2.3 các phương pháp tìm biến đổi z ngượcTìm biến đổi Z ngược để xác định dãy xn bằng cách tính trực tiếp tích phân [2.1-25] thường rất phức tạp, vì thế người ta xây dựng các phương pháp
Trang 12.3 các phương pháp tìm biến đổi z ngược
Tìm biến đổi Z ngược để xác định dãy x(n) bằng cách tính trực tiếp tích phân [2.1-25] thường rất phức tạp, vì thế người ta xây dựng các phương pháp gián tiếp sau để tìm biến đổi Z ngược :
- Phương pháp thặng dư.
- Phương pháp khai triển X(z) thành chuỗi lũy thừa.
- Phương pháp phân tích X(z) thành tổng các phân thức đơn giản.
2.3.1 Phương pháp thặng dư
Trong lý thuyết hàm biến số phức, phương pháp thặng dư dùng để tính tích phân :
∫
C
dz z
1
Tích phân [2.3-1] được lấy theo chiều dương trên đường cong khép kín C bao quanh gốc tọa độ và nằm trong miền hội tụ của hàm Q(z)
Nếu Q(z) có một cực bội bậc q tại z =z p thì có thể phân tích Q(z) thành :
q p z
z
z
Q
) (
) (
)
(
−
=
Trong đó, các nghiệm của phương trình N(z) =0phải khác cực bội z p
Khi đó tích phân [2.3-1] sẽ có dạng :
p C
q p C
s dz
z z
z j
dz z j
N
) (
) ( 1
) (
1
2
−
π Với Res p được gọi là thặng dư của hàm Q(z) và được tính theo biểu thức :
p q
q
z d
q
−
−
= ( 1() 1() )
)!
(
Re
1
1
[2.3-2]
Trong trường hợp riêng, nếu z plà nghiệm đơn thì k = 1nên :
) ( )
(
Để tìm biến đổi Z ngược theo tích phân [2.1-25], áp dụng phương pháp thặng dư cho hàm Q(z) =X(z).z(n−1 )
Giả sử Q(z) có m cực bội bậc q thì có thể phân tích Q(z) thành tổng : i
∑
=
−
−
=
i n
i
z z
z z
z
Q
1
) 1 (
) (
) ( ).
( ) (
Khi đó, biểu thức biến đổi Z ngược [2.1-25] được đưa về dạng :
∫∑
−
=
=
C
m
i C
z z
z j
dz z
z j
n
x
i
N X
1
) 1 (
) (
) ( 1
) (
1 )
(
2
Vì đường cong khép kín C nằm trong miền hội tụ của hàm X(z).z(n−1 ) nên tích phân ở vế phải của [2.3-4] có thể lấy trên từng số
hạng của chuỗi, vì thế có thể đổi vị trí của dấu tổng và dấu tích phân :
∑
−
=
i
pi m
i C
z z
z j
dz z z j
n
x
i
N X
1 1
) 1
) (
) ( )
( )
(
2
1 2
1
π π
i
pi C
z z j
n
1
) 1
) (
1 ) (
Các thặng dư Res pi ứng với các cực z picủa X(z).z(n−1 ) Res picủa cực đơn tính theo [2.3-3] ,Res picủa
cực bội bậc q tính theo [2.3-2]
−
=
=
) ( )]
( [ )
(
a z
z z
IZT n
Giải : Có
) ( ) (
)
(
) 1 ( )
1 (
a z
z a
z
z z z
z
n n
n
X
−
=
−
−
Với n ≥0, hàm
) ( )
( ( 1 )
a z
z z
X
−
=
− có một cực đơn z p =a và N(z) =z n Từ biểu thức thặng dư [2.3-3] ,
Re
Trang 2Theo [2.3-5] thì : x(n) = Res p =a khi n ≥ 0
Vì RC[X(z)]:|z| >|a| nên x (n) là dãy nhân quả, do đó kết quả là :
) ( )
( )
a z
z IZT n
−
=
Ví dụ2.16 : Cho a2 < b2, hãy tìm dãy x(n) của hàm ảnh :
)
( )
2a z b z
z z
X
+ +
Giải : Ta có
)
( )
2a z b z
z z
z
n n
X
+ +
=
−
Với n ≥0, hàm X(z).z(n−1 ) có hai điểm cực là nghiệm của phương trình : z2 + 2a.z+b2 = 0
Vì a2 < b2 ⇒ ∆′ = a2 −b2 < 0, nên phương trình trên có hai nghiệm là cặp số phức liên hợp :
p
j p p
p p
2 Với :|z p | = a2 + (b2 −a2 ) =b và
−
=
a a b arctg
p
) ( 2 2
Theo các cực điểm z pvà z* có thể phân tích X(z).z(n−1 ) thành :
) )(
( )
p p
n n
z z z z
z z
z
X
−
−
=
−
Với cực z p có
) (
)
1
p
n z z
z z
N
−
= , theo biểu thức thặng dư [2.3-3] tìm được :
−
=
−
=
=
) (
) (
.
|
| )
(
) ( ) ( Re
2 2 2
2
* 1
1
a b j a a
b j a
e z z
z
z z
s
n j p p
p
n p p
p
p
N
ϕ
Vậy :
) (
Re
2 2 1
2j b a
e b
jn n p
−
Với cực *
p
z có
) (
) ( 2
p
n z z
z z
N
−
= , theo biểu thức thặng dư [2.3-3] tìm được :
−
=
−
=
=
−
) (
) (
.
|
| )
(
) ( ) ( Re
2 2 2
2
*
*
* 2 2
a b j a a
b j a
e z z
z
z z
s
n j p p
p
n p p
p
p
N
ϕ
Vậy :
) (
Re
2 2 2
2j b a
e b s
p
jn n p
−
=
−
− ϕ
Theo [2.3-5] thì :
) (
)
(
Re
Re ) (
2 2 2
2 2
1
2
e b a
b j
e b s
s n
jn n jn
n p
p
−
−
−
= +
) (
) sin(
)
( )
(
2 2 2
n b
j
e e
a b
b n
n jn
jn
−
=
−
Vì RC[X(z)]:|z| >|b| nên x(n) phải là dãy nhân quả, do đó kết quả là :
−
−
=
+
a b arctg n a
b
n u b b
z a
z
z
IZT
sin ) (
) ( )
(
2 2
2 2 2
Trong đó a2 <b2, góc pha ϕp được tính theo [2.3-6] và RC[X(z)]:|z| >|b|
2.3.2 Phương pháp khai triển X (z) thành chuỗi lũy thừa
Vì X(z) là hàm giải tích của z, nên trong miền hội tụ của nó, có thể khai triển X(z) thành chuỗi lũy thừa của z−n
theo dạng :
∑∞
−∞
=
−
=
n
n
n z a z
Mặt khác, theo định nghĩa của biến đổi Z có :
Trang 3−∞
=
−
=
n
n
z n x z
Trong miền hội tụ của X(z), cả hai chuỗi trên đều hội tụ nên khi đồng nhất các hệ số của hai chuỗi [2.3-8] và [2.3-9], tìm được dãy :
n
a n
Vậy khi khai triển X(z) thành chuỗi luỹ thừa [2.3-8], sẽ tìm được dãy x(n) theo các hệ số của chuỗi.
Ví dụ2.17 : Hãy tìm dãy x(n) của hàm ảnh X(z) (z z a)
+
=
a Với RC[X(z)]:|z| >|a| b Với RC[X(z)]:|z|<|a|
Giải : a Chia cả tử số và mẫu số cho z nhận được :
) ( ) ( )
1
1
−
+
= +
=
z a a
z
z z
X
Vì RC[X(z)]:|z| >|a| nên x (n) là dãy nhân quả, do đó hàm ảnh phải là chuỗi lũy thừa của z−n Để khai triển
X(z) thành chuỗi lũy thừa của z−n, chia tử số cho đa thức mẫu số (1 + az-1) :
1 | +1 az -1 _
+1 az -1 1 - az-1 + a2z-2 - a3z-3 + a4z-4 -
- az-1
- az -1 - a 2 z -2
+ a2z-2
+ a 2 z -2 + a 3 z -3
- a3z-3
- a 3 z -3 - a 4 z -4
+ a4z-4
n
n z a z
∞
=
=
0 ) ( )
( Theo [2.3-10] nhận được : x(n) = ( −a)n u(n) với RC[X(z)]:|z| >|a|
b Với RC[X(z)]:|z|<|a| thì x(n) là dãy phản nhân quả, nên hàm ảnh phải là chuỗi luỹ thừa của z n Để khai triển X(z) thành chuỗi luỹ thừa của z n , chia tử số cho đa thức mẫu số (az-1 + 1) :
1 | az -1 + 1 _
+1 a -1 z a-1z - a-2z2 + a-3z3 - a-4z4 +
- a-1z
- a z --1 a -2 z 2
+ a-2z2
+ a -2 z +2 a -3 z 3
- a-3z3
- a -3 z - a 3 -4 z 4
+ a-4z4
m
m z a z
=
−
−
−
=
1 ) ( )
(
Để đưa chuỗi về dạng [2.3-8] , đổi biến đặt n = (- m + 1) ⇒ m = (- n + 1) ,
khi m = 1 thì n = 0 và khi m = ∞ thì n = - ∞ :
n
n n
n
a z
−∞
=
− +
−
−∞
=
−
=
0
) 1 ( )
1 (
0
) 1
) ( )
( Theo [2.3-10] và tính chất trễ của biến đổi Z nhận được :
) (
) ( ) (n =− −a ( −1)u −n+1
Từ ví dụ 2.17 có các nhận xét sau :
- Cùng một hàm ảnh nhưng với hai miền hội tụ khác nhau sẽ nhận được hai hàm gốc khác nhau, điều đó có nghĩa
là quan hệ giữa hàm ảnh và hàm gốc của biến đổi Z hai phía chỉ là đơn trị khi ứng với một miền hội tụ xác định Vì thế, để tìm biến đổi Z ngược của biến đổi Z hai phía, cần phải biết miền hội tụ của hàm ảnh X(z).
- Trong ví dụ 2.17, chuỗi lũy thừa biến đổi có quy luật nên tìm được biểu thức của số hạng tổng quát a và biểu n thức của hàm gốc x(n) Trong đa số các trường hợp, khi chia đa thức để khai triển X(z) thành chuỗi lũy thừa, không thể tìm được quy luật biến đổi của chuỗi lũy thừa, nên chỉ tìm được giá trị một số mẫu của hàm gốc x(n) Đó chính là nhược
điểm cơ bản của phương pháp khai triển X(z) thành chuỗi lũy thừa, và vì thế phương pháp này ít được sử dụng
2.3.3 Phương pháp phân tích X (z) thành tổng các phân thức
Trang 4Đây là phương pháp sử dụng bảng biến đổi Z cơ bản (bảng 2.3) Để tìm dãy x(n) của các hàm X(z) phức tạp, chỉ
cần phân tích X(z) thành tổng của các hàm ảnh có trong bảng biến đổi Z , và áp dụng tính chất tuyến tính tìm được hàm gốc bằng tổng của các hàm gốc thành phần
Trong đa số trường hợp, có thể đưa hàm X(z) về dạng [2.1-20] :
)
(
)
( )(
)(
)(
1
1 1
1
1 1 0
) (
.
N N
N N
M
N M M
M M
az a za
z
zb zb zb
zb z
z
D
B
A
X
+ ++
+
+ ++
+
=
=
−
−
−
−
−
[2.3-10]
Trong đó A là hằng số và đa thức ở mẫu số D(z) có a0 = 1 được gọi là đa thức đặc trưng của hàm X(z) Phương
trình đặc trưng D(z) = 0 có N nghiệm z pk , chúng là các cực điểm của hàm X(z).
Nếu hàm X(z) [2.3-10] có bậc của đa thức ở mẫu D(z) lớn hơn bậc của đa thức ở tử B(z), tức là N > M thì nó được
gọi là hàm X(z) dạng chính tắc Trong trường hợp hàm X(z) [2.3-10] có N ≤ M thì nó là hàm dạng không chính tắc Khi đó, bằng cách chia đa thức ở tử cho đa thức ở mẫu hoặc bằng biến đổi toán học, sẽ nhận được hàm X(z) dạng :
) ( )
(
0
)
( ) ( ) (
z D z N z C A X
N M
r
r
=
−
Trong đó X’(z) là hàm dạng chính tắc Vì C(z) là đa thức lũy thừa của z, nên có thể dễ dàng tìm được biến đổi Z
ngược của nó :
∑−
=
−
=
r
r n r c
z IZT
n
0
) ( )]
( [ )
Vì vậy, trong mọi trường hợp chỉ cần nghiên cứu phương pháp tìm biến đổi Z ngược của hàm X(z) [2.3-10] dạng
chính tắc Có thể biểu diễn hàm X(z) chính tắc [2.3-10] qua các cực điểm z pk :
) ) (
)(
(
)
( )
(
) ( )
(
2 1
2 2
1 1
N
M N M M
p p
z z
z b z
b z b z b z
z
D
B A X
−
−
−
+ + + +
=
Các cực điểm z pk của hàm X(z) [2.3-10] và [2.3-11] có thể là các cực đơn (cực có giá trị khác nhau), hoặc các cực bội bậc q (q cực có giá trị giống nhau), hơn nữa z pk có thể là các số thực hoặc số phức Trước hết chúng ta nghiên cứu trường hợp X(z) có nghiệm đơn giản
2.3.3 a Trường hợp hàmX (z) chỉ có các cực đơn là số thực
Khi X(z) là hàm [2.3-10] hoặc [2.3-11] dạng chính tắc và có N cực đơn z pk là số thực (N cực thực đơn), thì có thể phân tích X(z) thành tổng của các phân thức đơn giản dạng :
) (
) (
) (
) (
) (
) (
)
(
2
2 1
1 1
.
N N N
p p
p
k
z z z
z z
z z
z z
z
D
B
A
X
− + +
−
+
−
=
−
=
Để xác định hệ sốB k, nhân cả hai vế của [2.3-12] với (z - z pk ) :
) (
) (
) (
) (
) (
) (
) )(
(
2
2
1
1
N
N
p
pk k
p
pk p
pk pk
z z
z z z
z
z z z
z
z z z
z
X
−
− +
+ + +
−
− +
−
−
=
−
Tại z = z pk thì trừ B k, còn tất cả các số hạng khác ở vế phải của biểu thức trên đều bằng không, do đó có :
Lấy biến đổi Z ngược hàm X(z) [2.3-13] , tìm được dãy x(n) :
−
=
−
=
=
) (
)]
( [ )
1
k
k
z z
z z
IZT z
z IZT
z IZT n
x
N N
B B
X
Theo tính chất trễ và [2.1-18], vớiRC[X(z)] : |z| > max[z pk], nhận được :
∑
=
k
n pk
k z u n n
1
) 1
)
Dãy [2.3-14] có dạng trễ, để nhận được các dãy x(n) không ở dạng trễ như trên, chia cả hai vế của [2.3-10] cho z và
phân tích hàm :
=
k z z z
z
z z
D
B A X
) (
) ( )
(
.
Chỉ số k chạy từ 0, do z D(z) = 0 có thêm một nghiệm z p0 = 0 (hoặc B(z) = 0 giảm một nghiệm tại z01 = 0 ) Từ [2.3-15] nhận được :
Trang 5=
k z z
z
X
)
Trong đó, các hệ số B kđược xác định theo biểu thức :
pk pk
Lấy biến đổi Z ngược hàm X(z) [2.3-16] , tìm được dãy x(n) :
−
=
=
N
k z z
z IZT
z IZT n
)]
( [ )
( Theo [2.1-18] hoặc bảng 2.3, vớiRC[X(z)] : |z| > max[z pk], nhận được :
∑
=
=
k
n pk
k z u n z
IZT n
0
) ( )]
( [ )
Ví dụ2.18 : Hãy tìm hàm gốc nhân quả của
) (
) ( )(
6 8 2
5
2 − +
+
=
z z
z z
X
Giải : Hàm X(z) là phân thức dạng chính tắc Vì đa thức đặc trưng có a0 =2 ≠1 nên phải nhóm thừa số 2 ra ngoài Để
nhận được hàm gốc x(n) dạng không trễ, phân tích hàm :
)(
)(
))(
(
)(
) (
)(
)(
3 1
3 1 2
5 34
2
+
= +−
+
=
z z
z zz
z
z zz
z
z z
X
Theo [2.3-17] xác định được các hệ số B0, B1, và B2:
6
5 312
5 0
31 2
5
))((
))(
(
)(
0
−−
=⇒
=
−−
B
zz zz
zz
2
3 4
6 311.2
51 13
12
15
).(
)(
))(
(
))(
(
1
−
=
−
+=⇒
=
−−
−+
B
zz zz
zz
Trang 62 12
8 133.2
53 3
31 2
35
).(
)(
))(
(
))(
(
2
−
+=⇒
=
−−
−+
B
zz zz
zz
Vậy :
) ( )
(
) (
3
1 3
2 1
1 2
3 1 6
5
−
+
−
−
=
z z
z z
z
X
3 3
2 1 2
3 6
5
−
+
−
−
=
z
z z
z z
X
Vì dãy x(n) là nhân quả nên RC[X(z)]:|z| >3, theo [2.3-18] nhận được :
) ( )
( )
( )]
( [ )
3
2 2
3 6
5
n u n
u n
z IZT n
2.3.3b Trường hợp hàmX (z) có nhiều cực dạng phức tạp
Để đơn giản và dễ hiểu mà không làm mất đi tính tổng quát, giả sử X(z) là hà m [2.3-10] hoặc [2.3-11] dạng chính
tắc và có r cực thực đơn z pk , một cực thực bội z pq bậc q, một cặp cực phức liên hợp z pevà *
pe
z , khi đó có thể phân tích
X(z) thành tổng của các phân thức dạng :
=
+
−
+
−
i r
k pe
z z z
X
1 0
(
* )
(
)
Trong đó thành phần ứng với r cực thực đơn z pk là :
∑
k b
z z z
X
) (
[2.3-20]
Thành phần ứng với cực thực bội z pq bậc q là :
∑
i c
z z z
X
) (
[2.3-21]
Thành phần ứng với cặp cực phức liên hợp z pevà *
pe
z là : ) (
* )
(
) (
*
pe pe
e
z z z
z z
X
−
+
−
=
[2.3-22]
Tương tự trường hợp hàm X(z) chỉ có các nghiệm thực đơn, các hệ số B kcủa [2.3-20] được xác định theo [2.3-17] VớiRC[X b(z)] : |z| > max z pk , từ hàm Xb(z), theo [2.3-18] nhận được thành phần x b(n) :
∑
=
=
k
n pk k b
0
) ( )]
( [ )
Các hệ số C icủa [2.3-21] ứng với cực thực bội z pq , được xác định như sau :
pq
q pq i
q
i q
z
z dz
d i q
X
−
) (
) ( )!
) (
1
[2.3-24]
VớiRC[X c(z)]:| z|>|z pq |, từ hàm Xc(z) nhận được thành phần xc(n) :
=
−
−
−
−
−
=
i
i n pq i
c
i
i n n
n
X
IZT
n
x
1
) (
) (
)!
(
) ) (
( )]
(
1
1 1
[ )
Các hệ số phức
E và E*ứng với cặp cực phức liên hợp z pevà *
pe
z Ta chỉ cần xác định
E theo biểu thức :
e
j pe
z z z
z
E
X
[2.3-26]
vì theo lý thuyết hàm biến số phức thì f ( z *) = f * ( z ), nên có :
e
j pe
z z z
z
E E
X
z
) (
) (
*
Trang 7Do đó có :
) (
) (
) (
*
.
pe
j pe
j e
z z
e z
z
e z
X
−
+
−
pe j
pe
j e
z z
z e
z z
z e
X
−
+
−
vớiRC[X e(z)]:|z |>| z pe |, từ hàm Xe(z) nhận được hàm gốc xe(n) :
) ( ) ( )
( ) ( )]
( [ )
pe j n
pe
j e
) ( )
| (|
) ( )
| (|
)
pe j n
j pe
j e
p e
p
=
)
( ) (
|
| )
pe
2
2
) ( )
(
) (
|
| )
(
e p e
n j n
pe e
e e
n u z n
ϕ ϕ ϕ
ϕ
Vậy : x e(n) = IZT[X e(z)]=2E.|z pe |n u(n).cos(nϕp +ϕe) [2.3-27]
Trong đó hệ số phức E =E.e jϕe được xác định theo biểu thức [2.3-25]
Từ đó, theo tính chất tuyến tính của biến đổi Z nhận được :
) ( ) ( ) ( )]
( [ )
Trong đó, x b(n) được xác định theo [2.3-23], x c(n) được xác định theo [2.3-25], và x e(n) được xác định theo [2.3-27]
Ví dụ2.19 : Cho a2 < b2, hãy tìm hàm gốc x(n) của hàm ảnh :
)
( )
2a z b z
z z
X
+ +
Giải : Bài này đã được giải bằng phương pháp thặng dư ở ví dụ 2.16 ở đây sẽ dùng phương pháp phân tích X(z) thành tổng của các đa thức đơn giản Để nhận được dãy x(n) dạng không trễ, phân tích hàm :
)
(
) (
2
2 2
1
b z a z z
z X
+ +
=
Vì a2 < b2, nên phương trình đặc trưng z2 + 2a.z+b2 = 0có hai nghiệm là cặp số phức liên hợp :
p
j p
z =− + ( 2 − 2) =| | ϕ
p
z* =− − ( 2− 2) =| | − ϕ Với : |z p| = a2 + (b2 −a2 ) =b
−
=
a a b arctg
p
) ( 2 2
Để sử dụng công thức [2.3-27], theo biểu thức [2.3-26] tìm được :
) (
) )(
(
) (
*
*
1
p p
p p
p
p
z z z
z z z z z
z z
E E
−
=
⇒
=
−
−
−
) (
) (
)
a b
e a
b j a a
b j a
j
E
−
=
−
=
− π
Vậy :
) (
|
|
2 2
2
1
a b
E
E
−
=
=
và
2
] [E =ϕe = − π
Arg
Theo [2.3-27] nhận được dãy x(n) :
−
=
2
2
1
) (
) (
2 2
π
ϕp
a b n
Biến đổi lượng giác và xác định ϕp theo [2.3-29], nhận được kết quả :
Với a2 <b2 và RC[|z| >|b| thì :
−
−
=
+
a b arctg n a
b
n u b b
z a
z
z IZT
sin ) (
) ( )
(
2 2
2 2 2
So sánh [2.3-30] và [2.3-7] cho thấy, hai phương pháp thặng dư và phân tích X(z) thành tổng các phân thức đơn
giản cho cùng một kết quả
Trang 8Các công thức [2.3-27] và [2.3-30] thường được sử dụng như một cặp biến đổi Z thông dụng để tìm biến đổi Z
ngược của các hàm X(z) có hai nghiệm đơn là cặp số phức liên hợp.
Ví dụ2.20 : Tìm dãy nhân quả x(n) của ( )2
) (
) (
1 2
5 , 2
−
−
=
z
z z z
X
Giải : Vì đa thức ở mẫu có a0 =2 ≠1 nên phải nhóm thừa số 2 ra ngoài Để nhận được dãy x(n) dạng không trễ, phân tích hàm :
2 2 1
5 , 0 4
5 , 2
( ) (
) (
) (
) (
−
+
−
=
−
−
=
z z
z
z z
X
Trong đó các hệ số được xác định như sau :
4
1 5, 0 4
5,
2 5,
0 5,
) (
)
z dz
d z
z z
z dz
C
2
1 4
5,2
5,0 5,0 4
5,2 5,0
) (
=
−=
=
−
z
z
X C
Thay giá trị các hệ số trên vào [2.3-31] nhận được :
2 ) (
)
( )
(
5 , 0
1 2
1 5 , 0
1 4
1
−
−
−
=
z z
z
z X
2 ) (
) (
) (
5 , 0
5 , 0 5
, 0 25 , 0
−
−
−
=
z
z z
z z
X
Vì x(n) là dãy nhân quả nên với RC[X(z)]:|z|>|0 , 5|, theo bảng 3.2 nhận được :
) ( ) (
) ( ) (
)
(n 0 , 25 0 , 5 u n n 0 , 5 u n
Hay : x(n) = 2 −n u(n).( 0 , 25 −n)
Ví dụ2.21 : Hãy tìm dãy x(n) của hàm ảnh :
) )(
(
) (
) (
1 4 4 1
3 2
2 2
2
+
− +
− +
=
z z z
z z z
Giải : Vì đa thức ở mẫu có a0 =4 ≠1 nên phải nhóm thừa số 4 ra ngoài Để nhận được hàm gốc x(n) dạng không trễ, phân tích hàm :
2 2
2 2
) 5 , 0 4
3 2
25 , 0 1
4
3 2
)(
)(
(
) (
) )(
(
) (
)
(
− +
−
− +
= +
− +
− +
=
z j z j z z
z z z
z z
z
z z z
z
X
[2.3-32]
Phương trình đặc trưng z(z−j)(z+j)(z − 0 , 5 )2 = 0 có :
- Một nghiệm đơn tại z p0 = 0,
- Một nghiệm bội bậc 2 tại z p1 = 0 , 5,
- Hai nghiệm phức liên hợp tại z p2 = j và z*p = −j
2
⇒ |z p2 | = 1 và
2
Theo các cực điểm trên, có thể phân tích hàm [2.3-32] thành dạng :
) (
* )
( ) (
) (
)
(
2 2 1
5 , 0 5
,
z z
z
X
+
+
−
+
−
+
− +
=
[2.3-33]
Trong đó các hệ số được xác định như sau :
Trang 93 5,014
3 05,0 14
32
2
).(.
))(
(
)(
)(
−+ −+=
zz z
zz zzz
z
X
B
5,0 14
3
2 5,0
5,0
)(
)
( )(
)(
2
2 2
1
=
+
−+
==
−= z
zz
zz dz
d z
z z
z dz
C
44 , 3 5 , 0 1
4
3 2
1 3 1 4 1
2 2 2
2 2
2 1
) (
) )(
( ) )(
(
=
= +
− + +
− + +
z z
z z z
z z
z
C
8,0 5,0 14
32 5,0
5,0
)(
)
( )(
)(
2
2 2
2 −==
+ −+=
−=
zzz
zz zz z
z
X
C
1, 2
2
.5
,0 5,
0 4
3 2
) )(
(
) (
) ( )
e j
z z
j z z
z
z j
z j
z z
z
X
− +
− +
=
=
=
Thay giá trị các hệ số vào [2.3-33], nhận được :
) ( ) ( )
( ) (
)
2
5 , 0
5 , 0 5
, 0
8 , 0 5
, 0
44 , 3 3
j z
e j
z
e z
z z
z
X
+
+
−
+
−
−
− +
1 , 1 1
, 1
5 , 0
5 , 0 5 , 0
8 , 0 5 , 0 44 , 3
3
) ( )
( ) ( )
( )
j z
z e
j z z
z z
z
X
+
+
−
+
−
−
− +
Theo bảng 3.2 và công thức [2.3-27] , với RC[X(z)]:|z| >1, nhận được :
+
− +
2 1
5 , 0 2 5
, 0 6 , 1 5
, 0 44 , 3 ) (
)
2
.6,1 44,3
− +
−
![Theo [2.1-18] hoặc bảng 2.3, với RC[ X(z )] :| z| > max[ zpk ], nhận được : - xu ly so tin hieu](https://123doc.top/img.php?url=https%3A%2F%2F123docz.net%2Fimage%2Fdoc_normal.png)