7 thi online bài toán min max của số phức có lời giải chi tiết

Phương pháp: Áp dụng phương pháp thế: Gọi z x yi, thay vào các dữ kiện đề bài cho để tìm mối liên hệ x, y , biểu diễn y qua x hoặc x qua y rồi thế vào biểu thức của z và tìm GTNN.. Ph

Trang 1

ĐỀ THI ONLINE: TÌM MIN MAX CỦA SỐ PHỨC – CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT

Câu 1 (NB). Xác định số phức z thỏa mãn | z 2 2 |i  2 mà | |z đạt giá trị lớn nhất

A z 1 i B. z 3 i C. z 3 3i D z 1 3i

Câu 2 (NB). Cho số phức z có | | 2z  thì số phức w z 3i có mô đun nhỏ nhất và lớn nhất lần lượt là

Câu 3 (NB). Cho số phức z thoả |z 3 4 | 2i  và w2z 1 i Khi đó |w| có giá trị lớn nhất là:

Câu 4 (NB) Cho số phức z thỏa mãn |z2 i| 1 Tìm giá trị lớn nhất của |z|

Câu 5 (NB) Cho số phức z thỏa mãn |z 3 4 | 1i  Môđun lớn nhất của số phức z là:

Câu 6 (NB) Cho số phức z thỏa mãn |z 2 3 | 1i  Tìm giá trị lớn nhất của | |z

Câu 7 (TH) Cho số phức z thỏa mãn |z 2 3 | 1i  Giá trị nhỏ nhất của |z 1 i| là:

Câu 8 (TH) Cho số phức z thỏa mãn| z 1 2 | 4i  Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của

|z 2 i| Tính 2 2

Câu 9 (TH) Cho số phức z có điểm biểu diễn nằm trên đường thẳng 3x4y 3 0, z nhỏ nhất bằng

A.1

3

4

2

5

Câu 10 (TH) Trong các số phức z thỏa mãn |z 2 4 | |i  z 2 |i Tìm số phức z có mô đun nhỏ nhất

A z 2 2i B z 1 i C z 2 2i D. z 1 i

Câu 11 (TH) Cho z là một số phức thỏa mãn điều kiện |z 1| 2 Tìm GTLN của biểu thức

A. maxT8 2 B.maxT 4 C.maxT4 2 D.maxT8

Câu 12 (TH) Cho số phức z thỏa mãn |z 3 | |z 3 | 10 Giá trị nhỏ nhất của | |z là:

Trang 2

Câu 14 (VD) Với các số phức z thỏa mãn |z 3 4 | 1i  Tìm giá trị lớn nhất của | |z

Câu 15 (VD) Cho z z thỏa mãn 1, 2 |z1z2| 1 và |z1z2| 3 Tính maxT |z1||z 2|

Câu 16 (VD) Cho số phức z x yi thỏa mãn |z 2 4 | |i  z 2 |i đồng thời có mô đun nhỏ nhất Tính

2 2

N x y

Câu 17 (VDC) Xét các số phức z thỏa mãn |z 1 2 |i  5 Tìm số phức w có mô đun lớn nhất, biết rằng

1

w  z i

A.w 4 2i B.w  2 4i C. w 4 3i D. w 4 3i

Câu 18 (VDC) Cho số phức z thỏa mãn |z4 ||z 4 | 10 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của z là:

Câu 19 (VD) Tìm giá trị nhỏ nhất của | |z , biết rằng z thỏa mãn điều kiện 4 2 1 1

1

| i z |

i



 

Câu 20 (VD) Tìm giá trị lớn nhất của | |z , biết rằng z thỏa mãn điều kiện 2 3 1 1

3 2

| i z |

i

 

 

ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM

Trang 3

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT THỰC HIỆN: BAN CHUYÊN MÔN TUYENSINH247.COM Câu 1

Phương pháp:

Áp dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối: A  B  A B A  B

Cách giải:

Sử dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối ta có:

2 |  z 2 2 | | |i  z   | 2 2 | | | 2 2i  z   | | 3 2z

Suy ra max | | 3 2z 

Kiểm tra các đáp án đã cho chỉ có đáp án C thỏa mãn

Chọn C

Sai lầm thường gặp:

- Áp dụng sai bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối

- Tính sai mô đun số phức

Câu 2

Phương pháp:

Đặc biệt A  B  AB  A  B

Cách giải:

Sử dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối ta có

| | | 3 | |z  i  z 3 | | |i  z | 3 |i   | 2 3 | |w| | 2 3 |   1 |w| 5

Chọn D

Đánh giá sai w như sau:

| | | 3 | |z  i  z 3 | | |i  z | 3 |i   2 3 |w| | 2 3 |    1 |w| 5

Sau đó học sinh sẽ kết luận min w  1 mà không kiểm tra dấu  có xảy ra hay không

Câu 3

Phương pháp:

Trang 4

Cách giải:

Ta có |z 3 4 | 2i  | 2z 6 8 | 4.i 

Theo bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối có

4 | 2 z 6 8 | | (2i  z   1 i) (7 9 ) | | 2i  z   1 i| | 7 9 | |i  w| 130

|w| 130 4 |w| 4 130

Chọn D

- Áp dụng sai bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối

Câu 4

Phương pháp:

Cách giải:

Theo bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối ta có 1 z2 i z2  i z2 1 z2    2 z z 2

Chọn D

Câu 5

Phương pháp:

Cách giải:

Theo bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối ta có

1 |  z 3 4 | | |i  z  | 3 4 | | | 5i  z   | | 6z

Chọn B

Trang 5

Câu 6

Phương pháp:

Cách giải:

| | | (z  z 2 3 ) (2 3 ) | |i   i   z 2 3 |i | 2 3 | 1 i   13

Chọn A

Câu 7

Phương pháp:

Nhận xét: đề bài cho |z 2 3 | 1i  nhưng yêu cầu tìm GTNN của biểu thức |z 1 i| nên cần đánh giá:

|z    1 i| |z 1 i|

Cách giải:

|z     1 i| |z 1 i| | (z 2 3 ) (3 2 ) | ||i   i   z 2 3 |i  | 3 2 || |1i   13 | 13 1

Chọn A

Câu 8

Phương pháp:

Đặc biệt A  B  AB  A  B

Cách giải:

Trang 6

|z  2 i| | (z 1 2 ) (3 3 ) | ||i   i   z 1 2 |i  | 3 3 || | 4 3 2 | 3 2i     4 m

|z  2 i| | (z 1 2 ) (3 3 ) | |i   i   z 1 2 |i  | 3 3 | 4 3 2i   M

(3 2 4) (4 3 2) 2(4 (3 2) ) 68

Chọn C

Câu 9

Phương pháp:

Áp dụng phương pháp thế:

Gọi z x yi, thay vào các dữ kiện đề bài cho để tìm mối liên hệ x, y , biểu diễn y qua x hoặc x qua y rồi thế vào biểu thức của z và tìm GTNN

Cách giải:

Giả sử z x yi, ta có 3x4y 3 0, suy ra 3 

1 4

z  x y  x  x  x  x

2 2

Chọn B

- Tính toán nhầm lẫn

- Xác định sai công thức tính mô đun số phức

Câu 10.

Phương pháp:

Áp dụng phương pháp thế:

Gọi z a bi , thay vào các dữ kiện đề bài cho để tìm mối liên hệ a, b, biểu diễn b qua a hoặc a qua b rồi

thế vào biểu thức của z và tìm GTNN

Cách giải:

Trang 7

Giả sử z a bi, ta có

|a bi  2 4 | |i   a bi 2 |i (a2)  (b 4) a  (b 2)

4a 4 8b 16 4b 4 4a 4b 16 0 a b 4 b 4 a

                  

Ta có

 z   a b   z i

Chọn C

- Xác định sai công thức tính mô đun số phức

- Tính toán nhầm lẫn a, b

Câu 11

Phương pháp:

Gọi z a bi , thay vào các dữ kiện đề bài cho để tìm mối liên hệ a, b

Dùng bất đẳng thức Bunhiacopxki  2  2 2 2 2

axby  a b x y để đánh giá biểu thức cần tìm GTLN

Cách giải:

Giả sử z a bi, theo giả thiết ta có (a1)2b2 2

Ta có

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có

Chọn B

- Xác định sai mô đun số phức

- Áp dụng sai bất đẳng thức Bunhiacopxki

Câu 12

Phương pháp:

Trang 8

Gọi z a bi , thay vào các dữ kiện đề bài cho để tìm mối liên hệ a, b

Dùng bất đẳng thức Bunhiacopxki  2  2 2 2 2

axby  a b x y để đánh giá z  a2b2 Cách giải:

Giả sử z a bi, theo giả thiết ta có

|a  bi 3 | |a  bi 3 | 10 (a3) b  (a3) b 10

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có

10 (a3) b  (a3) b  (1 1 )[(a3) b (a3) b ]

2.[2a 2b 18] 2 a b 9

Suy ra a2b2  9 5 a2b2 9 25a2b2 16

| |z  a b 4

Chọn B

- Xác định sai mô đun số phức

Câu 13.

Phương pháp:

Chú ý: z z1 2  z z1 2

Cách giải:

Theo giả thiết |z  1| | (1 i z) | có

|z  1| |1 i| | |z   |z 1| 2 | |z

Theo bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối có

2.z     z 1 z 1 2 1 z   1 z 2 1

Chọn A

- Chưa áp dụng được công thức z z1 2  z z1 2

Trang 9

Câu 14

Phương pháp:

Chú ý: z1z2  z1z2

Cách giải:

Ta có 1 |  z 3 4 | |i   z 3 4 |i

| | | (z  z 3 4 ) (3 4 ) | |i   i   z 3 4 |i  | 3 4 | 1 5i   6

Chọn A

- Áp dụng sai bất đẳng thức giá trị tuyệt đối

Câu 15

Phương pháp:

Gọi z1  x1 y i1 ,z2 x2y i2 , thay vào biểu thức đề bài tìm mối liên hệ x , x , y , y 1 2 1 2

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki  2  2 2 2 2

axby  a b x y để đánh giá z1  z2

Cách giải:

Giả sử z1  x1 y i1 ,z2 x2y i2

Theo giả thiết |z1z2| 1 có

(x x ) (y y )  1 x x 2x x y y 2x y 1 (1)

Theo giả thiết |z1z2| 3 có

(x x ) (y y )  9 x x 2x x y y 2x y 9 (2)

Cộng vế với vế của (1) và (2) ta có

2 2 2 2

1 2 1 2 5

Ta có

T  x y  x y

Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có

Trang 10

2 2 2 2

1 2 1 2

T  x  x y y 

Chọn D

Câu 16

Phương pháp:

Gọi z x yi, thay vào điều kiện bài cho tìm mối liên hệ x, y rồi biểu diễn y theo x hoặc x theo y

Áp dụng phương pháp thế: thay biểu thức của x hoặc y vừa có được vào 2 2

z  x y để tìm GTNN

x, y N

Cách giải:

Từ điều kiện |z 2 4 | |i  z 2 |i ta có

|x  yi 2 4 | |i   x yi 2 |i (x2) (y4) x (y2)

4x 4 8y 16 4y 4 4x 4y 16 0 x y 4 x 4 y

Ta có

| |z  x y  (4y) y  2y 8y16 2(y2)  8 2 2

Vậy min z 2 2 khi y 2 0 hay y2 Suy ra x2 Do đó 2 2

8

N x y 

Chọn A

- Đánh giá sai GTNN của z dẫn đến tìm sai x, y

Câu 17.

Phương pháp:

Áp dụng phương pháp hình học

Cách giải:

Các điểm M x; y biểu diễn   z x yi có khoảng cách đến điểm I 1; 2   biểu diễn 1 2i bằng 5 nên thuộc đường tròn tâm I bán kính bằng 5

Trang 11

Từ đó các điểm biểu diễn w thay đổi trên đường tròn tâm J biểu diễn 1 2i 1 i    2 i, bán kính bằng 5

Do 2 i 5 nên đường tròn này đi qua gốc O

Điểm P biểu diễn w có mô đun lớn nhất khi P là điểm xuyên tâm đối của O trên đường tròn đó tức là

 

w2 2 i  4 2i

Chọn A

- Chưa xác định được mối quan hệ của các điểm biểu diễn những số phức z, w trên mặt phẳng phức

Câu 18

Phương pháp:

Áp dụng phương pháp hình học

Cách giải:

Đặt z x yi với x y, R Điều kiện đã cho trở thành

(x4) y  (x4) y 10 (1)

Gọi M x y( , ) là điểm biểu diễn của số phức z x yi

Từ (1)MA MB 10 (với A(4, 0), ( 4, 0)B  )

Suy ra tập hợp điểm M x y( , ) nằm trên elip có: a5,b3,c4

Vì M nằm trên elip nên minz OMminM A ;

z max OM max M B

Vậy giá trị lớn nhất của z là 5

Vậy giá trị nhỏ nhất của z là 3

Chọn D

- Tính sai mô đun các số phức

- Chưa tìm được mối quan hệ giữa số phức và điểm biểu diễn số phức trên mặt phẳng phức

Câu 19

Phương pháp:

Gọi z x yi, thay vào điều kiện đề bài tìm mối liên hệ x, y

Áp dụng phương pháp hình học để tìm điều kiện cho z đạt GTNN

Trang 12

Cách giải:

Có 4 2 1 3

1

i

i i

  

 Đặt z x yi thì

4 2

1

i



Điều kiện đã cho trong bài được viết lại thành

(x3y1) (3xy) 1

(x 3 )y 2(x 3 ) 1 (3y x y) 1

10x 10y 2x 6y 0

0

     

x x y y

Điểm biểu diễn M x y( , ) của z chạy trên đường tròn (*) Cần tìm điểm M x y( , ) thuộc đường tròn này để OM nhỏ nhất

Vì đường tròn này qua O nên min OM 0 khi MO hay M 0, 0 , do đó z 0 hay min z 0

Chọn B

- Xác định sai mô đun các số phức

- Tìm sai mối liên hệ x, y

- Không đưa được bài toán từ dạng đại số về hình học

Câu 20

Phương pháp:

Gọi z x yi, thay vào điều kiện đề bài tìm mối liên hệ x, y

Áp dụng phương pháp hình học để tìm điều kiện cho z đạt GTLN

Cách giải:

Có 2 3

3 2

i

i i

   

 Đặt z x yi thì

2 3

3 2

 

       



i

Trang 13

Điều kiện đã cho trong bài được viết lại thành 2 2

(y1) x 1 Điểm biểu diễn M x y( , ) của z chạy trên đường tròn (*) có tâm I 0, 1  , bán kính bằng 1

Cần tìm điểm M x y( , ) thuộc đường tròn này để OM lớn nhất

Vì O nằm trên đường tròn nên OM lớn nhất khi OM là đường kính của (*)  I là trung điểm của OM

(0, 2)



I

M

Vậy max z 2

Chọn C

- Không chuyển được bài toán từ dạng đại số về dạng hình học

- Không tìm được điều kiện để | |z đạt GTLN

- Tính sai mô đun các số phức

Định dạng
Số trang	13
Dung lượng	731,09 KB