VẬN DỤNG CAO KHỐI đa DIỆN

Tính khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng A BK1 .. Tính khoảng cách l từ điểm M đến mặt phẳng SBC... Tính thể tích V của khối chóp... Hướng dẫn giải Chọn A Giả sử hình chóp có đáy ABC

KĨ THUẬT CASIO GIẢI BÀI TOÁN

LIÊN HỆ CÁC HÀM MŨ -LOGARIT

Sưu tầm : Trần Hoài Thanh –THPT Khúc Thừa Dụ, Ninh Giang, Hải Dương FB: https://www.facebook.com/tranhoaithanhvicko

HỌC CASIO FREE TẠI: https://tinyurl.com/casiotracnghiem

Group: THỦ THUẬT CASIO THPT https://fb.com/groups/casiotracnghiem

Chủ đề 5 KHỐI ĐA DIỆN

Câu 1: (SGD VĨNH PHÚC) Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D     có ABa AD, a 3 Tính

khoảng cách giữa hai đường thẳng BB và AC

A 3

4

a

2

a

2

a

Hướng dẫn giải

Chọn C

Ta có:   2 2

2

A C  A B   B C   a Kẻ B H  A C 

A B B C a a a

B H

   

Vì BB//ACC A  nên  d BB AC , d BB ,ACC A  

2

a

d BB ACC A  B H 

2

a

d BB AC  

Câu 2: (SGD VĨNH PHÚC) Cho hình chóp S ABC có SAABC, tam giác ABC vuông cân

tại B , AC2a và SAa. Gọi M là trung điểm cạnh SB Tính thể tích khối chóp

S AMC

A'

C'

B'

C

D

D' H

A

3

6

a

3

3

a

3

9

a

3

12

a

Hướng dẫn giải

Chọn A

Xét tam giác vuông cân ABC có: 2

2

AC

ABBC a

2

1 2

ABC

S  AB BCa

3 2

a

V  SA S  a a 

Áp dụng định lí Sim-Son ta có:

.

1

2

SAMC

S ABC

V SA SM SC

V  SA SB SC 

3

1

a

Câu 3: (SGD VĨNH PHÚC) Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C 1 1 1 có ABa, AC2a,

AA  a và BAC 120  Gọi K , I lần lượt là trung điểm của các cạnh CC1, BB1

Tính khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng A BK1 

A 5

3

a

6

a

3

a

Hướng dẫn giải

Chọn C

IK B C BC AB AC  AB AC c a

Kẻ AH B C1 1 khi đó AH là đường cao của tứ diện A BIK1

21

7

a

A H B C  A B A C A H 

1

.

S  IK KB a V  a dvtt

Mặt khác áp dụng định lý Pitago và công thức Hê-rông ta tính đc SA BK1 3a 3dvdt

K

I

C

B

C1

B1

A1

A

H

a

2a

M A

B

C S

Do đó     1

1

1

,

6

A IBK

A BK

d I A BK

S

Câu 4: (NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình chữ nhật Tam giác

SAB vuông cân tại A và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy và SB 4 2 Gọi

M là trung điểm của cạnh SD Tính khoảng cách l từ điểm M đến mặt phẳng SBC

2

l 

Hướng dẫn giải

Theo giả thiết, ta có SAB ABCD , SAB ABCD AB

SA AB







Gọi , ,N H K lần lượt là trung điểm các cạnh SA SB, và đoạn SH

Ta có BC SA BC SAB BC AH





Mà AHSB( ABC cân tại A có AH là trung tuyến)

Suy ra AH SBC, do đó KN SBC (vì KN AH|| , đường trung bình)

Mặt khác MN BC|| MN||SBC

2

d M SBC d N SBC NK  AH  Đáp án: B

4 2

M K

N H

A

D S

Câu 5: (NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 3 Gọi M N lần lượt ,

là trung điểm các cạnh AD BD Lấy điểm không đổi P trên cạnh AB (khác ,, A B ) Thể

tích khối chóp PMNC bằng

A 9 2

12

Hướng dẫn giải

Chọn A

Do AB CMN nên d P CMN ,  dA,CMN dD,CMN 

4

(Do diện tích đáy và chiều cao đều bằng một nửa)

Mặt khác

2

2

ABCD

1 27 2 9 2

MCND

Câu 6: (NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Cho tứ diện ABCD cóAD14,BC Gọi ,6 M N lần lượt

là trung điểm của các cạnh AC BD, và MN 8 Gọi  là góc giữa hai đường thẳng

BC và MN Tính sin

A 2 2

4 Hướng dẫn giải

Gọi P là trung điểm của cạnh CD, ta có

MN BC,  MN NP, 

Trong tam giác MNP, ta có

1 cos

MNP

MN NP

  Suy ra MNP 60

Suy ra sin 3

2

 

Câu 7: (NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Cho lăng trụ tam giác

' ' '

ABC A B C có đáy ABC là đều cạnh AB2a 2 Biết AC'8a và tạo với mặt đáy một

góc 0

45 Thể tích khối đa diện ABCC B' ' bằng

N

M

C

A

P

3 7

14

8

6

M

P N

D A

3

3

a

3

3

a

3

3

a

3

3

a

Hướng dẫn giải

Gọi H là hình chiếu của A lên mp A B C ' ' '

0

' 45

HC A

'

AHC

  vuông cân tại H

' 8

4 2

NX:

 2

3

2 2 3

Chọn D

Gọi H là hình chiếu của A lên mp A B C ' ' '

0

' 45

HC A

'

AHC

  vuông cân tại H

' 8

4 2

3

2 2 3

Câu 8: (T.T DIỆU HIỀN) Cho hình lập phương ABCD A B C D ' ' ' ' cạnh a Tính khoảng cách

giữa hai đường thẳng BC' và CD'

3

a

3

a

Hướng dẫn giải

Chọn B

8a 2a 2

C' B'

A

C B

Gọi OA C' 'B D' ' và từ 'B kẽ B H' BO

Ta có CD'// (BA C nên ' ')

( '; ') ( '; ( ' ')) ( '; ( ' ')) '

3

BB B O a

d BC CD d D BA C d B BA C B H

BO

Câu 9: (T.T DIỆU HIỀN) Một hình hộp chữ nhật ABCD A B C D     có ba kích thước là 2cm,

3cm và 6cm Thể tích của khối tứ diện A CB D   bằng

4 cm

Hướng dẫn giải

Chọn B

Ta có :

4

4 1 4

6

.2

ABCD A B C D B AB C D ACD A B AD C B C D A CB D

ABCD A B C D B AB C A CB D

A CB D ABCD A B C D B AB C

A CB D ABCD A B C D ABCD A B C D

A CB D ABCD A B C D

3.6 12 cm

Câu 10: (LẠNG GIANG SỐ 1) Cho khối tứ diện đều ABCD cạnh bằng 2cm Gọi M N P, , lần

lượt là trọng tâm của ba tam giác ABC ABD ACD, , Tính thể tích V của khối chóp

AMNP

162

V  cm B 2 2 3

81

V  cm C 4 2 3

81

144

V  cm

O

B

D

C

D' A'

C' B'

A H

6 cm

2 cm

3 cm

B

D

C

D'

A'

A

Hướng dẫn giải

Chọn C

3

3

AH  AD DH 

   

EF

V AH S

3

AM AN AP

AE  AK  AF 

AMNP

AEKF

Câu 11: (LÝ TỰ TRỌNG – TPHCM) Cho hình hộp ABCD A B C D     có

BCD  ACa BDa ABAD ,đường chéo BD hợp với mặt phẳng

ADD A  góc  30 Tính thể tích V của khối hộp ABCD A B C D    

3 3 a

Hướng dẫn giải

Chọn D

30°

y

x

O A

C

B

C'

D'

D

; y

xCD BC xy

P

N M

H K

F E

A

B

C

D

 Áp dụng định lý hàm cos và phân giác trong tam giác BCD

và

 Vậy V hình hộp =

Câu 12: (NGÔ GIA TỰ - VP) Cho hình chóp tứ giác đê ̀u S ABCD có thê ̉ tích 2

6

V  Gọi M là

trung điê ̉m của cạnh SD Nê ́u SBSD thì khoảng cách từ B đê ́n mặt phẳng MAC

ba ̀ng:

A 1

4

Hướng dẫn giải

Chọn A

Giả sử hình chóp có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Khi đó, BDa 2

Tam giác SBD vuông cân tại S nên SDSBa và 2

BD a

SO   Suy ra các tam giác SCD SAD, là các tam giác đều cạnh a và SDMAC tại M

Thể tích khối chóp là

3

a

V  SO S 

2 2 2

5

x y  a

2 ;

x y a C 60 BDAD BD'; (ADD'A')30DD'3a

2

.sin 60 a 3

ABCD

3

3 3

a

O

M

A

S

D

C B

Mà

3

1

a

a

Vì O là trung điểm BD nên         1

2

d B MAC d D MAC DM 

Câu 13: (THTT – 477) Một hình lăng trụ có đáy là tam giác đều cạnh bằng a, cạnh bên bằng

b và tạo với mặt phẳng đáy một góc  Thể tích của khối chóp có đáy là đáy của lăng trụ và đỉnh là một điểm bất kì trên đáy còn lại là

A 3 2

sin

sin

4 a b  C 3 2

cos

12 a b  D 3 2

cos

4 a b  Hướng dẫn giải

Chọn A

Gọi H là hình chiếu của A trên ABC Khi đó  A AH

Ta cóA H A A sin bsin nên thể tích khối lăng trụ là

2

3 sin

4

a b

Lại có chiều cao của chóp theo yêu cầu đề bài chính là chiều cao của lăng trụ và bằng

A H nên thể tích khối chóp là . 1 . 2 3 sin

S ABC ABC A B C

a b

  

Câu 14: (THTT – 477) Các đường chéo của các mặt của một hình hộp chữ nhật bằng , , a b c

Thể tích của khối hộp đó là

8



8



C V abc

H'

C

B A

B'

C' A'

H

S

D V   a b c.

Hướng dẫn giải

Chọn A

Giả sử hình hộp chữ nhật có ba kích thước: x y z, ,

Theo yêu cầu bài toán ta có

2

2

2

2

2

y

z













Câu 15: (SỞ GD HÀ NỘI) Cho hình lăng trụ ABCA B C    có đáy là tam giác đều cạnh a Hình

chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng ABC trùng với trọng tâm tam giác ABC

Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng AA và BC bằng 3

4

a

Tính thể tích V của

khối lăng trụ ABCA B C  

A

3 3 24

a

3 3 12

a

3 3 3

a

3 3 6

a

V 

Hướng dẫn giải

Chọn B

a x

y

A'

C'

D'

C B

D A

B'

M là trung điểm của BC thì BC AA M 

Gọi MH là đường cao của tam giác A AM thì

MH A A và HM BC nên HM là khoảng cách

AA và BC

Ta cóA AHM A G AM 

2 2

A A  A A 

Đường cao của lăng trụ là

2 2

A G   

Thể tích

LT

Câu 16: (SỞ GD HÀ NỘI) Cho hình chóp S ABC có 0

60

ASBCSB , 0

90

ASC  ,

SASBSCa Tính khoảng cách d từ điểm A đến mặt phẳng SBC

3

a

3

a

Hướng dẫn giải

Chọn B

H

B

C A

C'

B' A'

+ Ta có: SAB, SBC là các đều cạnh a nên ABBCa

+ Ta có: SAC vuông cân tại S nên ACa 2

AC  AB BC nên ABC vuông tại B có

2

2

ABC

a

S 

+ Gọi H là trung điểm của AC Ta có: HAHBHC và SASBSC nên

AC a

2

2

2

;

3 3

4

d A SBC

Câu 17: (CHUYÊN HÙNG VƯƠNG – GL) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi

cạnh bằng 2a 3, góc BAD bằng 1200 Hai mặt phẳng SAB và SAD cùng vuông góc với đáy Góc gữa mặt phẳng SBC và ABCD bằng 450 Tính khoảng cách h

từ A đến mặt phẳng SBC

3

a

2

a

h  D ha 3

Hướng dẫn giải Chọn C

Gọi H là chân đường cao hạ từ A của tam giác ABC

H

S

B

C A

Xét tam giác ABH:

0

sin B AH AH 2a 3.sin 60 3 a

AB

0

cos B BH BH 2a 3.cos 60 a 3

AB

Xét tam giác SAH vuông tại A:

0

tan SHA SA SA 3 tan 45a 3 a

AH

Trong tam giác SAH vuông tại A , kẻ

AI SH tại I Ta có AI SBC nên AI là

khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC

Xét tam giác SAH, ta có:

   2 2

9

2

a

d A SBC AI

Câu 18: (CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH) Khi chiê ̀u cao của mo ̣t hình chóp đê ̀u tăng lên n la ̀n

nhưng mo ̃i cạnh đáy giảm đi n la ̀n thì thê ̉ tích của nó

A Không thay đo ̉i B Tăng lên n la ̀n C Tăng lên n 1 la ̀n D Giảm đi n

la ̀n

Hướng dẫn giải

Chọn D

Ta có: 1

3

V  h S , với h là chiê ̀u cao, S là diê ̣n tích đáy

2 0

180

4 tan

x a S

a



với x là đo ̣ dài cạnh của đa giác đê ̀u, a là so ́ đỉnh của đa giác đê ̀u

Ycbt

2

4 tan

x a n

a

 

 

 

Câu 19: (BIÊN HÒA – HÀ NAM) Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD có cạnh đáy bằng a , cạnh

bên hợp với đáy một góc 60 Gọi M là điểm đối xứng của C qua D , N là trung điểm

A

S

D

C

I

SC Mặt phẳng BMN chia khối chóp S ABCD thành hai phần Tỉ số thể tích giữa hai phần (phần lớn trên phần bé) bằng:

A 7

5

Hướng dẫn giải

Chọn A

Giả sử các điểm như hình vẽ

ESDMN  là trọng tâm tam giác SCM , E DF //BCF là trung điểm BM

2

a

2

a

2 7 SAD

1 6

MEFD

MNBC

V  MN MB MC  

a

5

SABFEN BFDCNE

V

E N

M F

O

A B

S

H

Câu 20: (CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU) Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D     có tồng diện tích

của tất cả các mặt là 36, độ dài đường chéo AC bằng 6 Hỏi thể tích của khối hộp lớn nhất là bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

Chọn C

Gọi chiều dài 3 cạnh của hình hộp chữ nhật lần lượt là: a, b, c 0

Ta có

AC        a   a b c     a b c

3 3

16 2

Câu 21: (CHUYÊN ĐHSP HN) Cho hình chóp đều S ABC có đáy cạnh bằng a, góc giữa đường

thẳng SA và mặt phẳng ABC bằng 60 Gọi A , B , C tương ứng là các điểm đối

xứng của A , B , C qua S Thể tích của khối bát diện có các mặt ABC, A B C  , A BC ,

B CA , C AB , AB C , BA C , CA B  là

A

3

2 3

3

a

3

3 2

a

3

4 3 3

a

Chọn A

Gọi H là tâm tam giác ABC đều cạnh a 3

3

a CH

  Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC) bằng 0

60

.

o

3

3

a

3

3 12

S ABC

a

Diện tích tam giác SBC là:

2

39 12

SBC

a

S 

Khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC

là:     3

,

13

a

d A SBC 

Tứ giác BCB C' ' là hình chữ nhật vì có hai

đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung

điểm mỗi đường

SB BB  B C Diện tích BCB C' 'là:

2 ' '

39 3

BCB C

a

Thể tích khối 8 mặt cần tìm là:

' '

a

V  d A SBC S 

Câu 22: (CHUYÊN THÁI BÌNH) Cho khối chóp S ABC có SAa, SBa 2, SCa 3 Thể

tích lớn nhất của khối chóp là

A 3

6

3

6 2

a

3

6 3

a

3

6 6

a

Chọn D

Gọi H là hình chiếu của A lên ( ) 1

SBC  V AH S

Ta có AHSA; dấu “=” xảy ra khi ASSBC

H

B'

A'

C'

C

A

B S

1 1

SBC

S  SB SC SBC SB SC, dấu “=” xảy ra khi

SBSC

V  AH S  AS SB SC  SA SB SC 

Dấu “=” xảy ra khi SA SB SC đôi một vuông góc với , ,

nhau

Suy ra thể tích lớn nhất của khối chóp là

3

a

V  SA SB SC

Câu 23: (CHUYÊN THÁI BÌNH) Cho hình chóp S ABCD có đáy là

hình vuông cạnha, 17

2

a

SD  , hình chiếu vuông góc H của S lên mặt ABCD là trung

điểm của đoạn AB Tính chiều cao của khối chóp H SBD theo a

A 3

5

a

7

a

5

a

5 Chọn A

Ta có SHD vuông tại H

3

          

 

a

d H BD  d A BD  Chiều cao của chóp H SBD là

2

2 2 2

,

, 2

3

3

8

SH d H BD

d H SBD

SH d H BD a

a

a a

a



S ABCD SH S  a 

3

3 1

a

a 2

a 3

A

S

B

C H

H B S

C

H

I

Tam giác SHB vuông tại H

2

3

4

SBD

a

S 

5

S HBD SBD

d H SBD

S

Cách 3 Gọi I là trung điểm BD Chọn hệ trục Oxyz với

OH OxHI OyHB OzHS

Ta có H0;0;0; 0; ; 0

2

a

B 

 ; S0; 0;a 3; ; 0; 0

2

a

I 

 

Vì SBD  SBI

3 3

Suy ra    

3 2.0 2.0 0

5 1

4 4

3

a a

d H SBD

 

Câu 24: (CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU) Cho khối chóp S ABCD có thể tích bằng 3

a Mặt bên SAB

là tam giác đều cạnh a và đáy ABCD là hình bình hành Tính theo a khoảng cách

giữa SA và CD

3

a

2

a

Hướng dẫn giải

Chọn A

y

x

OH

z

I

D A

S

Vì đáy ABCD là hình bình hành

3

1

V SABD V SBCD  V S ABCD  a

Ta có:

Vì tam giác SAB đều cạnh a

4



SAB

a

Vì CD ABCD SAB nên

 ,   ,    ,  

3

2

3

2 3 3

4

SBD

a V

a

Câu 25: (LÝ TỰ TRỌNG – TPHCM) Tìm Vmax là giá trị lớn nhất của thể tích các khối hộp chữ

nhật có đường chéo bằng 3 2cm và diện tích toàn phần bằng 2

18cm

V  cm

V  cm

Hướng dẫn giải

Chọn C

Đặt , ,a b c là kích thước của hình hộp thì ta có hệ

18 9

a b c

ab bc ac



Suy ra a b c  6 Cần tìm GTLN của V abc

Ta có b c   6 a bc 9 a b c   9 a6a

b c  bc a   a a   a

Tương tự 0b c,  4

Ta lại có V a9a6a Khảo sát hàm số này tìm được GTLN của V là 4

a

C B

S