Chương 5. Đại cương về chuỗi số

Các quy tắc khảo sát tính hội tụ của chuỗi số a Quy tắc d’Alembert.. Hội tụ tuyệt đối.. Bán hội tụ... Giới hạn S của {Sn} gọi là tổng của chuỗi... Định lý 1 Tiêu chuan Cauchy.. Định lý

Trang 1

Các so u1, u2, u3, tương ứng được gọi là so hạng thứ nhat, thứ hai, thứ ba, … củ a dãy và

un được gọi là so hạng tổng quát thứ n

Tong = ∑ = + + ⋯ + được gọi là tong riêng thứ n củ a chuo i so Như vậy

ta có dãy tong riêng S1, S2, , Sn,

Neu Sn → S khi n → , ta nói ra ng chuo ∑i so hội tụ và có tong là S, ngược lại ta nói chuo i phân kỳ

Hiệu Rn = S – Sn được gọi là phan dư (Remainder) thứ n củ a chuo i so

Neu chuo i so hội tụ thı̀ Rn → 0 khi n → ∞

Với q  1, đó là tong củ a cap so nhân vô hạn với công bội q Ta có

1 − Neu | | < 1 thı̀ | | → 0 hay → khi n → , do đó chuo i so hội tụ và có tong =

Neu |q| > 1 thı̀ |qn|  +  hay Sn   khi n  , vậy chuo i so phân kı̀

Với q = 1, Sn = n   khi n  , chuo i so phân kı̀

Với q = –1, chuo i so có dạng 1 – 1 + 1 – 1 + … Vı̀ Sn = 0 khi n cha n, Sn = 1 khi n lẻ , nên Sn

không dan đen một giới hạn hữu hạn khi n  , chuo i so phân kı̀

Tóm lại, chuo i so ∑ hội tụ khi |q| < 1, phân kı̀ khi |q|  1

Vı́ dụ, các chuo i sau đây là hội tụ:

Trang 2

5.1.3 Vài tính chất đơn giản của chuỗi số hội tụ

1) Neu chuo i so ∑ hội tụ và có tong u thı̀ chuo∑ i so , trong đó  là một ha ng

so, cũng hội tụ và có tong là u Nói khác đi, ∑ = ∑

thı̀ hai chuo i so ay đong thờ i hội tụ hoặ c đong thờ i phân kı̀

Ví dụ 1 Chuo ∑i ln 1 + phân kı̀ vı̀ lim → và chuo∑ i phân kı̀

Ví dụ 2 Chuo ∑i sin hội tụ vı̀ lim

→ = 1 và chuo∑ i hội tụ

5.2.2 Các quy tắc khảo sát tính hội tụ của chuỗi số

a) Quy tắc d’Alembert Cho chuo i so dương∑

Neu lim → = thı̀ chuo i so hội tụ khi D < 1, phân kı̀ khi D > 1

Ví dụ 3 Xét chuo i so

n

n 1

(n!)n

n



e nên chuo i hội tụ khi   1 và phân kı̀ khi  > 1

b) Quy tắc Cauchy Cho chuo i so dương n

Trang 3

Ví dụ 4 Xét chuo i so

n 2n 2

n 1

2sinn

Ta có

 

2 n

c) Quy tắc so sánh với tích phân

Giả sử hà m so dương f(x) liên tục và đơn điệu giả m trên khoả ng [1, + ), dan tới 0

 trong đó un = f(n), cù ng hội tụ

hoặ c cù ng phân kı̀

Ví dụ 5 Xét chuo i

n 1

1n







 ,  > 0 là ha ng so Chuo i đó được gọi là chuo i Riemann Ta so

sánh nó với tı́ch phân

1

dxx





 , vı̀ tı́ch phân ay hội tụ khi  >1, phân kı̀ khi   1, nên chuo i

Riemann hội tụ khi  >1, phân kı̀ khi   1

5.3 Chuỗi có số hạng với dấu bất kỳ

5.3.1 Hội tụ tuyệt đối Bán hội tụ

Trang 4

5.3.2 Chuỗi số đan dấu

Chuo i so đan dau là chuo i so có dạng (u1 – u2 + u3 – u4 + ), uk > 0

Rõ rà ng chı̉ can xét chuo i so đan dau với so hạng dau tiên dương: u1 – u2 + u3 – u4 + …

Định lý 2 (Leibniz) Neu các so hạng đơn điệu giả m và dan ve 0 thı̀ chuo i đan dau ∑ (−1) hội tụ và có tong bé hơn u1

Ví dụ 2 Xét chuo i đan dau

5.3.3 Vài tính chất của chuỗi số hội tụ tuyệt đối

Ta biet ra ng tong củ a một so hữu hạn các so có tı́nh giao hoán và tı́nh ket hợp: nó không thay đoi khi ta thay đoi thứ tự củ a các so hạng củ a nó hay khi ta nhóm một so hạng lại một cách tuỳ ý trước khi cộng Nhưng đieu đó không cò n đúng nữa đoi với các chuo i so hạng có dau bat kı̀

Ví dụ 3 Gọi S là tong củ a chuo i so hội tụ

n 1

( 1) n

n 1

( 1) 2n

Trang 5

Nhưng chuo i so (2*) lại suy ra từ chuo i (*) ba ng cách thay đoi thứ tự củ a các so hạng, tức là tong củ a nó đã thay đoi khi ta đoi thứ tự các so hạng củ a nó

Ví dụ 4 Xét chuo i đan dau bán hội tụ

n 1

( 1)n

Vậy tı́nh hội tụ củ a chuo i đã thay đoi khi ta đoi thứ tự và nhóm các so hạng

Tuy nhiên tı́nh chat giao hoán và tı́nh chat ket hợp va n đúng với các chuo i so hội tụ tuyệt đoi Ngườ i ta đã chứng minh được các tı́nh chat sau đây:

Tính chất 1 Với chuo i hội tụ tuyệt đoi, tı́nh hội tụ và tong củ a nó không thay đoi khi ta thay đoi thứ tự các so hạng và nhóm tuỳ ý một so so hạng

Với chuo i so bán hội tụ, ta có the thay đoi thứ tự củ a các so hạng củ a nó đe nhận được chuo i so hội tụ và có tong ba ng một so bat kı̀ cho trước, hoặ c trở nên phân kı̀

So n0 phụ thuộc  và nói chung phụ thuộc x Trong trườ ng hợp so n0 chı̉ phụ thuộc  mà

không phụ thuộc x  X, ta nói ra ng dãy hà m so {fn} hội tụ đeu trên X tới hà m so f

Định nghĩa 2 Dãy hàm số {fn} được gọi là hội tụ đều trên X tới hàm số f nếu

 > 0, n0()  N : fn(x) – f(x)  < , n  n0, x  X

Trang 6

Ve mặ t hı̀nh học, dãy {fn} hội tụ đeu trên đoạn [a, b] tới f neu đo thị củ a các hà m so fn(x) với

mọi n  n0 đeu na m trong “dả i”  bao quanh đo thị củ a f(x) trên đoạn [a, b] (Hı̀nh 0.1)

lim x

 Neu x = –1, không ton tại

nử a khoảng (–1, 1] và trên khoả ng ay

f(x) =  n

n

0 khi 1 x 1lim f

hà m gián đoạn, nên sự hội tụ là không đeu

Định lý 3 Giả sử dãy các hà m so {fn} liên tục và hội tụ đeu trên [a, b] tới f

Khi đó với x0 [a, b], ∫ ( ) hội tụ đeu trên [a, b] tới ∫ ( ) Đặ c biệt lim → ∫ ( ) = ∫ ( )

Trang 7

Định lý 4 Giả sử trên [a, b], dãy hàm số {fn} khả vi liên tục và hội tụ tới f, dãy các đạo

hàm {f ’n} hội tụ đều tới g Khi đó trên [a, b], hàm f khả vi và f ’(x) = g(x)

Tức là, (limfn(x))'= lim[fn'(x)]

5.5 Chuỗi hàm số

5.5.1 Hội tụ và hội tụ đều

Xét chuo ∑i ( ) mà các so hạng un(x) là những hàm so xác định trên tập X  R

Gọi ( ) là tong riêng thứ n củ a nó, ( ) = ∑ ( )

Định nghĩa 1 Chuỗi hàm số ∑∞ ( )

=1 được gọi là hội tụ tại điểm x0  X nếu dãy hàm số {Sn(x)} hội tụ tại điểm x0, và được gọi là hội tụ trên tập X nếu nó hội tụ tại mọi điểm x0  X Giới hạn S của {Sn} gọi là tổng của chuỗi

Ví dụ 1 Xét chuo i hàm so 1 + x + x2 + + xn + = 1

1

n n

Ví dụ 2 Xét chuo i hà m so ∑

Ta có < x  R Mà chuo∑ i hội tụ nên chuo i đã cho hội tụ tuyệt đoi theo dau hiệu so sánh

Ví dụ 3 Chuo i hà m so ∑ hội tụ khi x > 1, phân kı̀ khi x  1

Vậy mien hội tụ củ a nó là khoả ng (1, + )

Ví dụ 4 Xét chuo i hà m so ∑

! = 1 +

!+

! + ⋯ +

!+ ⋯ Rõ rà ng nó hội tụ tại x = 0 Neu x  0, ta áp dụng quy ta c d'Alembert và o chuo i có các so hạng dương ∑ | |

Ví dụ 5 Xét chuo i hà m so ∑ ( )

Đây là chuo i đan dau thoả mãn các đieu kiện củ a định lý Leibniz, nên nó hội tụ với mọi x  R Phan dư thứ n củ a nó cũng là một chuo i đan dau nên có tong ve trị tuyệt đoi bé thua trị tuyệt đoi củ a so hạng đau tiên củ a nó, tức là | ( ) − ( )| < <

Neu < , tức là > − 1 thı̀ | ( ) − ( )| <

Vậy ta có the chọn = (phan nguyên), rõ rà ng n0 không phụ thuộc và o x

Do đó chuo i đang xét hội tụ đeu trên R

Trang 8

5.5.2 Tiêu chuẩn hội tụ đều của chuỗi hàm số

Từ định nghı̃a hội tụ đeu củ a chuo i hà m so và tiêu chuan Cauchy ve hội tụ đeu củ a dãy hà m so, ta suy ra tiêu chuan Cauchy ve sự hội tụ đeu củ a chuo i hà m so

Định lý 1 (Tiêu chuan Cauchy) Chuo i hà m so ∑ ( ) hội tụ đeu trên X khi và chı̉ khi

 > 0, n0() N* : |Sn(x) – Sm(x)| <  n > m  n0, x  X

Định lý 2 (Tiêu chuan Weiertrass) Cho chuo i hà m so ∑ u (x)

Neu |un(x)|  an n  N*, x  X và neu ∑ hội tụ thı̀ chuo i hội tụ đeu trên X

Ví dụ 6 Chuo i hà m so ∑ hội tụ tuyệt đoi và đeu trên R vı̀

√ n, x  [–1, 1] và chuo∑ i / hội tụ

5.5.3 Tính chất của các chuỗi hàm số hội tụ đều

Từ tı́nh chat củ a dãy hà m so hội tụ đeu ta suy ra các tı́nh chat củ a chuo i hà m hội tụ đeu

Ta biet ra ng tong củ a một so hữu hạn các hà m so liên tục là một hà m so liên tục, đạo hàm (hoặ c tı́ch phân) củ a tong củ a một so hữu hạn hà m so ba ng tong đạo hà m (hoặ c tı́ch phân) củ a mo i so hạng

Đoi với các chuo i hà m so, các tı́nh chat ay nói chung không cò n đúng nữa, nhưng các tı́nh

chat ay va n đúng đoi với các chuo i hà m so hội tụ đeu

Định lý 3 Cho chuỗi hàm số ∑ ( ) Trên miền I, nếu các số hạng un cùng liên tục và

Với x = 0, chuo i hà m so đã cho hội tụ và có tong là S(0) = 0

Với x = 2, chuo i ∑ (1 − ) phân kỳ nên chuo i ∑ (1 − ) phân kỳ Vậy chuo i hàm

Định lý 4 Trên [a, b], nếu các số hạng un(x) cùng liên tục và chuỗi hàm số ∑ ( ) hội

tụ đều tới S(x) thì ∫ ( ) = ∑ ∫ ( )

Trang 9

Định lý 5 Giả sử trên (a, b), các số hạng ( ) liên tục cùng với đạo hàm của chúng và

chuỗi hàm số ∑ ( ) hội tụ tới S(x), còn chuỗi hàm số ∑ ( ) hội tụ đều

thì tổng S(x) khả vi và ′( ) = ∑∞ ′ ( )

=1

Ví dụ 9 Xét chuo i hà m so ∑ ( ) = ∑

Vı̀ | ( )| < n, x  R và chuo∑ i hội tụ nên chuo i đã cho hội tụ tuyệt đoi và

đeu trên R Gọi S(x) là tong củ a nó thı̀ S(x) là một hà m so liên tục

Vı̀ ′ ( ) = mà chuo∑ i hội tụ đeu trên R nên theo định lý trên ta có

5.6 Chuỗi luỹ thừa

5.6.1 Chuỗi luỹ thừa Bán kính hội tụ

Chuo i luỹ thừ a là chuo i hà m so có dạng

Van đe cơ bả n đau tiên khi khả o sát một chuo i luỹ thừ a là xác định mien hội tụ củ a nó

Định lý 1 (Abel) Nếu chuỗi luỹ thừa hội tụ tại x0  0 thì nó hội tụ tuyệt đối tại mọi x với |x| < |x0|

Hệ quả 1 Neu chuo i luỹ thừ a phân kı̀ tại x = x1 thı̀ nó phân kı̀ tại mọi |x| > |x1|

Rõ ràng chuo i luỹ thừ a luôn hội tụ tại x = 0

Từ định lý Abel suy ra ra ng ton tại một so R (0  R < + ) sao cho chuo i luỹ thừ a hội tụ

5.6.2 Quy tắc tìm bán kính hội tụ của chuỗi luỹ thừa

Định lý 2 Nếu lim → =  hoặc lim → | | =  thì bán kính hội tụ R của chuỗi luỹ

Ta có lim → = lim → = 1  R = 1 Chuo i đã cho hội tụ trong khoảng (–1, 1)

Tại x = 1: ta có chuo 1 + + + ⋯, đó là chuoi i đieu hoà , phân kı̀

Tại x = –1 ta có chuo −1 + − + ⋯, đó là chuoi i đan dau, hội tụ

Trang 10

Vậy mien hội tụ củ a chuo i cho là [–1, 1)

Tại x = 1: ∑ phân kı̀ vı̀ = → khi n  

Tại x = –1: ∑ có so hạng tong quát không dan tới 0 khi n  nên chuo i phân kı̀

Tính chất 3 Có the lay tı́ch phân từ ng so hạng chuo i luỹ thừ a trên mọi đoạn [a, b] na m

trong khoả ng hội tụ củ a nó, tức là ∫ (∑ ) = ∑ ∫

Đặ c biệt,∀ ∈ (− , )

Tính chất 4 Có the lay đạo hà m từ ng so hạng chuo i luỹ thừ a tại mọi điem na m trong

5.6.4 Khai triển một hàm số thành chuỗi luỹ thừa

De rà ng thay ra ng chuo i luỹ thừ a ∑ hội tụ tuyệt đoi trong khoả ng (–1, 1) và tong

củ a nó là hà m so sơ cap

Van đe đặ t ra là với đieu kiện nà o hà m so f(x) có the khai trien thà nh một chuo i luỹ thừ a

Trang 11

 Giả sử hà m so f(x) có đạo hà m mọi cap trong một lân cận củ a x0 và có the bieu die n

được dưới dạng tong củ a một chuo i luỹ thừ a trong lân cận ay, tức là

f(x) = a0 + a1(x – x0) + a2(x – x0)2 + + an(x – x0)n + ,

trong đó ak là những ha ng so Theo tı́nh chat 4 củ a chuo i luỹ thừ a ta có:

Chuo i này được gọi là chuo i Mac Laurin củ a hà m so f(x)

Do đó, neu hà m so f(x) có đạo hà m mọi cap và có the bieu die n được dưới dạng tong củ a một chuo i luỹ thừ a trong một lân cận nà o đó củ a điem x0 thı̀ chuo i luỹ thừ a đó phả i là chuo i Taylor củ a hà m so đó trong lân cận ay

Bây giờ ta xét neu hàm so f(x) có đạo hàm mọi cap trong một lân cận nào đó củ a điem x0, thı̀ với đieu kiện nà o tong củ a chuo i Taylor củ a nó ba ng f(x)

Theo công thức Taylor, neu hà m so f(x) có đạo hà m đen cap (n + 1) trong lân cận điem x0 thı̀

Trang 12

5.6.5 Khai triển một số hàm sơ cấp thành chuỗi luỹ thừa

 f(x) = ex: hà m so ex có đạo hà m mọi cap và đạo hà m ay đeu ba ng ex trong (–, + ), và f(0) = f '(0) = = f(n)(0) = = 1 Vậy chuo i Mac Laurin tương ứng là

Ngườ i ta chứng minh được ra ng chuo i Mac Laurin củ a hà m so (1 + x) hội tụ ve chı́nh hà m so ay trong mien hội tụ đó

Trang 13

 ( )= arctan : Vı̀ (arctan ) = nên trong khai trien củ a (1 + ) , ta thay x bở i x2 và

α = –1, ta nhận được:

Tı́ch phân từ ng từ ta có:

Vı̀ chuo i này hội tụ tại x = 1 nên khai trien đúng trên đoạn [–1, 1]

5.6.6 Ứng dụng chuỗi luỹ thừa để tính gần đúng

 Tính gần đúng giá trị của hàm số tại một điểm

Ta sử dụng công thức sau đe tı́nh gan đúng ( ) trong mien hội tụ củ a chuo i:

!+

!+ ⋯ +

! và sai so ma c phả i là | (1)| =( )!, với 0 <  < 1 Do đó | (1)| <( )!

Đe đạt độ chı́nh xác 10–5, chı̉ tı̀m n sao cho

( )!< 10 Thử trực tiep ta thay ra ng chı̉ can lay n = 8 Vậy ≈ 1 +

! + ⋯ Theo định lý Leibniz, neu ta lay 3 so hạng đau thı̀ sai so phạm phả i bé thua trị tuyệt đoi củ a so hạng thứ 4 là

! = = 10

! = 0.4644, độ chı́nh xác là 10–3 5.7 Chuỗi Fourier

5.7.1 Chuỗi Fourier

Trong cơ học, vật lý, kỹ thuật điện, vv ta thườ ng gặ p những hiện tượng được mô tả bở i những hà m tuan hoà n Những hà m so tuan hoà n đơn giả n nhat là

Trang 14

sin( + ) , = 1, 2, … Các hà m này bieu die n những dao động đieu hoà với biên độ An, chu kı̀ =

Van đe là , khai trien được hay không hà m so g(t) tuan hoà n với chu kỳ = 2 / dưới

Đặ t ( ) = = ( ) thı̀ là một hà m so tuan hoà n với chu kı̀ 2, khai trien trên

Nhận xét Với mọi so nguyên p và k, ta có các hệ thức

 ∫ sin = 0 (Tı́ch phân hà m lẻ trên mien đoi xứng)

 ∫ cos sin = 0 (Tı́ch phân hà m lẻ trên mien đoi xứng)

5.7.2 Khai triển hàm tuần hoàn chu kỳ 2π thành chuỗi Fourier

Giả sử tuan hoà n chu kı̀ 2, khả tı́ch trên đoạn [–, ] có the khai trien thà nh chuo i lượng giác,

( ) =

2 + cos + sin (∗) Lay tı́ch phân hai đa ng thức (*) ve trên mien [− , ], chú ý đen nhận xét trên, ta có

1( ) Nhân hai ve đa ng thức (*) với cos roi lay tı́ch phân trên mien [− , ], ta có

Neu f(x) là một hà m lẻ thı̀ ( ) cos là hà m lẻ cò n ( ) sin là hà m cha n, do đó

Trang 15

= 0, = 0, 1, 2, … = ∫ ( ) sin

Ví dụ 1 Khai trien hà m ( ) = sin + cos thà nh chuo i Fourier

Lời giải Ta có ( ) tuan hoà n chu kỳ 2π

Với k = 2, từ (*) ta có = ∫ cos 2 + cos 4 + =

= ∫ [cos( − 1) − cos( + 1) ] (2 ∗)

= sin( − 1) − sin( + 1) = 0 ( ≠ 1)

Với k = 1, từ (2*) ta có = ∫ [1 − cos 2 ] = 1

Vậy, chuo i Fourier củ a ( ) = sin + cos là

( ) = sin + cos = + sin + cos 2 = + sin + cos 2

Nhận xét Với các bieu thức lượng giác, chúng ta chı̉ can bien đoi ve dạng tong củ a các hà m sine và cosine là nhận được khai trien Fourier

5.7.3 Điều kiện đủ để hàm số khai triển được thành chuỗi Fourier

[a, b] Gọi an, bn tương ứng là các hệ số Fourier và Sn(x) là tổng riêng thứ n Khi đó

xy

x y

Liên tục từng khúc Đơn điệu từng khúc

Định dạng
Số trang	22
Dung lượng	353,26 KB