Tối ưu hóa phi tuyến

Trên thực tế có nhiều vấn đề trong kinh tế và trong các hoạt động kinh doanh có những mối liên hệ với nhau không phải là mối quan hệ tuyến tính mà là phi tuyến. Sự tồn tại các mối quan hệ không theo tỷ lệ (doanh số đạt được không theo tỷ lệ với giá bán vì giá bán có thể tăng và doanh số có thể giảm). Sự tồn tại các mối quan hệ không mang tính cộng bổ sung (rủi ro của danh mục sẽ khác với bình quân gia quyền của 2 chứng khoán trong danh mục này). Sự hiệu quả và không hiệu quả theo quy mô (khi sản lượng tiêu thụ vượt quá một mức giới hạn nào đó thì tổng định phí và biến phí đơn vị sẽ thay đổi).

MÔ HÌNH TỐI ƯU HÓA PHI TUYẾN

S ÁC H L Ậ P M Ô H Ì N H TÀ I C H Í N H – C H Ư Ơ N G 3

N ội dung

3.1 GIỚI THIỆU MÔ HÌNH PHI TUYẾN

3.2 MÔ HÌNH TỐI ƯU KHÔNG GIỚI HẠN SỐ BIẾN (TỪ 2 BIẾN TRỞ LÊN)

3.3 TỐI ƯU HÓA PHI TUYẾN QUA ĐỒ THỊ

3.4 SỬ DỤNG SOLVER CHO MÔ HÌNH PHI TUYẾN

3.5 VÍ DỤ CÁC MÔ HÌNH PHI TUYẾN

3.6 GIỚI THIỆU MÔ HÌNH TOÀN PHƯƠNG

3.7 MÔ HÌNH PORTFOLIO

3.8 MÔ HÌNH QUẢN LÝ HÀNG TỒN KHO EOQ

3.9 MÔ HÌNH QUẢN LÝ HÀNG TỒN KHO CHIẾT KHẤU THEO SỐ LƯỢNG ĐẶT

HÀNG

Financial Modeling 3

3.1 G iỚ I TH IỆU M Ô H ÌN H PH I TUYẾẾ N

Trên thực tế có nhiều vấn đề trong kinh tế và trong các hoạt động kinh doanh có những mối liên hệ với nhau không phải là mối quan hệ tuyến tính mà là phi tuyến

Sự tồn tại các mối quan hệ không theo tỷ lệ (doanh số đạt được không theo tỷ lệ với giá bán vì giá bán có thể tăng và doanh số

Trường hợp 2 biến số: Cho 2 biến số x1 và x2 và 2 hàm số f(x1) và f(x2)

Bất cứ giá trị nào của x (ví dụ giá trị x1 và x2) mà tại đó tất cả đạo hàm riêng cấp 1 bằng 0 được gọi là điểm dừng

Chúng ta có điều kiện cần thiết để hàm số đạt được mức tối ưu: Tại giá trị tối ưu địa phương (tối thiểu hoặc tối đa) cả hai đạo hàm riêng phải bằng 0 (ví dụ f(x1) và f(x2) = 0) Điểm tối ưu cực đại hay điểm tối ưu cực tiểu luôn luôn là tại điểm dừng

3.2 M Ô H ÌN H TÔẾI Ư U KH Ô N G G IỚ I H ẠN

SÔẾ BIẾẾ N (TỪ 2 BIẾẾ N TRỞ Ở LẾN)

Financial Modeling 5

3.3 TÔẾI Ư U H Ó A PH I TUYẾẾ N Q UA Đ ÔỒ TH Ị

Trong phương pháp “The hill–climbing” mà Solver áp dụng cho bài toán tìm giá trị cực đại, một điểm dừng đầu tiên sẽ được chọn, sau

đó hướng thử tăng dần được thực hiện bằng cách phỏng chừng các mức thay đổi ban đầu dọc theo đường giá trị tối ưu (Optimal

Value – OV) tăng dần, tới điểm cao nhất có thể đạt được của đường này

Phương pháp này sẽ kết thúc khi các mức thay đổi phỏng chừng theo tất cả các hướng (đạo hàm riêng cấp 1) tiến dần về 0 (điều kiện thứ nhất được thỏa mãn) Những điểm này khi đó sẽ luôn là “điểm cực trị địa phương” hoặc điểm “tối ưu địa phương” Những điểm tối

ưu khác được tiếp tục tìm kiếm bằng cách khởi động lại chương trình tối ưu hóa, bắt đầu tại một điểm khởi sự khác cho giá trị ban đầu các biến số của mô hình

Financial Modeling 6

3.3 TÔẾI Ư U H Ó A PH I TUYẾẾ N Q UA Đ ÔỒ TH Ị

Ví dụ bài toán tối ưu hoá phi tuyến được thể hiện qua đồ thị:

Financial Modeling 7

3.3 TÔẾI Ư U H Ó A PH I TUYẾẾ N Q UA Đ ÔỒ TH Ị

Hình 3.1 thể hiện giải pháp đồ thị cho mô hình tối ưu hóa phi tuyến

Bạn có thể thấy rằng điều kiện ràng buộc phi tuyến đã tạo nên độ cong trong đường biên của vùng khả thi

Financial Modeling 8

3.3 TÔẾI Ư U H Ó A PH I TUYẾẾ N Q UA Đ ÔỒ TH Ị

Giải pháp tối ưu của mô hình phi tuyến không phải luôn luôn tại góc như của mô hình tuyến tính

Hàm mục tiêu lại không phải là hàm tuyến tính và một lần nữa ví dụ này cho thấy giải pháp tối ưu không có khả năng xảy ra tại góc.

Financial Modeling 9

3.3 TÔẾI Ư U H Ó A PH I TUYẾẾ N Q UA Đ ÔỒ TH Ị

Sự so sánh giữa LP và NLP

Có một vài điểm tương đồng giữa LP và NLP Ví dụ:

Một sự gia tăng (hay giảm) RHS của bất phương trình ràng buộc ≤ (≥) sẽ nới lỏng điều kiện ràng buộc Điều này không làm co lại và có thể mở rộng vùng khả thi Một sự giảm (hay gia tăng) RHS trên ràng buộc ≥ (≤) sẽ thắt chặt điều kiện ràng buộc Điều này không mở rộng và có thể làm thu hẹp lại vùng khả thi.

Việc nới lỏng điều kiện ràng buộc không làm tổn hại và có thể giúp gia tăng giá trị mục tiêu tối ưu.

Việc thắt chặt điều kiện ràng buộc không giúp ích và có thể gây tổn hại giá trị mục tiêu tối ưu.

Financial Modeling 10

3.3 TÔẾI Ư U H Ó A PH I TUYẾẾ N Q UA Đ ÔỒ TH Ị

Giá trị tối ưu địa phương (cực trị địa phương) so với giá trị tối ưu toàn cục (cực trị toàn cục)

Trong mô hình LP cực trị địa phương cũng là cực trị toàn cục

Trong mô hình NLP có thể vừa có cực trị địa phương và vừa có cựa trị toàn cục

Giá trị cực đại toàn cục là điểm cực đại theo ràng buộc toàn cục bởi vì giá trị của hàm mục tiêu tại điểm này là lớn nhất so với tất cả

các điểm khả thi khác

Trong mô hình NLP để tìm ra cực trị toàn cục từ các cực trị địa phương cần phải bổ sung các điều kiện các điều kiện lồi và điều kiện

lõm Những điều kiện này phải được thỏa mãn để đảm bảo rằng giá trị tối ưu hóa địa phương cũng sẽ là giá trị tối ưu hóa toàn cục

Financial Modeling 11

3.3 TÔẾI Ư U H Ó A PH I TUYẾẾ N Q UA Đ ÔỒ TH Ị

Financial Modeling 12

3.3 TÔẾI Ư U H Ó A PH I TUYẾẾ N Q UA Đ ÔỒ TH Ị

Các phương trình ràng buộc trong mô hình phi tuyến tính

Nhiều mô hình phi tuyến tính trong hoạt động kinh doanh, tài chính và trong kinh tế là những mô hình mà mục tiêu là tối đa hóa hay tối thiểu hóa với phương trình hàm mục tiêu có n biến số và có m phương trình ràng buộc (thay vì là các bất phương trình)

f(x1,…, x2) –> max hoặc min

Ràng buộc gi (x1,…,x2) = bi, với I = 1,…,m (m ≤ n)

Các phương trình ràng buộc trong mô hình phi tuyến tính

Ví dụ 2: Xem xét mô hình:

x1 – x2 –> Max Ràng buộc:–x12 + x2 =1

3.3 TÔẾI Ư U H Ó A PH I TUYẾẾ N Q UA Đ ÔỒ TH Ị

Kết quả tối ưu này cũng có thể được tính toán bằng mô hình Excel được thể hiện:

3.3 TÔẾI Ư U H Ó A PH I TUYẾẾ N Q UA Đ ÔỒ TH Ị

Financial Modeling 15

3.4 SƯỞ D ỤN G SO LVER CH O M Ô H ÌN H PH I TUYẾẾ N

• Trong mô hình LP, Solver sử dụng phương pháp di chuyển từ góc này sang góc khác trong các vùng khả thi

• Trong mô hình NLP, Solver sử dụng phương pháp “leo dốc” dựa trên tiến trình tìm kiếm độ dốc được giảm thiểu chung và phương pháp này còn được gọi là GRG

• Các bước của tiến trình này được thực hiện như sau:

• Sử dụng các giá trị ban đầu của các biến số quyết định tính toán một hướng đi được sao cho cải thiện nhanh nhất giá trị của hàm mục tiêu

• Solver lại thử một hướng tính toán mới từ một điểm khởi sự mới, tiến trình trên được lặp lại cho đến khi giá trị OV không còn được cải thiện tốt hơn trên bất kỳ một hướng mới nào thì tiến trình tìm kiếm giá trị tối ưu kết thúc

Ví dụ: Chi phí Marketing

Chi phí quảng cáo bình quân hàng ngày của một nhà hàng là 100$

Gọi x1 là chi phí bình quân một ngày chi tiêu cho quảng cáo trên báo.

x2 là chi phí bình quân một ngày chi tiêu cho quảng cáo trên tivi.

Phương trình tổng chi phí hàng năm cho hoạt động của bộ phận quảng cáo của nhà hàng này là:

Tổng chi phí = C(x1, x2) = 20.000 – 440x1 – 300x2 + 20x12 + 12x22 + x1x2

Ta có mô hình lượng hóa như sau:

C(x1, x2) = 20.000 – 440x1 – 300x2+20x12 + 12x22 + x1x2 –> Min

Điều kiện ràng buộc:

x1 + x2 = 100 (Chi tiêu 100$/ngày)

x1, x2 > 0

3.5 VÍ D Ụ CÁC M Ô H ÌN H PH I TUYẾẾ N

Mô hình chi phí Marketing

Kết quả tối ưu của bài toán này cùng với báo cáo phân tích độ nhạy thông qua sử dụng Solver như trong hình Số nhân tử Lagrange cho thấy mức tăng so với ban đầu của tổng chi phí quảng cáo hàng năm là khoảng 1195$ ứng với mỗi một đồng ngân sách tăng thêm cho quảng cáo mỗi ngày

Một công ty sản xuất tivi, dự định sản xuất 2 loại TV: loại A và loại B

PA = 314 – 1.9A + 0,01A2

PB = 243 – 0,14C

PA là giá bán sản phẩm A, là giá mà công ty phải xác định để có thể bán hết sản phẩm A

A là số lượng sản phẩm A được sản xuất hàng ngày

PB là giá bán sản phẩm B, là giá mà công ty phải xác định để có thể bán hết sản phẩm B

B là số lượng sản phẩm B được sản xuất hàng ngày

nhuận?

Tổng lợi nhuận = (PA – 210)A + (PB – 230)B

Mô hình NLP lượng hóa mới như sau:

(PA – 210)A + (PB – 230)B –> Max

Ràng buộc:

PA = 314 – 1.9A + 0,01A2 (Giá bán sản phẩm A)

PB = 243 – 0,14C (Giá bán sản phẩm B)

A,B, PA, PB ≥ 0

nhuận?

N ên sả ản xuấất bảo nhiêu Sp1 và bảo nhiêu Sp2 đêả tốấi đả hóả lợi nhuận?

Trên thực tế mô hình toàn phương (QP), giống như mô hình tuyến tính số nguyên (Linear Integer Program – ILP), là mô hình gần giống nhất với mô hình tuyến tính LP, có nhiều thuộc tính thuận lợi của mô hình LP chỉ có khác biệt duy nhất giữa 2 loại mô hình này là hàm mục tiêu có dạng bậc 1 hay bậc 2.

Tổng quát, hàm toàn phương với N biến số có thể được viết như sau:

3.6 G IỚ I TH IỆU M Ô H ÌN H TO ÀN PH Ư Ở N G (Q UAD RATIC

PRO G RAM M IN G )

Ví dụ dưới đây sẽ thể hiện một vài khác biệt giữa mô hình LP và mô hình QP:

Giá trị của hàm mục tiêu sẽ nằm trên các vòng tròn có tâm (6,8) với các bán kính thay đổi khác nhau Hàm mục tiêu của chúng ta tiến về Min do vậy giải pháp tối ưu xảy ra tại điểm (4,4) hay tiếp điểm đầu tiên giữa đường ràng buộc

và hàm mục tiêu.

G iảỞi pháp đồỒ họả cho ví dụ Q P

3.6 G IỚ I TH IỆU M Ô H ÌN H TO ÀN PH Ư Ở N G (Q UAD RATIC

PRO G RAM M IN G )

G iảỞi pháp Solver đồẾi với m ồ hình Q P

3.6 G IỚ I TH IỆU M Ô H ÌN H TO ÀN PH Ư Ở N G (Q UAD RATIC PRO G RAM M IN G )

Financial Modeling 25

3.7 Ứ N G D ỤN G M Ô H ÌN H PH I TUYẾẾ N

Mô hình danh mục (portfolio)

Khung tình huống:

Các nhà quản lý danh mục đầu tư luôn tìm kiếm rủi ro thấp và tỷ suất sinh lợi cao nên cố gắng tốt đa hóa tỷ suất sinh lợi (ứng với rủi ro cho

phép) hoặc tối thiểu hóa rủi ro (với giới hạn về rủi ro).

Nhà đầu tư cần xác định tỷ trọng tối ưu vào các loại chứng khoán trong danh mục.

Tập hợp các quyết định khả thi phải thỏa mãn các ràng buộc.

Tổng tỷ trọng đầu tư = 1 (giới hạn chính sách đầu tư hết).

Tỷ trọng mỗi loại phải cao hơn hoặc thấp hơn 1 con số cho phép (giới hạn chính sách đa dạng hóa)

Tỷ trọng phải >=0 (giới hạn chính sách không bán khống).

Tổng vốn đầu tư nhỏ hơn nguồn vốn có sẵn (giới hạn tự nhiên).

Rủi ro thấp hơn 1 mức nào đó hoặc TSSL phải cao hơn mức cho phép.

 Ràng buộc về vốn đầu tư.

 Ràng buộc về đầu tư hết.

 Giới hạn về trần rủi ro hoặc sàn TSSL.

 Ràng buộc về bán khống và đa dạng hóa.

Financial Modeling 27

3.7 M Ô H ÌN H PO RTFO LIO

Thiết lập công thức cho mô hình danh mục đầu tư vào 2 chứng khoán, chúng ta thống nhất các ký hiệu như sau:

xi là tỷ trọng đầu tư vào cổ phiếu i

σi2 = phương sai của chứng khoán thứ i

σ12 = hiệp phương sai giữa tỷ suất sinh lợi cổ phiếu 1 và 2

ri = tỷ suất sinh lợi mong đợi hàng năm của cổ phiếu i

b = tỷ suất sinh lợi tối thiểu mong đợi hàng năm từ tổng số tiền đầu tư vào danh mục

Si = mức đầu tư tối đa vào cổ phiếu thứ i ; i = 1,2

x1 + x2 = 1 (tất cả số tiền phải được đầu tư hết)

x1r1 + x2r2 ≥ b (tỷ suất sinh lợi mong đợi tối thiểu của danh mục)

x1 ≤ S1 (mức đầu tư tối đa vào cổ phiếu 1)

x2 ≤ S2 (mức đầu tư tối đa vào cổ phiếu 2)

x1, x2 ≥ 0 (không có bán khống cổ phiếu)

Ví dụ dảnh m ục đầỒ u tư với dữ liệu 7 chứng khoán

Ví dụ dảnh m ục đầỒ u tư với dữ liệu 7 chứng khoán

Ví dụ dảnh m ục đầỒ u tư với dữ liệu 7 chứng khoán

Financial Modeling 32

3.8 M Ô H ÌN H Q UA ỞN LÝ HÀNG TÔỒN KHO EO Q

Các chi phí liên quan đến tồn kho

Tại cùng một thời điểm khi một doanh nghiệp được hưởng những lợi ích từ việc sử dụng hàng tồn kho thì các chi phí có liên quan cũng phát sinh tương ứng, bao gồm:

Chi phí đặt hàng (Ordering costs)

Chi phí tồn trữ (Carrying costs)

Chi phí thiệt hại do kho không có hàng (Stockout costs)

Chi phí tồn trữ bao gồm tất cả các chi phí lưu giữ hàng trong kho Chi phí tồn trữ được tính bằng đơn vị tiền tệ trên mỗi đơn vị hàng lưu kho hoặc được

tính bằng tỷ lệ phần trăm trên giá trị hàng lưu kho trong một thời kỳ

Chi phí thiệt hại khi không có hàng (hàng tồn kho hết)

Chi phí thiệt hại do hàng tồn kho hết (Stockout costs) xảy ra bất cứ khi nào doanh nghiệp không có khả năng giao hàng bởi vì nhu cầu hàng lớn hơn

số lượng hàng sẵn có trong kho.

Financial Modeling 34

3.8 M Ô H ÌN H Q UA ỞN LÝ HÀNG TÔỒN KHO EO Q

Gọi Q là lượng hàng tồn kho cho mỗi lần đặt hàng Tại thời điểm đầu kỳ, lượng hàng tồn kho là Q và ở thời điểm cuối kỳ

là 0 nên số lượng tồn kho bình quân trong kỳ là:

Gọi C là chi phí lưu giữ cho mỗi đơn vị hàng tồn kho thì tổng chi phí lưu giữ hàng tồn kho trong kỳ là:

2

Q 2

O

Q

= +

C

x 2

Q

Financial Modeling 35

3.8 M Ô H ÌN H Q UA ỞN LÝ HÀNG TÔỒN KHO EO Q

Financial Modeling 36

3.8 M Ô H ÌN H Q UA ỞN LÝ HÀNG TÔỒN KHO EO Q

Như vậy chính sách tồn kho của công ty Steco đã không tối ưu mà thay vào đó công ty chỉ nên duy trì mức tồn trữ là 1250 SP và tiết kiệm được chi phí liên quan đến tồn kho 5.100$ – 2.400$ = 2.700$.

3.8 M Ô H ÌN H Q UA ỞN LÝ HÀNG TÔỒN KHO EO Q

Giả dụ nhà cung cấp đề nghị khoản chiết khấu 0,1$ trên mỗi một sản phẩm được mua nếu công ty Steco đặt hàng với quy mô đơn hàng tối thiểu từ 5.000 sản phẩm trở lên.

3.9 M Ô H ÌN H Q UA ỞN LÝ HÀNG TÔỒN KHO CHIẾẾT KHẤẾU THEO SÔẾ LƯ Ợ NG

Đ ẶT H ÀN G

Đường biểu diễn chi phí có giá chiết khấu sẽ nằm bên dưới đường biểu diễn chi phí không có chiết khấu.

Số lượng mua hàng tối ưu (mà tại đó tối thiểu hóa ATC) trong điều kiện chiết khấu Q*D thì nhỏ hơn số lượng mua hàng trong điều kiện không có chiết khấu Q*R

3.9 M Ô H ÌN H Q UA ỞN LÝ HÀNG TÔỒN KHO CHIẾẾT KHẤẾU THEO SÔẾ LƯ Ợ NG

Đ ẶT H ÀN G

Mục tiêu của công ty Steco là tối thiểu hóa tổng chi phí hàng năm ATC(Q) của mình Tuy nhiên giá chiết khấu chỉ xảy ra khi quy mô đặt hàng ít nhất là tại điểm B (5000 sản phẩm) Có 2 tình huống có thể xảy ra:

Nếu B ≤ Q*D , đặt hàng Q*D

Nếu B > Q*D , đặt hàng Q*R nếu ATC (Q*R) ≤ ATC (B)

B nếu ATC (Q*R) > ATC (B)

3.9 M Ô H ÌN H Q UA ỞN LÝ HÀNG TÔỒN KHO CHIẾẾT KHẤẾU THEO SÔẾ LƯ Ợ NG

Đ ẶT H ÀN G

M ồ hình EO Q cu Ởả cồng ty Steco với chiếẾ t khầẾ u theo sồẾ lượng

THANK YOU

!