Chương 3. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN

Vậy khai trien Mac Laurin là Ứng dụng của các định lý về giá trị trung bình Khử dạng vô định quy tắc l'Hôpital Ký hiệu lim thay the cho mộ t trong các lim → , lim →... Ví dụ 4

Trang 1

Chương 3 ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN

1 Tiếp tuyến

Giả sử đường cong C có phương trı̀nh = ( ) Đe tı̀m tiep tuyen của đường cong tạ i

điem ( , ( )) ∈ C, ta xét điem ( , ( )) với x ≠ a, và độ doc của cát tuyen là

−Khi x da n tới a thı̀ điem Q da n tới điem P dọ c theo đường cong C Neu da n tới m

thı̀ ta định nghı̃a tiep tuyen t của đường cong C tạ i điem P là đường tha ng đi qua P với độ

doc m Ta cũ ng có the xem ra ng đường tiep tuyen chı́nh là vị trı́ giới hạ n của đường cát

Định nghĩa 1 Tiep tuyen của đường cong = ( ) tạ i điem ( , ( )) là đường tha ng đi

qua

→

( ) ( ) , giả thiet giới hạ n này to n tạ i

A p dụ ng ta nhậ n đượ c phương trı̀nh tiep tuyen là − 1 = 2( − 1), hay = 2 − 1

Ta thường xem độ doc của đường tiep tuyen cũ ng chı́nh là độ doc của đường cong tạ i

sát thı̀ ta thay nó không khác gı̀ tiep tuyen của nó tạ i điem đó

Trong Định nghı̃a 1, neu chúng ta đặ t ℎ = − thı̀ độ doc trong Định nghı̃a 1 trở thành

Trang 2

= lim

→

( + ℎ) − ( )

ℎ

−1

13Vậy phương trı̀nh đường tiep tuyen là

− 1 = − ( − 3), hay + 3 − 6 = 0

Vận tốc

trı̀nh = ( ), trong đó s là độ dài quã ng đường từ goc tọ a độ đen điem ứng với thời gian t Hàm f mô tả chuyen độ ng như the còn đượ c gọ i là hàm vị trı́ của đoi tượ ng Trong khoảng thời gian t = a đen t = a + h, sự thay đoi vị trı́ sẽ là ( + ℎ) − ( ) Vận toc trung bı̀nh trong

khoảng thời gian này là

( + ℎ) − ( )ℎ

Nó tương tự như độ doc của đường cát tuyen trong hı̀nh bên phải dưới đây

Vậ n toc (hay vậ n toc tức thời) của chuyen độ ng tạ i thời điem t = a, v(a), chı́nh là giới

( ) = lim

→

( + ℎ) − ( )

ℎNghı̃a là, vậ n toc tức thời v(a) ba ng độ doc của tiep tuyen tạ i điem P

(a) Vậ n toc của quả bóng sau 5 giây đượ c thả

(b) Vậ n toc của quả bóng khi nó chạ m mặ t đat

Trang 3

Tạ i thời điem t = a bat kỳ thı̀

(b) Gọ i t1 là thời điem quả bóng chạ m đat Do đài quan sát cách mặ t đat 450m nên

. ( ) » 9.6( ) Tức là quả bóng chạ m đat sau 9.6 giây Tạ i thời điem đó vậ n toc của nó là

Khi đó ta nói "hàm f có đạo hàm tại điểm a" hoặ c ta nói " hàm f khả vi tại điểm a"

Ve bản chat, đạ o hàm ′( ) bieu thị toc độ thay đoi của ( ) theo bien x tạ i x = a

Vı́ dụ như toc độ phản ứng trong hóa họ c, toc độ tă ng lợ i nhuậ n trong kinh te vv … Neu đặ t = + ℎ thı̀ công thức trên đượ c viet lạ i dưới dạ ng ( ) = lim

→

( ) ( )

Ta thay ra ng, đây cũ ng chı́nh là độ doc của tiep tuyen của = ( ) tạ i điem ( , ( )),

vı̀ vậy phương trı̀nh của tiep tuyen tạ i đó đượ c viet lạ i dưới dạ ng − ( ) = ′( )( − )

(d) Với a > 0: Trong lân cậ n đủ nhỏ của điem a thı̀ ( ) = , và ( ) =

Trang 4

Do đó không to n tạ i đạ o hàm tạ i x = 0

Định nghĩa 3 Đạ o hàm trái của hàm tạ i a, ký hiệu ′( ), là lim

→

( ) ( )

(neu to n tạ i) Đạ o hàm phải của hàm tạ i a, ký hiệu ′( ), là lim

Với Δx là so gia của x tạ i a, neu so gia Δ viet đượ c dưới dạ ng Δ = Δ + (Δ ),

trong đó A là ha ng so không phụ thuộ c vào Δx, còn α(Δx) là vô cùng bé bậ c cao hơn Δ x, thı̀

bieu thức Δ đượ c gọ i là vi phân của hàm f tạ i x = a, ký hiệu là df, tức = Δ

Cho Δx → 0, giới hạ n của ve trái chı́nh là đạ o hàm ′ tạ i a, còn giới hạ n của ve phải thı̀

Đặ c biệt, khi ( ) = thı̀ tại = , ta có

Vậy ba ng 1 và α(Δx) ba ng 0, tức vi phân của ( ) = chı́nh là Δx, hay = Δ

Tong quát, với bien độ c lậ p thı̀ vi phân của nó trùng với so gia của nó, và

Trang 5

Đạo hàm của các hàm cơ bản

Chúng ta sử dụ ng định nghı̃a đe tı́nh đạ o hàm của mộ t so hàm sơ cap cơ bản

Vậy (sin ) = cos

Định lý 1 Giả sử f và g là các hàm khả vi, khi đó

Ta áp dụ ng kha ng định (d) đe tı̀m đạ o hàm của tan và cot

Định lý 2 (Đạo hàm hàm hợp) Giả sử ( ) = ( ( )) Neu f khả vi tạ i x = a và g khả vi

tạ i f(a) thı̀ u khả vi tạ i x = a và ( ) = ( ) ′( )

Trang 6

Ví dụ 3 ( ) = , ( ) = Khi đó ( ) = ( ) = ( ) = ( ) =

Định lý 3 (Đạo hàm hàm ngược) Giả sử từ y = f(x) giải ra đượ c x = g(y) Khi đó neu

f '(x0)  0 thı̀ g(y) có đạ o hàm (theo bien y) tạ i y0 = f(x0) và ( ) =

( )

Lời giải Hàm = arcsin xác định trên [−1, 1] và có giá trị trên mie[− , ] n

√

Lời giải Hàm = arccos xác định trên [−1, 1] và có mie n giá trị là [0, π]

√ Định lý 4 (Đạ o hàm theo tham so) Giả sử x = f(t), y = g(t) là các hàm khả vi theo t  (, ) và f '(t)  0 Neu to n tạ i hàm ngượ c t = f–1(x) thı̀ y là hàm của x Khi đó ta có the lay đạ o hàm của y theo x, y'(x) = dy g '(t)

dx f '(t)

Ví dụ 6 Cho x = cos3t, y = sin3t, với t  (0, ) Tı̀m y'(x)

Lời giải Đo thị của x = cos3t như hı̀nh dưới

Trên (0, ) hàm x = cos3t là song ánh nên to n tạ i hàm ngượ c ( ) = √arccos

Vı̀ dy = 3sin2tcostdt, dx = 3cos2tsintdt, nên

Neu to n tạ i giới hạ n ( ) = lim

→

( ) ( )

thı̀ ta nói "hàm f có đạo hàm tại điểm x"

hoặ c ta nói "hàm f khả vi tại điểm x" Như vậy, neu to n tạ i thı̀ đạ o hàm ′ cũ ng là mộ t hàm của bien x, và do đó neu to n tạ i đạ o hàm của ′ thı̀ gọ i là đạo hàm cấp hai của hàm , ký hiệu

"

Đạo hàm cấp cao

Đạ o hàm cap n của hàm f tạ i điem x đượ c ký hiệu là ( )( ) hoặ c ( )

Quy ước đạ o hàm cap 0 chı́nh là hàm, tức ( )( ) = ( )

(f) α là so tự nhiên

Trang 7

= , " = ( − 1) , ( ) = ( − 1) … 2.1 = ! ( ) = 0 với k > α (g) α là so thự c bat kỳ khác 0 và nhỏ hơn 1 Mie n xác định của hàm là x > 0

Định lý 1 Giả sử các hàm f và g có đạ o hàm đen cap n Khi đó

( )

=

( )+

( )

( ) + (−1) !

( )

Trang 8

Theo Vı́ dụ 5, ta đượ c

Vi phân cấp cao

Vi phân của vi phân cap mộ t đượ c gọ i là vi phân cap 2 Vi phâ của vi phân cap n – 1 của

hàm f đượ c gọ i là vi phân cap n, ký hiệu dnf, đượ c xác định theo công thức =

( )( )

Tính bất biến của vi phân cấp 1

Xét hàm = ( ) Với x là bien độ c lậ p, ta có = ( )

Neu x phụ thuộ c t, x = g(t) và to n tạ i g'(t) thı̀ theo công thức đạ o hàm hàm hợ p ta có

Vi phân cấp cao không có tính bất biến

Định nghĩa 1 Giả sử điem c thuộ c mie n xác định của hàm f Ta nói

 f(x) đạ t cự c tieu tạ i c neu to n tạ i lân cậ n của c đe trong đó f(c)  f(x)

 f(x) đạ t cự c đạ i tạ i c neu to n tạ i lân cậ n của c đe trong đó f(c)  f(x)

Ta nói f(x) đạ t cự c trị tạ i c neu f(x) đạ t cự c đạ i hay cự c tieu tạ i đó

Định lý 1 (Định lý Fermat) Neu f(x) đạ t cự c trị tạ i c và khả vi tạ i c thı̀ f '(c) = 0

Y nghı̃a hı̀nh họ c: Tiep tuyen (neu có) của đường cong tạ i các điem cự c trị là nhữ ng đường na m ngang

Định lý 2 (Định lý Rolle): Giả sử f(x) liên tụ c trên [a, b] và khả vi trong (a, b)

Neu f(a) = f(b) thı̀ to n tạ i c  (a, b) sao cho f '(c) = 0

Định lý 3 (So gia hữ u hạ n Lagrange) Giả sử f(x) liên tụ c trong [a, b], khả vi trong (a, b),

Y nghı̃a hı̀nh họ c: To n tạ i điem c ∈ (a, b) sao cho tiep tuyen tạ i đó của đường cong song song với cát tuyen

noi hai điem A(a, f(a)) và B(b, f(b))

Trang 9

Định lý 4 (Định lý Cauchy) Giả sử f và g liên tụ c trong [a, b] và khả vi trong (a, b) Khi đó

Công thức Taylor

Trong công thức so gia hữ u hạ n Lagrange, neu thay a bởi x và b = x + Δx thı̀ điem c sẽ thuộ c (x, x + Δx) Vı̀ vậy c = x + θΔx với 0 < θ < 1 Khi đó ta nhậ n đượ c

Có nghı̃a là, trong lân cậ n đủ nhỏ của điem x, giá trị của hàm f có the xác định thông

qua giá trị của f(x) và giá trị của đạ o hàm cap mộ t ′

Van đe đặ t ra là, liệu có the tı́nh chı́nh xác hơn các giá trị của f trong lân cậ n của x neu

biet thêm các giá trị của các đạ o hàm cap cao của f tạ i lân cậ n đó?

Công thức Taylor

Giả sử hàm f liên tụ c trong [a, b], khả vi liên tụ c đen cap n +1 trong (a, b)

Giả sử c ∈ (a, b) Ta ca n tı̀m đa thức Pn(x) bậ c không quá n sao cho

( )= ( )

( ) = ( ) ( )

( ) ( ) Cứ như the, ta nhậ n đượ c ( )

Trang 10

Các công thức trên còn đượ c gọ i là các khai trien hữ u hạ n Neu hàm f khả vi vô hạ n, ta

nhậ n đượ c các khai trien vô hạ n:

Chú ý: Ta cũ ng có the nhậ n đượ c khai trien Mac Laurin của hàm ( ) = ba ng cách

Trang 11

Vậy khai trien Mac Laurin là

Ứng dụng của các định lý về giá trị trung bình

Khử dạng vô định (quy tắc l'Hôpital)

Ký hiệu lim thay the cho mộ t trong các lim → , lim

→ Định lý 1 (quy ta c l'Hôpital thứ nhat) Giả sử hai hàm so f(x) và g(x) khả vi trong lân cậ n

( )= (hữ u hạ n hoặ c vô hạ n) thı̀ lim ( )

( )=

ta c thứ nhat cho ′( ) và ′( ), tức là xét giới hạ n của ( )

( )

nhat cho ′′( ) và ′′( ), tức là tı̀m giới hạ n của ( )

( )

Ta có ( )

Định lý 2 (quy ta c l'Hôpital thứ hai) Giả sử hai hàm so f(x) và g(x) khả vi trong lân cậ n

nào đó của điem x = a, có the trừ tạ i x = a, đo ng thời lim ( ) = lim ( ) =

Trang 12

Lời giải Vı̀ ( ) = ln và ( ) = cùng da n ve ∞ khi x → ∞ nên ta áp dụ ng quy ta c thứ hai Khi x → ∞ thı̀ ( )

Ta sẽ đưa ve dạ ng ba ng cách viet , và đặ t ( ) = − 4, ( ) = cot

Vı̀ ( )

Chú ý Đie u kiện tolim n tạ i ( )

( ) là rat quan trọ ng Ta đưa ra vı́ dụ sau đây chứng tỏ ra ng, mặ c dù lim ( )

( ) không to n tạ i, nhưng lim ( )

( ) va n to n tạ i

Sử dụng khai triển hữu hạn để tìm giới hạn

( ) khi x → 0

Lời giải Ta ký hiệu ( ( )) là vô cùng bé bậ c cao hơn ( ) trong cùng mộ t quá trı̀nh

nào đó Theo khai trien Mac Laurin thı̀

! +

! + ( ) cos = 1 −

!+

!+ ( ) Khi đó, ( ) = ! ( )

Nhận xét Với quy ta c l'Hoopital thứ nhat, ta phải áp dụ ng tới 4 la n liên tiep

Trang 13

( ) = sin − 2 + cos → 0, ( ) = 2(1 − cos ) sin = 2 sin − sin 2 → 0

( ) ( ) = 1 − ( ) ( ) = ( ) ℎ( ) = | |

Lời giải

(k) Với x < 0 thı̀ ℎ( ) = − nên ℎ ( ) = −1 Với x > 0 thı̀ ℎ( ) = nên ℎ ( ) = 1

Đạ o hàm đoi dau từ âm sang dương nên ℎ( ) đạ t cự c đạ i tạ i x = 0

Định lý 2 Giả sử f(x) khả vi đen cap n tạ i lân cậ n điem c và

a) neu n cha n thı̀ ( ) đạ t cự c trị tạ i c, cụ the:

o cự c đạ i tạ i c khi ( )( ) < 0,

o cự c tieu tạ i c khi ( )( ) > 0,

b) neu n lẻ thı̀ ( ) không là cự c trị

ℎ (0) = 0, ℎ (0) = 2 > 0, vậy ℎ(0) là cự c tieu

Trang 14

Khảo sát hàm số trong tọa độ Descartes

Đe khảo sát hàm so = ( ), ta thự c hiện theo các bước sau đây

1 Tı̀m mie n xác định, nhậ n xét ve tı́nh cha n, lẻ hoặc tua n hoàn của hàm so (neu có)

2 Chie u bien thiên: tı̀m khoảng tă ng, giảm của hàm so ba ng cách tı̀m nghiệm của phương trı̀nh ( ) = 0, nhậ n đượ c các điem , tı́nh các giá trị ( )

3 Tı̀m các giới hạ n của ( ) khi x → ±∞ và tiệm cậ n (neu có)

4 Lậ p bảng bien thiên

3 Tiệm cậ n đứng là x = 1

Ta tı̀m tiệm cậ n xiên dạ ng y = kx + b khi x  

Trang 15

4 Bảng bien thiên

Khảo sát đường cong cho bởi phương trình tham số

a) Phương trình tham số của đường cong

Cho hệ hai phương trı̀nh

Với mo i t(, ), hệ (*) cho nghiệm (x, y) Khi t bien thiên từ  đen , tậ p các điem M(x, y)

vẽ lên mộ t đường cong C trong R2 Ta xem C là đo thị của mộ t quan hệ hàm so giữ a x với y, và gọ i (*) là phương trı̀nh tham so của đường cong C

Ví dụ 4 Phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua hai điểm A(xA, yA) và B(xB, yB)

Đây chính là phương trình tham số của đường cong đi qua A(xA, yA) và B(xB, yB)

Neu hạ n che t  [0, 1], ta nhậ n đượ c phương trı̀nh tham so của đoạ n tha ng AB

Trong các phương trı̀nh trên, có the hoán đoi xA với xB và yA với yB

Ví dụ 5 Phương trı̀nh chı́nh ta c của đường tròn tâm C(xC, yC) bán kı́nh R là

(x – xC)2 + (y – yC)2 = R2 Với t  [0, 2], đặ t x = xC + Rcost và y = yC + Rsint

Vậy phương trı̀nh tham so của đường tròn đó là

1 2

1

O –12 32

3 3 2

x y

Trang 16

= + cos

Ví dụ 6 Phương trı̀nh chı́nh ta c của ellipse tâm C(xC, yC) với bán trụ c a và b là

so của đường ellipse đó là

với goc toạ độ O Xét mộ t vị trı́ mới M(x, y) của điem đượ c chọ n, tiep điem lúc đó của đường tròn với đường tha ng là N, tâm đường tròn là D, ta có NM = ON Đặ t t = NDM , ta nhậ n

b) Khảo sát đường cong cho dưới dạng tham số

Các bước khảo sát đường cong cho dưới dạ ng tham so ga n giong như các bước khảo sát

đường cong cho trong toạ độ Descartes

1 Tìm miền xác định, nhận xét tính chẵn, lẻ hoặc tuần hoàn của x = x(t) và y = y(t)

2 Chie u bien thiên: giải độ c lậ p từng phương trı̀nh ( ) = 0, ( ) = 0 tı̀m đượ c các

giá trị tk, tı́nh các giá trị ( ), ( )

3 Tiệm cậ n: xét quá trı̀nh t  t0 hoặ c t  

 Neu x(t)  a (hữ u hạ n) và y(t)   thı̀ có tiệm cậ n đứng là x = a

 Neu x(t)   và y(t)  b (hữ u hạ n) thı̀ có tiệm cậ n ngang là y = b

y

x

a

Trang 17

4 Lậ p bảng bien thiên của các hàm x(t) và y(t): Đe tă ng độ chı́nh xác ve dáng điệu của đường cong, ta phải tham khảo thêm giá trị của ( ) = ′( )/ ′( )

3 3

1 Dễ thấy x(t) là hàm chẵn, y(t) là hàm lẻ, cả hai cùng tuần hoàn chu kỳ 2 Vì vậy ta chỉ cần

khảo sát trên nửa chu kỳ là miền [0, ]

2 Chie u bien thiên:

3 Tiệm cậ n: do |x(t)|  a và |y(t)|  a nên không có tiệm cậ n

4 Bảng bien thiên

Dự a vào bảng bien thiên, ta vẽ đượ c pha n đo thị ứng với y ≥

0

Do ( ) là hàm cha n và ( ) là hàm lẻ nên với giá trị của t

thuộ c nửa chu kỳ [− , 0] thı̀ ( ) không đoi, còn ( ) đoi dau,

qua trụ c hoành

Khảo sát đường cong trong toạ độ cực

a) Hệ toạ độ cực

Trang 18

Hệ toạ độ cự c go m mộ t điem co định O (goc cự c) và mộ t trụ c chứa mộ t véc tơ đơn vị (trụ c cự c)

⃗ đượ c gọ i là bán kı́nh véc tơ Ký hiệu r là độ dài của ⃗, gọ i

là bán kı́nh cự c, và α là góc tạ o bởi trụ c cự c với ⃗

Khi đó, điem M hoàn toàn đượ c xác định bởi cặ p (r, φ) và ta gọ i đó là tọ a độ cự c của

điem M Giá trị của  là dương hay âm phụ thuộ c chie u quay của OP



đen trùng với OM



là

chie u dương hay chie u âm

mộ t đượ c cặ p so (r, ) và ngượ c lạ i Riêng điem O thı̀ có r = 0, còn  thı̀ tuỳ ý

Đe thay moi quan hệ giữ a hệ toạ độ cự c với hệ trụ c toạ độ Descartes, ta ga n thêm mộ t hệ trụ c toạ độ Descartes, có goc toạ độ trùng với goc cự c và có trụ c hoành cùng phương

chie u với OP

Xét điem M có toạ độ (x, y) trong hệ trụ c trụ c toạ đo Descartes

Ta có các moi liên hệ sau:

= cos

Công thức (*) xác định duy nhat (x, y) khi biet (r, φ)

Từ (*) ta có the giải ra r và φ

Công thức (2*) xác định duy nhat r và hai giá trị  khi biet x và y, nhưng ta chọ n  sao cho

sin cùng dau với y vı̀ = sin

Sự mở rộng Ta có the mở rộ ng đe r có the nhậ n giá trị âm Điem M tương ứng với cặ p ( , )

đượ c xác định như sau: Vẽ mộ t tia (nửa đường tha ng có xác định hướng dương) làm với trụ c cự c mộ t góc φ, điem M sẽ na m trên tia này và cách goc cự c mộ t khoảng ba ng | | Neu r > 0 thı̀ điem M na m ve phı́a dương

của tia, neu r < 0 thı̀ điem M na m ve phı́a âm của tia Vı́ dụ , với điem (1,

1) trong tọ a độ Descartes thı̀ tọ a độ cự c ( , ) của nó có the lay là

Định dạng
Số trang	21
Dung lượng	699,13 KB