Bài toán vận dụng cao chủ đề 5 KHỐI đa DIỆN có lời giải file word

Gọi lần lượt là trung điểm các cạnh Lấy điểm không đổi trên cạnh Do diện tích đáy và chiều cao đều bằng một nửa... Suy ra các tam giác là các tam giác đều cạnh và tại.Thể tích khối chóp

C' B'

C

D

D' H

a

2a

M A

B

C S

Chủ đề 5 KHỐI ĐA DIỆN

Câu 2: (SGD VĨNH PHÚC) Cho hình chóp có , tam giác

vuông cân tại , và Gọi là trung điểm cạnh Tính thểtích khối chóp

Câu 3: (SGD VĨNH PHÚC) Cho hình lăng trụ đứng có , ,

và Gọi , lần lượt là trung điểm của các cạnh , Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

Câu 4: (NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật

Tam giác vuông cân tại và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy

và Gọi là trung điểm của cạnh Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

Hướng dẫn giải

N H

A

D S

Gọi lần lượt là trung điểm các cạnh và đoạn

Mà ( cân tại A có là trung tuyến)

Suy ra , do đó (vì , đường trung bình)

Đáp án: B

Câu 5: (NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Cho tứ diện đều có cạnh bằng 3 Gọi

lần lượt là trung điểm các cạnh Lấy điểm không đổi trên cạnh

(Do diện tích đáy và chiều cao đều bằng một nửa)

http://dethithpt.com – Website chuyên đ thi – tài li u file word m i nh t ề ệ ớ ấ

8a 2a 2

C' B'

A

C B

Câu 6: (NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Cho tứ diện có Gọi lần

lượt là trung điểm của các cạnh và Gọi là góc giữa haiđường thẳng và Tính

Hướng dẫn giải

Gọi là trung điểm của cạnh , ta có

.Trong tam giác , ta có

Suy ra

Suy ra

Câu 7: (NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Cho lăng trụ tam giác có đáy là

đều cạnh Biết và tạo với mặt đáy một góc Thể tíchkhối đa diện bằng

Hướng dẫn giải

Gọi là hình chiếu của lên

vuông cân tại H

NX:

Chọn D

Gọi là hình chiếu của lên

3 7

D A

Câu 8: (T.T DIỆU HIỀN) Cho hình lập phương cạnh Tính khoảng

cách giữa hai đường thẳng và

C' B'

A H

Gọi và từ kẽ

Câu 9: (T.T DIỆU HIỀN) Một hình hộp chữ nhật có ba kích thước là

, và Thể tích của khối tứ diện bằng

N M

H K

F E

A

B

C

D

Câu 10: (LẠNG GIANG SỐ 1) Cho khối tứ diện đều cạnh bằng Gọi

lần lượt là trọng tâm của ba tam giác Tính thể tích của khối chóp

y

x

O A

C B

Câu 12: (NGÔ GIA TỰ - VP) Cho hình chóp tứ giác đều có thể tích

Gọi là trung điểm của cạnh Nếu thì khoảng cách từ đếnmặt phẳng bằng:

B

Giả sử hình chóp có đáy là hình vuông cạnh Khi đó,

Tam giác vuông cân tại nên và

http://dethithpt.com – Website chuyên đ thi – tài li u file word m i nh t ề ệ ớ ấ

Suy ra các tam giác là các tam giác đều cạnh và tại.

Thể tích khối chóp là

Mà

Câu 13: (THTT – 477) Một hình lăng trụ có đáy là tam giác đều cạnh bằng ,

cạnh bên bằng và tạo với mặt phẳng đáy một góc Thể tích của khốichóp có đáy là đáy của lăng trụ và đỉnh là một điểm bất kì trên đáy còn lạilà

Hướng dẫn giải Chọn A.

H' C B

A

B'

C' A'

H

S

Gọi là hình chiếu của trên Khi đó

Ta có nên thể tích khối lăng trụ là

.Lại có chiều cao của chóp theo yêu cầu đề bài chính là chiều cao của lăngtrụ và bằng nên thể tích khối chóp là

Câu 14: (THTT – 477) Các đường chéo của các mặt của một hình hộp chữ nhật

bằng Thể tích của khối hộp đó là

A

B

D A

B'

Chọn A.

Giả sử hình hộp chữ nhật có ba kích thước:

Theo yêu cầu bài toán ta có

Câu 15: (SỞ GD HÀ NỘI) Cho hình lăng trụ có đáy là tam giác đều

cạnh Hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng trùng với trọngtâm tam giác Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng và bằng Tính thể tích của khối lăng trụ

Hướng dẫn giải

Chọn B.

là trung điểm của thì

Gọi là đường cao của tam giác thì

C'

B' A'

+ Ta có: , là các đều cạnh nên

+ Ta có: vuông cân tại nên

+ Ta có: nên vuông tại có

+ Gọi là trung điểm của Ta có: và nên

Gọi là chân đường cao hạ từ của tam giác

Xét tam giác

Xét tam giác vuông tại

Trong tam giác vuông tại , kẻ

tại Ta có nên

là khoảng cách từ đến mặt phẳng

Xét tam giác , ta có:

Câu 18: (CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH) Khi chiều cao của một hình chóp đều

tăng lên lần nhưng mỗi cạnh đáy giảm đi lần thì thể tích của nó

A Không thay đổi B Tăng lên lần C Tăng lên

Hướng dẫn giải

Chọn D.

Ta có: , với là chiều cao, là diện tích đáy

http://dethithpt.com – Website chuyên đ thi – tài li u file word m i nh t ề ệ ớ ấ

với là độ dài cạnh của đa giác đều, là số đỉnh của đa giác

đều

Câu 19: (BIÊN HÒA – HÀ NAM) Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy

bằng , cạnh bên hợp với đáy một góc Gọi là điểm đối xứng của qua , là trung điểm Mặt phẳng chia khối chóp

thành hai phần Tỉ số thể tích giữa hai phần (phần lớn trên phần bé) bằng:

Hướng dẫn giải

Chọn A.

E N

M F

O

A B

S

H

Giả sử các điểm như hình vẽ

là trọng tâm tam giác , là trung điểm

Suy ra:

Câu 20:  (CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU) Cho hình hộp chữ nhật có tồng

diện tích của tất cả các mặt là , độ dài đường chéo bằng Hỏi thểtích của khối hộp lớn nhất là bao nhiêu?

Câu 21: (CHUYÊN ĐHSP HN) Cho hình chóp đều có đáy cạnh bằng , góc

giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng Gọi , , tươngứng là các điểm đối xứng của , , qua Thể tích của khối bát diện có

Diện tích tam giác là:

http://dethithpt.com – Website chuyên đ thi – tài li u file word m i nh t ề ệ ớ ấ H

Khoảng cách từ đến mặt phẳng

Tứ giác là hình chữ nhật vì có hai

đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại

trung điểm mỗi đường

Thể tích khối 8 mặt cần tìm là:

Cách 3 (Tham khảo lời giải của Ngọc HuyềnLB).

Thể tích khối bát diện đã cho là

Gọi là hình chiếu của lên

Ta có ; dấu “=” xảy ra khi

I

Dấu “=” xảy ra khi đôi một vuông góc với nhau

Suy ra thể tích lớn nhất của khối chóp là

Câu 23:(CHUYÊN THÁI BÌNH) Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh ,

, hình chiếu vuông góc của lên mặt là trung điểm củađoạn Tính chiều cao của khối chóp theo

S

Ta có ; ; ;

Vì

Suy ra

Câu 24: (CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU) Cho khối chóp có thể tích bằng

Mặt bên là tam giác đều cạnh và đáy là hình bình hành Tínhtheo khoảng cách giữa và

S

Câu 25: (LÝ TỰ TRỌNG – TPHCM) Tìm là giá trị lớn nhất của thể tích các

khối hộp chữ nhật có đường chéo bằng và diện tích toàn phần bằng

Suy ra Cần tìm GTLN của

Ta có

Do

Tương tự

Ta lại có Khảo sát hàm số này tìm được GTLN của là 4

Câu 26: (CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU) Khối chóp có đáy là hình thoi

cạnh , Cạnh thay đổi Thể tích lớn nhất của khối chóp

Vì nên chân đường cao

trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam

Câu 27: (THTT – 477) Cho khối đa diện đều mặt có thể tích và diện tích mỗi

mặt của nó bằng Khi đó, tổng các khoảng cách từ một điểm bất kì bêntrong khối đa diện đó đến các mặt của nó bằng

Hướng dẫn giải http://dethithpt.com – Website chuyên đ thi – tài li u file word m i nh t ề ệ ớ ấ

Chọn C.

Xét trong trường hợp khối tứ diện đều

Các trường hợp khác hoàn toàn tương tự

Câu 28: (LƯƠNG ĐẮC BẰNG) Cho hình lập phương có cạnh bằng

, một mặt phẳng cắt các cạnh , , , lần lượt tại , , , Biết , Thể tích khối đa diện là:

HD: Tứ giác MNPQ là hình bình hành có tâm là I

thuộc đoạn OO’

Ta có:

Gọi O1 là điểm đối xứng O qua I thì :

OO1=2OI= < a Vậy O1 nằm trong đoạn OO’

Vẽ mặt phẳng qua O1 song song với (ABCD) cắt

các cạnh AA’; BB’;CC’; DD’ lần lượt tại

A 1 , B 1 ,C 1 , D 1 Khi đó I là tâm của hình hộp

A'

C' D'

C B

D A

B'

N M

P

Câu 29: (CHUYÊN VĨNH PHÚC) Người ta gọt một khối lập phương gỗ để lấy khối

tám mặt đều nội tiếp nó (tức là khối có các đỉnh là các tâm của các mặtkhối lập phương) Biết các cạnh của khối lập phương bằng a Hãy tính thểtích của khối tám mặt đều đó:

Đáp án B

Dựng được hình như hình bên

+ Thấy được thể tích khối cần tính bằng 2 lần thể

tích của hình chóp S.ABCD

+ Nhiệm vụ bây giờ đi tìm thể tích của S.ABCD

+ ABCD là hình vuông có tâm O đồng thời chính là

hình chiếu của S lên mặt đáy

; cạnh của hình lập phương Suy ra

các cạnh của hình vuông

Vkhối đa diện

Câu 30: Cho tứ diện có thể tích bằng 12 và là trọng tâm tam giác

Tính thể tích của khối chóp

Chọn B.

 Cách 1:

Phân tích: tứ diện và khối chóp có

cùng đường cao là khoảng cách từ đến mặt

phẳng Do là trọng tâm tam giác

C

D A

F

M N

B

C

D

Câu 31: Một hình trụ có diện tích xung quanh bằng , diện tích đáy bằng diện

tích của mặt cầu có bán kính bằng Tính thể tích khối trụ đó

Câu 32: Ghép 5 khối lập phương cạnh a để được khối hộp chữ thập như hình vẽ.

Diện tích mỗi mặt khối lập phương:

Diện tích toàn phần các khối lập phương:

Diện tích toàn phần khối chữ thập:

Câu 33: Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng , cạnh bên hợp

* Nhận thấy K là trọng tâm của tam giác SMC

http://dethithpt.com – Website chuyên đ thi – tài li u file word m i nh t ề ệ ớ ấ

a a

*

Câu 34: Cho hình chóp tứ giác có , là hình thangvuông tại và biết , Tính thể tích khối chóp theo, biết khoảng cách từ A đến mặt phẳng bằng

Hướng dẫn giảiDựng tại

Câu 35: Cho lăng trụ tam giác có , góc giữa đường thẳng

và bằng , tam giác vuông tại và góc Hình chiếu vuônggóc của điểm lên trùng với trọng tâm của Thể tích của khối tứdiện theo bằng

Hướng dẫn giảiGọi là trung điểm của

(nửa tam giác đều)

Đặt Trong vuông tại có

tam giác là nữa tam giác đều

Hướng dẫn giải

http://dethithpt.com – Website chuyên đ thi – tài li u file word m i nh t ề ệ ớ ấ

Gọi là trung điểm của

B

A'

C H

A B

S

K

Kẻ Khi đó

Câu 38: (ĐỀ MINH HỌA QUỐC GIA NĂM 2017) Cho hình chóp tứ giác

có đáy là hình vuông cạnh bằng Tam giác cân tại và mặtbên vuông góc với mặt phẳng đáy Biết thể tích khối chóp bằng Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng

Hướng dẫn giải

.Lại có , suy ra

S

K

E O

A S

D

K

Gọi là trung điểm , suy ra

D C

Câu 41: Cho khối chóp tứ giác đều Mặt phẳng đi qua và trungđiểm của Tỉ số thể tích của hai phần khối chóp bị phân chia bởi mặt phẳng

đó là:

D S

B' A'

C' D'

A

Diện tích hình thoi

Câu 43: Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh , tam giác

đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Tính khoảng cách giữa hai đườngthẳng và

O

B A

D'

E

F B

A B'

H

Chiều cao của phần nước dâng lên là thỏa mãn: nên

Vậy nước dâng cao cách mép cốc là cm

Tính tổng khoảng cách từ đến các mặt của tứ diện.

S

I H

Mặt khác,

.

cân, , và Mặt phẳng qua , vuông góc với cắt

lần lượt tại và Tính thể tích khối chóp

Câu 48: (CHUYÊN VINH – L2) Cho hình lăng trụ có thể tích bằng Các điểm ,, lần lượt thuộc các cạnh , , sao cho , Thể tích khối đa diện

bằng

Hướng dẫn giải Chọn D

B' C'

A'

P

N