TÌM MAX MIN CỦA SỐ PHỨC

Cực trị của số phức:a... Phương pháp mẹo sử dụng sự tiếp xúc: Dạng 1: Cho số phức z có tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn C bán kính R.. Với mỗi điểm M thuộc đường tròn

4 Cực trị của số phức:

a Bất đẳng thức thường gặp:

 Bất đẳng thức Bunyakovsky: Cho các số thức a, b, x, y ta luôn

có: 2 2 2 2 2

(acbd) (a b )(c d ) Dấu “=” xảy ra a b

c  d

 Bất đẳng thức vector: Cho 2 vector u x y( ; )

và v x y( '; ')

, ta luôn có:

u  v  uv  x  y  x  y  xx  y y

Dấu “=” xảy ra 0

x  y 

Max

• Bất đẳng thức Bunyakovsky

• Bất đẳng thức Vector

Min

• Phương pháp hình học

KỸ THUẬT GIẢI NHANH

MAX – MIN SỐ PHỨC

b Phương pháp mẹo sử dụng sự tiếp xúc:

Dạng 1: Cho số phức z có tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường

tròn (C) bán kính R Với mỗi điểm M thuộc đường tròn (C) thì cũng thuộc đường tròn (C’) tâm gốc tọa độ bán kính OM  a2 b2

 Để z lớn nhất thì OM lớn nhất đạt được khi đường tròn(C’)tiếp xúc

trong với đường tròn (C) và OM OI R

 Để z nhỏ nhất thì OM nhỏ nhất đạt được khi đường tròn(C’)tiếp xúc

ngoài với đường tròn (C) và OM OI  R

Dạng 2: Cho số phức z có tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường

thẳng (d) Với mỗi điểm M thuộc (d) thì cũng thuộc đường tròn (C’)

 Để z nhỏ nhất thì OM nhỏ nhất khi đó OM vuông góc với (d) và

( ;( ))

OM  d O d

Dạng 3: Cho số phức z có tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là elip có

đỉnh thuộc trục lớn A(a;0) và đỉnh thuộc trục nhỏ B(0;b) Với mỗi điểm M thuộc (E) thì cũng thuộc đường tròn (C’)

 Để z lớn nhất thì OM lớn nhất khi đó M trùng với đỉnh thuộc trục lớn

 Để z nhỏ nhất thì OM nhỏ nhất khi đó M trùng với đỉnh thuộc trục nhỏ

Dạng 4: Cho số phức z có tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là

Hyperbol (H)

2 2

2 2 1

a  b  có 2 đỉnh thuộc trục thực A'(a;0), ( ;0)A a thì số

phức z có module nhỏ nhất nếu điểm biểu diễn số phức z này trùng với các đỉnh trên, (module lớn nhất không tồn tại)

c Bài tập minh họa:

Ví dụ 1: (Thi thử THPT Vĩnh Châu – Phú Thọ lần 1 năm 2017)

Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện: z  2 4i  z2i Tìm số phức z

có module nhỏ nhất?

 Cách Casio:

Trong các số phức ở đáp án, ta sẽ sắp xếp theo thứ tự module tăng dần:

Tiếp theo, ta sẽ tiến hành thử các đáp án số phức theo thứ tự module tăng dần, số phức nào thỏa mãn điều kiện z  2 4i  z2i đầu tiên thì đáp án

đó là đúng

Với đáp án A: Ta xét hiệu: z  2 4i  z 2i , ta vào w2 nhập vào máy tính như sau:

qcQzp2p4b$pqcQzp2b

→r1p1+b

→Kết quả màn hình trả về: 2 2 , loại đáp án A

Tương tự như vậy, ta tiếp tục kiểm tra với z 22i thì kết quả bằng 0 Vậy số phức z 22i thỏa mãn hệ thức

→Đáp án là C

 Mẹo giải:

Gọi số phức z có dạng: z  abi thỏa mãn: z  2 4i  z2i

Trong các đáp an chỉ có đáp C thỏa mãn a   b 4 0

→Đáp án là C

 Phương pháp tự luận:

Gọi số phức z có dạng: z abi thỏa mãn: z  2 4i  z2i

Theo bất đẳng thức Bunyakovsky:

2

16 (ab) (1 1 )(a b ) z  a b  8

2 2

z

4

a b

a b







  



Ví dụ 2: (Thi thử chuyên KHTN lần 2 năm 2017)

Với các số phức z thỏa mãn (1i z)  1 7i  2 Tìm giá trị lớn nhất của z

 Mẹo giải:

Gọi số phức z có dạng: z  abi thỏa mãn: (1i z)  1 7i  2

(a bi)(1 i) 1 7i 2

(a b 1) (a b 7) 2

2 2

Vậy quỹ tích các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I(3;4) và bán kính R=1 Ta gọi đây là đường tròn (C)

Với mỗi điểm M biểu diễn số phức z abi thì M cũng thuộc đường tròn tâm O(0;0) bán kính a2 b2 Ta gọi đây là đường tròn (C’), module của z

cũng là bán kính của đường tròn (C’)

Để bán kính (C’) lớn nhất thì O, I, M thẳng hàng và (C’) tiếp xúc trong với (C), khi đó: OM OI  R  5 1 6

→Đáp án là D

 Phương pháp tự luận

Gọi số phức z có dạng: z  abi thỏa mãn: (1i z)  1 7i  2

(a bi)(1 i) 1 7i 2

(a b 1) (a b 7) 2

2 2

Ta có: z 2 a2 b2 6a8b24 6(a3) 8( b4)26

Theo bất đẳng thức Bunyakovsky, ta có:

2

→Đáp án là D

Ví dụ 3: (Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần 5 năm 2017)

Cho số phức z thỏa mãn z4  z 4 10, giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ

nhất của z lần lượt là:

 Mẹo giải:

Gọi số phức z có dạng: z  abi thỏa mãn: z 4  z 4 10

2 2

2 2

2 2

1

Vậy quỹ tích điểm biểu diễn số phức z là đường Elip đỉnh thuộc đáy lớn là

(5;0)

tâm O(0;0) bán kính a2 b2 Ta gọi đây là đường tròn (C’), module của z cũng là bán kính của đường tròn (C’)

Để bán kính (C’) lớn nhất thì M trùng với đỉnh thuộc trục lớn và

(5;0)

M  A

Để bán kính (C’) nhỏ nhất thì M trùng với đỉnh thuộc trục nhỏ và

(0;3)

M  B

→Đáp án là D

 Phương pháp tự luận:

Gọi số phức z có dạng: z  abi thỏa mãn: z 4  z 4 10

Theo bất đẳng thức vector, ta có:

10 (a4) b  ( a 4)  ( b)  (a4) (  a 4)  b ( b)

Ta có:  (a4)2 b2  (a4)2 b2 10

Theo bất đẳng thức Bunyakovsky, ta có:

100 2(2a 2b 32) (2a 2b 32) 50

2 2

Ví dụ 4:

Trong các số phức z thỏa mãn z2  z 2  , tìm số phức z có module 2 nhỏ nhất?

 Mẹo giải:

Gọi số phức z có dạng: z  x yi thỏa mãn: z2  z 2  2

2

2

3

y

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là Hyperbol

2 2

3

y

2 đỉnh thuộc trục thực là A'( 1;0), (1;0) A

Số phức z  x yi có điểm biểu diễn M x y( ; )và có module là

2 2

M  AM  z 

→Đáp án là C

d Bài tập tự luyện:

Bài 1- Cho các số phức z thỏa mãn 2z  2 2i  Module z nhỏ nhất có thể 1 đạt được là bao nhiêu?

Bài 2- Trong các số phức z thỏa mãn z3i  i z 3 10 Hai số phức z và 1

2

z có module nhỏ nhất Hỏi tích z z là bao nhiêu? 1 2

Bài 3- Trong các số phức z thỏa mãn iz3  z  Tính giá trị nhỏ nhất 2 i

của z ?

NẾU THẤY TÀI LIỆU BỔ ÍCH HÃY ỦNG HỘ CHO MÌNH NHÉ CÁC BẠN!

LIKE FANPAGE, ADD FACEBOOK HOẶC ĐĂNG KÝ (SUBSCRIBE) KÊNH YOUTUBE CÁM ƠN CÁC BẠN NHIỀU!