các phương pháp tính tích phân

Định lý: Nếu Fx là một nguyên hàm của hàm số fx trên khoảng a;b thì : a , Với mọi hằng số C , Fx +C cũng là một nguyên hàm của hàm số fx trên khoảng đó b , Ngợc lại mọi nguyên hàm của hà

Chõm Tổ Toán -Trờng THPT Xuân Huy

chuyên đề nguyên hàm tích phân và ứng dụng

Phần I :Nguyên hàm

A Các kiến thức cần nhớ :

1 Định nghĩa :

Hàm số F(x) đợc gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) Trên Khoảng (a;b) nếu mọi x thuộc (a;b) ta có : F’(x) = f(x) Nếu thay khoảng (a;b ) bằng Đoạn [a ;b] thì ta phải có thêm :

F(a+) = f(a) và F(b−) = f(b)

2 Định lý:

Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a;b) thì :

a , Với mọi hằng số C , F(x) +C cũng là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng đó

b , Ngợc lại mọi nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a;b) đều có thể viết dới dạng F(x) +C với C là hằng số

Ngời ta ký hiệu họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) là ∫ f x dx( ) Do đó viết ∫ f x dx( ) = F(x) +C

*Bổ đề : Nếu F’(x) = 0 trên khoảng (a ; b) thì F(x) không đổi trên khoảng đó

3 Các tính chất của nguyên hàm :

(∫ f x dx( ) )’ = f(x)

∫af x dx( ) = a∫ f x dx( ) (a≠0)

∫ [ f x( ) +g x dx( )] =∫ f x dx( ) +∫g x dx( )

∫ f t dt( ) = F(t) +C ⇒∫ f u x u x d x[ ( ) ( ) ( )] , = F u x[ ( )] +C = F(u) + C (u=u(x))

4 Bảng các nguyên hàm :

Nguyên hàm của các hàm số sơ

cấp thờng gặp

Nguyên hàm của các hàm số Hợp (u=u(x))

dx

x dxα =

α + + (α ≠-1) ∫u duα = uα1 C

α + + (α ≠-1)

dx

x

∫ = ln x +C (x≠0) du

u

∫ = ln u +C (u=u(x)≠0)

e dx e= +C

e du e= +C

∫

ln

x

a

= + < ≠

ln

u

a

= + < ≠

∫ cosxdx= sinx C+

sin xdx= −cosx C+

2

cos

dx

tgx C

x= +

du tgu C

u = +

∫

2

s

dx

cotgx C

in x = − +

s

dx

gu C

in u = − +

∫

B các cách xác định nguyên hàm :

Cách 1: xác định nguyên hàm bằng định nghĩa :

*Bài 1: Chứng minh rằng với mọi x thuộc R ta có :

1) cos(ax b dx) 1sin(ax b) C a( 0)

a

∫

2) sin(ax b dx) 1cos(ax b) C a( 0)

a

∫

3) e ax b dx 1e ax b C

a

CM :

1, Thật vậy tacó :( 1sin(ax b) C

a + + ),= cos(ax+b)

Chứng minh tơng tự cho ý 2,và3, Có thể coi kết quả của ví dụ 1 là các công thức bổ xung để tính nguyên hàm

* Bài 2 : CMR hàm số F(x)= ln (x+ x2 +a ) với a>0

là một nguyên hàm của f(x)= 21

x +a trên R

Giải :Ta có

F’(x)= [ln (x+ 2

x +a )]’= 2

2

2 1 2

x

x a

+

+

=2 2 2 2 : 2

x a

+ + + ( x+

2

x +a)= 2

1

x +a =

=f(x)

* Bài 3 : Tìm một nguyên hàm của hàm số f(x) Biết :

a , f(x) = e2x+1 Biết F(-1

2 )=3 2

b, f(x) = 3 x− 7 Biết F(8) = 2

c, f(x)=

2

( 1)

x

+ + − + Biết F(0) = 8

Giải : a , Ta có F(x) = ∫e2x+ 1dx= 12 ∫e2x+ 1d x(2 + 1)= 1

2e2x+1 +C Vì F(-12)=32 ⇔ 12e

2(-1

2 )+1 +C = 32 ⇔ 12+C =32 ⇔C =1 Vậy một nguyên hàm của hàm số f(x) là: F(x) =1

2e2x+1 +1

ý b, c Giải tơng tự

Cách 2 : Xác định nguyên hàm bằng việc sử dụng bảng nguyên hàm của hàm số sơ cấp

Ví dụ : Tìm nguyênhàm của hàm số f(x)= 1 32 5x

x x− −

Ta có (1 32 5 )x

x x− −

x

−

ln 5

x

C

x− + Bài tập tơng t tìm nguyênhàm của các hàm số

a, f(x)=3x2-4x+5 Hớng dẫn : Viết lại f(x)= ∫3x dx2 −∫4xdx+∫5dx

b,f(x)=(x3-2)2 Hớng dẫn :Viết lại f(x)= x6 –4x+4

c,f(x)=( x 1)3

x

+ Hớng dẫn : Viết lại f(x)= x x 3x 3 x 1

x

Cách 3 :Xác định nguyên hàm bằng việc sử dụng bảng nguyên hàm của hàm hợp :

Ví dụ : Tìm I= sin

1 4cos

x dx x

+

∫

Ta có d(1 4cos )+ x = -4sin x dx ⇒sin xdx= -1

4 d(1 4cos )+ x Vậy I =-1 (1 4cos )

4 1 4cos

x

+ +

4ln 1 4cos x+ +C

Bài tập t ơng t : Tính

a, J=∫(3x+5 ) dx 7 Hớng dẫn : Ta có J=1

3

7

(3x+ 5)

b, k= 4

sin cosx xdx

sin (sin )x d x

∫

c, m= 2

2 1

3

x

dx

x x

−

− +

∫ Hớng dẫn : Ta có m= (22 3)

3

d x x

dx

x x

− +

− +

∫

d , n = (2lnx 1)2 dx

x

+

2

2

(2lnx+ 1) (2 lnd x+ 1)

∫

f , p = 2

1

x

x

e

dx

e +

∫ Hớng dẫn : Ta có p=2 ( 1)

1

x x

d e e

+ +

∫

g , q = 2

2

xdx

x +

∫ Hớng dẫn : Ta có q= 1

2

1

(x + 2)− d x( + 2)

∫

Phần II Tích phân

A Các kiến thức cần nhớ :

1 Định nghĩa tích phân :

Ta có công thức Nu tơn –laipnit

( ) ( )

b

a

f x dx F x=

2 Các tính chất của tích phân

B Các ph ơng pháp tính tích phân :

1, Phơng pháp đổi biến số :

Dạng 1: Nếu hàm số trong dấu tích phân là sin x (hoặc cosx) bậc lẻ

Ví dụ a, I=2 5

0

sin xdx

π

∫ b, J =2 3

0

cos xdx

π

∫

(hoặc sin x) nhờ công thức sin 2 x +cos 2 x =1

Giải : a, ta có I =2 4

0

sin xsinxdx

π

0

(1 cos ) sinx xdx

π

−

∫

Đặt t= cos x ⇒ dt =- sin x dx

với x= 0 ⇒ t=1

với x=

2

π ⇒ t=0

Vậy I= -

0

2 2 1

(1 −t ) dt

1

2 4 0

(1 2 − t +t dt)

3 5 1

0

2

)

t +t = 8

15

b, J =2 3

0

cos xdx

π

0

(1 sin ) cosx xdx

π

−

Đặt t= sin x giải tơng tự ta đợc : J=2

3

Dạng 2 : Nếu hàm số trong dấu tích phân là sin x (hoặc cosx) bậc chẵn

Ví dụ a, I=2 2

0

sin xdx

π

∫ b, J = 4

2

cos xdx

π π

∫

Giải : a, Ta có : I=2 2

0

sin xdx

π

0

1 cos 2 2

x dx

π

−

∫ = 1( 1sin 2 ) 20

π

4

π

b, Giải tơng tự ta có J=3

16

π

Dạng 3 : Nếu hàm số trong dấu tích phân chứa căn bậc hai có thể đa đợc về dạng f(u) du

Ví dụ 1 : Tính tích phân a, I=

2 2 3

x dx

x +

∫ c, 2

2 0

sin 2

4 cos

x dx x

π

−

b, J=

2

0

2.

x + x dx

∫

Giải : a, Đặt t= x3+2 ⇒dt =3x2dx ⇒ x2dx =1

3dt Với x=1 ⇒ t = 3

x=2 ⇒ t = 10

⇒ I=

2 2 3

x dx

x +

2

3

1 3

dt

t =

3

1

3 t dt

−

∫ = 2 103

3 t = 2( 10 3)

b, J=

2

0

2.

x + x dx

2

0

2.

x + x xdx

∫

Đặt t= x2+2 ⇒ x2= t-2

dt =2xdx ⇒ xdx =1

2dt Với x=0 ⇒ t = 2

Với x= 2 ⇒ t = 4

Vậy J=

4

2

1 ( 2)

2∫ t t− dt Tính toán ta có J =8(2 2)

15

+

c, K=2

2 0

sin 2

4 cos

x dx x

π

−

2 0

(4 cos )

4 cos

dx x

π

−

−

∫

Dạng 4 : Nếu hàm số trong dấu tích phân chứa căn bậc hai mà biểu thức trong căn là 1- x 2

hoặc a 2 -x 2 (a>0)

• Ph ơng pháp chung :

2 2

π π

∉ − 

  )

Ví dụ : Tính I =

2 2 2

2

0 1

x dx x

−

Đặt x= sin t⇒ dx = cos t dt

Với x=0 ⇒ t = 0

Với x= 2

2 ⇒ t =

4

π

Ta có

2 2

1

x dx

x

− =

2 2

sin cos

1 sin

t tdt t

2

sin cos cos

t tdt

t =sin cos2

cos

t tdt

t =sin2t Vậy I=4 2

0

sin tdt

π

2

4

0

(1 cos 2 )t dt

π

−

∫ =1( 1sin 2 ) 40

2 t 2 t

π

8 4

π −

áp dụng phơng pháp trên ta có thể giải đợc các tích phân sau :

a,

1

2 0

1

x −x dx

b ,

1

0

1

x −x dx

∫

Dạng 5 : Nếu hàm số trong dấu tích phân là phân thức có mẫu chứa biểu thức a 2 +x 2 hoặc căn của a 2 +x 2 (a>0)

• Ph ơng pháp chung :

2 2

π π

∉ − ữ

  )

Ví dụ : Tính tích phân: I=

2 2

0 4

dx x

+

∫

Giải : Đặt x= 2 tg t Với t ;

2 2

π π

∉ − ữ

Đổi cận : x= 0 ⇒ t = 0

x=2 ⇒ t =

4

π

Vậy ta Đặt x= 2 tg t Với t 0;

4

π

 

∉  

⇒ I=4

0

2 cos (4 4 )

dt

t tg t

π

+

0

1

2 dt

π

∫ = 1 40

2t

π

= 8

π

Dạng 6 : Nếu hàm số trong dấu tích phân là phân thức hữu tỷ có bậc của tử bằng hoặc

cao hơn bậc của mẫu

*Ph ơng pháp chung :

Ta phân tích nó bằng cách chia tử cho mẫu

Ví dụ : Tính các tích phân sau :

a, I=

3 2

0

1

dx x

− +

−

∫

b, J=

1

2 1

dx x

+ −

+

∫

Giải :

a, I=

3 2

0

1

dx x

− +

−

3

0

2

1

x

− +

−

2

x

− + − =4 ln 2 9

2

−

b, J=

1

2 1

dx x

+ −

+

∫ Giải tơng tự

Dạng 7 : Nếu hàm số trong dấu tích phân là phân thức hữu tỷ có bậc của tử thấp hơn bậc

của mẫu mà mẫu có nghiệm

*Ph ơng pháp chung :

Ta phân tích mẫu thức Thành tích các nhân tử bậc nhất rồi đồng nhất hóa tử thức

Ví dụ : Tính I=

5 2 0

1

3 2dx

x − +x

5

0

1 (x− 1)(x+ 2)dx

∫

Ta có 2 1

x − +x =

1 (x− 1)(x− 2)

Ta tìm A và B sao cho (x−1)(1x−2)=(x−A2) +(x B−1) Ax A Bx(x− +−1)(x−−2)2B = =(A B x A(+x−)1)(− −x−2)2B

Đồng hóa tử thức ta có hệ { 0

2 1

A B

+ =

− − = { 1

1

A B

=

=−

Vậy(x−1)(1x−2)=(x−12) -(x1−1)

⇒ I=

5

0

1 (x− 1)(x+ 2)dx

5

0

(x 2) −x 1 dx

∫ =(ln x− − 2 ln x− 1) 50= ln3

4-ln2 =ln3

8 Bài tập tơng tự :Tính tích phân : a,

6 2

x dx

x − x+

∫

b,

4 2 2

4

x dx

x + x+

∫

Dạng 8 : Nếu hàm số trong dấu tích phân có dạng tích của hai hàm số lợng giác

Ví dụ : Tính tích phân I=6

0

sin 6 sin 2x xdx

π

∫ Giải : Ta có:

I=6

0

sin 6 sin 2x xdx

π

2

6

0

(cos 4x cos8 )x dx

π

−

2 (1

4sin4x-1

8sin8x) 60

π

=3 3 32

Bài tập tơng tự :Tính tích phân : a, 3

0

cos3 cos 7x xdx

π

∫

=

b, 2

0

sin 5 cos 7x xdx

π

∫

2 Ph ¬ng ph¸p tÝnh tÝch ph©n tõng phÇn

D¹ng 1 : BiÓu thøc trong dÊu tÝch ph©n cã d¹ng P(x)lnxdx

*Ph ¬ng ph¸p chung : §Æt { ln

( )

u x

dv P x dx

=

=

VD:TÝnh

a, I=

5

2

2

ln( 1)

x x− dx

3

1

4 lnx xdx

∫ Gi¶i:

a, I=

5

2

2

ln( 1)

x x− dx

∫

ln( 1)

u x

dv x dx

3

dx du x x v

=

−

=



⇒ 



VËy

5

2

2

ln( 1)

x x− dx

2

ln( 1) 3

x

x−

-5 3

2

1

x dx

x−

∫ =125ln 4 8ln1

5 2 2

3 x + + +x x 1 dx

−

∫ =

2

− + + + − =1(248ln 4 105)

b,J=

3

1

4 lnx xdx

∫ Gi¶i t¬ng tù ta cã J=18ln3-8

D¹ng2 : BiÓu thøc trong dÊu tÝch ph©n lµ tÝch cña 1 ®a thøc víi sinx hoÆc cosx d¹ng ( )

b

a

P x sinxdx

∫

b

a

P x xdx

∫

sin

u P x

dv= xdx

=

VD:TÝnh

a,I=2

0

cos

x xdx

π

∫ b, J=2 2

0

s

x inxdx

π

∫

Gi¶i

a,§Æt { cos

u x

dv xdx

=

du dx

v = x

=

⇒

VËy I= xsinx 20

π

- 2

0

sin xdx

π

∫ = xsinx 02

π + cosx 02

π

=(xsinx+cosx) 02

π

2

π + − = 1

2

π −

b, J=2 2

0

s

x inxdx

π

∫ Gi¶i t¬ng tù J=π − 2

D¹ng 3 : BiÓu thøc trong dÊu tÝch ph©n cã d¹ng x e dxα x

u x

dv e dx

α

=

=

VD:

a,I=

1

0

x

xe dx

1

0

sinxe dx x

∫ Gi¶i:

a, §Æt { x

u x

dv e dx

=

du dx

v e

=

=

⇒

VËy I= x 10

xe

-1

0

x

e dx

∫ = (xex-ex) 10 = ex(x-1) 10= e(1-1)-e0(0-1) = 1

b, J=

1

0

sin x

xe dx

∫ Gi¶i t¬ng tù J=1 2

( 1)

2 e

π

+

Phần: IIIMỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

I - BÀI TOÁN 1: Tính diện tích hình phẳng

Dạng 1:

Hình phẳng giới hạn bởi 4 đường: y = f(x), y = g(x), x = a, x = b

Diện tích

b

a

S =∫ f(x) - g(x) dx

Đặc biệt nếu g(x)= 0 thì

b

a

S =∫ f(x) dx

Để tính S ta phải phá f(x) - g(x)  bằng cách:

- GPT f(x) = g(x) nếu trên [a;b] PT f(x) = g(x) có nghiệm α, β (α≤ β )thì

b

a

S =∫ f(x) - g(x) dx =

a

α

∫  f(x) - g(x) dx +

β

α

∫  f(x) - g(x) dx +

b

β

∫  f(x) - g(x) dx

= 

a

α

∫ [ f(x) - g(x) ] dx + 

β

α

∫ [f(x) - g(x) ] dx + 

b

β

∫ [ f(x) - g(x) ] dx

Ví dụ: Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường sau:

a) y = sinx, y = 0, x = 0, x =

3

π

b) y = x2, y = x, x = -1, x = 2

H ướng dẫn giải:

a) 3

0

S

π

=∫ sinx dx = 3

0

π

∫ sinx dx (vì trên [0;

3

π

] sinx ≥0 )

KQ: S=1

2(đvdt)

b) GPT

1

x

x

=



= ⇔  =

S = 

0

1

−∫ (x2 - x ) dx + 

1

0

∫ (x2- x ) dx + 

2

1

∫ (x2 - x) dx

KQ: S=19

6 (đvdt) Bài tập tương tự:

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:

1) y = 5x4 +3x2 +1, y = 0, x = 0, x = -1

2) y = x2 -4x, y = -x-2, x = 0, x = 2

3) y = cosx, y = 0, x =

2

π

, x = π

Dạng 2:

Hình phẳng giới hạn bởi 2 đường y = f(x) và y = g(x)

hoặc hình phẳng giới hạn bởi 3 đường y = f(x) , y = g(x) và x = a

Dạng này khuyết cận,giáo viên cần hướng dẫn học sinh xác định cận bằng cách GPT f(x) = g(x)

Ví dụ : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:

a) y = x3- 3x2; y = 2x

b) y = 1; x = y3 ; x = 8

Hướng dẫn giải:

a) Xét PT x3 -3x2 = -2x

0 1 2

x x x

=





⇔ =

 =



S= 

1

0

∫ (x3- 3x2 +2x) dx + 

2

1

∫ (x3- 3x2 +2x) dx 

KQ S=1

2(đvdt) b) Ta có x =y3 ⇔ y = 3 x

GPT 3 x = ⇔ 1 x = 1

V ậy S=

8

1

∫  3 x − 1dx =

8

1

∫ ( 3 x − 1)dx

KQ S = 17

4 (đvdt)

Bài tập Tương tự:

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:

1) y = 4 2 3

x

x

− − , y = 0

2) y = x2 - 2x+4, x - y + 4 = 0

3) y = 12

x

e− , y =

x

e− , x = 1 4) y = lnx, y = 1, x = 1

Dạng 3:

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:

y = f(x), y = g(x), y = h(x)

Trong trường hợp này ta phải phác hoạ hình vẽ, giải các phương trình:

f(x) = g(x), g(x) = h(x), f(x) = h(x) để chia khoảng,xác định cận của tích phân

Ví dụ: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:

y =1 2

2x − x+ , y = 3

2

x

− + , y = 2x - 6

Ta GPT: 1 2

2x − x+ = 3

2

x

− + ⇔x = 1

3

2

x

− + = 2x - 6 ⇔x = 5

2

2

1

2x − x+ = 2x - 6 ⇔x = 4

S=

5

4 2

5 1

2

2x − x+ + −x 2 dx+ 2x − x+ − x+ dx

KQ: S = 9

8(đvdt)

0

2

4

y=2x-6

2

x

− +

y=1 2

2x − x+

3 2

y

x

Bài tâp tương tự:

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:

1) y = x, y = 0 , y = 4 - x

2) y = x2 + 3x + 2 và 2 tiếp tuyến của (P) tại giao điểm của nó với trục hoành

BÀI TOÁN 2: Tính thể tích vật thể tròn xoay

Dạng 1:

Giả sử vật thể tròn xoay sinh ra bởi các đường y = f(x), y = 0, x = a, x = b khi quay xung quanh trục 0x V = 2

b

a

y dx

π ∫

Ví dụ: Tính diện tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường sau khi quay xung quanh trục 0x

1) y 4

x

= , y= 0, x = 1, x = 4

2) y = -3x2+3x+6, y = 0

3) y2= 4x, y = x

Hướng dẫn giải:

1) V =

2

2

4

16 dx

dx

π   ÷ = π

 

KQ: s = 12 π (đvtt)

2) Xét PT: -3x2+3x+6 = 0 <=> 1

2

x x

= −



 =



3 x 3 x 6 dx 9 x 2 x 3 x 4 x 4 dx

KQ: V = 729

10 π (đvtt 3) Ta có y2= 4x <=> y = 4x

GPT x = 4x <=> 0

4

x x

=



 =



V = V1-V2=

2

π∫ −π∫

KQ V = 32

3 π (đvtt) Bài tập tương tự:

1) y = x3 +1, y = 0, x = 0, x = 1

2) y = 5x-x2, y = 0

3) y = 2x2, y = x3

Dạng 2: Vật thể tròn xoay sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường: x= g(y), x = 0, y = a,

y = b khi nó quay xung quanh trục 0y

V= 2

b

a

x dy

π ∫

V í d ụ: Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường: y2 = x3,

y = 0, x = 0 khi nó quay xung quanh trục 0y

Hướng dẫn giải:

Từ y2 = x3 <=> x = 3 y2

Giải PT: 3 y2 = ⇔ = 0 y 0

V =

1 4 3 0

y dy

π ∫

KQ: V = 3

7 π

0

4

4 -4

4x

y

x