dụng trong hệ chuyển mạch DEAs trong các kết quả nghiên cứu Trong Liberzon và Trenn [12] hệ chuyển mạch DAEs tuyến tính được xác định bởi họ các hệ con DAEs tuyến tính và tín hiệu chuyển mạch được đưa ra xem xét Chúng khác nhau từ hệ DAEs tuyến tính cổ điển Điều kiện đủ Lyapunov cho sự ổn định của hệ chuyển mạch DAEs ban đầu được thành lập khi phép chiếu tương thích được sử dụng Với sự hỗ trợ của phép biến đổi tương thích, nó mô tả cách thức không phù hợp giá trị ban đầu các bước nhảy đến một thống nhất trong các biến đổi, nó dường như có thể nghiên cứu hệ chuyển mạch DAEs (0.2) Với giả thiết tất cả các hệ con là ổn định, nó thu được toàn bộ hệ thống là ổn định tiệm cận

Khi một hệ thống không thỏa mãn sự ổn định theo biến đổi bất kỳ, kỹ thuật thời gian dừng trung bình được giới thiệu đầu tiên trong Hespanha và Morse [7] có thể hữu ích cho sự phân tích ổn định Phương pháp này cũng đã xuất hiện trong Zhai, Hu, Yahuda và Michel [19]; Lin, Zhai và Antsaklis [13]; Zhai và Lin [21] Nghiên cứu gần đây của các hệ chuyển mạch tuyến tính có thể được tìm thấy trong Zhang và Shi [22]; Olsder [14]

Từ các công trình trên, ta xét hệ chuyển mạch DEAs với các hệ con ổn định và không ổn định theo chuyển đổi thời gian dừng trung bình Lý do để xét các hệ con không ổn định là trong lý thuyết cũng như thực tế các hệ con không

ổn định không thể tránh được trong nhiều ứng dụng Nhằm tìm hiểu sâu hơn về

cách giải quyết vấn đề này, tôi đã chọn đề tài: “Sự ổn định của hệ chuyển

mạch vi phân đại số tuyến tính với những hệ con ổn định và không ổn định”

Trang 8

để thực hiện Trong luận văn này, tôi tổng hợp và trình bày lại sự ổn định của

hệ chuyển mạch DEAs tuyến tính mà không cần giả sử mỗi hệ con là ổn định tiệm cận khác biệt với Liberzon và Trenn [12] và chỉ ra sự ổn định tiệm cận của hệ chuyển mạch DEAs nếu thời gian dừng trung bình được chọn đủ lớn và tổng thời gian kích hoạt của các hệ con không ổn định là tương đối nhỏ so với

hệ ổn định

Nội dung luận văn gồm 37 trang, trong đó có phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo

Chương 1: Kiến thức cơ sở

Nội dung chương này là trình bày một số kiến thức cơ bản bao gồm các khái niệm cơ bản, các tính chất của phương trình vi phân, phương trình vi phân đại số, hệ chuyển mạch sử dụng trong luận văn

Chương 2: Sự ổn định của hệ chuyển mạch vi phân đại số tuyến tính với

các hệ con ổn định và không ổn định

Nội dung chương này trình bày bài toán và một số kết quả nghiên cứu về

sự ổn định của hệ chuyển mạch DAEs (0.2) với những hệ con ổn định và không

ổn định, cùng một số ví dụ minh họa cho các kết quả trên

Trang 9

Chương 1

KIẾN THỨC CƠ SỞ

1.1 Hệ phương trình vi phân thường

1.1.1 Các khái niệm cơ bản

Định nghĩa 1.1.1.1 Hệ phương trình vi phân thường (ODE) là hệ phương

Trang 10

1 1

( , ) ( ( , ), , ( , ))

( , , )

n n

xác định trong khoảng [t ,0 ] tức là ( ) Y t D y khi t[ ,t0 )

2 Đối với các nghiệm này bất đẳng thức sau thỏa mãn

1.1.2 Tính ổn định của hệ phương trình vi phân tuyến tính

Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính (1.2) trong đó ma trận A(t) và F(t) liên tục trên khoảng (a;) Giả sử

Trang 11

Nếu ma trận nghiệm cơ bản X(t) là chuẩn hóa tại tt0, tức là X t( 0)I n, thì

nghiệm Y(t) của (1.8) có dạng

0

( ) ( ) ( )

Định nghĩa 1.1.2.1 Hệ phương trình vi phân tuyến tính (1.2) được gọi là ổn

định (hay không ổn định) nếu tất cả các nghiệm Y=Y(t) của nó ổn định (hoặc không ổn định) Lyapunov khi t 

Định nghĩa 1.1.2.2 Hệ phương trình vi phân tuyến tính (1.2) được gọi là ổn

định tiệm cận nếu tất cả các nghiệm của nó ổn định tiệm cận khi t 

Định lý 1.1.2.3 Điều kiện cần và đủ để hệ phương trình vi phân tuyến tính

(1.2) ổn định với số hạng tự do bất kì F(t) là nghiệm tầm thường

0 0 (t0 t ,t0 ( , ))

của hệ thuần nhất tương ứng (1.8) ổn định

Định lý 1.1.2.4 Hệ phương trình vi phân tuyến tính (1.2) ổn định tiệm cận khi

và chỉ khi nghiệm tầm thường Y0 0 của hệ vi phân tuyến tính thuần nhất tương ứng (1.8) ổn định tiệm cận khi t 

Xét hệ vi phân tuyến tính (1.8), trong đó A(t) liên tục trong khoảng (a;)

Trang 12

Định lý 1.1.2.5 Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất (1.9) ổn định

Lyapunov khi và chỉ khi mỗi nghiệm Y Y t( )(t0   t ) của hệ đó bị chặn trên nửa trục (t0; )

Định lý 1.1.2.6 Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất (1.8) ổn định

tiệm cận khi và chỉ khi tất cả các nghiệm Y Y t( )dần tới không khi t  , tức là

lim ( ) 0

t Y t

  (1.10)

Định lý 1.1.2.7 Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất (1.8) với ma

trận hằng, ổn định khi và chỉ khi tất cả các nghiệm đặc trưng  i  i( )A của A đều có phần thực không dương, tức là:

Rei( )A 0 (i1,2,,n)

Định lý 1.1.2.8 Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất (1.8) với ma

trận hằng, ổn định tiệm cận khi và chỉ khi tất cả các nghiệm đặc trưng

( )

i i A

  của A đều có phần thực âm, tức là:

Rei( )A 0 (i1,2,,n)

1.2 Hệ phương trình vi phân đại số

1.2.1 Các khái niệm cơ bản

Định nghĩa 1.2.1.1 Cho P L(n) P được gọi là một phép chiếu nếu P2 P

Nhận xét 1.2.1.2

1 Cho P là phép chiếu Khi đó ta có Ke P r ImPn

2 Mỗi phân tích  n  U V tồn tại duy nhất một phép chiếu P sao cho

Im P U và K Per V , khi đó P được gọi là phép chiếu lên U dọc theo V

Trang 13

Đặt Q: I P thì Q cũng là một phép chiếu và là phép chiếu lên V dọc theo U

Cho A,BL(R n), gọi S {xn:B xI A m }

Phép chiếu Q lên KerA dọc theo S được gọi là phép chiếu chính tắc, kí

hiệu Q can và P can  I n Q can

Định nghĩa 1.2.1.3 Cho A L (n) Số tự nhiên k được gọi là chỉ số của ma

Ker

Định nghĩa 1.2.1.4 Với A L (n) ta luôn có

ImA k KerA kn với mọi k thỏa mãn 0 k in Ad

ImA k KerA k ImA k KerA k  n với kindA

Định nghĩa 1.2.1.5 Cho A B, L(n) Cặp ma trận (A, B) được gọi là chính qui nếu  c  sao cho det(cAB)0 Trường hợp ngược lại, ta gọi cặp ma

trận (A, B) là không chính quy

Định nghĩa 1.2.1.6 Cho cặp ma trận (A, B) chính quy, c là số mà

Trang 14

Nếu A, B giao hoán được thì ind (A, B) = ind A

Một số tính chất của cặp ma trận chính quy (A, B)

1 Nếu cặp ma trận (A, B) là chính quy thì cặp ma trận (A, B + sA) cũng

là chính quy với mọi s và ind (A, B) = ind (A, B + sA)

2 Nếu cặp ma trận (A, B) là chính quy, ind (A, B) = k và

trong đó N(t) là k- lũy linh, tức là N k 0, N l 0với mọi l < k

Ngoài ra, nếu

Trang 15

Định lý 1.2.1.8 Giả sử A là ma trận suy biến Các mệnh đề sau là tương đương

1 Cặp ma trận (A, B) chính quy với chỉ số 1

2 Từ xKerA và BxImA kéo theo x = 0

3 Cặp ma trận (A, B) chính quy và deg det(A B)rankA

4 Cặp ma trận (A, B+AW) chính quy và ind(A, B+AW) = 1, với mọi

1 2

0

B a

được gọi là nghịch đảo Moore - Penrose của ma trận A  n

Định nghĩa 1.2.1.10 Giả sử A  và ind(A) = k Ma trận thỏa mãn các n

Trang 16

S  xI A được gọi là không gian liên hợp của cặp (A, B)

Mệnh đề 1.2.1.14 Nếu cặp ma trận (A, B) là chính quy, ind(A, B)=1 và Q là

phép chiếu lên Ker A thì các đẳng thức sau đây là đúng

Trang 17

1.2.2 Hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính

Định nghĩa 1.2.2.1 Phương trình vi phân đại số (DAEs) tuyến tính là phương

trình có dạng

( ) '( ) ( )x( ) ( ), ( ; )

trong đó A t B( ) ( )t C I L( , (n)), q t( ) liên tục trên I, detA(t) = 0 với mọi tI

Trường hợp A B, L(n) ta gọi hệ trên là hệ phương trình vi phân đại số

với hệ số hằng

Định nghĩa 1.2.2.2 Phương trình vi phân đại số tuyến tính (1.11) được gọi là

chính qui chỉ số 1 nếu cặp ma trận hệ số (A, B) chính quy chỉ số 1

Định nghĩa 1.2.2.3 Giả sử N(t):= Ker A(t) là trơn, nghĩa là tồn tại phép chiếu

thỏa mãn với mọi tR

Hơn nữa với phương trình vi phân đại số tuyến tính thuần nhất chính quy chỉ số 1

( ) ' ( )x 0,

thì S t( )ImP can là không gian nghiệm của (1.12) và có số chiều là r (r = rank A(t))

Trang 18

Nói một cách chính xác, với mỗi x0S t( )0 có đúng một nghiệm của (1.12) đi qua vào thời điểm t0 Nghiệm của phương trình thuần nhất (1.12) được xác định bởi

( ) can( ) ( ),

trong đó u(t)I mP(t) là nghiệm của phương trình vi phân thường

u'( 'P PA B u11 0) (1.13)

Định nghĩa 1.2.2.4 Phương trình (1.11) gọi là chuyển được (tranferable) nếu

N(t) là trơn và ma trận G(t): = A(t) +B(t)Q(t), trong đó 1

( ) C ( )

chiếu lên N(t), có nghịch đảo bị chặn trên mỗi đoạn [0; ] T 

Định nghĩa 1.2.2.5 Hai phương trình

1 0 1

Định nghĩa 1.2.2.6 Phương trình (1.12) với hệ số A B, C I L( , (n)) được gọi

là phương trình vi phân đại số dạng chuẩn chắc Kronecker với chỉ số 1 nếu các

ma trận hệ số dạng

W( ) 00

Trang 19

Định nghĩa 1.2.2.7 Một ma trận vuông X(t) cấp m được gọi là ma trận nghiệm

cơ bản (FSM) của (1.12) nếu r vectơ cột đầu tiên của nó là các nghiệm độc lập tuyến tính của (1.12) và (m-r) vectơ cột còn lại là các vectơ không

Định nghĩa 1.2.2.8 Hệ phương trình Ax 'Bx0 được gọi là chính quy chỉ sổ

k nếu cặp ma trận (A, B) là chính quy chỉ số k

Định nghĩa 1.2.2.9 Giá trị phức   được gọi là giá trị riêng hữu hạn của cặp ma trận (A, B) nếu det(AB)0

Nếu  là một giá trị riêng hữu hạn của cặp ma trận (A, B) thì có một vectơ x0 sao cho Ax B x Vectơ x như thể được gọi là vectơ riêng của cặp ma trận (A, B) tương ứng với giá trị riêng 

Định nghĩa 1.2.2.10 Cặp ma trận (A, B) được gọi là có giá trị riêng  

nếu có một vectơ x0 sao cho A x = 0 Vectơ x như thế được gọi là vectơ riêng của cặp ma trận (A, B) tương ứng với giá trị riêng  

Định nghĩa 1.2.2.11 Nghiệm tầm thường x0 của Ax'+BX0 được gọi là

ổn định Lyapunov nếu với mỗi phép chiếu P đã biết dọc theo không gian con bất biến cực đại của các cặp (A, B) liên hợp với các giá trị riêng hữu hạn, bài toán giá trị ban đầu (IVP)

0

x 0( (0) ) 0

Trang 20

Định lý 1.2.2.12 Nghiệm tầm thường x0 của A x'+ B X0 là ổn định tiệm cận nếu và chỉ nếu tất cả các giá trị riêng hữu hạn của cặp ma trận (A, B) có phần thực âm

1.2.3 Sự ổn định của hệ phương trình vi phân đại số

Xét hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính

( ) '( ) ( ) ( ) 0

trong đó x:I n, A B, L(n), de tA0 Rõ ràng hệ (1.16) có nghiệm tầm thường x t( )0

Giả sử hệ (1.16) có chỉ số 1 và Ker A(t) trơn Gọi Q(t) là phép chiếu khả

vi liên tục trên Ker A(t), đặt P t( ) :I n Q t( )

Định nghĩa 1.2.3.1 Nghiệm tầm thường x t( )0 của hệ (1.16) được gọi là ổn

định (theo nghĩa Lyapunov) nếu với mọi  0 cho trước và với mọi t0I đều tồn tại   ( , )t0  0 sao cho nếu x0R n thỏa mãn || (P t0,x0) || thì

Trang 21

1.3.1 Sự chuyển mạch phụ thuộc thời gian

Định nghĩa 1.3.1.1 Cho P {1, 2,, }m xét họ f p:n n,pP Hàm hằng từng khúc  :[0, ) P , có một số hữu hạn các điểm gián đoạn và liên tục phải tại những điểm gián đoạn đó, được gọi là tín hiệu chuyển mạch

Gọi S là tập các cặp ( , ) x , trong đó  là tín hiệu chuyển mạch và x là tín hiệu trong  n

Định nghĩa 1.3.1.2 Hệ chuyển mạch là hệ phương trình có dạng

Định nghĩa 1.3.1.4 Nghiệm của hệ chuyển mạch là cặp ( , ) x S thỏa mãn

1 Mọi khoảng mở trên đó  là hằng số, x là nghiệm của hệ chuyển mạch

Trang 22

Cho hệ phương trình x f( ),x ( , x)S all. (1.18)

Định lý 1.3.2.1 Giả sử tồn tại hàm V : n  không bị chặn theo tia, xác định dương khả vi liên tục sao cho

1 Điểm cân bằng x eq là ổn định Lyapunov

2 Nếu W z( )0 khi xx eq thì x eq là ổn định tiệm cận đều toàn cục

Trang 23

Định lý 1.3.2.2 Giả sử P là hữu hạn Hệ chuyển mạch là ổn định tiệm cận đều

(trên S all ) nếu và chỉ nếu tồn tại hàm Lyapunov chung, cụ thể là tồn tại hàm

1.3.3 Điều kiện đại số về sự ổn định của hệ chuyển mạch tùy ý

Cho hệ chuyển mạch tuyến tính x Ax, ( , ) x S all Giả sử tồn tại

tức là B'qB q 0,  q P thì hệ chuyển mạch thường là ổn định tiệm cận đều (mũ)

Định lý 1.3.3.2 Nếu tập chỉ số P là hữu hạn, với mọi A q, (qP) là ổn định tiệm cận và A A p q A A q p,(p q, P) thì hệ chuyển mạch là ổn định tiệm cận đều (mũ)

1.3.4 Bài toán ổn định

Xét một hệ được mô tả bởi hệ phương trình vi phân

Định dạng
Số trang	47
Dung lượng	740,7 KB