CÁC BÀI TOÁN KHÓ HÌNH HỌC 7

Vậy tia AO phải nằm trong góc CAH .Lập luận tương tự ta có OB> OC và AOB< AOC Vậy ÐAOB< ÐAOCÛ OB> OC BÀI3 : cho tam giác ABC vuông cân tại A .Gọi M là trung điểm BC ,G là điểm thuộc cạn

CÁC BÀI TOÁN KHÓ HÌNH HỌC LỚP 7

BÀI 1: Cho hình chữ nhật ABCDvới AB = 2AD ,M là trung điểm của đoạn AB.Trên

AB lấy H sao cho ÐADH = 15 0 Hai đường thẳng CH và DM cắt nhau tại K.Hãy so

sánh độ các đoạn thẳng DH và DK

LỜI GIẢI :

Trên nửa mặt phẳng chứa C bờ là đường

thẳng DH dựng tam giác đều DHN Gọi Q là trung điểmDC ta có :

AD = DQ = QC

ÐADH=ÐQDN=150

DH = HN (∆DHN đều )

ADH= QDN c g c NQD= HAD= NQC= NQD= NQC c g c

NCQ= NDQ= DNC= - + =

Từ đó suy ra

CD CH c

g c DNC HNC

∠ 360 0 ( 60 0 150 0 ) 150 0 ( )

Tức là ∆CHD cân tại C Mà ∠HDC = 90 0 − 15 0 = 75 0nên∠DHC = 75 0 (1)

Do tam giác ADM vuông cân tại A nên ∠ADM = 45 0Suyra∠HDM = 45 0 − 15 0 = 30 0(2)

Xét tam giác DHK từ (1) và (2) suy ra ∠HKD= 75 0 (3)

Từ (1) và(3) suy ra tam giác DHK cân tại D Tức là DH = DK

BÀI2 :Cho tam giác ABC cân tại A lấy điểm O trong tam giác sao cho

AOC

AOB< ∠

∠

So sánh độ dài của OB và OC

Kẻ đường cao AH, nếu điểm O thuộc AH

Thì dễ thấy OB =OC và AOBÐ =ÐAOCTrái giả thiết

Gỉa sử tia AO nằm trong góc BAH và CO cắt AH tại M nối BM ta có OC = OM + MC

= OM + MB > OB từ đó suy ra ÐOCB< ÐOBCsuy ra :

ACOÐ =ÐACB- ÐOCB> ÐABC- ÐOBC=ÐABO (1)

Ta có ÐCAO> ÐCAH=ÐBAH> ÐBAO (2)

Từ (1) và (2) ta có :

AOB= - ABO+ BAO > - AC + CAO = AOC

thiết

Vậy tia AO phải nằm trong góc CAH Lập luận tương tự ta có OB> OC và

AOB< AOC

Vậy ÐAOB< ÐAOCÛ OB> OC

BÀI3 : cho tam giác ABC vuông cân tại A Gọi M là trung điểm BC ,G là điểm thuộc cạnh AB sao cho AB = 3AG,Elà chân đường vuông góc hạ từ M xuống CG.Các đường thẳng MG và AC cắt nhau tại D.So sánh độ dài DE và BC.

LỜI GIẢI :

Trên tia CA lấy điểm D’ sao cho Alà trung đểm của CD’ thì 2 đường trung tuyến BAvà D’M cắt nhau tại G với 3AG = AB do đó điểm D’º D Mặt khác BA ^ DC nên DBDC

vuông cân tại B Do ÐBCD=450 Þ DBDCvuôngcân tại B Do đó BD = BC (1)

Gọi N là giao đểm của CG và BD Vì G trọng tâm BDCD Nên N là trung điểm của BD

Từ đó BN = CM = BM Hạ BK^ NC Thì KM =BM = CM vì DKCM cân tại M nên

KE = CE (2)

Lại có ÐBNK=ÐCME ( Cùng phụ với ÐBCN)Suy ra

BNK= CME NBK= MCE

Nên BKED là tam giác vuông cân tại K do đó ÐBEK=ÐBEM =450

Hai tam giác BKDvà CEB Có ÐDBK =ÐBCE Và BK = CE , BD = CB do đó

0 135

BKD= CEB DKB= BEC=

( )

DKB= DKE c g c DB=DE

Từ (1) và (4) suy ra DB = DE

BÀI 4 :

Cho tam giác ABC với ÐABC=ÐACB=360Trên tia phân giác của góc ABC lấy điểm

N sao cho ÐBCN =120.Hãy so sánh độ dài của CN và CA

LỜI GIẢI :

Trên tia BA lấy điểm Dsao cho BD = BC Ta có tam giác BCD cân tại B Vì

0 0

2

ABC= nên BCD= BDC= - =

Ta lại có ÐDAC=ÐABC+ÐACB=360+ 360=720(Tính chất của góc ngoài )

0 72

BDC= DAC =

Xét 2 tam giác BDN và BCN có :

BN chung BD= BC Và ÐCBN =ÐDBN

Nên suy ra DBDN=DBCN c g c( )Þ CN=DN Þ DNCD Cân tại N lại có :

ÐNCD=ÐBCD- ÐBCN=720- 120=600Þ DNCD là tam giác đều Þ CN =CD

(2) Từ (1) và (2) ta có CA = CN

BÀI 5:

Cho tam giác ABC với ÐBAC=550,ÐABC=1150.Trên tia phân giác của góc ACB lấy điểm M sao cho ÐMAC =250 Tính số đo góc BMC

LỜI GIẢI :

Ta có ÐC =1800- (550+1150)=100 Kẻ DE ^ AM (E∈ AC) Ta có

0 30

DAM = DMA= DAM

phân giác của góc ADM nên ÐEDM =ÐBDM =600 do đó DEDC=DBDC c g c( ).

Xét 2 tam giác BMC và EMC có BC = EC ÐMCB=ÐMCE=50, MC chung Do đó

0 0 0 0 0

BMC= EMC c g c BMC= EMC= - DME= - DAE= - =

BÀI 6:

Cho tam giác ABC cân trên cạnh đáy BC lấy đểm D sao cho CD = 2 BD So sánh số đo

2 góc ÐBAD Và 1

Ð

LỜI GIẢI :

Gọi M là trung điểm của DC Trên tia đối của tia MA lấy điểm E sao cho ME = MA Ta

có ∆AMC =∆EMD Vì có MD = MC , MA = ME ∠AMC =∠EMD Nên DE = AC

Và

∠A3 = ∠E Mặt khác ∠D1 > ∠B (tính chất góc ngoài của tam giác ) do

3 2 2

D C

B = ∠ ⇒ ∠ > ∠ ⇒ > ⇒ > ⇒ ∠ > ∠ ⇒ ∠ > ∠

∠

Vì

3 2

1 3

1 3

2 1

3 A (do ABD ACM(c.g.c) A A A A 2 A A A

A = ∠ ∆ = ∆ ⇒ ∠ + ∠ > ∠ + ∠ ⇒ ∠ < ∠ + ∠

∠

Suy ra ∠BAD< ∠DAC

2 1

BÀI 7:

Cho tamgiác ABC lấy điểm D thuộc nửa mf không chứa C bờ AB sao cho DA⊥ DB và

AD = AB Lấy điểm E thuộc nửa mf không chứa B bờ AC sao cho AE⊥ AC và AE =

AC So sánh diện tích 2 tam giác ADE và ABC.

LỜI GIẢI :

Ký hiệu SABC là diện tích tam giác ABC Trên tia đối của tia AB lấy B’ sao cho AB =

AB’,ta có ∆ADB'vuông cân ,suy ra AD = AB’ và AD ⊥ AB’

Xét 2 tam giác DAE và B’AC có AD = AB’ , AE = AC ,

ABC

S AC B DAE AC

B

DAE = ∠ ⇒ ∆ = ∆ ⇒ =

và ABC có AB’ = AB , cùng đường cao hạ từ đỉnh C do đó SB’AC = SABC (2)

Từ (1) và (2) suy ra SADE = SABC

BÀI 8:

Cho tam giác ABC có AB> AC Trên các cạnh AB , AC lấy các điểm M,N sao cho AM

= AN gọi K là giao điểm của BN và CN Hãy so sánh độ dài của KB và KC

LỜI GIẢI :

Trên đoạn AB lấy điểm I sao cho AI = AC khi đó ∆AMC =∆ANI (c.g.c) ⇒ NI =MC

(1) vì tam giác AIC cân tại A suy ra ∠AIC < 90 0 ( Tia IN nằm giữa 2 tia IA,IC ) vì

0

=

∠

+

IN (2) Từ (1)và (2) ta có BN > CM (3) cũng do ∆AMC =∆ANI nên

∠AMC =∠ANI Vì ∠AMN =∠ANM ⇒∠KMN =INM ta lại có

KNM

INM < ∠

(do I nằm giữa Mvà B ) do đó ∠KMN <∠KNM ⇒KM >KN (4)

Từ (3) và (4) ta có BN+KM > CM+KN ⇒ BN –KN > CM – KM ⇒ BK > CK

BÀI 9:

Cho tam giác ABC có góc ACB = 45 0 và góc A tù Kẻ tia BD cắt tia đối của tia CA tại

D sao cho góc CBD = góc ABC kẻ AH vuông góc với BD tại H tính số đo góc CHD.

LỜI GIẢI :

Gọi tia đối của tia AB là tia Ax Xét tam giác ABH ta có :

0 2

90 B ABH

AHB

HAx=∠ +∠ = + ∠

2

1

1 1

Kết hợp với giả thiết BC là tia phân giác của góc ABH suy ra HC là phân giác góc AHD

Do góc AHD = 900 Nên suy ra góc CHD = 450

BÀI 10

Cho tam giác ABC vuông cân đáy BC Gọi M,N là trung điểm của AB , AC Kẻ NH⊥

CM tại H kẻ HE⊥AB tại E Chứng minh tam giác ABH cân và HM là tia phân giác góc BHE

LỜI GIẢI :

a, Từ A kẻ AK ⊥ MC tại K và AQ ⊥HN tại Q Hai tam giác vuông MAK và NCH có

MC = NC (=

2

1

AB ) , ∠A1 = ∠C1 (cùng phụ với góc AMC )

HC AK NCH

MAK = ∆ ⇒ =

∆

Dễ thấy ∆BAK = ∆ACH(c.g.c) ⇒ ∠BKA= ∠AHC 2 Tam giác vuông AQN và CHN

có AN = NC , ∠ANQ= ∠CNH ⇒ ∆ANQ= ∆CNH ⇒AQ=CH (2)

Từ (1) và (2) suy ra AK = AQ ⇒ AH là tia phân giác của góc KHQ

0 0

=

∠

0

=

∠ +

∠

+

Nên nó vuông cân tại K suy ra KA = KH Xét 2tam giác BKA và BKH có BK chung ,

0

135

=

∠

=

∠BKA BKH , KA = KH ⇒ ∆BKA= ∆BKH(c.g.c) ⇒BA=BH hay tam giác ABH cân tại B

b, ta có ∠A1 = ∠H1 theo (1) mà HE // CA ⇒ ∠H2 = ∠C1 (góc đồng vị) vì

2 1

1

A = ∠ ⇒ ∠ = ∠

BÀI 11:

Cho tam giác ABC với góc A khác 90 0 và góc B KHÁC 135 0 Gọi M là trung điểm của BC.Về phía ngoài tam giác ABC vẽ tam giác ABD vuông cân đáy AB Đường thẳng qua A vuônggóc với AB cắt CE tại P và cắt DM tại Q chứng minh rằng Q là trungđiểm của BP.

LỜI GIẢI :