VẬN DỤNG CAO OXYZ

Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho đường thẳng d có phương trình và điểm A1; 4; 2.. Trong không gian với hệ toạ độ , gọi là mặt phẳng qua hai điểm Hướng dẫn giải Đáp án: Gọi lần

Trang 1

VẬN DỤNG – VẬN DỤNG CAO

OXYZ

Sưu tầm: Trần Hoài Thanh –THPT Khúc Thừa Dụ, Ninh Giang, Hải Dương FB: https://www.facebook.com/tranhoaithanhvicko

CASIO TRẮC NGHIỆM https://tinyurl.com/casiotracnghiem

HỌC CASIO FREE TẠI: https://tinyurl.com/casiotracnghiem

Group: THỦ THUẬT CASIO THPT https://fb.com/groups/casiotracnghiem

Câu 1 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho A(2; –1; 6), B(  1; 2; 4) và I(–1; –3; 2)

Phương trình mă ̣t phẳng (P) đi qua A, B sao cho khoảng cách từ I đến (P) lớn nhất là

Hướng dẫn giải Đáp án: B

IB  0  5  2  29 Go ̣i M là trung

điểm của đoa ̣n thẳng AB, vì IA=IB nên IM 

AB, ta có M 1 1 ; ;5 ;

2 2

94 IM

2



Go ̣i H là hình chiếu vuông góc của I lên mă ̣t

phẳng (P):

Nếu H, M là hai điểm phân biê ̣t thì tam giác IHM

vuông ta ̣i H, IH<IM hay IH 94

2



Trang 2

Nếu H trùng với M thì IH IM 94

2

  Vâ ̣y ta có IH 94

2

 , IH lớn nhất khi HM

Khi đó (P) có vectơ pháp tuyến là P

3 7

n IH IM ; ;3

2 2

       Vâ ̣y phương trình mă ̣t phẳng (P) là

x 2 y 1 3 z 6 0

2   2     hay 3x7y6z350

Câu 2 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A( ; ; ); ( ; ; )1 2 2 B 5 4 4 và mặt phẳng

2    6 0

( ) :P x y z Nếu M thay đổi thuộc ( ) P thì giá trị nhỏ nhất của MA2MB2 là

2968

25

Hướng dẫn giải Đáp án: A

Ta có

MA MB MI d I P với I là trung điểm của A B

Câu 3 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;2;2), B(5;4;4) và mặt phẳng (P): 2x + y – z + 6 =0 Tọa độ điểm M nằm trên (P) saocho MA2 + MB2 nhỏ nhất là:

Hướng dẫn giải Đáp án: C

+ Kiểm tra phương án A không thuộc (P)

+ Tính trực tiếp MA2 + MB2 trong 3 phương án B,C,D và so sánh

Câu 4 Phương trình nào sau đây không phải là phương trình hình chiếu vuông góc của

 A(1;–2;3) , B(3;1;4) thuộc d Hình chiếu của A ,B trên mặt phẳng (Oxy) là A/(1;–2;0) ,

B/(3;1;0)

 Phương trình hình chiếu đi qua hoặc và nhận véc tơ cùng phương với

làm véc tơ chỉ phương

1 2

2 3 , 3

 





  



3 2 '

1 3 ' , '

0

z

 





 



1 4 '

2 6 ', ' 0

z

 





 



1 2 '

2 3 ', ' 0

z

 





 



5 2 '

4 3 ', ' 0

z

 





 



/

/ /

2;3;0

A B 

Trang 3

Câu 5 Trong không gian Oxyz, cho điểm và mặt phẳng

Mặt cầu S có tâm I nằm trên mặt phẳng , đi qua điểm A và gốc tọa độ O sao cho chu vi tam giác

OIA bằng Phương trình mặt cầu S là:

Hướng dẫn giải Đáp án: D

Gọi là tâm của S

Giải hệ ta tìm được hoặc

Câu 6 Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu   2 2 2

S : x y z 4x6y m 0 và đường thẳng

  x y 1 z 1

d :

  Tìm m để (d) cắt (S) tại hai điểm M, N sao cho độ dài MN bằng 8

(S) có tâm I2;3;0 và bán kính  2 2 2  

Gọi H là trung điểm M, N  MH  4

Đường thẳng (d) qua A 0;1; 1   và có vectơ chỉ phương u  2;1; 2  d I; d   u, AI 3

u

R MH d I; d  4 3 5

Ta có 13 m      5 13 m 25    m 12

Câu 7 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : 1 2

và điểm A (2;5;3) Phương trình mặt phẳng ( ) P chứa d sao cho khoảng cách từ A đến ( ) P là lớn nhất có phương trình

 1, 0, 1 

  P

6 2

 , , 

I x y z

 , , 6 2

I P IOIA IOIAAO 

 2 2  2 2 2 2

x y z

   







 2, 2,1 

Trang 4

A. x  4 y    z 3 0 B. x  4 y    z 3 0 C. x  4 y    z 3 0D. x  4 y    z 3 0

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên d Khi đó H 1 2 ; ;2t t 2t

Ta có AH u d (với AH 2t 1;t 5;2t 1 , u d 2;1;2 ) Nên AH u d 0 t 1

Suy ra AH 1; 4;1 , H 3;1; 4

Mặt phẳng (P) chứa d và khoảng cách từ A đến (P) lớn nhất khi (P) đi qua H 3;1; 4 và nhận vectơ

1; 4;1

AH làm vectơ pháp tuyến Phương trình mặt phẳng (P) là :

Câu 8 Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho đường thẳng d có phương trình

và điểm A(1; 4; 2) Gọi (P) là mặt phẳng chứa d Khoảng cách lớn nhất

từ A đến (P) là :

Từ A kẻ một đường thẳng vuông góc với đường thẳng d và cắt đường thẳng d tại H nên

Từ A kẻ một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (P) tại K nên

Trong tam giác AKH vuông tại K thì

Do đó để khoảng cách từ A đến (P) lớn nhất khi

là gốc tọa độ) Bán kính mặt cầu là

Phương trình Bmặt cầu (S) có dạng:

Vì điểm thuộc mặt cầu (S) nên ta có hệ:

:

max 5

3

(A;d)

(A;(P))

(A;(P)) (A;d)

(1; 2;0)

max

,

210 (A;d)

3

AM u

u

 3; 2;1 

1

2 2 2

x y z  ax by cz d

4 O A B C, , ,

Trang 5

Suy ra

Câu 10 Trong không gian với hệ toạ độ , gọi là mặt phẳng qua hai điểm

Hướng dẫn giải Đáp án:

Gọi lần lượt là hình chiếu vuông góc điểm

lên đường thẳng và mặt phẳng

Ta có:

Suy ra tam giác vuông cân tại

Khi đó:

Mặt khác:

Khi đó:

Câu 11 Cho hình chóp O.ABC có OA=a , OB=b, OC=c đôi một vuông góc với nhau Điểm

M cố định thuộc tam giác ABC có khoảng các lần lượt đến các mặt phẳng (OBC) , (OCA), (OAB) là 1,2,3 Khi tồn tại a,b,c thỏa thể tích khối chóp O.ABC nhỏ nhất, giá trị nhỏ nhất của thể tích khối chóp O.ABC là

OI  OI  a b c 

a  b c  d    R

2;0;5

3

2

3 2

1 2

2 2

;

K H

  ,

A B  Oxz

    Oxz  AB

 







   

 Oxz ,    KH OK ,  OKH

450

H K



O

 

2

OK

d O  OH 

  3

2

AB



 

2 2

OK

Trang 6

A. 18 B. 27

toán

.Chọn hệ trục tọa độ thỏa O(0,0,0) , A(a,0,0), B(0,b,0) , C(0,0,c)

Điểm M cố định thuộc tam giác ABC có khoảng các lần lượt đến các mặt phẳng (OBC) , (OCA), (OAB) là 1,2,3 nên tọa độ điểm M là (1,2,3)

.Phương trình mặt phẳng (ABC) là

Vì M thuộc mặt phẳng (ABC) nên

.VOABC=

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có

Câu 12 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hai điểm A  1;2; 1 ,    B 0;4;0  và mặt phẳng (P) có phương trình: 2 x   y 2 z  2017  0 Phương trình mặt phẳng   Q đi qua hai điểm

,

A B và tạo với mặt phẳng   P một góc nhỏ nhất có phương trình là

A.   Q : x     y z 4 0 B.   Q : x     y z 4 0

C.   Q : 2 x   y 3 z   4 0 D.   Q : 2 x     y z 4 0

0  ( ),( ) P Q  90 , nên góc  ( ),( ) P Q nhỏ nhất khicos ( ),( )  P Q lớn nhất

Ta có cos ( ),( )   2 2 2 2 2 2 2 2

3

 

0 cos ( ),( ) 0 ( ),( ) 90

3

Dấu bằng xảy ra khi b = –c; a = – c, nên phương trình mp(Q) là: x     y z 4 0

1

a  b c

1

a  b c

1

6abc

3

6 abc

a b c a b c

Trang 7

Câu 13 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (Q): và đường

(Q) một góc nhỏ nhất la ̀:

Dựa vào BBT, ta thấy

Do đó chỉ có trường hợp 1 thoả mãn, tức a = 0 Khi đó chọn

Vậy: (P):

Câu 14 Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d : Viết phương trình mặt phẳng () chứa (d) và tạo với mặt phẳng Oyz một góc nhỏ nhất.

Giả sử (β) : (đk : ), (β) có vtpt là

x2y z  5 0

 P :y z  4 0  P : x  z 4 0  P : x   y z 4 0  P :y z  4 0

ax by cz d   0 (a2b2c20) a (( ),( ))P Q

M( 1; 1;3), (1; 0; 4)  N d M P c a b

( )

ax by   ( 2a b z) 7a4b0 a b

a2 ab b2

3

b

b2

2

30



a

b a

2

1 3

6

 

    

b x a

 f x( )cos2

f x

2

( )



min ( ) 0 cos  0 a 90 30

b1,c1,d4

y z 4  0

3 2 2

  

   



 



0

   

Ax By Cz D A2 B2 C2 0 ( ; ; )





n A B C

Trang 8

d  (β)   

=

 TH 1 : A = 0 (khơng thoả đb hoặc khơng nhỏ nhất)

 TH 2 : A ≠ 0 , ta cĩ :

nhỏ nhất  lớn nhất  nhỏ nhất 

Vậy : (β) :

Câu 15 Trong khơng gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho điểm và hai đường thẳng

Lấy trên điểm N và trên điểm P sao cho M,N,P

thẳng hàng Toạ độ trung điểm của NP là:

Lập phương trình mặt phẳng từ đĩ tìm được

Tìm được

Câu 16 Trong khơng gian tọa độ Oxyz, cho các phương trình mặt phẳng

Xét các mệnh đề sau:

(I) Với mọi thì các mặt phẳng luơn tiếp xúc với một mặt cầu khơng đổi

( )

 











A

n a







2

   





 



 



Oyz n i



A

( ),( Oyz)

cos(( ),( Oyz))

1

1 (1   C 2 )  ( C )

1

2

1

C

A

3



C A

6

3

C A

1 (chọn)

2

3









 



A

C

1 3 7 3

 





  



B D

3 x   y 2 z   7 0

1;1; 2

M

1

1;1; 3

1;1; 2

I

2

1;1

Trang 9

(II) Với mọi thì các mặt phẳng luôn cắt mặt phẳng (Oxz)

Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Chỉ (I) và (II) B. Chỉ (I) và (III) C. Chỉ (II) và (III) D. Cả 3 đều đúng

Do đó với mọi m thay đổi trên thì các mặt phẳng luôn tiếp xúc với mặt cầu tâm O, bán kính

Khẳng đinh (I) đúng

+ Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là và vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

cắt (Oxz) khi và chỉ khi Khẳng đinh (II) đúng

+ Khẳng đinh (III) sai

Câu 17 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 2 đường thẳng: ,

và mặt cầu

Viết phương trình mặt phẳng song song với hai đường thẳng và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến

là đường tròn (C) có chu vi bằng

+ qua và có vectơ chỉ phương

qua và có vectơ chỉ phương

+ Mặt phẳng () song song với nên có vectơ pháp tuyến:

Phương trình mặt phẳng () có dạng:

+ Mặt cầu (S) có tâm và bán kính

0

25

m

d O

1;1

m

4

R

m

2

0;1;0

j

1

:



2: 2

1 2

x t







  



2 2 2

( ) :S x y z 2x2y6z 5 0

2 365 5



x y z   x y z   x5y3z 4 0

1

2

1, 2

I(1; 1;3) R 4

Trang 10

Gọi r là bán kính đường tròn (C), ta có:

Khi đó:

Vì nên M1 và M2 không thuộc loại (1)

Vậy phương trình mặt phẳng () cần tìm là:

Câu 18 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho bốn điểm , ,

.Chứng minh được ABCD là hình bình hành và OABCD là hình chóp tứ giác.

.Vậy có 5 mặt phẳng thỏa bài toán

Viết phương trình đường thẳng qua cắt lần lượt tại sao cho tam giác cân tại và nhận là đường trung tuyến

C D.

Gọi , từ giả thiết suy ra là trung điểm của , suy ra

nên có hai pt:

Tam giác cân tại nên:

Từ và có hệ:

2

  2 2 35

, ( )

5

10 5

35

D D

D

 

 ( ) : x5y3z 4 0 (1) hay x5y3z100 (2)

1/ /( ), 2/ /( )

x y z 

A 1, 2, 0 B 3, 1, 2   

C 2, 1,1  D 0, 2, 1   

 1; 2;3 ,   2; 4; 4 

M A   P : x   y 2 z   1 0,

:



:



 ; ; 

B a b c M BC C  2  a ; 4  b ; 6  c 

  ,  

B  P C  Q a b   2 c   1 0   1 ;   a 2 b c    8 0   2

 1; 2; 1 , 2 2 ; 4 2 ;6 2 

ABC A AM BC   0 a 2b c   8 0  3

    1 , 2   3 22 1800 30 0;3; 2 , 2;1; 4 



Trang 11

Câu 20 Trong không gian với hệ tọa độ , cho đường thẳng hai

Phương trình đường thẳng AB là : Dễ thấy đường thẳng và AB cắt nhau tại điểm

Do đó nhỏ nhất khi trùng với điểm

Gọi M là một điểm nằm trên đường thẳng CD sao cho tam giác MAB có chu vi bé nhất Khi đó toạ độ điểm M là:

Tam giác MAB có độ dài cạnh không đổi, do đó chu vi bé nhất khi và chỉ khi bé nhất

; Vì nên , suy ra điểm M cần tìm là hình chiếu vuông góc của A, cũng là hình chiếu vuông góc của B lên đường thẳng CD . Từ đó tìm ra điểm

Câu 22 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng và hai điểm

z t

2

3

  



 



A 2; 0; 3 B 2; 2; 3     M x y z  0; ;0 0  MA4 MB4

x0

x

1

2

3 3

 





  





IA 0;1;3 , IB 0; 1; 3    IA   IB  IA IB   AB

2

MA4 MB4 M I 2; 1; 0   

 2;3; 2 

A B  6; 1; 2    C    1; 4;3 

 1; 6; 5 

 0;1; 1 

4 3

 4; 4; 4 

 0;1; 1 

( ) :P x   y z 1 0

(1; 3;0), 5; 1; 2

Trang 12

A B C D.

Ta có: A, B nằm khác phía so với (P) Gọi B’ là điểm đối xứng với B qua (P) Suy ra

Đẳng thức xảy ra khi M, A, B’ thẳng hàng

Câu 23 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng và hai

giá trị lớn nhất

Kiểm tra thấy và nằm khác phía so với mặt phẳng

Gọi là điểm đối xứng với

Suy ra

Lại có

Vậy đạt giá trị lớn nhất khi thẳng hàng hay là giao điểm của đường thẳng

với mặt phẳng

có phương trình

Tọa độ là nghiệm của hệ

Vậy điểm

Câu 24 Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai điểm , và đường

xác định vị trí của điểm để chu vi tam giác đạt giá trị nhỏ nhất Khi đó toạ độ của điểm

M là:

2 5

2

3

T 

'( 1; 3;4)

B  

T  MA MB  MA MB  AB 

  P : x     y z 1 0

 1; 3;0 

A  B  5; 1; 2      P MA MB 

' ; ;

B x y z B  5; 1; 2   

' 1; 3; 4

B  

MA MB   MA MB   AB 

  P

'

AB

1 3 2

y

 



  



  



 ; ; 

M x y z

 2; 3; 6 

M  

1 2 1 2

  





 



Trang 13

A B C D.

Gọi là chu vi của tam giác thì

Vì không đổi nên nhỏ nhất khi và chỉ khi nhỏ nhất

Trong mặt phẳng tọa độ , ta xét hai vectơ và

Mặt khác, ta luôn có Như vậy

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi cùng hướng

Câu 25 Trong hệ trục tọa độ Oxyz cho A(1;2;3).Tìm cặp vecto chỉ phương của mặt (P) đi qua

A và khoảng cách từ O đến (P) là lớn nhất

Khoảng cách từ O đến mặt phẳng (P) lớn nhất khi OA vuông góc với mp(P) Khi đó là vecto pháp tuyến của mp(P)

vecto pháp tuyến của mp(P)

Câu 26 Phương trình của mặt phẳng nào sau đây đi qua điểm M(1; 2;3) và cắt ba tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A,B,C sao cho thể tích tứ diện OABC nhỏ nhất ?

A. 6 x  3 y  2 z  18  0 B. 6 x  3 y  3 z  21 0 

C. 6 x  3 y  3 z  21 0  D. 6 x  3 y  2 z  18  0

Phương trình của mặt phẳng nào sau đây đi qua điểm M(1; 2;3) và cắt ba tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A,B,C sao cho thể tích tứ diện OABC nhỏ nhất ?

Giải

Giả sử A a ( ;0;0), (0; ;0), (0;0; ) ( , , B b C c a b c  0)

 1;0; 2 





Oxy u3 ;2 5t  v   3t 6;2 5

   

2 2









| | | |

AM BM u v u v 6;4 5  |u v| 2 29

| |u | | |v u v| AM BM 2 29

,

3 6 2 5

 

t

t t

1;0; 2

 M minAMBM2 29 M1;0; 2 minP 2 11 29

1

2

( 3; 0;1)

(1;1; 1)

u

  







1

2

( 3; 0;1) (0; 1; 2)

u u

  







1

2

( 3; 0;1) (1; 0; 1)

u u

  







1

2

( 3; 0;1) (2;1; 0)

u u

  









(1; 2;3)

OA 

 ( 3;0;1), (1;1; 1)        ( 1; 2; 3) OA (1; 2;3) n    ( 1; 2; 3)

Trang 14

(ABC): x y z 1

a    b c (1)

M(1;2;3) thuộc (ABC): 1 2 3

1

Thể tích tứ diện OABC: 1

6

V  abc

Áp dụng BDT Côsi ta có: 1 2 3 3 6 27.6 1

6 abc V

Ta có: V đạt giá trị nhỏ nhất

3

1 2 3 1

3

9

a

a b c

c







        

 

 Vậy (ABC): 6 x  3 y  2 z  18  0

Câu 27 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(1; –2; 0), B(0; –1; 1), C(2; 1; – 1) và D(3; 1; 4) Hỏi có tất cả bao nhiêu mặt phẳng cách đều bốn điểm đó ?

Ta có: AB   ( 1;1;1); AC  (1;3; 1);  AD  (2;3; 4)

Khi đó: AB AC AD;   240 do vậy A,B,C,D không đồng phẳng

Do đó có 7 mặt phẳng cách đều 4 điểm đã cho bao gồm

+) Mặt phẳng qua trung điểm của AD và song song với mặt phẳng (ABC)

+) Mặt phẳng qua trung điểm của AB và song song với mặt phẳng (ACD)

+) Mặt phẳng đi qua trung điểm của AC và song song với mặt phẳng (ABD)

+) Mặt phẳng đi qua trung điểm của AB và song song với mặt phẳng (BCD)

+) Mặt phẳng qua trung điểm của AB và CD đồng thời song song với BC và AD

+) Mặt phẳng qua trung điểm của AD và BC đồng thời song song với AB và CD

+) Mặt phẳng qua trung điểm của AC và BD đồng thời song song với BC và AD

có thể tích lớn nhất

Ta có (S) suy ra (S) có tâm I(1;0;–1), bán kính

Và

(0;1;1), (1;0; 3), ( 1; 2; 3)

2 2 2

x  y  z  x  z  

1 4 5

; ;

7 4 1

; ;

3 3 3

(1; 1; 4); ( 1; 3; 4)

Định dạng
Số trang	16
Dung lượng	1,07 MB