Tài liệu CHƯƠNG 6: ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN ppt

TÍNH ĐẠO HÀM BẬC NHẤT BẰNG PHƯƠNG PHÁP ROMBERG Đạo hàm theo phương pháp Romberg là một phương pháp ngoại suy để xác định đạo hàm với một độ chính xác cao... số được chia thành 2 nhóm: c

CHƯƠNG 6: ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN SỐ

§1. TÍNH ĐẠO HÀM BẬC NHẤT BẰNG PHƯƠNG PHÁP ROMBERG 

Đạo  hàm  theo  phương  pháp  Romberg  là  một  phương  pháp  ngoại  suy 

để xác định đạo hàm với một độ chính xác cao. Ta xét khai triển Taylor của hàm f(x) tại (x + h) và (x ‐ h): 

⋅

⋅++

=

!4

h)x(f

!3

h)x(f2

h)x(fh)x()hx

4 3

h)x(f

!3

h)x(f2

h)x(fh)x()hx

4 3

2

     (2) Trừ  (1) cho (2) ta có: 

⋅⋅

⋅++

h2)x(f

!3

h2)x(fh2)hx()hx

5 3

=

!5

h)x(f

!3

hh

2

)hx()hx()

x

(

4 2

2

2h a h a ha

)hx()hx(h2

1)

1)

2

a)x(f)h()1

=

64

ha16

ha4

ha)x(f2

h)

4 4

i 6

4 i 4

2 i 2

i) f(x) a h a h a hh

()1

a4

3)x(f32

h4)

1)x(f4

)1,1(D)1,2(D4)2

2

ha16

52

ha4

1)x(f)2

x(f15)

2,3(D16)3

1)x(f15

)2,2(D)2,3(D16)3

14

)1j1i(D)1ji(D4)j

i

(

1 j

1)h()j

!4

h)x(f

!3

h)x(f2

h)x(fh)x()hx

4 3

2 (2) (2)

4 ( 5)

f(x 2h) 16f(x h) 30f(x) 16f(x h) f(x 2h)

D (x, h)

12hh

số được chia thành 2 nhóm: các phương pháp Newton ‐ Cotes và các phương pháp Gauss. Khi dùng các phương pháp Newton ‐ Cotes khoảng lấy tích phân được  chia  đều  như  trong  phương  pháp  hình  thang  hay  phương  pháp Simpson. Khi dùng các phương pháp Gauss, cácc diểm chia được chọn để đạt 

độ chính xác cao nhất. Do phương pháp này cần ít lần tính giá trị hàm dươci dấu tích phân nên thích hợp khi hàm f(x) khó tính. 

A

By

x

Ta xây dựng hàm  trapezoid() để thực hiện thuật toán trên. 

tích  phân  bằng  phương  pháp  Simpson,  các 

đoạn  được  chia  đều  và  làm  cho  sai  số  không 

giống  nhau  trên  các  đoạn:  sai  số  lớn  trên  các 

đoạn hàm biến đổi nhiều và sai số nhỏ trên các 

đoạn  hàm  tương  đối  bằng  phẳng.  Ngược  lại  

phương pháp cầu phương thích nghi chia các đoạn không đều: ngắn trên các đoạn hàm thay đổi nhiều và dài trên các đoạn thay đổi ít và sẽ có sai số nhỏ khi số đoạn chia nhỏ. 

  Thuật toán cầu phương thích nghi bắt đầu bằng việc tính tích phân int đối với toàn bộ đoạn [a, b] và tổng tích phân int12 = int1 + int2 trên 2 đoạn bằng nhau. Dựa trên int và int12 ta tính sai số. Nếu chưa đạt độ chính xác, ta chia đôi mỗi đoạn và lặp lại quá trình tính. Ta dùng hàm adaptivesimpson() 

  Ri,1 = Ji 

Trong đó Ji là giá trị xấp xỉ của 

b

af(x)dx

∫  có được bằng cách tính theo quy tắc lặp hình thang lần thứ i. 

  Tích phân Romberg bắt đầu từ R1,1 = J1 (một hình thang) và R2,1 = J2 (hai hìn thang). Sau đó tính R2,2 bằng cách ngoại suy: 

2 2,1 1,1

4 3,2 2,2

k 1 a

n 2n 1 2i 1 2i‐1

2

θθ

1

2 1

1f(t)dt

+ +

Như  vậy  ta  có  thể  viết  lại  công  thức  tích  phân  Gauss  ‐  Legendre  trên 

t = roots(hermite(n))ʹ; 

b(1) = sqrt(pi); 

for n = 2:n      A(n,:) = A(n ‐ 1,:).*t; %Pt.(7) 

    if mod(n,2) == 1          b(n) = (n ‐ 2)/2*b(n ‐ 2); %Pt.(14)      else  

        b(n) = 0; 

    end  end 

n

i n

0 0

Trong đó xi làn nghiệm của đa thức Jacobi. Các công thức tính đa thức Jacobi là: 

    w(i) = num/den; 

n 1 i

1 xw

Để tính tích phân của một hàm cụ thể ta dùng chương trình ctchebradau.m:  

x(free)  =  xold(free)  ‐  ((1‐xold(free))/N1).*(P(free,  N1)  +  P(free,  N1+1)) /(P(free, N1) ‐ P(free, N1+1)); 

Sau đây chúng ta sẽ xây dựng chương trình ctinterp.m để tính tích phân dùng 

Ta xây dựng hàm int2simpson() để tính tích phân kép bằng công thức Simpson.