Vấn đề tìm phương án tối ưu của kết cấu và các máy móc công cụ, việc tối ưu hóa các chế độ làm việc của các thiết bị, các kết cấu công trình v.v… có ý nghĩa hết sức quan trọng trong thiết kế các công trình kỹ thuật. Ngày nay sự phát triển nhanh chóng của kỹ thuật máy tính điện tử đã tạo ra khả năng thực tế cho việc tự động hóa thiết kế trên rất nhiều các lĩnh vực. Chẳng hạn như xác định các tham số của kết cấu xây dựng tối ưu theo tiêu chuẩn giá thành rẻ nhất; tính toán các bộ phận kết cấu máy bay sao cho có sức nâng lớn nhất ứng với công suất của động cơ cho trước v.v… Đó là những ví dụ của bài toán thiết kế tối ưu.
Trang 2BỘ G IÁ O D Ụ C V À Đ À O T Ạ O
Đ Ạ I H Ọ C T H Á I N G U Y Ê N
TRẦN VŨ THIỆU - NGUYỄN THỊ THU THỦY
GIÁO TRÌNH TỐI 11 P H I TUYẾN
NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI H Ọ C Q U Ố C G IA HÀ NỘI
Trang 4MỤC LỤC
T rang
L ời nói đ ầ u 13
Phán 1 LÝ THUYẾT CHUNG C h ư ơ n g 1 BÀ I T O Á N T ố i ư u 1.1 Khái niệm và định nghĩa 17
1.2 V í dụ .20
1.3 Phàn loại bài toán tối ưu .25
1.4 Sự tồn tại nghiệm tối ư u 27
1.4.1 Hàm nửa liên tục dưới .28
1.4.2 Đ iều kiện bức .30
Dài t ậ p 35
C h ư ơ n g 2 G IẢ I T ÍC H L Ớ I 2.1 Tập lồ i 37
2 1 1 Tập afin và bao afin 37
2.1.2 Tập lồi, nón lồi và bao lồi .41
2.1.3 Phần trong tương đối và bao lồi dóng 46
2 ỉ 4 Các định lý tách tập lồi .49
2.1.5 Phương lùi xa và nón lùi xa .55
2.1.6 Siêu phảng tựa, diện, điểm cực biên và phương cực biên 57
3
Trang 52.1.7 Biểu diễn tập lồi qua các điểm cực biên và phương
cực b i ê n 59
2.1.8 Tập lồi đa diện 60
2.2 Hàm lồ i 63
2.2.1 Hàm lồi và hàm lõm 63
2.2.2 Hàm lồi liên t ụ c 68
2.2.3 Hàm lồi khả v i 70
2 ắ2.4 Dưới vi phán 74
2.2.5 Hàm lồi m ạnh 78
B à i tập 80
C h ư ơ n g 3 Đ IỂ U K IỆ N T ố i Ư u 3.1 Bài toán tối ưu không ràng b u ộ c 85
3.2 Bài toán tối ưu với ràng buộc tập .91
3.2.1 Nón chấp nhận được và nón tiếp x ú c 92
3.2.2 Điều kiện cần tối ưu cấp 1 và cấp 2 94
3.2.3 Điều kiện đủ tối ưu cấp 1 và cấp 2 97
3.2.4 Điều kiện tối ưu cấp 0 dối với bài toán qui hoạch l ồ i 100
3.3 Bài toán tối ưu với ràng buộc hiển 103
3.3.1 Nội dung bài toán 103
3.3.2 Điều kiện chính q u i Ị04 3.3.3 Đ iều kiện tối ưu cấp 1 J0 7 3.3.4 Đ iều kiện tối ưu cấp 2 ] Ị J B à i tậ p 118
Trang 6C h ư ơ n g 4 BÀ I T O Á N Đ ố i NGAU
4.1 Đối ngẫu L a g r a n g e 122
4.1.1 Cặp bài toán đối ngẫu 122
4.1.2 Đối ngẫu y ế u 125
4.1.3 Đ ối ngẫu m ạnh .126
4.1.4 Ràng buộc đẳng t h ứ c 128
4.1.5 Qui hoạch tuyến tính 129
4.1.6 Q ui hoạch toàn phương 129
4.2 Đ iểm yên ngựa 130
4.2.1 Hàm Lagrange và điểm yên ng ự a 130
4.2.2 Lời giải tối ưu và điểm yên n g ự a 131
B ài tập 134
Phần 2ệ PHƯƠNG PHÁP TÌM c ự c TIỂU KHÔNG RÀNG BUỘC Chương 5 TÌM c ự c TlỂU HÀM MỘT BIẾN 5.1 Phương pháp tìm theo t i a 135
5.1.1 Tìm chính xác và tìm gần đúng theo tia .135
5.1.2 Phương pháp lặp N e w to n 140
5.2 Phương pháp khử liên tiếp .142
5.2.1 Phương pháp Fibonacci 143
5.2.2 Phương pháp lát cắt v à n g 148 5.3 Phương pháp nội suy .15 4
Trang 75.3.1 N ội suy bậc hai .154
5.3.2 N ội suy bậc ba .157
B à i tập .
C h ư ơ n g 6 P H Ư Ơ N G P H Á P K H Ô N G D Ù N G Đ Ạ O H À M 6.1 Phương pháp H ooke - J e e v e s 167
6.2 Phương pháp N elder - M e a d 173
B à i t ậ p 181
C h ư ơ n g 7 P H Ư Ơ N G P H Á P G R A D IE N T 7.1 Phương pháp hướng dốc nhất 183
7.1.1 N ội dung phương pháp 183
7.1.2 Sự hội tụ của phương pháp g r a d ie n t 184
7.1.3 Các dạng khác của phương pháp gradient .189
7.2 Phương pháp N e w to n 194
7.2.1 Nội dung phương pháp 194
7.2.2 Sự hội tụ của phương pháp N ew ton suy rộng 197
7.2.3 Cải biên phương pháp N ew ton suy r ộ n g 200
7.3 Phương pháp tựa N e w to n 201
7.3.1 N ội dung phương pháp 201
7.3.2 Phương pháp Davidon - F letcher - Pow ell .201
7.4 Phương pháp gradient liên hợp 209
7.4.1 Hướng liên hợp 209
7.4.2 Phương pháp Fletcher - Reeves 212
B à i tập .222
Trang 8Phần 3ế PHƯƠNG PHÁP TÌM c ự c TIỂU
CÓ RÀNG BUỘC
C h ư ơ n g 8 P H Ư Ơ N G P H Á P T R Ự C T IẾ P
8.1 Phương pháp hình học 224
8.2 Phương pháp nhân tử L a g rra n g e 229
8.2.1 Ràng buộc đẳng th ứ c 230
8.2.2 Ràng buộc không â m 236
8.3 Phương pháp dùng điều kiện KKT 240
8.3.1 Bài t o á n 240
8.3.2 Các ví d ụ 243
8.3.3 Bài toán tối ưu lồi 249
B à i tậ p 253
C hư ơ ng 9 P H Ư Ơ N G P H Á P T U Y Ê N T ÍN H H Ó A 9.1 Tuyến tính hóa ràng b u ộ c 255
9.1.1 Bài toán và ý tưởng phương pháp g i ả i 255
9.1.2 Thuật toán siêu phẳng cắt Kelley 255
9.1.3 M ột sô' ví d ụ 258
9.2 Tuyến tính hóa mục t i ê u 263
9.2.1 Bài toán và các giả t h i ế t 263
9.2.2 Thuật toán Frank - W olfe 264
9.2.3 V í dụ m inh h ọ a 266
B à i t ậ p 271
Trang 9Chương 10 PHƯƠNG PHÁP HƯỚNG CHẤP NHẬN Đ ư ợ c
10.1 Ràng buộc phi t u y ế n 273
10.1.1 Bài toán và ý tường phương pháp g i ả i 273
10.1.2 Chọn điểm xuất phát và hướng giảm ở mỗi bước .274
10.1.3 Thuật toán Zoutendijk .277
10.2 Ràng buộc tuyến t í n h 282
10.2.1 Bài t o á n 282
10.2.2 Thuật toán giải bài toán tối ưu với ràng buộc tuyến t í n h 286
10.3 Phương pháp chiếu Rosen .292
10.3.1 Bài t o á n 292
10.3.2 M ô tả khái quát thuật t o á n 292
10.3.3 Thuật toán chi t i ế t 294
B à i tậ p 299
C h ư ơ n g 11 P H Ư Ơ N G P H Á P P H Ạ T 11.1 Phương pháp hàm c h ắ n 301
11.1.1 Bài toán và ý tưởng thuật toán .301
11.1.2 Hàm chắn lôga và hàm chắn nghịch đảo .304
11.1.3 Đ ường trung t â m 309
11.1.4 N hân tử Lagrange 311
11.1.5 Trường hợp bài toán không lồi .316 11.2 Phương pháp hàm phạt .3 1 5
Trang 10l l ể2.1 Hàm phạt bậc hai 317
11.2.2 Hàm phạt chính x á c 323
11.2.3 Hàm phạt Lagrange gia tă n g 327
B à i tậ p 331
T rả lời bài tập 333
Tài liệu tham k h ả o 341
Các từ k h ó a 343
Trang 11MỘT SỐ KÝ HIỆU TOÁN HỌC
X e c X thuộc tập c (x là một phần tử của tập C)
x í C X không thuộc tập c (x không phải là phần tử của tập Q
0 tập rỗng (tập không chứa phần tử nào)
< x , y>, x Ty tích vô hướng của X và y (hai véctơ có cùng số chiều)
các tọa độ của điểm hay thành phần của v éctơ X
X |,x 2, x„
(dùng chỉ s ố dưới)
B ( 0 1) hình cầu đơn vị đóng (tâm 0, bán kính 1)
Trang 12a f f E bao afin của tập E
conv E bao lồi của tập E
conv E bao lồi đóng của tập E
c o n e E bao nón của tập E
d im c thứ nguyên (hay sô' chiều) của tập c
int c phán trong của tập c
ri c phần trong tương đối của tập c
ÕC biên tương đối của tập c
rec c nón lùi xa của tập c
c tập đỉnh của tập lồi đa diện c
fẼmax giá trị cực đại của hàm f
fầmin giá trị cực tiểu của hàm f
fÁopl giá trị tối ưu của hàm f
^max điểm (nghiệm, lời giải) cực đại của bài toán tìm cực đại
^min điểm (nghiệm, lời giải) cực tiểu của bài toán tìm cực tiểu
x op điểm (nghiệm , lời giải) tối ưu của một bài toán tối ưu
f (Xo, d) đạo hàm theo hướng d của hàm f tại điểm Xo
f ' f '
1xi ’ äi đạo hàm riêng (cấp m ột) của hàm f theo biến X,
f ' X jX j , f-’ ij đạo hàm riêng cấp hai của hàm f theo biến X; và biến X
dom f m iền hữu hiệu của hàm f
epi f tập trên đồ thị của hàm f
h y p o f tập dưới đổ thị của hàm f
ổf(x°) dưới vi phàn của hàm f tại điểm Xo
Trang 13ỗc(x) hàm chỉ của tập lồi c
d c(x) hàm khoảng cách từ điểm X tới tập lồi c
sc(x) hàm tựa của tập lồi c
Fd(x°) nón chấp nhận được của tập D tại điểm x"
Td(xh) nón tiếp xúc với tập D tại điểm x°
S(x°) nón chấp nhận được tuyến tính hóa tại đ iểm x°
Nc(x°) nón pháp tuyến trong của tập c tại điểm XH
- N c ( x H) nón pháp tuyến ngoài của tập c tại điểm x°
V f(x) v éctơ gradient của hàm f tại điểm X
Trang 14LỜI NÓI ĐẦU
Tối ưu hóa (O ptim ization) là một môn toán học ứng dụng đã và đang được nghiên cứu, giảng dạy và học tập ở nhiều trường đại học, cao đẳng trong nước, từ Bắc tới Nam, cho sinh viên toán học, tin học, kinh tế và kỹ thuật
Trong lý Ihuyết tối ưu hóa thì phần quan trọng và được phát
triển hoàn thiện nhất là tối ưu tuyến tính, còn gọi là qui hoạch tuyến
tính Phần khó hơn và ít được dề cập dến là tối ưu phi tuyến (không tuyến tính), còn gọi là qui hoạch phi tuyến Có nhiều sách và giáo trình viết về qui hoạch tuyến tính, song sách về tối ưu phi tuyến còn khá khiêm tốn
Giáo trìnli T ối ưu p h i tuyến (N onlinear O ptim ization) được viết
theo đề xuất của K hoa Toán - Tin, Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái N guyên Đây là một tài liệu tham khảo bàng tiếng V iệt về tối ưu phi tuyến, nhằm góp phần thúc đẩy việc nghiên cứu, giảng dạy và học tập m ôn tối ưu hóa nói chung ở Khoa và Trường Sách được viết trên cơ sở chỉnh lý, bổ sung và hoàn thiện các bài giáng
về tối ưu do các tác giả đã dùng làm tài liệu giảng dạy trong nhiều năm cho nhiều đối tượng sinh vién và học viên cao học ờ một số trường đại học và viện nghiên cứu: Trường Đại học Khoa học Trường Đại học Sư phạm và Trường Đại học Kỹ thuật Công nghiệp
- Đại học Thái N guyên, Trường Đại học K hoa học Tự nhiên - Đại học Q uốc gia Hà Nội, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội, Trường Đại học Kinh tế Q uốc dân Hà Nội, Viện Toán học, v.v
Trang 15Cuốn sách này tập trung trình bày những nội dung cơ bản của lý thuyết tối ưu phi tuyến và các phương pháp thường dùng đề giải các bài toán tối ưu phi tuyến có hay không có ràng buộc Lý thuyết và
phương pháp tối ưu tuyến tính đã được viết trong Giáo trình lối IIÌI tuyến tính do N hà xuất bản Đại học Q uốc gia Hà Nội in năm 2004.
Nội dung cuốn sách được chia làm ba phần chính, mỗi phần gồm ba hoặc bốn chương, một sô' chương có thể đọc độc lập với nhau, tùy theo nhu cầu học tập
• Phần 1 gồm bốn chương đầu, trình bày lý thuyết chung về
các bài toán tối ưu: nội dung và ý nghĩa bài toán, các định lý về sự tồn tại nghiệm tối ưu của bài toán, các điểu kiện cần và đù của tối
ưu (điều kiện cấp 0, cấp 1 và cấp 2), các kết quả chính về giải tích lồi thường dùng trong tôi ưu hóa (tập afin, tập lồi, nón lồi, hàm lồi
và hàm lõm cùng các tính chất cơ bán của chúng) Guối Phần 1 là lý thuyết đối ngẫu Lagrange
• Phần 2 gồm ba chương 5, 6 và 7, giới thiệu các phương pháp tìm cực tiểu không ràng buộc của hàm , bao gồm các phương pháp tìm cực tiểu của hàm m ột biến số (phương pháp lập Newton, Fibonacci, lát cắt vàng, nội suy bậc hai và bậc ba), các phương pháp không dùng đạo hàm tìm cực tiểu của hàm nhiều biến (phương pháp
H ooke-Jeeves, phương pháp N elder-M ead) và các phương pháp gradient đòi hỏi sử dụng các đạo hàm riêng cáp m ột và cấp hai của hàm (phương pháp gradient, gradient liên hợp, phương pháp Newton, tựa Newton)
• Phần 3 gồm bốn chương 8 - 1 1 trình bày các phương pháp
tìm cực tiểu có ràng buộc củ a hàm nhiều biến, trong đó có phương pháp hình học, phương pháp nhân tứ L agrange, phương pháp dùng điêu kiện KKT, phương pháp tuyên tính hóa hàm m ục tiêu hay hùm ràng buộc, các phương pháp hướng chấp nhận được và các
phương pháp phạt điếm trong và đ iểm n goài, dùng các hàm chắn
và hàm phạt
Trang 16Cuối sách liệt kê m ột số tài liệu tham khảo chính đã sử dụng, trả lời bài tập ở các chương và danh sách các từ khóa để tra cứu.
Do số trang hạn ch ế nên cuốn sách này không trình bày m ột số nội dung chuyên sâu của tối ưu phi tuyến như tối ưu rời rạc (hay tối
ưu tổ hợp), tối ưu toàn cục, tối ưu mạng, tối ưu đa mục tiêuắ Các vấn để này là chủ đề trong các tài liệu khác
Sách viết có sử dụng một sô' tài liệu mới in năm 2004 - 2009,
bổ sung và làm chính xác một số sự kiện về giải tích lồi mà sách hiện có không nêu rõ hoặc nêu thiếu chính xác (Định lý 1.4, Định
lý 2.16 và Hệ quả 2.6, Định lý 2.26 - 2.27 và Hệ quả 2.9); cố gắng đưa ra các chứng m inh ngắn gọn, trực tiếp cho nhiều sự kiện quen biết trong lý thuyết tối ưu (Định lý Carathéodory, Đ ịnh lý tách các
tập lồi, các định lý điểu kiện tối ưu cấp 2); đưa vào một số nội dung
ít quen biết (điều kiện tối ưu cấp 0, dưới vi phân của hàm lồi và tối
ưu với hàm lồi không khả vi .)•
Cách trình bày khá trực quan các kết quả lý thuyết trừu tượng, với nhiều hình vẽ m inh họa và nhiều ví dụ số cụ Ihể giúp người đọc
dẻ hiểu, dễ vận dụng Các thuật toán trình bày có kèm theo sơ đồ khối, tiện cho lập trình trên máy tính Cuối mỗi chương đều có các bài tập với đầy đủ đáp án, nhằm giúp bạn đọc tự ôn luyện và kiểm tra kiến thức đã học Cũng có thể sử dụng bài tập làm các bài kiểm tra giữa m ôn hoặc cuối môn học
Có thể dùng sách này làm tài liệu giảng dạy (dùng cho giáo viên), tham khảo và học tập (dùng cho sinh viên và học viên cao học) vể một số m ôn chuyên đề gần nhau như: Giải tích lồi, Lý thuyết tối ưu, Q ui hoạch phi tuyến, Phương pháp giải số bài toán cực trị, v.v
Các tác giả xin chân thành cảm ơn GS.TSKH Lê Dũng Mưu (V iện Toán học) và PGS.TS Nguyễn Thị Bạch Kim (Trường Đại học Bách khoa Hà Nội) đã dành không ít thời gian và công sức đọc kỹ bủn thảo, góp nhiều ý kiến xác đáng và bổ ích, giúp hoàn thiện cuốn
Trang 17sách này Các tác giả cũng xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Toán - Tin, Ban lãnh đạo Phòng Đ ào tạo K hoa học và Q uan hệ
Q uốc tế, Ban giám hiệu Trường Đại học K hoa học - Đại học Thái Nguyên đã nhiệt tình ủng hộ và tạo m ọi điểu kiện thuận lợi để các tác giả hoàn thành sách Lời cảm ơn chân thành cũng xin được gửi tới Ban giám đốc Đại học Thái N guyên đã tận tình giúp đỡ đẽ cuốn sách này sớm được xuất bản
Do thời gian và kinh nghiệm có hạn nên cuốn sách chắc chắn không tránh khỏi những sai sót nhất định C húng tôi rất m ong được bạn đọc góp ý và lượng ihứ
Tliái Nguyên, Iigày 17 tháng 8 năm 2010
C ác tá c giả
Trang 18Phần I LÝ T H U Y Ế T CHƯNG
Chương I
BÀI TOÁN TỐI ƯU
1.1 K H Á I N IỆ M VÀ Đ ỊN H N G H ĨA
Trong không gian véctơ K", cho D c K" là một tập khác rỗng
và hàm sô' thực f : D —> [R tùy ý Bài toán tối ưu có dạng
Đ ịnh n g h ĩa 1.1 Hàm f gọi là hàm m ục liêu hay liàm chi phí, tập D gọi là tập ràng buộc hay miền chấp nhận được M ột véctơ
(điểm ) X 6 D gọi là m ột phương án (lời giải hay ngliiệm) chấp nhận
dược V éctơ X* e D sao ch o f(x * ) < f(x) với m ọi X e D gọi là một
phương án (lời giải hay nghiệm) tối ưu của bài toán và f(x*) gọi là giá trị cực tiểu hay giá trị tối Iiìt cùa f trên D, thường dược ký hiệu
^ ^mirr
Trường hợp D = K n ta có bài toán tối ưu không ràng buộc:
min | f ( x ) : X e IRnỊ hay min f(x)
X € R "
Trái lại, (P) là bài toán tối ưu có ràng buộc Khi ấy tập D
(hường được cho bởi
Trang 19D = Ịx e R " : g,(x) < 0 , i = 1 , , m, hj(x) = 0, j = 1 , , p i, (1.1)
với g;, h j : R n —» IR là các hàm số cho trước, gọi là các hàm ràng buộc, và bài toán (P) có thể viết dưới dạng (gọi là bài toán dạng chuẩn):
C ác hệ thức gi(x) < 0 gọi là các ràng b u ộ c b ấ t đẳ n g thúc, các hệ thức hj(x) = 0 gọi là các ràng b uộc dẳ n g thức R àng buộc
bất đẳng thức dạng Xj > 0 (- Xj < 0 ) g ọ i là rà n g b u ộ c kh ôn g âm
hay ràng buộc v ề dấu.
N h ận xét l l ế Ràng buộc bất đẳng thức có thể biến đổi thành
ràng buộc đẳng thức và ngược lại Thật vậy, các ràng buộc (1.2) có
thể được biểu diễn nhờ hệ thức g;(x) + y f = 0, i = 1, , m với y, là các số thực, gọi là các biến bù N guợc lại, m ỗi ràng buộc đằng thức
(1 3 ) tương đương với hai ràng buộc bất đảng thức hj(x) < 0,
- hj(x) < 0, j = 1 , , p
Với nhận xét vừa nêu, không giảm tính tổng quát đôi khi ta xét bài toán tối ưu chỉ với ràng buộc đẳng thức hoặc chỉ với ràng buộc bất đẳng thức
N h ặn xét 1.2 Do min ( f ( x ) : X e DỊ = - m a x (- f(x) : X e Dị nên bài toán tìm cực tiểu đưa được về bài toán tìm cực đại và ngược
lại Nếu f(x*) > f(x) với mọi X e D thì f(x*) là giá trị cực đại của
hàm f trên D và thường được ký hiệu là fmax
Đ ịnh n g h ĩa 1.2 Điểm X* 6 D được gọi là m ột ngliiệm cực tiểu địa phương của f trẽn D nếu có E > 0 sao cho f(x*) < f(x) với mọi
X e D và llx - x*ll < £.
f(x) -» minvới điều kiện
g ,(x ) < 0 , i = 1, , m, hj(x) = 0, j = 1 , , p
(1.2)(1.3)
Trang 20N ếu f(x * ) < f(x ) với m ọi X e D, X *■ X* và llx - x*ll < s thì X*
Đ ịn h n g h ĩa l ể3 Đ iểm X* e D được gọi là nghiệm cực tiểu
toàn cục của f trên D nếu f(x*) < f(x ) với mọi X 6 D Nếu
f(x*) < f(x) với mọi x e D, X * X* thì X* được gọi là nghiệm cực tiểu toàn cục cliặt của f trên D.
Các khái niệm nghiệm cực đại địa phương, cực đại địa phương chặt và nghiệm cực đại toàn cục, cực đại toàn cục chặt được định
nghĩa tương tự.
Tập D là khoảng đóng [a; + oo)X! điểm cực tiểu toàn cục chặt
(f không có cực đại toàn cục)
x2 điểm cực đại địa phương chặt x3 điểm cực tiểu địa phương (không chặt) x4 điểm cực đại địa phương (không chặt) x5 điểm cực tiểu địa phương chặt
Hình 1.1 Cực tiểu (cực đại) địa phương (toàn cục)
Đối với hàm tùy ý i trên tập D, ta ký hiệu tập tất cả các điểm
cực tiểu (cực đại) toàn cục của f trên D là A rgm in xSD f(x) (A rg m a x x g Df(x))
Trang 21Khi xét m ột bài toán tối ưu ta m ong m uốn tìm nghiệm tối ưu (cực tiểu, cực đại) toàn cục của nó Tuy nhiên, m ột nghiệm như thế
có thể không tồn tại Chẳng hạn, hàm m ột biến f(x) = X và f(x) = ex không có cực tiểu toàn cục trên tập sô' thực [R Hàm f(x) = X giảm
vô hạn tới - 00 khi X dần tới - 00, còn hàm f(x ) = e x luôn nhận giá trị dương và giảm tới 0 khi X dần tới - co.
Tập {f(x) : X e D} được gọi là m iền trị của hàm f Có hai khả
nãng sau:
a) Tập 1 f(x): X e D 1 bị chặn dưới, nghĩa là c ó m ột s ố n sao cho
ụ < f(x) với mọi X e D Trong trường hợp này cận dưới lớn nhất cùa {f(x) : X e DỊ là m ôt sô' thưc và được ký hiệu là in f f(x) Chẳng
một bài toán có thể có rất nhiều cực trị địa phương giá trị khác
nhau, trừ khi có những giả thiết đảm bảo nghiệm lố i ưu đ ịa phương
cũng là nghiệm tối ưu toàn cục Vì th ế trên thực tế, trong nhiều
trường hợp ta phải bằng lòng với m ột điểm cực trị địa phương và đôi khi tìm được một diểm cực trị địa phương cũng là đù
1.2 VÍ DỤ
Sau đày là m ột số ví dụ về bài toán tố i ưu k h ô n g ràn g buộc (D = HT)
Ví d ụ l l ề Bài toán sản xuất: Có m ột loại sản phẩm được chê
tạo từ m loại vật liệu khác nhau Hàm sản xuất f(X|, x2 x m) cho
Trang 22biết số lượng sản phẩm sản xuất được khi sử dụng kết hợp Xj đơn vị vật liệu j, j = 1, 2, , m Giá một đơn vị sản phẩm là q và giá một đơn vị các loại vật liệu lần lượt là p „ p2, , pm Để đạt lợi nhuận tối
đa, nhà sản xuất cần giải bài toán tối ưu không ràng buộc:
q f(x „ x 2, ,.ằ , x m) - CpẨx, + p2x 2 + + pmx j - > max.
V í d ụ l ế2 Bài toán xấp xỉ: G iả sử giá trị của hàm g(x) (x e R)
được quan sát bằng thực nghiệm tại m điểm cho trước X|, x2, , xm
và ta biết được g(X[), g(x2) , , g(xm) Ta m uốn xấp xỉ g(x) bởi một hàm đa thức h(x) bậc không quá n, với n < m:
h(x) = a„x" + an.|Xn'' + + a,x +
ao-Với m ỗi cách chọn đa thức xấp xỉ sẽ có các sai số Ek = g(xk) - h(xk), k = 1, 2, , m Ta định nghĩa xấp xỉ tốt nhất là đa thức đạt cực tiểu tổng bình phương các sai số này, nghĩa là đạt cực tiểu tổng
k=l
Đ iều này cho thấy ta cần làm cực tiểu hàm số
f ( a ) = X [ g ( x k ) - ( a nx k + a n - i x ¡ r '+ + a , x k + a 0) ] 2 k=l
đối với a = (ao, a t, , a„)T để tìm các hệ số tốt nhất Hàm f(a) là
m ột dạng toàn phương của ao, a b , an Để tìm biểu thức gọn cho hàm này, ta đặt
Khi đó sau vài phép biến đổi đại số đơn giản, ta có thể thấy rằng
f(a) = aTQ a - 2bTa + Ç với Q = (q¡j) và bT = (b0, ồ ! bn).
Trang 23Ví d ụ 1.3 Bài toán phân hoạch: Cho n số nguyên dương
a „ a 2, , a„ H ãy phân chia a|, a2> , an thành hai phần riêng biệt có tổng bằng nhau? v ề mặt toán học, bài toán này có thể diễn đạtthành bài toán: Tìm các s ố Xj = ± 1 sao cho
Ĩ3 Dê kiểm tra lại rằng (1.4) có nghiệm ± 1 khi và chỉ khi fmin = 0
Thật vậy, do f(x ) > 0 với m ọi X e K" nên fmin > 0.
Trang 24¿ ( x ? - l ) 2 = O o x ? - l = 0 , j = 1 , 2 , , n,
j=i
nghĩa là hệ (1.4) có nghiệm + 1
Sau đây là m ột số ví dụ về bài toán tối ưu có ràng buộc
Ví d ụ 1.4 Bài toán th ể tích ¡ỚII nhất: Trước hết ta nêu một ví
dụ quen thuộc trong nhiều giáo trình về tối ưu: Tìm cách dựng một hộp bìa các tông có thể tích lớn nhất với điều kiện diện tích toàn phần của hộp bàng số c (cho trước)?
Ký hiệu kích thước hộp là X, y, z Bài toán có thể diễn đạt thành
V (x, y, z) = xyz - » maxvới điều kiện
2(xy + yz + zx) = c, X > 0, y > 0, z > 0
Ví d ụ 1.5 Bài toán dầu tư clumg klioátv M ột nhà đầu tư muốn
dùng số vốn hiện có đầu tư vào thị trường chứng khoán G iả sử có n loại chứng khoán khác nhau, đánh số theo i = 1, 2, , n Chứng khoán i được đặc trưng bởi tỉ suất thu lời ngẫu nhiên Ij với giá trị trung bình (kỳ vọng) ì j Hiệp phương sai giữa với các tỉ suất thu
lời Ij khác là ơ jj với j = 1, 2, , n Bài toán đặt ra là nhà đầu tư nên
phân bổ như th ế nào toàn bộ số vốn hiện có vào n loại chứng khoán này cho có lợi nhất?
Gọi Wj là tỉ lệ vốn bỏ vào chứng khoán j Khi đó, toàn bộ tỉ suất
thu lời của vốn là r = X w j rj • GiÁ trị trung bình ĩ = ^ W j ĩ ị và
nphương sai ơ 2 = W jơjjW j
i.j=i
M arkow itz đưa ra khái niệm di sản vốn hiệu quả, đó là cách
đầu tư đạt tỉ suất thu iời trung bình ĩ (cho trước) với phương sai
Trang 25(độ rủi ro) ơ 2 > 0 nhỏ nhất N hư vậy, bài toán đầu tư chứng khoán
đặt ra có thể biểu diễn dưới dạng bài toán tối ưu:
n
Ẹ w i° i ji.j=l
min 2 w i ơ ijw jvl.w2 wn j j=lvới điều kiện
¿ W j î j = r , ¿ W j = 1, W j > 0 , j = 1 , 2 , , n.
V í d ụ 1.6 Bài toán lát cắt lớn n h ấ t: Cho m ột đồ thị vô hướng
G = (V, E) với tập đỉnh V = {1, 2, , n | và tập cạnh E ç ((i, j) :
1, j e V } G iả sử mỗi cạnh (i, j) e E có m ột trọng số Wịj > 0 và tập
con S c V L á t cắ t củ a G, ký hiệu cut (S), là tập cạnh nối m ột đỉnh
thuộc s với m ột đỉnh thuộc V \ s , nghĩa là
(n = IVI là số đỉnh của đồ thị) với các thành phần ±1: Xj = + 1 vói
j e s, Xj = - 1 với j e V \ s R õ ràng (i, j) 6 cut(S) Ö X|Xj = - 1
1 n
T rọng số của lát cắt bằng - Wjj(l - XịXj) bởi vì
2 i.j=lÍ0 n ế u (i, j) Ể c u t(S ),
1 - X¡X: = <
[2 n ế u ( i , j ) e c u t ( S ) Điểu kiện nguyên Xj = 1 hay - 1 tương dương với X ? = 1 (j = 1
2 , n) Vì thế, bài toán lát cắt lớn nhất được m ô hình hóa như sau:
Trang 26max ( i £ w ¡ j ( l - x ¡ x j ) : Xj = 1, j = 1 , 2 , , n | ẳ
2 i.j=i
Vì mọi hàm trong mô hình đều là đa thức (cụ thể là đa thức bậc 2) nên đây là m ột bài toán tối ưu đa thức M ô hình này có nhiều ứng dụng trong các vấn đề thiết k ế và an ninh m ạng và trong nhiều lĩnh vực khác
l ế3 P H Â N L O Ạ I B À I T O Á N T Ố I ƯU
Bài toán tối ưu (P) nêu ở mục l ễl rất rộng và bao quát nhiều lớp bài toán tối ưu với cấu trúc rất khác nhau Đ ể tiện cho việc nghiên cứu dinh tính và xây dựng các phương pháp giải số cho bài toán, người ta thường phân chia ra một số lớp bài toán tối ưu sau đây, dựa theo tính chất và đặc điểm của hàm m ục tiêu, các hàm ràng buộc, các hệ số, các tham số của bài toán
Tối ưu tuyến tính: bài toán (P) với f(x) là một hàm tuyến tính
và D là một tập lồi đa diện, D thường được cho ờ dạng (1.1) trong
đó mọi g](x) (i = 1 , , m), hj(x) (j = 1 , , p) là các hàm tuyến tính afin Tối ưu tuyến tính là một trong những lớp bài toán tối ưu quan trọng nhất và được ứng dụng rộng rãi nhất trong thực tiễn Bài toán
tối ưu tuyến tính (còn gọi là b à i toán qu i lioạch tuyến tính) c ó nhiều
đặc tính của bài toán liên tục (mọi biến số nhận các giá trị liên tục) Tuy nhiên, nó cũng có một phần cấu trúc tổ hợp, thể hiện ở chỗ: lời giải của bài toán có thể tìm trong tập hữu hạn các điểm cực biên (đỉnh) của tập ràng buộc D
T ối ưu p h i tuyến (hay qui hoạch p h i tuyến): bài toán (P) với
f(x) không tuyến tính hoặc tập D cho bởi (1.1) trong đó có ít nhất một trong các hàm g à, hj là phi tuyến Các bài toán tối ưu phi tuyến thuộc loại bài toán tối ưu liên tục (không ràng buộc khi D = R n hay
có ràng buộc khi D cho bởi các đẳng thức hay/và bất đẳng thức)
Tối ưu phi tuyến lại có thể chia thành các bài toán tối ưu lồi (khi
Trang 27hàm f(x) cần tìm cực tiểu là lồi và D là một tập lồi) và các bài toán tối ưu không lồi (khi hàm f(x) hoặc tập D không lồi).
Tối ưu lồi là bài toán tìm cực tiểu hàm lồi (cực đại hàm lõm ) trên m ột tập lồi đóng, còn gọi là bài toán qui lioạclì lồi (qui hoạcli tuyến tính là m ột trường hợp riêng quan trọng của bài toán này) Tối
ưu lồi là lớp bài toán tối ưu phi tuyến được nghiên cứu nhiều nhất
M ột trường hợp riêng đáng chú ý nữa của qui hoạch lồi là q u i hoạch
lồi toàn phương: tìm cực tiểu hàm lồi bậc hai với các ràng buộc tuyến tính Q ui lioạcli lồi tách biến, qui hoạch hình học cũng
thuộc lớp bài toán tối ưu lồi Đ ặc điểm chung của các bài toán tối
ưu lồi là nghiệm cực tiểu địa phương luôn là nghiệm cực tiểu toàn cục và để nghiên cứu có thể vận dụng các công cụ của toán giải tích
và giải tích lồi
T ố i ưu không lồi (hay tối lũt toàn cục): bài toán có nhiều cực
tiểu (hay cực đại) địa phương giá trị khác nhau, trong số đó tìm được cực tiểu (cực đại) toàn cục là vấn đề thường rất khó khãn vì số điểm cực tiểu (cực đại) địa phương có thể rất lớn V í dụ điển hình
về bài toán không lồi là bài toán qui hoạch lõm (bài toán (P) với f(x) lõm, tập D lồi đóng), qui hoạch lồi đảo (bài toán (P) trong đó f(x) lồi, tập D = M \ int c với M, c là các tập lồi đóng), qui hoạch ■ d-c (bài toán (P) với f(x), có thể cả g, hay hj, là hiệu của hai hàm lồi), qui hoạch toàn phươiig không lồi (bài toán (P) với f(x) là hàm toàn phương không xác định), qui hoạch ph â n thức (f(x) là hàm
phân thức), v v
T ố i ưu rời rạc hay tối ưu tổ hợp là bài toán (P) với D là m ột tập
hợp rời rạc Trường hợp các biến số (hay m ột phán biến) chỉ nhận
các giá trị nguyên trong m ột giới hạn nào đó, ta có m ột qui hoạch nguyên M ột số trường hợp riêng quan trọng của qui hoạch n °uyên
là qui hoạch nguyên biến Boole hay qui hoạch nguyên 0-1 (các biến
số chỉ nhận giá trị 0 hay 1) và qui lioạch tuyến tính nguyên (qui
hoạch tuyến tính với các biến số chỉ lấy giá trị nguyên) Các bài
Trang 28hoạch hóa vận chuyển, tối ưu hóa m ạng và ghép cặp Các bài toán rời rạc được xử lý nhờ dùng các công cụ của toán học tổ hợp và các phương pháp riêng, kể cả phương pháp cùa tối ưu liên tục.
Tối ưu (qui hoạch) đa mục tiêu: không chỉ có m ột hàm mục
tiêu duy nhất như trong bài toán (P) m à có m ột số hàm m ục tiêu không hòa hợp với nhau (nghĩa là không có lời giải nào tối ưu theo mọi m ục tiêu), cho nền cần dung hòa các m ục tiêu theo một cách hợp lý, hữu hiệu nhất Tối ưu đa m ục tiêu lại có thể chia ra nhiều bài toán con khác nhau, tùy theo tính chất hàm mục tiêu và tập ràng buộc (mục tiêu tuyến tính hoặc không tuyến tính, ràng buộc tuyến tính hay l ồ i )
Ngoài ra còn có qui hoạch ngẫu nhiên khi các tham số trong
bài toán không có giá trị xác định mà được m ô tả bởi các phân phối
xác suất, qui lioạch tham s ố khi các hệ số trong hàm m ục tiêu hay trong các hàm ràng buộc phụ thuộc vào một hay nhiều tham số, qui hoạch động khi các đối tượng được xét là các quá trình có thể chia
ra thành nhiều giai đoạn hoặc các quá trình phát triển theo thời
gian, q ui hoạch Lipscllitz với các hàm trong bài toán là hàm Lipschitz, qui lioạcli nón (bao gồm qui hoạch nửa xác định dương,
qui hoạch nón bậc hai), tố i ưu nhiều cấ p , tối ưu trong không gian vô
số chiểu (bài toán biến phân, bài toán điều khiển tối ưu), tối ưu kliông trơn với hàm m ục tiêu hay các hàm ràng buộc không khả vi,
qui hoạch với vô số ràng buộc, v.v
Trang 291.4.1 H àm n ử a liên tụ c dưới
Đ ịnh nghĩa 1.4 + Hàm f : D -> R gọi là hàm nửa liên tục dưới
tại điểm X e D nếu với m ỗi 8 > 0 có một 5 > 0 sao cho f( X ) - e < f(x)
với m ọi X thuộc D, llx - X II < 5 Hàm f gọi là nửa liên tục dưới trên
D nếu f nửa liên tục dưới tại mọi điểm X e D
ís Đ ịnh nghĩa trên tương đương với linixeD x->x )■
+ Hàm f : D R gọi là hàm nửa liên tục trên tại X e D nếu
với m ỗi s > 0 c ó m ột ô > 0 sao cho f(x ) < f( X ) + E với m ọi X e D,
llx - X II < 5 H àm f gọi là nửa liên tục trên trên D nếu f nửa liên tục trên tại mọi điểm X e D
ís H àm f nửa liên tục trên khi và chỉ khi - f nửa liên tục
dưới Hàm f gọi là liên tục nếu nó vừa nửa liên tục dưới, vừa nửa
X - > x
a = lim k^.œ a k > Ịịm f(xk) > f ( x ) ,
X —» X
Trang 30nghĩa là (x, a ) e epi f V ậy epi f dóng.
b) => c) G iả sử
xk e D, f(xk) < a và xk -> z
Do epi f đóng nên (z, a ) € epi f, nghĩa là z 6 D, f(z) < a Chứng tỏ tập mức dưới {x e D : f(x) < a} đóng
c) => a) Với dãy x k e D, xk -> Xo <E D mà lịm k _> 00 f(x k) < f(x°)
thì phải có e > 0 để với mọi k đủ lớn f(xk) < f(x°) - 6 Do tập
|x e D : f(x) < f(x°) - e}
đóng nén f(x°) < f(x°) - 8, vô lý! Vậy Ịịm k _>00f(xk) > f(x°), nghĩa là
f nửa liên tục dưới
Ví d ụ 1Ế7 Hàm f(x) = X2 với mọi X 0 và f(0) = - 1 nửa liên
tục dưới trên K (H ình 1.2a) Hàm f(x) = e x với m ọi X * 0 và f(0) = 2
nửa liên tục trên trên R (Hình 1.2b) Tuy nhiên các hàm này không liên tục trên toàn bộ R
Hình 1.2 a) Hàm nửa liên tục dưới b) Hàm nửa liên tục trên
Đ ịn h lý 1Ể2 M ột hàm f(x) nửa Hên tục dưới trên m ột tập com pac D khác rỗng phải đạt cực tiểu trẽn D Tương tự, m ột hàm f(x) Iiửa liên tục trên trên m ột tập com pac D kliác rổng pliải đạt cực đại trên D.
Trang 31C h ứ n g m in h Giả sử f nửa liên tục dưới trên D T heo định
nghĩa của số
a = in f {f(x ) : X e DI (có thể a = - oo),
có một dãy xk e D sao cho lirrik-n* f(xk) = a Do D com pac, không
giảm tổng quát có thể cho rằng xk —> x° e D Theo giả thiết f nửa liên
tục dưới ta có a > f(x°) V ì f(x°) e R nên điều này cho thấy a > - 00
Nhưng x° e D nên theo định nghĩa của a ta phải có a < f(x°) Vậy
f(x°) = a = in f {f(x) : X 6 D Ị
Phần thứ hai chứng minh tương tự
H ệ q u ả l ắl M ột hàm tuyến tính afin f bị chặn trẽn (liay dưới)
trên m ộ t tậ p afin th ì f c h ỉ c ó th ể dồ n g n h ất bằ n g m ộ t liằng sô' tiửên
lập đó.
C h ứ n g m in h G iả sử f bị chặn dưới trên tập afin M Lấy bất kỳ
a, b e M Nếu f(b) < f(a), xét tia (x = a + Ầ(b - a) : X > 0 | c M Do
f tuyến tính nên
f(x) = f(a) + X[f(b) - f(a)] - 00 khi X - » + 00,
trái với giả thiết f bị chặn dưới trên M Lập luận tương tự ta thấy cũng không thể có f(a) < f(b) Vậy phải có f(a) = f(b) vói mọi a, b e M
1.4.2 Đ iều kiện bức
N ếu tập D chỉ đóng m à không bị chặn thì nói chung m ột hàm nửa liên tục dưới (nửa liên tục trên) trên D có thể không đạt cực tiểu (cực đại) trên D Tuy vậy, ta có định lý sau
Trang 32b) M ột hàm f : D —> R nửa liên tục trên trên một tập đóng D khác rông m à - f bức trên D (tức là f(x) - 00 khi X e D, llxll -> + °o)
thì f pliái có cực đại trên D.
C h ứ n g m in h Ta chỉ cần chứng minh phần đầu Lấy tùy ý một
điểm a e D Do f nửa liên tục dưới, Iheo Định lý 1.1 tập c = (x 6 D: f(x) < f(a )| đóng Nếu c không bị chặn thì có một dãy (x kỊ c c với f(xk) < f(a), llxkll -> + co và do bức nên f(xk) - » + 00, m âu thuẫn Vậy
c com pac và theo Đ ịnh lý 1.2 hàm f có cực tiểu trên c , cực tiểu này cũng là cực tiểu của f trên D
ís V í dụ đơn giản sau đây cho thấy trong Đ ịnh lý 1.3 không thể thiếu giả thiết nửa liên tục dưới và điểu kiện bức chỉ là dủ chứ không phải là điểu kiện cần
Ví d ụ 1.8
a) Cho hàm một biến số
Hàm này bức, do f(x) -» 00 khi Ixl —> 00, nhưng không nửa liên
tục dưới (m ặc dù nó nửa liên tục trên) Vì thế, giá trị cực tiểu toàn
cục của hàm (bằng 1) không bao giờ đạt được (Hình 1.3)
b) Xét hàm hằng f(x) = 1 với mọi x e R Khi đó, mọi X 6 Ü đều
là điểm cực tiểu toàn cục của f, nhưng f(x) -+♦ + 00 khi Ixl —> + 00
Trang 33Đ ịnh lý 1.4 H àm bậc hai f(x) = — xTAx + bTx với A 6 ỈRn*n đối
2 xứng, b e 0?.n líì bức khi và c h ỉ khi A xác định dương.
C h ứ n g m in h G iả sử A xác định dương N ếu f không bức thì
có một dãy X1, X2, , x \ với llxkll - » + 00nhưng f(xk) < a với a
nào đó thuộc R, nghĩa là
- (x k)TA xk + b V < a , Vk (1.5)
2
Đ ặt yk = x k/llxkll, ta có llykll = 1 M ọi y 1, y2, ằ đều nằm trên biên của hình cầu đóng B (0, 1 ) tâm 0 bán kính 1 Do biên này là một tập đóng và bị chặn nên có thể xem rằng yk hội tụ tới m ột điểm duy nhất w với llwll = 1 Từ (1.5) cho thấy
1
í xk ì
T' A x k ' bTx k a
2 l l | x k |lj l | x k II2 | | x k II2
Khi k —» co thì llxkll —» 00 và ta nhận được (thay y k = xk/llxkll)
lim ( — (yk)TA yk) + 0 < 0 => — wTAw < 0, trái với A xác đinh
Do bTvv là m ột hằng số và wTAw < 0 nên khi t ± 00 (nếu b * 0
chọn t trái dấu với bTw ), f(x) -> 0 hoặc - 00, tức là f khôn« bức Vậy
nếu f bức thì A phải xác định dương
Ví d ụ 1.9 Hàm toàn phương nào sau đây là bức? Vì sao 0
a) L |(x ) = L |(x „ x 2, X,) = X f + 4 x2 + 3X3 + 2X|X,.
Trang 34b) L2(x) = L2(x,, x2, x 3) = 2 x f + 3 X 2 ' x 3 + 4 x tx 2 - 6 x ,x 3 + 10x2x 3.
Giải: Tính toán trực tiếp cho thấy L|(x) = xTAx và L2(x) = xTBx với
' \ 1 0 ' ' 2 2 - 3 '
Có thể thấy A là ma trận xác định dương nên hàm L |(x ) là bức,
B là m a trận không xác định dương nên hàm L2(x) không bức (x, = x2 = 0, x 3 - » 00, L2 -00)
Dùng các định lý nêu trẽn ta có thể xét bài toán có nghiệm tối
ưu hay không
V í d ụ l ề10 Các bài toán sau có nghiệm tối ưu không? V ì sao?
a) m in ( x f + x2 + + x „ : a,x, + a2x 2 + + anx n = b} với
với f(x) = x f + x ị + + x „ liên tục và bức (vì f = llxll2 nên khi
llxll -» 00 thì f -> 00) Tập D = | x e K " : a,x, + a2x 2 + + anxn = bị
có dạng một siêu phảng trong [Rn nên D là một tập đóng Dễ thấy D khác rỗng, vì X| = b /a |( x2 = = x n = 0 thỏa m ãn a,x , + a x + + anxn = b T heo Đ ịnh lý 1.3, bài toán có điểm cực tiểu toàn cục (nghiệm tối ưu)
b) Đây là bài toán tìm cực tiểu hàm tuyến tính f(x) = X| + 2x2 - x 3 trên tập afin D = |x E i :’ : 3 x , - x 2 + 2 x 3 = 4 Ị (D là tập nghiệm của
Trang 35một phương trình tuyến tính) Kiểm tra trực tiếp cho thấy a = (1, 1, 1)T,
b = (0, 0, 2)t thuộc D và f(a) = 2 * f(b) = - 2 Theo Hệ quả 1.1, hàm
tiểu (in f (f(x ) : X e D } = -oo).
Sau đây ta nêu thêm một định lý về điều kiện cần và đủ dể (P)
a £ f(D )+ và tồn tại dãy sô' { a k) c f(D )+ hội tụ đến a * D o f(D )+ là tập đóng nên a * e f(D )+ Theo định nghĩa của f(D )+ tồn tại x * e D sao cho f(x*) < oc* Hiển nhiên f(x*) e f(D )+ và do a * là cận dưới lớn nhất của f(D )+ nên a * < f(x*) Vì thế, a * = f(x*) Đ iều này chứng tỏ X* là m ột nghiệm cực tiểu của bài toán (P)
V í dụ sau đây cho thấy Đ ịnh lý 1.5 không còn đúng nếu thiếu giả thiết về tính đóng của tập f(D )+
Ví dụ 1.11 Xét hàm f(x) = e \ X e D = R Do e' > 0 với mọi
x e I n ê n
Trang 361 a) Trong K 2 cho n điểm p' = (a¡, bị), i = 1, , n Tìm điểm
X = (X|, x 2) sao cho tổng khoảng cách từ X tới n điểm p' đã cho
là nhỏ nhất
b) Cũng câu hỏi như trên nhưng với mọi p' nằm trong tam giác
có 3 đỉnh (0, 0), (10, 0) và (0, 10)
Hãy diễn đạt các bài toán nêu trên dưới dạng bài toán tối ưu?
2 Bài toán tập Ổn định lớn nhất (được chú ý nhiều trong khoa học
tính toán và tối ưu tổ hợp) có nội dung như sau: Cho G = (V, E)
là một đồ thị vô hướng với tập đinh V và tập cạnh E Tập con
S £ V gọi là tập ổn đinh của G nếu không có cạnh nào trong G
nối hai đinh thuộc s Bài toán dật ra là tìm tập ổn định của G có nhiều đỉnh nhất Hãy phát biểu bài toán này dưới dạng một bài toán tối ưu?
hai biến số, khả vi vô hạn lần và thỏa mãn một trong các tính
chất sau:
a) Có vô sô điểm cực trị (cực tiểu và cực đại) toàn cục
b) Hàm hữu hạn có cực đại toàn cục, nhưng không có cực tiểu toàn cục
c) Hàm hữu hạn không có cực trị toàn cục
d) H àm hữu hạn có điểm dừng, nhưng không có cực tiểu toàn cục và cực đại toàn cục
Trang 37e) Hàm hữu hạn có cực trị địa phương nhưng không c ó cực trị
-e) f(x) = aTx và g(x) = aTx + s II XII2, s > 0
6 Bài toán nào trong các bài toán sau có nghiệm tối ưu? Vì sao?
a) m in (x , ± x ị : 3x, + 2 x 2 = 3, X| > 0, x 2 > 0 }
b) m in |X |X3+ x ị : x f + x \ + X3 = 4 )
c) m in lq x ! + + cnxn : X? + ử + < bỊ (b > 0)
Trang 38Chương 2 GIẢI TÍCH L ổ l 2ềl TẬP LỐI
X 6 M ) cũng là m ột tập afin và M là m ột tập afin chứa g ố c khi và
chỉ khi M là m ột kltông gian con, nghĩa là nếu a, b e M thì mọi điểm x.a + Ịib cũng thuộc M với X, n e R.
Đ ịnh lý 2.1 T ập M không rỗng là m ột tập afin khi và ch ỉ khi
M = a + L, trong đó a e M và L tó m ột không gian con.
C hứng m inh Giả sử M là một tập afin v à a e M Khi đó, M = a + L với L = - a + M Do - a e R n nên L = - a + M cũng là m ột tập afin, hơn nữa 0 e L (vì a 6 M) nên L là một không gian con
Ngược lại, giả sử M = a + L với a e M và L là m ột không gian con D o không gian con L là một tập afin nên M = a + L cũng là
m ột tập afin
37
Trang 39K hông gian con L nói trên được gọi là không gian con song
song với tập afin M: L // M N ó được xác định m ột cách duy nhất Tliứ nguyên (hay sô'chiều) của một tập afin M, ký hiệu dim M,
là số chiểu của không gian con song song với nó Ta qui ướci
dim 0 = -1
Ví d ụ 2.1 Trong R \ điểm M(a, b, c) là m ột tập afin số chiều 0,
vì không gian con song song với M là L = (0) (H ình 2 la ); đường thẳng qua hai điểm A và B là một tập afin số chiều 1, vì không gian con song song |x = X(B - A) : A e K} là không gian con m ột chiểu (Hình 2.1b); mặt phẳng là một tập afin số chiều 2 (H ình 2 lc); IR3 là một tập afin có số chiều 3 Tập 0 là tập afin số chiều - 1
Hinh 2.1 Tập afin M và không gian con song song L
trong đó A e ỊRm*n, b £ R m và rank A = n - k (M là tập nghiệm cùa
m ộ t hệ phương trình tuyến tính) M ộ t tậ p kh ác rỗn g b ấ t kỳ c ó dạng
trên là m ột tập afin k chiều.
C h ứ n g m in h Giả sử M là m ột tập afin k chiều Với x° 6 M, tập L = M - x° là một không gian con k chiểu, vì th ế L = (x : Ax = 0 | với A là m a trận cấp m xn có hạng bằng n - k Do vậy
M = IX : A(x - x°) = 0} = {X : Ax = b I với b = Ax°
Trang 40Ngược lại, nếu M là một tập có dạng trên thì với bất kỳ x° 6 M
ta có Ax° = b Do đó M = (X : A(x - x°) = 0 1 = x° + L với L = ( X :
A \ = 0} Do A có hạng n - k, nên L là một không gian con k chiều,
do đó M là một tập afin k chiều
Đ ịnh ng h ĩa 2.2 Một tập afin (n -1) chiều trong K" gọi là một
siêu plĩẳng.
■ Ẻ:?
Véctơ a trong (2.1) gọi là véctơ plìáp tuyến của siêu phảng H
Tất nhiên, vói siêu phẳng H đã cho, véctơ a và a được xác định sai
khác m ột thừa số chung khác không Đường thẳng ( À,a : Ằ e R } cắt
H tại điểm Ằ a sao cho <a, X a> = a , từ đó X = a/llall2 Vì vậy
khoảng cáclĩ từ g ố c 0 tới siêu phẳng H bằng IẦ lllall = lal/llall (độ dài
của véctơ X a)
V í d ụ 2Ế2 H = |x = (X|, x2) : 3x! + 4x2 = 50Ị là m ột siêu phẳng trong mặt phẳng R 2 Véctơ pháp tuyến của siêu phảng này là a = (3, 4)T
và k h o ản g cách từ 0 tới H bằng 10, do llall = 5 và a = 50 (xem
H ình 2 3 )
39