Chuyên đề giới hạn môn toán lớp 11

Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm .... Xét tính liên tục của hàm số trên một tập .... 2 Hàm số yf x không liên tục tại x0 ta nói hàm số gián đoạn tại x0 y f x liên tục trên

GIỚI HẠN HÀM SỐ TẬP 1

220 BÀI TẬP TRẮC GIỚI HẠN HÀM SỐ CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT

https://web.facebook.com/phong.baovuong

CHƯƠNG IV: GIỚI HẠN

TẬP I GIỚI HẠN DÃY SỐ VÀ GIỚI HẠN HÀM SỐ

Định lí 1 Nếu dãy số (un) thỏa u n v n kể từ số hạng n|o đó trở đi v| limv n 0 thì limu n0

Định lí 2 Cho limu n a, limv nb Ta có:

3 Tổng của CSN lùi vô hạn

Cho CSN ( )u n có công bội q thỏa q 1 Khi đó tổng

limn k   với mọi k0

 limq n  với mọi q1

4.3.Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cựC.

Quy tắc 1: Nếu limu n , limv n  thì lim( )u v n n được cho như sau;

limu n limv n lim(u v n n)

Quy tắc 2: Nếu limu n , limv nl thì lim( )u v n n được cho như sau;

được coi như sau;

lim n n

u v

 Để chứng minh limu n0 ta chứng minh với mọi số a0 nhỏ tùy ý luôn tồn tại một số n a sao cho

u   a n n

 Để chứng minh limu nl ta chứng minh lim(u n l) 0

 Để chứng minh limu n  ta chứng minh với mọi số M0 lớn tùy ý, luôn tồn tại số tự nhiên n M

sao cho u n M  n n M

 Để chứng minh limu n  ta chứng minh lim(u n) 

 Một dãy số nếu có giới hạn thì giới hạn đó l| duy nhất

1 1lim

2

n n

a n a

a

a n

Vì giới hạn của dãy số nếu có là duy nhất nên ta suy ra dãy (un) không có giới hạn

Ví dụ 3 Chứng minh các giới hạn sau:

82

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP

Bài 1 Giá trị của lim 1

Bài 5 Giá trị của

2

1lim n

3lim n n

Bài 14 Giá trị của lim 2

sin 3limn n n

3 2

n D

Vấn đề 2 Tìm giới hạn của dãy số dựa vào các định lý và các giới hạn cơ bản

  trong đó lim ( ) lim ( )f n  g n   ta thường tách và sử dụng phương ph{p

nh}n lượng liên hơn

n n

n



n A

77

n

n B

n



CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP

Bài 1 Giá trị của

2 2

2lim

3

n n A

2lim

n n B





n n

1 3lim

2 3

Lời giải Ta xét ba trường hợp sau

 kp Chia cả tử và mẫu cho k

51

lim(3 1)

1lim

(2 1)

n C

n

n K

11

n n A

!lim

2

n B

Bài 35 Giá trị củA lim 3.31 41

n D

Bài 42 Tính giới hạn của dãy số

n

k

k u

1

q q

q





Bài 47 Tính giới hạn của dãy số 2

1

n n k

n u

Lời giải Ta chia l|m c{c trường hợp sau

TH 1: nk, chia cả tử và mẫu cho n k, ta được

32

Bài 51 Tính giới hạn của dãy số Dlim n2  n 1 23n3n2 1 n :

1lim

11

1lim

1

11

lim

11

I

a b

Lời giải Từ công thức truy hồi ta có: x n1x n,  n 1,2,

Nên dãy ( )x n là dãy số tăng

Giả sử dãy ( )x n là dãy bị chặn trên, khi đó sẽ tồn tại limx n x

Với x là nghiệm của phương trình : 2

k x

Bài 59 Cho dãy số f( 1)  1, (0) 1f   f( 1) (0)f   1 0 được x{c định bởi: f x( ) 0

Tính giới hạn sau nếu tồn tại: 1; 0

A.  B. C.1

Lời giải Ta chứng minh được: u n  3; n *, do đó

2 1

( 2) ( 2)

05

( 1) 85

n n n

n i

Lời giải Ta có Suy ra f(0) 0

Bài 65 Tìm limu n biết \ 1 

1

q q

1

n n k

  nên suy ra limu n 1

Bài 69 Tìm limu n biết

dau can

2 2 2

n n

n u

n

n u

* Cho hàm số y f x( ) x{c định trên( ; )x b0 Số L gọi là giới hạn bên phải của hàm số yf x( ) khi x dần

tới x0 nếu với mọi dãy ( ) :x n x0x nb mà x nx0 thì ta có: f x( )n L Kí hiệu:

0

lim ( )

x x f x L

* Cho hàm số y f x( ) x{c định trên( ;a x0).Số L gọi là giới hạn bên trái của hàm số y f x( ) khi x dần

tới x0 nếu với mọi dãy ( ) :x n ax nx0 mà x nx0 thì ta có: f x( )n L Kí hiệu:

1.3 Giới hạn tại vô cực

* Ta nói hàm số yf x( ) x{c định trên ( ;a ) có giới hạn là L khi x  nếu với mọi dãy số

* Tương tự ta cũng có định nghĩa giới hạn dần về âm vô cực

* Ta cũng có định nghĩa như trên khi ta thay x0 bởi  hoặc

Sử dụng định nghĩa chuyển giới hạn của hàm số về giới hạn của dãy số

1lim1

x

x B

2

x

x C

Ta có: limx nlimy n0 và lim ( ) 1; lim ( ) 0f x n  f y n 

Nên hàm số không có giới hạn khi x0

2 Tương tự ý 1 xét hai dãy: ;

x

x x

1

x

x x

x

x x

2 1

x

x x

n

x x

Bài 7 Tìm giới hạn hàm số

0

4 2lim

2

x

x x

n

x x

n

x x

1lim2

x

x x

1lim2

x

x x

3lim

x

x x

3 2lim

* Nếu f x( ) là hàm số cho bởi một công thức thì giá trị giới hạn bằng f x( )0

* Nếu f x( ) cho bởi nhiều công thức, khi đó ta sử dụng điều kiện để hàm số có giới hạn ( Giới hạn tráibằng giới hạn phải)

3 2lim

khi 12

( )

khi 13

x x

x x

f x

x x

1lim

Lời giải Ta có:

2 1

1 1 1 1 1lim

sin 1

x

x B

x

x B

7 1 1lim

2

x

x D

4

x

x A

sin 2x 3cos lim

tan

x

x B

1 khi 1( )

x x

f x A

g x



Dạng này ta gọi là dạng vô định0

0

Để khử dạng vô định này ta sử dụng định lí Bơzu cho đa thức:

Định lí: Nếu đa thức f x( ) có nghiệm xx0 thì ta có :

 , nếu giới hạn này có dạng 0

0 thì ta tiếp tục qu{ trình như trên

Chú ý :Nếu tam thức bậc hai ax2bx+c có hai nghiệm x x1, 2 thì ta luôn có sự phân

Do đó:

2 1

( 2)( 2) 3lim

1 Đặt t x 1 ta có:

3 0

2 1 1 2lim

3

t

t B

7 1 2 ( 5 1 2)lim

( 1)( (7 1) 2 7 1 4)

x

x I

2 2 3lim

( 1)( 2)( 2)lim



Lời giải Cách 1: Nhân liên hợp

Ta có:

ax A

3( 2)( 2 1)

3 2lim

1 1lim

x

x D

1 4 1 6lim

4( 2)( 2 4)

Bài 22 Tìm giới hạn

3 1

4 3

x

x C

1 1lim

x

x D

2 0

Lời giải Ta có:

3 1

2lim

x

x x D

1 2 1 3lim

t

t t

Bài toán 03: Tìm lim ( )

( )

x

f x B

2 3

2 3lim

61

5 1

x

x C

x

x E

Lời giải Ta có:

1 1

1 1

0 1

1 1

0 0 1

3 4

1 11

x

x x B

41

5 1

x

x C

Lời giải Ta có: lim 1 1 12 lim 1 1 1 12

1lim

Do đó:

22lim

x

x A

x

x B

1 1

0 1

1 1

 Nếu m n , ta có:

1 1

0 0 1

2 3

x

x B

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP

Bài 1 Tìm giới hạn lim 2 1 

n x

x

x A



1 2 1 3lim

1 cos 2

x

x B

x x

1lim sin

x

ax A

2 sin 2 sin cos

2 sin2

x

x A

tan 2lim

1 cos 2

x

x C

2 0

lim

1 sin 3 cos 2

x

x D

1 sin 3 cos 2 1 sin 3 1 1 cos 2

sin( )

m

n x

x A

Nên theo nguyên lí kẹpA39 0

Bài 11 Tìm giới hạn lim(sin 1 sin )

Lời giải Trước hết ta có: sinx x  x 0

1 1 2 sin 2lim

sin 3

x

x B

x

x B

cos cos

x

x C

sin 2limsin 3

x

x D

Bài 16 Tìm giới hạn

0

1 sin( cos )2lim

sin(tan )

x

x E

sin(tan )tan

x

x x E

x x

n

x

ax M

Bài 21 Tìm giới hạn

3 0

1 1 2 sin 2lim

sin 3

x

x B

x

x B

cos cos

x

x C

sin 2limsin 3

x

x D

sin(tan )

x

x E

sin(tan )tan

x

x x E

x x

2 2

sin2

2 sin

2

2

sin2sin

2sin2

Bài 25 Tìm giới hạn lim3sin 2 cos

1 3 1 2lim

2

12lim

x

x M

x x

CHƯƠNG IV

GIỚI HẠN

TẬP 2 HÀM SỐ LIÊN TỤC

https://web.facebook.com/phong.baovuong

Mục lục

HÀM SỐ LIÊN TỤC 2

Vấn đề 1 Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm 2 Vấn đề 2 Xét tính liên tục của hàm số trên một tập 8 Vấn đề 3 Chứng minh phương trình có nghiệm 14

2) Hàm số yf x( ) không liên tục tại x0 ta nói hàm số gián đoạn tại x0

 y f x( ) liên tục trên một khoảng nếu nó kiên tục tại mọi điểm của khoảng đó

 y f x( ) liên tục trên đoạn a b;  nếu nó liên tục trên  a b; và

a) Hàm số đa thức liên tục trên tập R

b) Hàm số phân thức hữu tỉ và hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng

Định lý 2 Các hàm số yf x y( ), g x( ) liên tục tại x0 Khi đó tổng, hiệu, tích liên tục tai x0, thương ( )

Định lý 3 Cho hàm số f liên tục trên đoạn a b; .

Nếu f a( ) f b( ) và M là một số nằm giữa f a( ) , ( )f b thì tồn tại ít nhất một số c a b; sao cho f c( )M

Hệ quả : Cho hàm số f liên tục trên đoạn a b; .

Nếu f a f b( ) ( ) 0 thì tồn tại ít nhất một số c a b; sao cho f c( ) 0 .

Chú ý : Ta có thể phát biểu hệ quả trên theo cách khác như sau :

Cho hàm số f liên tục trên đoạn a b;  Nếu f a f b( ) ( ) 0 thì phương trình f x( ) 0 có ít nhất một nghiệmthuộc ( ; )a b

Vấn đề 1 Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm Phương pháp:

 Tìm giới hạn của hàm số y f x( ) khi xx0 và tính f x( )0

3 Hàm số 0

0

( ) khi khi

27khi 36

10

khi 33

x

x x

Ví dụ 2 Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm chỉ ra

Suy ra không tồn tại giới hạn của hàm số y f x( ) khi x 1

Vậy hàm số gián đoạn tại x 1

Ví dụ 3 Tìm a để hàm số sau liên tục tại x2

1.  

khi 22

khi 28

( )1 khi 44

x

x x

B Hàm số liên tục tại mọi điểm trên tập xác định nhưng gián đoạn tại x4

C Hàm số không liên tục tại x4

B Hàm số liên tục tại mọi điểm

C Hàm số không liên tục tại x1

Hàm số không liên tục tại x1

Bài 3 Cho hàm số 3   cos khi 1

Khẳng định nào sau đây đúng nhất

A Hàm số liên tục tại tại x1và x 1

B Hàm số liên tục tại x1, không liên tục tại điểm x 1

C Hàm số không liên tục tại tại x1và x 1

Khẳng định nào sau đây đúng nhất

A Hàm số liên tục tại tại tại x0  1

B Hàm số liên tục tại mọi điểm

C Hàm số không liên tục tại tại x0  1

D Tất cả đều sai

B Hàm số liên tục tại mọi điểm như gián đoạn tại x0 0

C Hàm số không liên tục tại x0 0

( )1 khi 13

x

x x

B Hàm số liên tục tại mọi điểm

C Hàm số không liên tục tại tại x1

A Hàm số liên tục tại x0 2

B Hàm số liên tục tại mọi điẻm

C Hàm số không liên tục tại x0 2

( )( 2)

khi 13

x

x x

f x

a x

x x

81

x 

1

3

1lim ( ) 0

B Hàm số liên tục tại mọi điểm

C Hàm số không liên tục trên 2 :

D Hàm số gián đoạn tại các điểm x2

Lời giải TXĐ : D \ 2 

 Với

2 3

1 khi 11

( )

khi 12

x

x x

f x

x

x x

B Hàm số không liên tục trên

C Hàm số không liên tục trên 1 :

D Hàm số gián đoạn tại các điểm x1

Lời giải Hàm số xác định với mọi x thuộc

khi x x

B Hàm số không liên tục trên

C Hàm số không liên tục trên 1 :

D Hàm số gián đoạn tại các điểm x1

Lời giải Hàm số liên tục tại mọi điểm x1 và gián đoạn tại x1

B Hàm số không liên tục trên

C Hàm số không liên tục trên 0;

D Hàm số gián đoạn tại các điểm x0

Lời giải Hàm số liên tục tại mọi điểm x0 và gián đoạn tại x0

B Hàm số không liên tục trên

C Hàm số không liên tục trên 2;

D Hàm số gián đoạn tại các điểm x2

Lời giải Hàm số liên tục tại mọi điểm x2và gián đoạn tại x2

B Hàm số không liên tục trên

C Hàm số không liên tục trên 2;

D Hàm số gián đoạn tại các điểm x 1

Lời giải Hàm số liên tục tại mọi điểm x 1và gián đoạn tại x 1

Bài 10 Xác định ,a b để các hàm số   sin khi 2

2

01

a b

 

  

11

a b

 

  

121

a b

 nên hàm số liên tục trên khoảng \ 1 

Do đó hàm số liên tục trên khi và chỉ khi hàm số liên tục tại x1

Ta có: f(1) 3 m2

3

2 2 1lim ( ) lim

 nên hàm số liên tục trên 0;

 Với x0 ta có f x( ) 2 x23m1 nên hàm số liên tục trên (; 0)

Do đó hàm số liên tục trên khi và chỉ khi hàm số liên tục tại x0

Lời giải Với x2 ta có hàm số liên tụC

Để hàm số liên tục trên thì hàm số phải liên tục trên khoảng ; 2 và liên tục tại x2

 Hàm số liên tục trên ; 2 khi và chỉ khi tam thức

2 1

2' 2

 Để chứng minh phương trình f x( ) 0 có ít nhất một nghiệm trên D, ta chứng minh hàm số yf x( )

liên tục trên D và có hai số ,a b D sao cho f a f b( ) ( ) 0

 Để chứng minh phương trình f x( ) 0 có k nghiệm trên D, ta chứng minh hàm số yf x( ) liên tụctrên D và tồn tại k khoảng rời nhau ( ;a a i i1) (i=1,2,<,k) nằm trong D sao cho f a f a( ) (i i1) 0

Nên phương trình f x( ) 0 có ít nhất một nghiệm thuộc 1; 0

Giả sử phương trình có hai nghiệm x x1, 2

Nên phương trình f x( ) 0 có ít nhất một nghiệm

Giả sử phương trình f x( ) 0 có hai nghiệm x x1, 2

Vậy phương trình luôn có nghiệm duy nhất

Ví dụ 2 Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất một nghiệm :

1 x73x5 1 0 2 x2sinx x cosx 1 0

Lời giải

1 Ta có hàm số f x( )x73x51 liên tục trên R và f(0) (1)f   3 0

Suy ra phương trinh f x( ) 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (0;1)

2 Ta có hàm số f x( )x2sinx x cosx1 liên tục trên R và f(0) ( )f     0 Suy ra phương trinh ( ) 0

Mặt khác f x( ) là đa thức bậc 5 nên có tối đa 5 nghiệm

Vậy phương trình đã cho có đúng 5 nghiệm

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP

Bài 1 Chứng minh rằng phương trình sau có đúng ba nghiệm phân biệt

Bài 4 Chứng minh rằng phương trình :

1 x4x33x2  x 1 0có nghiệm thuộc khoảng 1;1

2 x55x34x 1 0 có năm nghiệm thuộc khoảng 2; 3

3. a x b x c     b x c x a    c x a x b   0 ; , ,a b c0 có hai nghiệm phân biệt

4 (1m x2) 53x 1 0 luôn có nghiệm với mọi m

5 m2.(x 2) m x( 1) (3 x2)43x 4 0 có nghiệm với mọi m

Bài 5 Cho các số thực dương m,n,p thỏa mãn: n m mp n ;  2và a b c 0

m  n p Chứng minh rằng phương trình : f x( )ax2bx c 0 luôn có nghiệm

   Chứng minh rằng tồn tại ít nhất một số 0

c sao cho f c( )c

3 Tìm tất cả các hàm số f :  liên tục tại x0 thỏa: f(3 )x  f x( )

4 Cho hàm số f : 0;1    0;1 liên tục trên 0;1 và thỏa f(0) f(1)

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì phương trình f x( ) f x( 1) 0

n

   luôn có ít nhất một nghiệmthuộc đoạn 0;1

Vấn đề 3 Chứng minh phương trình có nghiệm Bài 1

Mà f(x) là đa thức bậc ba nên f(x) chỉ có tối đa 3 nghiệm

Vậy phương trình đã cho có đúng ba nghiệm

Mà f(x) là đa thức bậc ba nên f(x) chỉ có tối đa 3 nghiệm

Vậy phương trình đã cho có đúng ba nghiệm

  , suy ra phương trình f x( ) 0 có ít nhất một nghiệm

Bài 4 Gọi f x( ) là vế trái của các phương trình

Nên ta có điều phải chứng minh

4 Ta có hàm số y f x( ) liên tục trên và lim ( ) lim ( ) 0

( )n n n

m  m  m Mặt khác từ : a b c 0

Nếu a   0 b 0 f x( ) là đa thức không, do đó f(x) sẽ có nghiệm trong (0;1)

Nếu a0, từ giả thiết b n 1

a m

    và f x( )x ax b(  ) 0(0;1)

2 Hàm số : f x( ) cos x x 2 liên tục trên và f(0) (1) 1(cos1 1) 0f   

Suy ra    0;1 : ( ) 0f   hay cos  2

Mặt khác hàm số ycosx là hàm nghịch biến trên (0;1), hàm yx2 là hàm đồng biến trên  0;1 nên  là

số duy nhất

Hàm số g x( )xtanx1 liên tục trên  0;1 và f(0) (1)f  1(tan1 1) 0  , đồng thời hàm số g x( ) đồng biến

trên (0;1) nên tồn tại duy nhất số thực  (0;1) sao cho tan 1 0

Vì sinxx  x 0 nên g( ) sin 1 0 f( )  



CHƯƠNG IV

GIỚI HẠN

TẬP 3 175 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TỰ LUYỆN

https://web.facebook.com/phong.baovuong

Mục lục

TỔNG HỢP LẦN 1 CHƯƠNG IV GIỚI HẠN 2

ĐÁP ÁN LẦN 1 10

TỔNG HỢP LẦN 2 11 TỔNG HỢP LẦN 3 17

ĐÁP ÁN LẦN 3 22

BÀI TẬP TỔNG HỢP

TỔNG HỢP LẦN 1 CHƯƠNG IV GIỚI HẠN

Với mỗi câu từ số 1 đến 91 dưới đây đều có 4 phương án lựa chọn, trong đó chỉ có một phương án đúng Hãy khoanh tròn vào chữ cái đứng đầu câu trả lời mà em cho là đúng

(Ta quy ước viết limu n thay cho lim n

45

Câu 10

4 4

12

18

L

Câu 20 lim 4

1

n n



Câu 22

4 4

10lim

10 2

n n

 có giá trị là bao nhiêu?

Câu 23 lim1 2 3 2

2

n n

3

 ; D. 1

Câu 33 Tổng của cấp số nhân vô hạn   1

Câu 34 Tổng của cấp số nhân vô hạn 1 1; ; ; 1 1;

2 6 2.3n có giá trị là bao nhiêu?

2

5 5

n

n u

n

n u

lim

n n



2 2

lim

n n

lim

n n

lim

n n



  ; B

3 2

2 3lim

3 2lim

n n

lim

4

n n



 ; B

3 2

2 3lim

3 2lim

n n

3lim

Câu 56

3 2 2

1lim

1

x

x x

10lim

1

y

y y

1lim

1

y

y y

3 2lim



Câu 74

2 2

12 35lim

12 35lim



Câu 76

2 5

2 15lim

2 15lim

Câu 78

2 5

1lim

3 2lim

2

x

x x x x

1lim

1

x

x x

A mọi điểm thuộc ; B mọi điểm trừ x0;

C mọi điểm trừ x1; D mọi điểm trừ x0 và x1.

Câu 91 Hàm số f x có đồ thị như hình bên không liên tục tại điểm có hoành độ là bao nhiêu?

A Nếu lim un  , thì lim un   B Nếu lim un  , thì lim un  

C Nếu lim un  0, thì lim un  0 D Nếu lim un   a, thì lim un  a

Câu 2 Cho dãy số (un) với un = nn

2

n

n n

là:

1 2

4 2

4 2 3

3 2 4

5 3

5 2

n

n Chọn kết quả đúng của limun là:

Câu 14 lim

1 3

1 5

u u

u

n n

8

1 4

1 2

1 1

4 3

2 4

n n

4 1

) 1 2 (

5 3 1

1

3 2

1 2 1

1

n n

1

5 3

1 3 1

1

n n

1

4 2

1 3 1

1

n n

1

5 2

1 4 1

1

n n

3

1 1 2

1 1

f và f(2) = m2 – 2 với x  2 Giá trị của m để f(x) liên tục tại x = 2 là:

Câu 29 Cho hàm số f ( x )  x2  4 Chọn câu đúng trong các câu sau:

(I) f(x) liên tục tại x = 2

(II) f(x) gián đoạn tại x = 2

(III) f(x) liên tục trên đoạn   2 ; 2 

A Chỉ (I) và (III) B Chỉ (I) C Chỉ (II) D Chỉ (II) và (III).