Chuong 1 Dao ham va vi phan ham nhieu bien

Một vài nhận xét : Nếu dãy hội tụ thì giới hạn của nó là duy nhất..  Nếu dãy hội tụ đến a thì mọi dãy con của nó cũng hội tụ đến a... Tập A gọi là tập đóng nếu A chứa tất cả các điểm b

Chương 1 : Đạo hàm và vi phân của hàm nhiều biến

2) Giới hạn của dãy trong R n :

Cho dãy  ak  n, dãy gọi là hội tụ đến a   nếu :n

Một vài nhận xét :

 Nếu dãy hội tụ thì giới hạn của nó là duy nhất

 Nếu dãy hội tụ đến a thì mọi dãy con của nó cũng hội tụ đến a

 Dãy  a gọi là dãy Cauchy nếu k  0 k, o, ,k m k o : ak  am  

Ta nói  a trong k n

 hội tụ  nó là dãy Cauchy

 Nếu  a là dãy Cauchy và có 1 dãy con hội tụ đến a thì k ak  a

Định lý 2 : Cho dãy  ak n,an, đặt

3) Vài khái niệm Tôpô trong R n :

Cho an và  0, ta gọi B a   xn : x a   là  _ lân cận của điểm a

(hình cầu tâm a, bán kính )

B a'  x : x a 

Cho tập con A   vàn a  n

 Điểm a gọi là điểm trong của A nếu  0 sao cho B a  A

 Điểm a gọi là điểm ngoài của A nếu  0 sao cho

B a A  (hoặc B a A )

 Điểm a gọi là điểm biên của A nếu  0 B a,   A  và B a  AC Mỗi điểm a   là một và chỉ một trong 3 loại điểm nói trên của tập A.n

Tập tất cả các điểm biên của A, ký hiệu là A và gọi là biên của A

Tập A gọi là tập mở nếu  a A đều là điểm trong của A Nói cách khác :

 

  ,  sao cho 

Tập A gọi là tập đóng nếu A chứa tất cả các điểm biên của A Nói cách khác :

Ta gọi bao đóng của A là tập đóng nhỏ nhất chứa A, ký hiệu A Ta có : A A A

Ta gọi phần trong của A là tập mở lớn nhất được chứa trong A, ký hiệu Ao Ta có :

Mâu thuẫn với

Tập A R gọi la ø tập compact nếu mọi dãy a trong A đều có 1 dãy con hội tụ đến 1 điểm a A

Định lý 4 : Tập A trong n compact  A đóng và bị chặn

Chứng minh

Do A compact, tồn tại dãy con ,

Do giới hạn của dãy là duy nhất nên ' Theo định lý 3 thì A đóng

Giả sử A không bị chặn Khi đó k ,

Ta có không có dãy con hội tụ

Điều này mâu thuẫn với A là compact Vậy A bị chặn

: Cho n Giả sử a x ,x là dãy tùy ý trong A Ta cần CM dãy a có 1 dãy con hội tụ

Do x bị chặn nên có dãy con x hội tụ, x

S A ,S A ,A S S đều có S S A 

 Tập D của n

 gọi là miền nếu D mở và liên thông Nếu D là miền thì

D D D gọi là miền đóng

HÀM NHIỀU BIẾN – GIỚI HẠN & LIÊN TỤC

1) Hàm n biến : Cho A   n

 Hàm 2 biến thường ký hiệu z f x y  , 

Hàm 3 biến thường ký hiệu u f x y z  , , 

 Hàm z f x y  , cho bởi 1 công thức, ta gọi tập tất cả các (x,y) mà công thức có 

nghĩa là tập xác định của hàm số

Ví dụ : z f x y  ,   1 x 2  y2 có TXĐ là x2 y2 1 là hình tròn đơn vị trong mặt phẳng

 Biểu diễn của hàm 2 biến : cho hàm z f x y  , , , x yD Tập tất cả các điểm

x y f x y, , ,  trong Oxyz gọi là “mặt” biểu diễn của f.

Ví dụ : z = 2x – 3y có mặt biểu diễn là mp có pt 2x – 3y – z = 0

z = x2 + y2 có mặt biểu diễn là mặt paraboloid tròn xoay

 Cho hàm z f x y  , Với mỗi z o thì hệ pt   o

2) Giới hạn : Cho A   và điểm n x  n

 Điểm x gọi là điểm giới hạn (điểm tụ) của tập A nếu mọi

0 B x A x

  ,  \ 

x là điểm giới hạn của A   dãy  x k A\ x sao cho x k  x

Các điểm x A nhưng không phải là điểm giới hạn của A gọi là điểm cô lập của A

: thì 0 là điểm giới hạn của A, 0  A và mọi điểm thuộc

A đều là điểm cô lập

 

x A là điểm cô lập của A  0 sao cho B x A x

 Cho hàm u = f(x) xác định trên tập A,  0

x là 1 điểm giới hạn của A Số L gọi là giới hạn của f(x) khi  0

x  x nếu mọi dãy    k    0  k  0

 Giả sử z f x y  , , (x o, yo) là 1 điểm giới hạn của TXĐ của nó

Giới hạn của f x y , khi  x y,   x yo, o được ký hiệu      

x y x yo o f x y

 , lim , , hoặc

(Trong đk cuối có ý nghĩa cả trường hợp xo, yo, L =  )

Ví dụ : Tìm giới hạn :

Ví dụ : Xét sự tồn tại giới hạn : x 0 2 2

3) Giới hạn lặp :

Xét hàm z f x y  , , giả sử với mỗi y trong 1 lân cận của y o tồn tại

Khi đó nếu tồn tại  

y yolim  y L thì L gọi là một giới hạn lặp của (x,y)

4) Hàm liên tục :

Cho hàm u f x x A  ,   n Hàm gọi là liên tục tại  0

x A nếu

  ,  sao cho   ,    thì   

     k  k      k    0

f liên tục tại x 0   x A x,  x đều có 0 f x  f x

Hàm gọi là liên tục trên A nếu nó liên tục tại mọi x  A

Tính chất : Cho u f x u g x  ,    liên tục tại  0

Đặt inf , khi đó tồn tại x , x

Do A compăc nên có dãy con x ,

Tương tự, ta có phần còn lại của CM

Hàm f xác định trên tập A gọi là liên tục đều nếu

Giả sử f không liên tục đều Khi đó

Do A compăc, x nên tồn tại dãy con x ,x

Do f liên tục nên x

ĐẠO HÀM RIÊNG

1) Định nghĩa đạo hàm riêng :

Cho hàm z f x y  , , xác định trong  – lân cận  B x y o, o của x yo, o

Cho x số gia x Ta gọi : xf x y o, o f x o  x y, o  f x y o, o là số gia riêng theo

biến x tại x yo, o

Nếu tồn tại và hữu hạn giới hạn : x  o o

x 0

f x yx

 





,lim thì giới hạn đó gọi là đạo hàm

riêng theo biến x tại x yo, o Ký hiệu f x y o o

x





, hoặc f'xx yo, o

Chú ý rằng : 1 1 0 0 f 1 1 1 f 0 0 

, , , , , nên hàm không liên tục tại 0 0, 

2) Đạo hàm riêng cấp cao :

x yo, o

Tương tự, ta có 2  o o

2

f x yy





, là đạo hàm riêng cấp 2 theo biến y tại x yo, o

Các đạo hàm riêng :

gọi là các đạo hàm riêng hỗn hợp cấp 2

Ví dụ : Cho zsin x ex y  Tính các đạo hàm riêng z' , ' , '' , '' , '' , '' x z y z xx z yy z xy z yx

Chú ý : có thể xảy ra trường hợp f''xyx yo, o f ''yxx yo, o

Ví dụ : Cho hàm  

Cho , , do '' và '' liên tục nên : '' , '' ,

Chú ý : Cho hàm n biến u f x x  1, , ,2 xn

Đạo hàm riêng theo biến xi là đạo hàm của hàm theo biến xi nếu coi các biến khác là

hằng số Ký hiệu

i

ux



 hoặc f ' xiTương tự, ta cũng có đạo hàm riêng cấp cao của nó

VI PHÂN CỦA HÀM NHIỀU BIẾN SỐ

1) Định nghĩa vi phân của hàm 2 biến :

Cho z f x y  , xác định trong 1 lân cận  B x y  o, o.

Cho x, y các số gia tương ứng là x và y sao cho xo  x y, o  yB x y  o, o

Ta gọi f x y o, o f x o  x y, o  y  f x y o, o là số gia toàn phần của f x y , tại

x yo, o

Hàm gọi là khả vi tại x yo, o nếu f x y o, o A x B y.         x , trong đó y

A, B là hằng số,   , 0 khi ,  x y 0.

Khi hàm khả vi tại x yo, othì ta có : df x y o, o A x B y.  là vi phân (toàn phần) 

Ta có thể định nghĩa một cách tương đương:

Hàm z f x y  , khả vi tại  x yo, o nếu f x y o, o A x B y 0.      (*), trong đó

 

0  là vô cùng bé cấp cao hơn   x2   y 2 khi   0

2) Điều kiện để hàm 2 biến khả vi :

Định lý 1 : Hàm z f x y  , khả vi tại  x yo, o thì liên tục tại x yo, o

Định lý 2 : Hàm khả vi tại x yo, o thì hàm có các đạo hàm riêng tại x yo, o Hơn

Trong hàm 1 biến, ta có  x dx y dy,  Từ đó ta có biểu thức vi phân của hàm 2

biến :

df x y, f' x y dx f,  ' x y dy,

Định lý 3 : Nếu f x y , có các đạo hàm riêng liên tục trong 1 lân cận của  x yo, o thì

hàm khả vi tại x yo, o.

Trong đó , khi ,

3) Vi phân của hàm n biến số :

Cho hàm u f x x  1, , ,2 xn xác định trong 1 lân cận của điểm o  o o o

x  x x, , ,xCho xi số gia xi, khi đó ta có

          , trong đó 0  là vô cùng bé cấp cao hơn 

 khi   0 thì hàm gọi là khả vi tại x o

Ta có các tính chất sau :

 f khả vi tại xo thì liên tục tại xo

 f khả vi tại xo thì có đạo hàm riêng tại xo,  o

i

i

f xA

HÀM ẨN VÀ ĐẠO HÀM CỦA HÀM ẨN

1) Định nghĩa hàm ẩn :

 Cho phương trình F x y ,  0,F x y , xác định trên miền  D  2

Nếu tồn tại a b, và hàm  y y x x  , a b, sao cho  F x y x ,      0 x, a b, thì 

hàm xác định ẩn từ phương trình F x y ,  0

 Cho phương trình F x y z , ,  0,F x y , xác định trên  D  3

Nếu tồn tại miền 2

2) Đạo hàm của hàm ẩn :

Định lý 1 : Cho hàm F (x,y) thỏa mãn các điều kiện :

z(x,y) có các đạo hàm riêng trong B x y o, o được tính theo công thức :

y x

z

FF

Đặt , , , g là hàm 1 biến, có đạo hàm trong 1 lân cận của z , '

Ta có thể giả sử ' Do ' liên tục nên sao cho ' , , (1)

Ta có : g z là hàm tăng trên zo  ,zo   cho nên g z o     0 g z o  

B x ,y cố định, ta xét hàm , ,

Hàm này liên tục trên , , trái dấu tại 2 mút Vậy, , sao cho , ,

Đặt , , ta có hàm , , , Bx ,yo o

Cho , , , , , , , do F liên tục, ta có :

Vậy , liên tục trên B x ,y

2 2x y

2x y

2 2x y

1 4x y

CÔNG THỨC TAYLOR HÀM NHIỀU BIẾN

1) Công thức đạo hàm hàm hợp :

 Cho hàm z f x y x x t y y t  , ,   ,    Ta lập công thức tính dz

dtGiả sử z có các đạo hàm riêng liên tục trong 1 miền D

Khi đó z khả vi x y, D Tại mỗi x y, D ta có :

Với h, k đủ bé sao cho xo h y, o kB x y o, o   1 t 1

Đặt F t  f x o ht y, o kt Ta có hàm một biến F có đạo hàm đến cấp n + 1.

Theo công thức Taylor cho hàm F(t) (to = 0, t = 1)

x Khi đó tacó công thức :

CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN

1) Định nghĩa :

Cho hàm z f x y  , xác định trong lân cận  B x y o, o.

 Điểm x yo, o gọi là điểm cực đại nếu f x y ,  f x y o, o,x y, B x y o, o

 Điểm x yo, o gọi là điểm cực tiểu nếu f x y ,  f x y o, o,x y, B x y o, o

 f x y ,  f x y o, o,x y,   x yo, o thì x yo, o gọi là cực đại thực sự.

 f x y ,  f x y o, o,x y,   x yo, o thì x yo, o gọi là cực tiểu thực sự.

Điểm cực đại hay cực tiểu gọi chung là điểm cực trị

Đặt x x o h y y,  o k ta có thể định nghĩa như sau :

 x yo, o là điểm cực đại nếu f x o h y, o k f x y o, o,h k, B 0 0 , 

 x yo, o là điểm cực tiểu nếu f x o h y, o k f x y o, o,h k, B 0 0  , 

2) Điều kiện cần để có cực trị :

Định lý 1 : Hàm z f x y  , có cực trị  x yo, o và tại điểm đó có các đạo hàm riêng

thì các đạo hàm riêng đó bằng 0

 Các điểm có đạo hàm riêng bằng 0 gọi là các điểm dừng

3) Điều kiện đủ :

Định lý 2 : Cho f x y , có các đạo hàm riêng cấp 2 liên tục trong 1 lân cận điểm dừng

Chứng minh

nếu h,k ,Vậy trong lân cận đã chọn, ta có : , là điểm cực tiểu củ

: hàm , có biệt thức , nên có dấu thay đổi

, không phải là điểm cực trị của f

Ví dụ : Tìm cực trị của hàm : f x y ,  x3 y3  3xy

Tính chất Sylveter : Dạng toàn phương có ma trận A

 Xác định dương khi    j 0 j 1, , ,n

 Xác định âm khi  1 0, 2 0, , 1 n n 0

x không phải là điểm cực trị Nếu tồn tại các  j 0 thì chưa có kết luận

Ví dụ : Tìm cực trị của hàm : u f x y z  , ,  x3 y2 2z2  3x 2y 4z 

, , , không xác định Vậy u không đạt cực trị tại , ,

Chú ý về hàm 2 biến :

CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN

1) Định nghĩa :

Cho hàm z f x y  , xác định trên miền D,  x y, là hàm xác định trên D,

x yo, oD,x yo, o 0

Điểm x yo, o gọi là điểm cực đại (cực tiểu) của f x y , với điều kiện  x y,  0 nếu

tồn tại  0 sao cho f x y ,  f x y o, o  (f x y,  f x y o, o) với mọi

x y B x y,   , , x y, 0

2) Phương pháp nhân tử Lagrange :

Định lý 1 : Cho f x y , và  x y, có các đạo hàm riêng liên tục,

Giả sử ' , Theo định lý hàm ẩn tồn tại để , (1)

Thay vào pt của f x,y ta được ,

Giả sử , là 1 điểm dừng ứng với Đặt '' , , , '' , , , '' , ,

Dạng (*) gọi là xác định dương (xác

Định lý 2 : Nếu x yo, o là một điểm dừng ứng với o Khi đó nếu d L x y 2  o, ,o o :

 Xác định dương có điều kiện thì x yo, o là cực tiểu có điều kiện

 Xác định âm có điều kiện thì x yo, o là cực đại có điều kiện

 Không xác định có điều kiện thì x yo, o không phải là điểm cực trị

Ví dụ : Tìm cực trị của hàm

a) f x y ,   6 4x 3y với điều kiện x2 y2 1

x y

'Vậy ta có 2 điểm dừng : ,

     

x y z

Ta có : ' ' ' Xét tính xác định của (*) với đk : ,

3 CĐ

3) Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trong một miền đóng, bị chặn :

Cho f x y , liên tục trên miền đóng, bị chặn D

Bước 1 : Tìm các điểm nghi ngờ có cực trị trong miền D

Bước 2 : Tìm các điểm nghi ngờ có cực trị trên biên (D)

Tính giá trị các hàm tại tất cả các điểm tìm được ở bước 1, 2 So sánh các giá trị tìm

được ta có GTLN, GTNN của hàm

Ví dụ : Tìm GTLN, GTNN của hàm số :

a)

zsinxsiny sin x y trên miền D giới hạn bởi các đường x 0 y 0 x y 2 ,  ,   

Điểm nghi ngờ trên biên là các điểm , , , , ,

MỘT VÀI KHÁI NIỆM HÌNH HỌC

1) Độ cong :

Cho đường cong , không có điểm tự cắt Lấy 2 điểm M, M’ trên  Xác định một

chiều của  gọi là chiều dương Ký hiệu  là góc giữa 2 tiếp tuyến tại M và M’ theo

chiều dương Ta gọi độ cong trung bình của  trong cung MM' là : CTBMM  

Với đường thẳng : độ cong tại mọi điểm đều bằng 0

Với đường tròn bán kính R : TB   

là x và x x

Gọi  là góc giữa tiếp tuyến với  tại M và Ox

   là góc giữa tiếp tuyến với  tai M’ và Ox

2) Đường tròn chính khúc – Khúc tâm :

Cho đường cong  và M   Dựng pháp tuyến với  tại M Trên đường pháp tuyến

về phía lõm đường cong ta chọn điểm I sao cho  

1MI

C M

 Ta gọi đường tròn tâm I, bán kính  

1R

C M

 là đường tròn chính khúc của  tại M

Ta có đường tròn chính khúc của  tại M tiếp xúc với  tại M

Tâm của đường tròn chính khúc gọi là khúc tâm

Bán kính của đường tròn chính khúc gọi là khúc bán kính

Ta có khúc bán kính  

1R

Giả sử , là khúc tâm và pt của là :

Pháp tuyến của tại M x,y có pt : Vì I pháp tuyến nên : (1)

2

y

yy

3) Đường túc bế – đường thân khai :

Cho đường cong , ta gọi đường túc bế của  là quỹ tích của khúc tâm M khi M chạy

trên 

Khử tham số từ hệ phương trình tọa độ khúc tâm ta được phương trình đường túc bế

Cho đường cong , nếu tồn tại đường L sao cho  là đường túc bế thì L gọi là đường

thân khai của 

4) Hình bao của một họ đường cong :

Cho một họ đường cong H và hình E

E gọi là hình bao của H nếu mọi đường cong trong H đều tiếp xúc với E và mọi điểm

thuộc E đều có 1 đường cong H tiếp xúc với E tại điểm đó

Ví dụ : Họ đường cong (H) : x c 2 y2 1 c   có hình bao là hai đường thẳng :

y1

Định lý : Cho họ đường cong F x y c , ,  0, không có điểm kỳ dị Khi đó pt tham số

của hình bao họ đường cong đó là :  

Gọi tiếp điểm có pt F x,y,c với E là M ,

Ta có thể coi E là quỹ tích của điểm M, M , ,

5) Tiếp tuyến và pháp diện của đường trong không gian :

Cho đường  trong không gian có pt tham số : x x t y y t z z t  ,   ,    Xét điểm

6) Pháp tuyến và tiếp diện của mặt :

Cho mặt cong S có pt F x y z , ,  0 M, o S

Đường thẳng MoT gọi là 1 tiếp tuyến của mặt S tại Mo nếu MoT là tiếp tuyến với 1

đường cong  trong S đi qua Mo Giả sử  có pt x x t y y t z z t  ,   ,   